【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习：第1章 4 数学归纳法]

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【成才之路】2014-2015学年高中数学第1、2章集合函数综合测试题北师大版必修1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第1、2章集合函数综合测试题北师大版必修1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，则下列结论正确的是( ) A ．2.5∈M B ．0⊆MC ．∅∈MD ．集合M 是有限集[答案] A[解析] 因为－2<2.5<3，所以2.5是集合M 中的元素，即2.5∈M .2．(2014·某某文，2)设集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2] B ．(1,2) C ．[1,2) D ．(1,4)[答案] C[解析] A ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1≤x ≤4}， ∴A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}，故选C.3．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 偶函数的图像关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交．反例：y ＝x 0，故①错误，③正确．奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点．反例：y ＝x －1，故②错误．若y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，由定义可得f (x )＝0，但未必x ∈R .反例：f (x )＝1－x 2＋x 2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．∴选A. 4．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则( )A ．f (x )是奇函数且f (1x)＝－f (x )B ．f (x )是奇函数且f (1x )＝f (x )C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数且f (1x)＝f (x ) [答案] C[解析] f (－x )＝1＋－x21－－x 2＝1＋x 21－x2＝f (x )，又f (1x )＝1＋1x 21－1x2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C.5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，|x |≥1，1－x 2，|x |<1，f (33)的值为( ) A ．－23B ．13 C.23 D ．43[答案] C [解析] ∵|33|<1，则应代入f (x )＝1－x 2，即f (33)＝1－13＝23. 6．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1[答案] B[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x .7．(2013·某某高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以∁R S ∪T ＝{x |x ≤1}．8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[答案] A[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x ≠1∴0≤x <1，故函数定义域为[0,1)．9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值X 围是( )A ．(32，2]B ．(32，＋∞)C ．[1，32)D ．(－∞，32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)，∴2－a >a －1，∴a <32，故选D.10．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值X 围是( )A ．x <0B ．1<x <2C ．x <2且x ≠0D ．x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x <0x －1 x >0，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0.∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________. [答案] －12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－12.12．已知f (x )为偶函数，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x ≤0，0≤x ≤1.[答案] 1－x[解析] 当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝1－x .13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．[答案] 4[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2016f 2015的值是________． [答案] 2016[解析] ∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f n ＋1f n＝f (1)．由n 的任意性得f 2f 1＝f 4f 3＝f 6f 5＝…＝f 2016f 2015＝f (1)．故f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2016f 2015＝1008f (1)＝1008×2＝2016.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，某某数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，某某数m 的取值X 围．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c .从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1又f (0)＝c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2－3x ＋1恒成立，则m <－1. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}，若A ∩R ＋＝∅，某某数p 的取值X 围．(其中R ＋＝{x ∈R |x >0})．[解析] ∵A ∩R ＋＝∅，R ＋＝{x ∈R |x >0}，A ＝{x ∈R |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0}， ∴方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0没有正实数根，∴Δ＝(p ＋2)2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝p ＋22－4≥0－p ＋2<0，即p (p ＋4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧p p ＋4≥0，p >－2.解得－4－4.19．(本小题满分12分)设函数f (x )为奇函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] 设－3≤x 1<x 2≤3，则x 2－x 1>0， ∵f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在[－3,3]上是减函数．故f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－[f (1)＋f (2)]＝－[f (1)＋f (1)＋f (1)]＝6，f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；(2)对任意的x ∈R ，都有f (1x)＝－f (x )；(3)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0.(2)对任意x >0，用1x代替y ，有f (x )＋f (1x )＝f (x ·1x)＝f (1)＝0，∴f (1x)＝－f (x )．(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数．取x 1<x 2<0，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2)>0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2)＝f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．21．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋12)2.(1)求f (1)； (2)求a ，b ，c 的值；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值X 围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0，① 令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋12)2＝1，∴f (1)＝1.(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1② 联立①②可得b ＝a ＋c ＝12，由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0，即ax 2－12x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，14－4ac ≤0.∵c ＝12－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >014－2a ＋4a 2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >02a －122≤0⇒a ＝14，∴a ＝c ＝14，b ＝12.(3)由(2)得：g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋12x ＋14－mx ＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]∵x ∈[－1,1]时，g (x )是单调的， ∴|－2－4m2|≥1，解得m ≤0或m ≥1.∴m 的取值X 围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习：第1章 §2 第1课时充分条件与必要条件]

第一章 §2 第1课时一、选择题1．“x >1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 本题主要考查了充要条件．判定不是充分(或必要)条件，可用“特例法”．当x >1时，一定有|x |>1成立，而|x |>1时，不一定有x >1，如x ＝－5.所以“x >1”⇒“|x |>1”而“|x |>1” ⇒/ x >1.2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查两条直线垂直的充要条件．当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0， ∴a ＝1，故选C.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，所以x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A.4．(2014·郑州市质检)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]a∥b⇔x2－4＝0⇔x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分条件．5．(2014·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析](a－b)a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b，a＝0时(a－b)·a2＝0，∴a<b⇒/(a－b)a2<0∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{a n}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由a1<a2<a3可知等比数列{a n}为递增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5时，不能确定{a n}为递增数列，也可能是正负交替数列，例如a n＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的______条件．[答案]充分不必要[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列时却不一定有a n＝2n＋1.9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]sinα＝sinβ⇒/ α＝β，α＝β⇒sinα＝sinβ，故填必要不充分．三、解答题10．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．[答案] p ≥4[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，x <－p4⇒x <－1⇒x 2－x －2>0. 所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件.一、选择题11．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由于直线方程中含有字母m ，需对m 进行讨论．(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0，所以m ＝－2或m ＝12.显然m ＝12只是m 取值的一种情况．故为充分不必要条件．12．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] “tan x ＝1”的充要条件为“x ＝k π＋π4(k ∈Z )”，而“x ＝2kx ＋π4(k ∈Z )”是“x＝kx ＋π4(k ∈Z )”的充分不必要条件，所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件，故选A.13．(2013·浙江文，3)设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.14．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.二、填空题15．“a ＝12”是“y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 由a ＝12，得y ＝cos 212x －sin 212x ＝cos x ，T ＝2π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝2π，得a ＝±12.故是充分不必要条件． 16．下列说法正确的是________． ①x 2≠1是x ≠1的必要条件； ②x >5是x >4的充分不必要条件； ③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件； ④x 2<4是x <2的充分不必要条件． [答案] ②④[解析] “若x 2≠1，则x ≠1”的逆否命题为“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x 2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题17．对于实数x 、y ，判断“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．[答案] 充分不必要条件[解析] 可从集合角度判断，考虑集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≠8}与B ＝{(x ，y )|x ≠2或y ≠6}的包含关系，A 是平面直角坐标系内除去直线y ＝－x ＋8上所有点的集合；B ＝{(x ，y )|x ≠2}∪{(x ，y )|y ≠6}是直角坐标平面内除去直线x ＝2上的所有点或除去直线y ＝6上的所有点的集合，即除点(2,6)的所有点的集合，知A B ，所以“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的充分不必要条件．18．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [答案] a ≤1[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a>0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0.解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。

成才之路北师大数学选修22习题第1章推理与证明§4 含解析

第一章 §4一、选择题1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N ＋)时，验证n ＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D2．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，则a ，b 的值应该等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝3[答案] D[解析] 当n ＝1时，上式可化为ab ＋a ＋b ＝11；① 当n ＝2时，上式可化为ab ＋2(a ＋b )＝16. ②由①②可得a ＋b ＝5，ab ＝6，验证可知只有选项D 适合．3．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋3)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推知n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析]若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立，可推得若n＝k＋1时命题不成立可推得n＝k(k∈N*)时命题不成立，所以答案为C．5．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29[答案] D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题6．(2014·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时左边表达式是________；从k→k＋1需增添的项是________．[答案]1＋2＋3；4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3))[解析]因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时，2n＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增添的项的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)．7．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整数是________．[答案] 5[解析]从n＝1,2,3,4,5，…，取值逐个验证即可．8．凸k边形有f(k)条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数f(k＋1)＝f(k)＋____________.[答案]k－1[解析]设原凸k边形的顶点为A1，A2，…，A k，增加一个顶点A k＋1，增加A k＋1与A2、A3，…，A k－1共k－2条再加上A1与A k的一条连线共k－1条．三、解答题9．数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k ，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n －12n －1成立．10．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1 ＝56.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都成立.一、选择题1．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.2．(2014·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项 B ．k 项 C ．2k－1项D ．2k 项[答案] D[解析] 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.4．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.[答案]12n ＋12n ＋1[解析] ∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.6．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞m24对n ∈N *都成立，则正整数m 的最大值为____________．[答案] 11[解析] 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12(n ＋1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝f (n )＋(12n ＋1－12n ＋2)＝f (n )＋1(2n ＋1)(2n ＋2)＞f (n )，∴f (n ＋1)＞f (n )＞…＞f (1)＝12＝1224，∴m ＝11.三、解答题7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .[证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴当n ＝1时，等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1)＋(1k ＋1－12k ＋2)＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．∴n ＝k ＋1时等式成立．由①②知等式对任意n ∈N ＋都成立．[点评] 在利用归纳假设论证n ＝k ＋1等式成立时，注意分析n ＝k 与n ＝k ＋1的两个等式的差别．n ＝k ＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1k ＋1变到1k ＋2.因此在证明中，右式中的1k ＋1应与－12k ＋2合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n ＝k ＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．8．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1(x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n－3|，用数学归纳法证明：b n ≤(3－1)n2n －1.[证明] 当x ≥0时，f (x )＝1＋2x ＋1>1.因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明不等式b n ≤(3－1)n2n －1.(1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立．即b k ≤(3－1)k2k －1，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝(3－1)|a k －3|1＋a k≤3－12b k ≤(3－1)k ＋12k.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N ＋都成立．。

【成才之路】高中数学 3.2 第2课时基础巩固北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3，由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x2＝0，解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.二、填空题4．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到； ④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.5．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.[答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题6．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1，则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－x －x －50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数；当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V3x2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x. ∴S 表′＝3x －43Vx2＝0∴x 3＝4V ，即x ＝34V ，又当x ∈(0，34V )时，S 表′<0；当x ∈(34V ，V )时，S 表′>0 ∴当x ＝34V 时，表面积最小．2．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，ff a 综上可知a 的取值范围为[－2,1)．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值．令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 4．已知不等式kx x ≤1e对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(－∞，1] C ．[0,2] D ．(0,2][答案] A [解析] 令y ＝kx x ，则y ′＝1－kx x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝ek时，y max ＝ln e e k＝ke，又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.5．(2014·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x＋a (a ∈R)的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适，若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合． (2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a)>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．二、填空题6．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x ) max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 7．已知函数f (x )＝log ax ＋2x，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a x ＋2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log ax ＋2x的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝x ＋2x ＝4x ＋16x＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x2＝x －x ＋x 2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36，当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2.综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2. 三、解答题8．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 9．(2014·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2ax ＋x ＋a2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 10．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x)，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点．所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－x －2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)，当x ＝1时，g (x )＝g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x)(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a，即ln a <1，解得0<a <e .所以a 的取值范围是(0，e )[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。

【成才之路】高中数学第二章综合素质检测北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第二章综合素质检测北师大版选修1-1时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 与点F (3,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小2，则点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝6x C ．y 2＝12x D ．y 2＝－6x[答案] C[解析] 由抛物线的定义知，点M 的轨迹是F 为焦点，直线x ＋3＝0为准线的抛物线，其方程为y 2＝12x .2．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D.x 25＋y 220＝1 [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3，又b a＝2，结合a 2－b 2＝c 2，得a ＝1，∴e ＝3，故选B.4．(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积( )A ．5B ．10C ．20 D.15[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则由抛物线定义知x 0＋1＝5， ∴x 0＝4故y 0＝4，所以S △MPF ＝12×5×4＝10.5．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a＝lg a 4－b 4a 2<lg a 2a2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.6．(2014·江西文，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b ax ，由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|FA |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝b ax 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4，∴△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm ，灯深40cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”值为452，所以选项C 符合题意．8．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条[答案] B[解析] 过P 与x 轴平行的直线y ＝1与抛物线只有一个交点；过P 与抛物线相切的直线x ＝0，y ＝14x ＋1与抛物线只有一个交点．9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9[答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－b ax ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－b a)2－8＝0，即(b a)2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝c a＝1＋b a2＝1＋8＝3.故选B.10．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[分析] 此题若用坐标法求解运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．[答案] A[解析]延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，如图所示．则△APF 1是等腰三角形，∴|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a .∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 1的中点， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．故选A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．若抛物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.[答案] ±8[解析] 椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 12．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为________．[答案] 26[解析] 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|－|BF 2|＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝16. 又∵|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＝5， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝16＋5＝21.∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.13．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn＝________. [答案]22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22， ∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 14．(2014·哈三中二模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线的一个交点的纵坐标为－1，则双曲线的离心率为________．[答案]52[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程x ＝－2，∴交点坐标为(－2，－1)，∴双曲线的渐近线方程y ＝12x ，即b a ＝12，∴e ＝1＋b 2a 2＝52. 15．(2014·唐山市一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.[答案]163[解析] 设AB所在的直线y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －y 2＝4x 消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1x 2＝1，设A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，∵A 到准线的距离为4，∴x 1＋1＝4，∴x 1＝3，∴x 2＝13，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝3＋13＋2＝163.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．[答案] (1)x 212－y 28＝1 (2)x 28－y 22＝1[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上， ∴18a－420－a＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14， ∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.17．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[答案] 6m[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (y >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥．18．已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)、B (2,0)，|AD →|＝2，AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AC →，求点E 的轨迹方程．[答案] x 2＋y 2＝1(y ≠0) [解析] 如图设点E 的坐标为(x ，y )， ∵AE →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E 为BD 的中点，连结OE ，又O 为AB 的中点，∴OE ＝12AD ＝1.即动点E 到定点O 的距离为定值1，由圆的定义知，点E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．[点评] 平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E 到定点O 的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E 的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．19．(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． [答案] (1)43 (2)22[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1| 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－b 2＋b22－－2b 21＋b2＝8b 41＋b2，解得b ＝22. 20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝233，过A (a,0)，B (0，－b )的直线到原点的距离是32. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋5(k ≠0)交双曲线于不同的点C ，D ，且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．[答案] (1)x 23－y 2＝1 (2)±7[解析] (1)双曲线的离心率e ＝c a ＝233.①过A ，B 的直线为x a －y b＝1，即bx －ay －ab ＝0. ∵原点到直线AB 的距离为32， ∴|－ab |a 2＋b2＝ab c ＝32，②由①②，得b ＝1.∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋1a 2＝43.∴a 2＝3，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1y ＝kx ＋5，得(1－3k 2)x 2－30kx －78＝0. ∴x 1＋x 2＝30k 1－3k.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝15k 1－3k 2， y 0＝kx 0＋5＝51－3k2. ∴MB 的斜率k MB ＝y 0＋1x 0＝－1k. ∴x 0＋ky 0＋k ＝0，即15k 1－3k 2＋5k1－3k2＋k ＝0. 解得k 2＝7，∴k ＝±7.21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ (2)k 值不存在 [解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x2＋22kx ＋1＝0.①∵直线l 与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k2.③又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，④将②③代入④式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k . 反馈练习一、选择题1．若方程x 2a －y 2b＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )A.－b >aB.－b <aC.b >－aD.b <－a[答案] A[解析] 方程x 2a －y 2b＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴b <0，∴－b >a .2．“直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 直线与双曲线有唯一的公共点⇒直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的一条渐近线，故选B.3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p ＝12，知p＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.4．等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2[答案] B[解析] 由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，∴|AB |＝4p ，∴S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2.5．(2014·太原模拟)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1F 1F 2PF 2|＝，则曲线C 的离心率等于( )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32[答案] D [解析] 因为|PF 1F 1F 2PF 2|＝，所以设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0.因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ，即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c 3x ＝c 3×23c＝12. 若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ，所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c＝32，所以选D.6．(2014·山西省高三四校联考)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2 D.1[答案] B[解析] 解方程2x 2－5x ＋2＝0得x ＝2或12.当e ＝2时，m <0表示焦点在x 轴上的双曲线；当e ＝12时，m >0，可表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆，故选B.7．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.8．(2014·陕西工大附中四模)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支．．．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D.7[答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ，在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°，∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e>1，∴e ＝c a＝7，故选D.9．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＋|BF |＝3得，x 1＋x 2＋12＝3，∴x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x 1＋x 22＝54. 10．(2014·银川九中一模)已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 由渐近线方程为y ＝x 知，b2＝1，∴b ＝2，∵点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 0＝±1，y 0＝1时，P (3，1)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝0，y 0＝－1时，P (3，－1)，PF 1→·PF 2→＝0，故选C.二、填空题11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是____________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．12．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．[答案]x 216＋y 212＝1 [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，∴所求椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为________．[答案] 32[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k x －，得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32，综上可知y 21＋y 22≥32. ∴y 21＋y 22的最小值为32.14．(2014·天津和平区期末质检)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]233[解析] y 2＝2bx 的焦点为(b2，0)，x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为(c,0)，由题意可知：c －b 2＝38×2c ，即c ＝2b ，而e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝4b 23b 2＝43，则e ＝233. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] 设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k ，则k ≥3，即b a≥ 3.所以e 2＝1＋b 2a2≥1＋(3)2＝4，所以e ≥2.三、解答题16．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)． (1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F ′1，F ′2，求以F ′1，F ′2为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程；(3)求过(2)中的点P ′的抛物线的标准方程． [答案] (1)x 245＋y 29＝1(2)y 220－x 216＝1 (3)y 2＝252x 或x 2＝45y [解析] (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其半焦距c ＝6.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝112＋22＋12＋22＝65， ∴a ＝35，b 2＝a 2－c 2＝45－36＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 245＋y 29＝1.(2)点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′(2,5)，F ′1(0，－6)，F ′2(0,6)，设所求双曲线的标准方程为y 2a 1－x 2b 1＝1(a 1>0，b 1>0)，由题意知半焦距c 1＝6.∵2a 1＝||P ′F ′1|－|P ′F ′2||＝|112＋22－12＋22|＝45， ∴a 1＝25，b 21＝c 21－a 21＝36－20＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. (3)设抛物线方程为y 2＝2px 或x 2＝2p 1y ， ∵抛物线过P ′(2,5)， ∴25＝4p 或4＝10p 1， ∴p ＝254或p 1＝25.∴抛物线方程为y 2＝252x 或x 2＝45y .17．已知双曲线过点P (－32，4)，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．[答案] (1)x 29－y 216＝1 (2)941[解析] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b2＝1① 又∵b a ＝43②，由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝d 1－d 22＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.18．(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[答案] (1)x 225＋y 216＝1 (2)(32，－65)[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x－3)代入椭圆方程得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 19.如右图，已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O 点，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．[答案] y 2＝x －12[解析] 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)， ∵M 是FQ 的中点，∴x ＝1＋x 22，y ＝y 22，∴x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点． ∴x 2＝x 12，y 2＝y 12，∴x 1＝2x 2，y 1＝2y 2，∴x 1＝4x －2，y 1＝4y .∵点P 在抛物线y 2＝4x 上， ∴(4y )2＝4(4x －2)，∴点M 的轨迹方程为y 2＝x －12.20．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A 、B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1.消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k2，x 1·x 2＝－83＋4k2，由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k2，解得k 2＝14，∴k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.21．(2014·郑州市质检)已知平面上的动点R (x ，y )及两定点A (－2,0)，B (2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2＝－34，设动点R 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点S (4,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，过点M 作MQ ⊥x 轴，交曲线C 于点Q . 求证：直线NQ 过定点，并求出定点坐标．[答案] (1)x 24＋y 23＝1(y ≠0) (2)D (1,0)[解析] (1)由题知x ≠±2，且k 1＝yx ＋2，k 2＝y x －2，则y x ＋2·y x －2＝－34，整理得，曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设NQ 与x 轴交于D (t,0)，则直线NQ 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，记N (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由对称性知M (x 2，－y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12x ＝my ＋t 消去x 得：(3m 2＋4)y 2＋6mty ＋3t 2－12＝0，所以Δ＝48(3m 2＋4－t 2)>0，且y 1,2＝－6mt ±Δ3m 2＋，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mt3m 2＋4，y 1·y 2＝3t 2－123m 2＋4，由M 、N 、S 三点共线知k NS ＝k MS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4，所以y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0，整理得2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0，所以2m 3t 2－12－6mt t －43m 2＋4＝0，即24m (t －1)＝0，t ＝1，所以直线NQ 过定点D (1,0)．。

【成才之路】高中数学第一章统计案例综合测试北师大版选修1-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学第一章统计案例综合测试北师大版选修1-2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④[答案] D[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．2．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[答案] A[解析] 题图A 中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A. 3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[答案] B[解析] 恰好有1人解决分两种情况： ①甲解决乙没解决：P ′＝P 1(1－P 2)②甲没解决乙解决：P ″＝(1－P 1)P 2∴恰好有1人解决这个问题的概率P ＝P ′＋P ″＝P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1) 4．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题： ①将A 、B 、C 三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤[答案] B[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为410＝0.4，⑤是真命题．5．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过( ) A ．(2,2)点 B ．(1.5,0)点 C ．(1,2)点 D ．(1.5,4)点[答案] D[解析] 计算得x ＝1.5，y ＝4，由于回归直线一定过(x ，y )点，所以必过(1.5,4)点．6．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A.25% C ．2.5% D ．97.5%[答案] D[解析] 查表可得K 2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x 和y 有关系”．7．同时抛掷三颗骰子一次，设A ：“三个点数都不相同”，B ：“至少有一个6点”，则P (B |A )为( )A.12 B ．6091 C.518D ．91216[答案] A[解析] P (A )＝6×5×46×6×6＝120216，P (AB )＝3×4×56×6×6＝60216，∴P (B |A )＝P AB P A ＝60216×216120＝12.8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%[答案] A[解析] 当y ^＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，所以7.6759.262≈0.829，故选A.9．(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，得K 2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C10．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点；③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝bx ＋a ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某镇居民2009～2013年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：有________线性相关关系．(填“正”或“负”)[答案] 13 正[解析] 找中位数时，将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关．12．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：[答案] 0.001[解析] 可计算K 2的观测值k ＝11.377>10.828.13．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．[答案] y ^＝－3.2x ＋40[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.14．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )＝________.[答案]310[解析] 由P (B |A )＝P AB P A 得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310.15．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －) [答案] 70[解析] 根据表格中的数据可求得x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －－b x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题满分12分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？[答案] 12[解析] 设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )·P (B )＝23×12＋13×12＝12.17．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：(1)计算x 与y (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； (3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数．[答案] (1)0.808 (2)有线性相关关系 (3)b ^＝0.398 a ^＝134.8 [解析] (1)根据数据可得：x ＝77.7，y ＝165.7，∑10i ＝1x 2i＝70 903，∑10i ＝1y 2i ＝277 119， ∑10i ＝1x i y i ＝132 938，所以r ＝0.808，即x 与y 之间的相关系数r ≈0.808；(2)因为r >0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系； (3)b ^＝0.398，a ^＝134.8.18．(本题满分12分)(2014·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d[答案] [解析] (1)300×450015000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表综合列联表可算得K 2＝75×225×210×90＝21≈4.762>3.841. 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．” 19．(本题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？(3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？[答案] (1)图略 (2)有线性相关关系，求线性回归方程有意义 (3)y ^＝30.8＋46.9x (4)547[解析] (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：r ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －x2∑i ＝110y 2i －y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，自然求线性回归方程有实际意义．(3)b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.20．(本题满分13分)(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d[答案] (1)表略不相关(2)10[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d＝－275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.[点评] 本题考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，解决这类题目的关键是对题意准确理解．21．(本题满分14分)(2014·济南模拟) 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：K2＝a＋b＋c＋d ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，当K2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)限购令的概率．[答案] (1)表略有90%的把握(2)710[解析] (1)K2＝40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为有利事件数，因此所求概率P＝710.。

【成才之路】高中数学 3.1 第2课时基础巩固北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第2课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．下列各点是函数y ＝1＋3x －x 3的极值点的是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3[答案] B[解析] y ′＝3－3x 2，令y ′＝3－3x 2＝0，得x ＝±1，观察选项，只有B 项满足要求． 2．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 [答案] D[解析] 对于f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 不正确．极小值也可能大于极大值，故B 错，C 显然不对．3．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题4．函数f (x )＝x －ln x 的极小值等于________． [答案] 1[解析] f ′(x )＝1－1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：∴f (x )5．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.三、解答题6．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2).一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c[答案] D[解析] 由f ′(x )的图像可知x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0；x ∈(0,2)时，f ′(x )>0∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值为f (0)＝c .2．已知函数f (x )＝ax 2＋3x ＋2a ，若不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}，则函数y ＝xf (x )的极值点的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能判断[答案] B[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0－3a＝3，所以a ＝－1，即f (x )＝－x 2＋3x －2.于是y ＝xf (x )＝－x 3＋3x 2－2x ，y ′＝－3x 2＋6x －2，由Δ>0，所以y ′＝0有两个相异实根，故函数y ＝xf (x )有两个极值点．3．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π－e2012πe 2π－1 B.e π－e 2012π1－e 2πC.eπ－e 1006π1－e2πD.eπ－e1006π1－eπ[答案] B[解析] f ′(x )＝2e xsin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z.∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e2011π＝e π[1－2π1006]1－e2π＝e π－e 2012π1－e2π，故选B.4．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.5．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．1<a<2 B．1<a<4C．2<a<4 D．a>4或a<1[答案] A[解析] y′＝3x2－3a.当a≤ 0，f′(x)≥0；函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±a，不难分析当1<a<2时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．二、填空题6．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．[答案] ②③[解析] 本题考查了导数工具有研究函数零点方面的应用设g(x)＝x3－6x2＋9x＝0，则x1＝0，x2＝x3＝3，其图象如图：要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3个零点，须将g(x)的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝0时，x 1＝1，x 2＝3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值．∴由图象可知f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0.对于函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图象联系起来，当一个函数不能直接画出图象时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图．7.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________[答案] ①④[解析] 从图像上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0 ，所以f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数，所以②，③错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上递减，而在(1，＋∞)上递增，故f (x )在x ＝1处取极小值，故④正确．三、解答题8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(0,0)，(2,0)，(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．[解析] (1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(x )的图像过点(0,0)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0解之得：a ＝－3，b ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0；∴当在(－∞，0)上，f ′(x )＞0.在(0,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f (x )在x ＝2处取得极小值，所以x 0＝2，由f (2)＝－5，得c ＝－1， ∴f (x )＝x 3－3x 2－1.9．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 10．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[解析] (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，则x ＝1是f (x )的极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝12.(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－x －x 2＋x ＋x，当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方．。

【成才之路】高中数学 3.2 第1课时基础巩固北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第1课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )A．t＝1s时的速度B．t＝1s时的加速度C．t＝1s时的位移D．t＝1s时的平均速度[答案] B[解析] v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．2．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是( )A．14 B．4C．10 D．6[答案] A[解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.3．下列四个命题：①曲线y＝x3在原点处没有切线；②若函数f(x)＝x，则f′(0)＝0；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④函数y＝x5的导函数的值恒非负．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] ①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；②中f(x)在x＝0处导数不存在；③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度；④中y′＝5x4≥0.所以命题①②③为假命题，④为真命题．二、填空题4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示________．[答案] 服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL 的速度增加． 5．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t，其中p 0为t ＝0时的物价．假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．[答案] 0.08[解析] 因为p 0＝1，所以p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t ＝10时的函数值．因为p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t·ln1.05，所以p ′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．三、解答题6．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系式为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量； (3)当日产量为75件时的边际成本．[解析] (1)当x ＝75时，C (75)＝14×752＋60×75＋2 050＝7 956.25(元)，∴C 75≈106.08(元/件)．故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7 956.25元，106.08元/件． (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔC Δx ＝C－C 90－75＝101.25(元/件)．(3)当日产量为75件时的边际成本 ∴C ′(x )＝12x ＋60，∴C ′(75)＝97.5(元).一、选择题1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，(s 的单位是s ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒[答案] C[解析] s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] 瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0＋Δt2－3×32Δt＝limΔt→03(6＋Δt)＝18.3．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是( )[答案] D[解析] 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．[点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．4．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为( )m/s2A．t30＋3t0B．3t20＋3C ．3t 30＋3t 0 D ．t 30＋3[答案] B[解析] ∵v ′(t )＝3t 2＋3，则当t ＝t 0s 时的速度变化率为v ′(t 0)＝3t 20＋3(m/s 2)．即t ＝t 0s 时轿车的加速度为(3t 20＋3)m/s 2.[点评] 运动方程s ＝s (t )的导数表示的是t 时刻时的瞬时速度，速度方程v ＝v (t )的导数表示的是t 时刻时的加速度．5．(2009·湖北理)设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2C C ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C[答案] D[解析] 本题主要考查导数的有关应用．根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )，球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t ) 球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )，又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C . 二、填空题6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.[答案] 32[解析] s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，设6t ＋1＝10，则t ＝32.7．原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料．要从原油提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率为________，其意义为________________________________________________________________________．[答案] 5 在第6 h 附近时，原油温度约以5 ℃/h 的速度上升 [解析] f ′(x )＝2x －7，则f ′(6)＝2×6－7＝5. 在第6 h 附近时，原油温度大约以5 ℃/h 的速度上升三、解答题8．如图所示，为甲、乙两化工厂在某一时间段的排污量与时间的关系图示(其中W 1(t )，W 2(t )分别表示甲、乙两工厂的排污量)，试比较哪个工厂的治污效果好？[分析] 取区间[x 0，x 0＋Δx ]，则由|ΔyΔx |＝|f x 0＋Δx －f x 0Δx|来比较治污效果的好杯．[解析] 观察图形，单位时间内，W 1(t )中|Δy Δt |比较大，而W 2(t )中|ΔyΔt |比较小，工厂甲比工厂乙的平均治污染率大，从而判定工厂甲治污效果更好．[点评] 从“陡峭”的程度上也可形象说明，W 1(t )图形更加“陡峭”，因而当Δt 相同时，Δy ＝f (t 0＋Δt )－f (t 0)的值比W 2(t )更大些．9．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T (单位：℃)与时间t (单位：min)间的关系，由函数T ＝f (t )给出．请问：(1)f ′(t )的符号是什么？为什么？(2)f ′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f (3)＝65℃，你能画出函数在点t ＝3min 时图像的大致形状吗？[解析] (1)f ′(t )是负数．因为f ′(t )表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f ′(t )为负数．(2)f ′(3)＝－4表明在3min 附近时，温度约以4℃/min 的速度下降，如图所示． 10．当销售量为x ，总利润为L ＝L (x )时，称L ′(x )为销售量为x 时的边际利润，它近似等于销售量为x 时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2.求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg 和300 kg 时的边际利润． [解析] (1)总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2，边际利润函数为L′(x)＝5－0.02 x.(2)当日产量分别是200 kg、250 kg和300 kg时的边际利润分别是L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．。

【成才之路】高中数学 1.3 反证法基础巩固北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3 反证法基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( ) A ．无解 B ．两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解[答案] D2．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.3．若x ，y >0且x ＋y >2，则x 1＋y 或y1＋x的值满足( )A.x1＋y 和y 1＋x 中至少有一个大于12 B.x1＋y 和y 1＋x 都小于12 C.x 1＋y 和y 1＋x 都大于12 D ．不确定 [答案] A[解析] 利用反证法解决．假设x 1＋y ≤12，y 1＋x ≤12，x >0，y >0，则1＋y ≥2x,1＋x ≥2y⇒2＋x ＋y ≥2x ＋2y ⇒x ＋y ≤2，这与x ＋y >2矛盾．二、填空题4．用反证法证明命题“若p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，则关于x 的方程x 2＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x＋q 2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为________．[答案] 两个方程都没有实数根5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个不小于________． [答案] 13[解析] 假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知条件矛盾．a 、b 、c 中至少有一个不小于13.三、解答题6．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°. [解析] 已知∠A 、∠B 、∠C 为△ABC 的三个内角．求证：∠A 、∠B 、∠C 中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 都小于60°，即∠A <60°，∠B <60°，∠C <60°，三式相加得∠A ＋∠B ＋∠C <180°. 这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A 、∠B 、∠C 都小于60°的假设不能成立． ∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.一、选择题1．“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”的否定为( ) A ．自然数a 、b 、c 都是奇数 B ．自然数a 、b 、c 都是偶数 C ．自然数a 、b 、c 中至少有两个偶数 D ．自然数a 、b 、c 都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数． 2．若a 、b 、c 不全为零，必须且只需( ) A ．abc ≠0B ．a 、b 、c 中至少有一个为0C ．a 、b 、c 中只有一个是0D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0[解析] a 、b 、c 不全为零，即a 、b 、c 中至少有一个不为0.3．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定．4．设a 、b 、c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，若S 2＝2ab ，试证S <2a .用反证法证明该题时的假设为( )A ．S 2≠2ab B ．S >2a C ．S ≥2a D ．S ≤2a[答案] C[解析] 对“<”的否定应为“≥”，故选C.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 [答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________________________．[答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．7．某同学准备用反证法证明如下问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么其反设应该是__________________．[答案] 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12[解析] 根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)剥离出来作为已知条件．三、解答题8．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a 、1b 、1c不能构成等差数列．[解释] 假设1a 、1b 、1c 能构成等差数列，则由2b ＝1a ＋1c，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a 、b 、c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝c ，这与a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a 、1b 、1c不能构成等差数列．9．已知a 、b 是正有理数，a 、b 是无理数，证明：a ＋b 必为无理数． [解析] 假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a 、b 是正有理数，所以p >0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a 、b 、p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．[点评] 数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论．10．已知x 、y 、z ∈R ，x ＋y ＋z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝12，求证：x 、y 、z ∈[0，23]．[分析] 本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．[解析] 假设x 、y 、z 中有负数，不妨设x <0，则x 2>0，则y ＋z ＝1－x ，y 2＋z 2≥y ＋z22，∴12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋y ＋z 22＝x 2＋－x22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x <0，∴x －23<0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有负数．假设x ，y ，z 中有一个大于23，不妨设x >23.则12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋y ＋z22＝x 2＋－x 22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x >23，∴x >0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有大于23的．综上，x ，y ，z ∈[0，23]．[点评] 像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明的题目，应考虑用反证法证明．。

【成才之路】高中数学 2.3 计算导数基础巩固北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3 计算导数基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝lg x 在x ＝1处的瞬时变化率为( ) A ．0 B ．1 C ．ln10 D.1ln10[答案] D [解析] y ′＝1x ln10，∴函数在x ＝1处的瞬时变化率为11×ln10＝1ln10. 2．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.3．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2x[答案] B[解析] y ′＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 二、填空题4．过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为____________．[答案] (1，e ) e[解析] ∵(e x)′＝e x，设切点坐标为(x 0，ex 0)，则过该切点的直线的斜率为ex 0， ∴直线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)． ∴y －ex 0＝ex 0·x －x 0·ex 0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程． ∴x 0·ex 0＝ex 0.∴x 0＝1.∴切点为(1，e )，斜率为e .5．下列命题中，正确命题的个数为____________． ①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0； ②(log a x )′＝x ln a (a ＞0，a ≠1)； ③加速度是动点位移s (t )对时间t 的导数； ④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线． [答案] 0[解析] ①因为f (x )＝x ，当x 趋于0时不存在极限，所以x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，(a ＞0，a ≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s (t )对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在(0,0)处的切线为直线y ＝0，故错误．三、解答题6．求下列函数的导数 (1)y ＝1x2；(2)y ＝3x ； (3)y ＝log 2x .[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3(2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln2一、选择题1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－15x －6[答案] C[解析] 由导数的运算法则易得，注意A 选项中的a 为常数，所以(sin a )′＝0.故选C.2．(2013·无锡模拟)曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋a ， ∴3x 20＋a ＝2①又∵切点既在曲线上，又在切线上， ∴x 30＋ax 0＋1＝2x 0＋1②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2.3．函数y ＝x 在x ＝1处的导数是( ) A ．－12B.12 C ．1 D ．－1[答案] B[解析] 首先，对x ＝1给定自变量x 的一个改变量Δx ，得到相应函数值的改变量Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，再计算相应的平均变化率Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1当Δx 趋于0时，可以得出导数y ′＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 [答案] B[解析] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2，解得－1x 2＝－4，解得x ＝±12，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选B. 5．(2013·嘉兴高二检测)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( )A.23 B ．－23C ．13D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.二、填空题6．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] 函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)，令y ＝0得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.7．直线y ＝12x ＋b (b 是常数)是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.[答案] ln2－1[解析] 对曲线对应的函数求导得y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点坐标是(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1.三、解答题8．试比较曲线y ＝x 2与y ＝1x在它们交点处的切线的倾斜角的大小．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝1x ，y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1.由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．9．在曲线y ＝f (x )＝1x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.[分析] 根据导数的几何意义先求出切点的横坐标，再代入方程求出纵坐标． [解析] 设切点坐标为P (x 0，y 0)，f ′(x 0)＝－2x －30＝tan135°＝－1，即－2x －30＝－1，∴x 0＝213.代入曲线方程得y 0＝2－23，∴点P 的坐标为(213，2－23)．10．试求过点A (3,5)且与曲线y ＝f (x )＝x 2相切的直线方程．[分析] 本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A 是否在曲线上，若A 在曲线上，则A 可能为切点，否则A 不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析] 点A 不在曲线y ＝x 2上，应先求切点．设所求切线的切点为P (x 0，y 0)，因为P 是曲线y ＝x 2上一点，所以y 0＝x 20.又过点P (x 0，y 0)的切线斜率为f ′(x 0)＝2x 0，而所求切线过点A (3,5)和P (x 0，y 0)两点，所以其斜率又应为y 0－5x 0－3.所以2x 0＝y 0－5x 0－3，将它与y 0＝x 20联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20，2x 0＝y 0－5x 0－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝25，即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线斜率k 1＝2，相应切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1；当切点为(5,25)时，切线斜率k 2＝10，相应切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.。

【成才之路】高中数学第一章推理与证明单元综合测试北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学第一章推理与证明单元综合测试北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 [答案] C[解析] 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C.2．已知f (x )＝ax＋－22x＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±1[答案] A[解析] 方法一：函数的定义域为R ，函数为奇函数，则x ＝0时f (0)＝0，即2a －22＝0，∴a ＝1.方法二：根据奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )恒成立，即a －x＋－22－x＋1＝－ax＋－22x＋1恒成立，即a＋2x－21＋x2x＋1＝－ax＋－22x＋1恒成立，即2a ＋a ·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1.3．不等式a ＞b 与1a ＞1b同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞b C.1b ＜1a ＜0D.1a ＞1b＞0[答案] B[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b 1a ＞1b⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b a －bab＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞bab ＜0⇔a ＞0＞b ，故选B.4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解[答案] C[解析] 至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况． 5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D [解析] ∵f (n )＝1n ＋0＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n 2－n∴f (n )中共有n 2－n ＋1项．f (2)＝12＋0＋12＋1＋12＋2＝12＋13＋146．数列{a n }中前四项分别为2，27，213，219，则a n 与a n ＋1之间的关系为( )A ．a n ＋1＝a n ＋6 B.1a n ＋1＝1a n＋3C ．a n ＋1＝a n1＋3a nD ．a n ＋1＝1a n[答案] B[解析] 观察前四项知它们分子相同，分母相差6， ∴{1a n}为等差数列．7．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 8．已知a 、b 、c 、d 为正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b，则( )A ．0＜S ＜1B ．1＜S ＜2C ．2＜S ＜3D ．3＜S ＜4[答案] B [解析] S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ＜a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋dc ＋d＝2，又S ＞a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋c ＋d ＋c a ＋b ＋c ＋d ＋da ＋b ＋c ＋d＝1，所以1＜S ＜2，故选B. 9．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋) [答案] B[解析] ∵n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，即假设n ＝2k －1时正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1时正确．10．(2014·北京理，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人[答案] B[解析] 用A ，B ，C 分别表示优秀，及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 的也最多只有1个，得C 的也最多只有1个，因此学生最多只有3个，显然，(AC )(BB )(CA )满足条件，故学生最多3个．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23 [解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S△MNL，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________．[答案] f (2n)＞n ＋22[解析] 由前几项的规律可得答案．13．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．[答案] 8[解析] y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A (－2，－1)．又∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴2m ＋n ＝1.又∵mn >0，∴m >0，n >0.∴2m ＋n ＝1≥22mn ，当且仅当2m ＝n ＝12，即m ＝14，n ＝12时取等号，∴mn ≤18.∴1m ＋2n ＝2m ＋n mn ＝1mn≥8.14．(2014·济南3月模拟，13)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)时，第一步要证的不等式是________．[答案] 1＋12＋13<2[解析] 当n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2，故填1＋12＋13<2.15．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析] f 1(x )＝f (x )＝x1＋x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1＋x1＋x 1＋x＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋21＋x1＋2x＝x 1＋3x ，…，f 2014(x )＝x1＋2014x.应寻求规律，找出解析式．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [解析] 证法一：(综合法) ∵a >0，b >0， ∴a b ＋b ≥2a ，当且仅当a ＝b 时取等号，同理：ba＋a ≥2b ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ，即a b ＋ba≥a ＋b . 证法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证：a a ＋b b ≥a b ＋b a ，只需证：a a ＋b b －a b －b a ≥0，而a (a －b )－b (a －b )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a b ＋ba≥a ＋b . 证法三：(反证法) 假设当a >0，b >0时，a b ＋ba<a ＋b . 由a b ＋ba <a ＋b ，得a b ＋ba －a －b <0，即a a ＋b b －a b －b aa b＝aa －b －ba －ba b＝a ＋ba －b2a b<0，当a >0，b >0时，显然不成立，∴假设不成立．故a b ＋ba≥a ＋b . [点评] 一题多解能训练我们灵活处理问题的能力，当然用多种方法去解同一道题，我们要认真研究每种方法的闪光点，同时把“最好”的方法整理下来，你将受益匪浅．17.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，算出“黄金双曲线”的离心率．[解析] 由图对直角△ABF 应用射影定理，得b 2＝ac ，又∵b 2＝c 2－a 2，e ＝c a，变形得e 2－e －1＝0，且e >1， ∴e ＝5＋12. 18．(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A ，B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A ，B ，P 三点在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a2. 故在椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A ，B ，P 为异于A ，B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.19．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[解析]如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD ＝AB 2＋AC 2AB ·AC ＝1AB ＋1AC . ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图(2)，连结BE 交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF 面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2 ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．20．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1和S k 与S k ＋1之间的关系．[解析] (1)由已知，得a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5×2n －2n.(2)①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，表达式成立．当n ＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n ≥2时结硫化亦成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时表达式成立，即a k ＝5×2k －2，则当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故当n ＝k ＋1时，表达式也成立．由①②可知，对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都有a n ＝5×2n －2.[点评] 本题先用不完全归纳法猜想出通项，然后用数学归纳法证明，考查了由特殊到一般的数学思想，也考查了数列知识，在高考中这类题往往是压轴题．解决方法是观察与分析法，也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成数列的规律，同时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律．21．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n＋r －(bn －1＋r )＝b n －bn －1＝(b －1)bn －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)bn －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋2＋k ＋＋1k ＋＝k ＋＋1＋1k ＋>k ＋＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n∈N＋都成立，即b1＋1b1·b2＋1b2·…·b n＋1b n>n＋1恒成立．。

【成才之路】高中数学第1章常用逻辑用语检测题b 北师大版选修2-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章常用逻辑用语检测题B 北师大版选修2-1时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：函数f (x )＝log a (3－x )的定义域为(－∞，3)，命题q ：如果k <0，则函数h (x )＝kx在区间(0，＋∞)上是减函数，对以上两个命题，下列结论正确的是( )A ．命题p 且q 为真B ．命题p 或(非q )为假C ．命题p 或q 为假D ．命题(非p )且(非q )为假[答案] D[解析] 由3－x >0⇒x <3，所以命题p 是真命题，则非p 是假命题；又由k <0，易知函数h (x )＝k x在区间(0，＋∞)上是增函数，则命题q 为假，则非q 为真，因此p 且q 为假，p 或(非q )为真，p 或q 为真，(非p )且(非q )为假，故选D.[点评] 解答本题的关键是根据题设条件判断命题p 与命题q 的真假，由此判断出各种复合命题的真假．2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝2时，直线2x ＋2y ＝0，显然平行于x ＋y ＝1，若直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，则须满足a －2＝0，得a ＝2.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱[答案] C[解析] 根据正四棱柱的结构特征加以判断．5．对于函数①f(x)＝|x＋2|，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x－2)，判断如下两个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( )A．①②B．①③C．②D．③[答案] C[解析] 对①，f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，∴命题甲为假，故排除选项A、B.对③，f(x)＝cos(x－2)显然不是区间(2，＋∞)上的增函数，命题乙为假，排除D.故选C.命题思路：考查函数性质及分析问题、解决问题的能力．6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件[答案] D[解析] 由已知f(x)在[－1,0]上为减函数，∴当3≤x≤4时，－1≤x－4≤0，∴当x∈[3,4]上是减函数，反之也成立，故选D.本题运用数形结合的方法更容易求解．7．已知命题p：任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则非p是( )A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0[答案] C[解析] 本题考查全称命题的否定．根据全称命题的否定为存在性命题，即若p为：“任意x∈M，g(x)”非p为：“存在x∈M，非g(x)”，故C正确．要正确区别命题的否定与否命题，这是两个完全不同的概念，不可混淆．8．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件； ④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角， ∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0. ∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．9．如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行．其中真命题是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③[答案] C[解析] 由于两相交直线可确定一个平面，设l 过M 点，与AB 、B 1C 1均相交，则l 与AB 可确定平面α，l 与B 1C 1可确定平面β，又AB 与B 1C 1为异面直线，∴l 为面α与面β的交线，如图所示．GE 即为l ，故①正确．由于DD 1过点M ，DD 1⊥AB ，DD 1⊥B 1C 1，BB 1为AB ，B 1C 1的公垂线，DD 1∥BB 1，故②正确．显然④正确．过M 点有无数个平面与AB ，B 1C 1都相交，故③错误．10．已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m >2D ．－2<m <2[答案] C[解析] A ＝{x ∈R|12<2x<8}＝{x |－1<x <3}．∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1>3，即m >2.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．p ：ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ；q ：(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x 0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a 是假命题；q ：(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }也是假命题．12．已知a ，b 为两个非零向量，有以下命题：①a 2＝b 2；②a ·b ＝b 2；③|a |＝|b |且a ∥b .其中可以作为a ＝b 的必要不充分条件的命题是________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)[答案] ①②③[解析] 显然a ＝b 时①②③成立，即必要性成立．当a 2＝b 2时，(a ＋b )·(a －b )＝0，不一定有a ＝b ；当a ·b ＝b 2时，b ·(a －b )＝0，不一定有a ＝b ；|a |＝|b |且a ∥b 时，a ＝b 或a ＝－b ，即①②③都不能推出a ＝b . 13．有下列命题：①非零向量a 与b .若a ·b ＝0，则a ⊥b ；若②|a |＝|b |，则a ＝b ；③若ac 2>bc 2，则a >b ；④x 2＋1>0(x ∈R)；⑤22340能被3或5整除；⑥不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0.其中假命题的序号为________． [答案] ②[解析] ②取a ＝－b ，满足|a |＝|b |，但a ＝b 不成立，其余均为真命题． 14．若关于x 的不等式(a －1)x 2＋2x －3>0有解，则实数a 的取值范围是________． [答案] (23，＋∞)[分析] 由“有解”知，这是一个特称命题，只要存在x ∈R 使不等式成立即可． [解析] 当a －1＝0时，不等式化为2x －3>0显然有解；当a －1>0时，二次函数f (x )＝(a －1)x 2＋2x －3开口向上，显然f (x )>0有解；当a －1<0时，要使不等式有解，应有Δ＝4＋12(a －1)>0，∴a >23，∴23<a <1.综上a 的取值范围是a >23.15．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝{x |x －1x<0}，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}；然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“( )”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数，乙：A 是B 成立的充分不必要条件，丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“( )”中的数应为________． [答案] 1[解析] 集合B ＝{x |－1≤x ≤4}，集合C ＝{x |0<x <12}．由甲的描述可设括号内的数为a (a >0)，故集合A ＝{x |0<x <1a}．根据乙、丙的描述可得集合A 、B 、C 的关系是：C A B ，故1a ∈(12，4]，所以a ∈[14，2)．又a 为正整数，所以a ＝1. 三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：任意m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解析] (1)非p ：存在m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则 Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴当m ＝－1时，非p 为真．(2)非q ：任意x ∈R ，使得x 2＋x ＋1>0. ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0∴非q 为真．17．命题：“若m ≤0，或n ≤0，则m ＋n ≤0”．(1)写出上面命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假； (2)给出原命题中的前提与结论的充要关系．[分析] 根据四种命题之间的关系，写逆命题、否命题、逆否命题，关键是弄清楚原命题中的条件与结论．[解析] (1)原命题：若m ≤0，或n ≤0，则m ＋n ≤0，这是假命题．逆命题：若m ＋n ≤0，则m ≤0，或n ≤0，这是真命题．否命题：若m >0，且n >0，则m ＋n >0，这是真命题．逆否命题：若m ＋n >0，则m >0，且n >0，这是假命题． (2)前提p ：m ≤0，或n ≤0，结论q ：m ＋n ≤0由(1)知p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．[点评] (1)在判断原命题与逆命题的真假时，要借助：①原命题与其逆否命题真假相同，②逆命题与否命题真假相同．(2)若原命题真，逆命题假，则原命题中前提是结论的充分不必要条件；若原命题假，逆命题真时，则前提是结论的必要不充分条件；若原命题、逆命题都真时，则前提是结论的充要条件；若原命题、逆命题都假时，则前提是结论的既不充分也不必要条件，以上反之也对．18．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝－x ＋2，c ＝x 2－x ＋1.求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.[分析] 在已知中，a ，b ，c 均以函数的形式单独出现，故想直接证明难度较大，所以可以考虑用反证法．[解析] 假设a ，b ，c 均小于1，则a ＋b ＋c <3，①又a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2(x －12)2＋3≥3，②则①和②矛盾．∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个不小于1.[点评] (1)含有“至多”“至少”类型的命题或命题以否定的形式出现，常选用反证法证明．(2)由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．(3)反证法是一种推翻命题结论的所有反面情况，从而树立原命题正确的证明方法．学习反证法，一定要注意结论的反面结论可能不唯一．19．已知函数f (x )＝4sin 2(π4＋x )－23cos2x －1，且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”．(1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若条件q ：“|f (x )－m |<2”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝2[1－cos(π2＋2x )]－23cos2x －1＝2sin2x －23cos2x ＋1＝4sin(2x －π3)＋1，又∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3. ∴3≤4sin(2x －π3)＋1≤5，∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3. (2)∵|f (x )－m |<2， ∴m －2<f (x )<m ＋2. 又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，解得3<m <5.∴实数m 的取值范围为{m |3<m <5}．20．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围； (2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若“p 且q ”为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)非p 是非q 的充分不必要条件，即非p ⇒非q ，且非q 不能推出非p ，设A ＝{x |非p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |非q }＝{x |x ≤2或x >3}，则A B ，结合数轴得0<a ≤2，且3a >3，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.21．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,0)，是否存在常数a ，b ，c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？[解析] 因为f (x )的图像过点(－1,0)，所以a －b ＋c ＝0. 因为x ≤f (x )≤1＋x22对一切x ∈R 均成立．所以当x ＝1时，也成立．即1≤a ＋b ＋c ≤1. 故有a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝12，c ＝12－a ，所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a .故应有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0－2a x 2－x ＋2a ≥0，恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0，1－8a －2a，a >0，1－2a >0所以a ＝14，所以c ＝12－a ＝14.所以存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x22对一切实数x 均成立．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习：1.1第2课时可线性化的回归

2 4 2 2 2第一章 §1第 2 课时一、选择题1. 下列说法错误的是()A. 当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系B. 把非线性回归化线性回归为我们解决问题提供一种方法C ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系D ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决[答案] A[解析] 此题考查解决线性相关问题的基本思路．2. 下表是某厂 1～4 月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份 x 1 2 3 4 用水量 y /百吨4.5432.5y＝－0.7x ＋a ，则 a 等于()A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25[答案] D1＋2＋3＋4 54.5＋4＋3＋2.5 7 7 5 [解析] x ＝ 4 ＝，y ＝＝，a ＝y －bx ＝＋0.7× ＝5.25. 3．由一组数据(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y ) ^ ^ x^ 1 1 2 2 n n 得到的回归直线方程y ＝b ＋a ，则下列说法不正确的是( )A ^ ^ ^．直线y ＝bx ＋a 必过点(x ，y )B ^ ^ ^ ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)(x 2，y 2)……(x n ，y n )中的一个点n^ ^^∑i ＝1x i y i －n C ．直线y ＝bx ＋a 的斜率为 n∑i ＝1x 2i －n x 2D ^ ^ ^．直线y ＝bx ＋a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线x y[答案] B 4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：)1A ．y ＝2x －2B ．y ＝( )x2 1C ．y ＝log 2xD ．y ＝ (x 2－1)2[答案] D[解析] 代入检验，当 x 取相应的值时，所得 y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．5. 下列数据符合的函数模型为()A. y ＝2＋ xB ．y ＝2e x 31C ．y ＝2e x[答案] DD ．y ＝2＋ln x[解析] 分别将 x 的值代入解析式判断知满足 y ＝2＋ln x .6. 设由线性相关的样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )，求得的回归直线^ ^ 21 2方程为y ＝bx ＋a ，定义残差 e i ＝y i －y i ＝y i －bx i－a ，i ＝1,2，…，n ，残差平方和 m ＝e ＋e＋…＋e 2n . 已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D[解析] r 越接近 1，相关性越强，残差平方和 m 越小，相关性越强，故选 D. 二、填空题7. 在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是；相关系数是度量的量．[答案] 从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合两个变量之间线性相关程度8. 若回归直线方程中的回归系数 b ＝0 时，则相关系数 r 的值为()A.1 B ．－1 C ．0 D ．无法确定[答案] Cn[解析] 若 b ＝0，则∑x i y i－n xy 0，∴r ＝0.i ＝19. 若 x 、y 满足之间关系的函数解析式为．2 [答案] y ＝xb 2[解析] 画出散点图，观察图像形如 y ＝x ，通过计算知 b ≈2，∴y ＝x .三、解答题10. 某工厂今年 1～4 月份生产某种产品的数量分别是 1 万件、1.2 万件、1.3 万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量，可用函数 y ＝a e bx 来模拟该产品的月产量y (万件)与月份 x 的关系，求模拟函数．[答案] y ＝e －0.066 1＋0.010 24x[解析] 设 μ＝ln y ，c ＝ln a ，则 μ＝c ＋bx .44∑x i＝10，∑μi＝0.759 5，∑x 2i＝30，∑μ2i≈0.201 2，i ＝1i ＝1i ＝1i ＝14∑x i μi＝2.411，x ＝2.5，μ≈0.189 9，相关系数 r ＝i ＝14∑x i μi－4x i ＝14 4∑x 2i －4(x )2∑μ2i －4(μ)2i ＝1i ＝1μμ2.411－4 × 2.5 × 0.189 9≈≈0.959 7，相关程度较强．4∑x iμi－4xi＝12.411－4 × 2.5 × 0.189 9b＝4≈∑x2i－4(x)2i＝1 30－4 × 2.52＝0.102 4，c＝μ－bx≈0.189 9－0.1024×2.5＝－0.066 1，所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x，y＝e－0.066 1＋0.010 24x.一、选择题11.我国1990～2000 年的国内生产总值如下表所示：年份1990 1991 1992 1993 1994 1995 产值/亿元18 598.4 21 662.5 26 651.9 34 560.5 46 670.0 57 494.9 年份1996 1997 1998 1999 2000 产值/亿元66 850.5 73 142.7 76 967.1 80 422.8 89 404.0A．y＝a e kx B．y＝a＋bxbC．y＝ax b D．y＝a ex[答案] B[解析] 画出散点图，观察可用y＝a＋bx 刻画国内生产总值发展变化的趋势．二、填空题12.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则作变换t＝才能转为y 是t 的线性回归方程．b[答案] (x＋)22ab 4ac－b2[解析] ∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，2a 4ab 4ac－b2∴令t＝(x＋)2，则y＝at＋，此时y 为t 的线性回归方程．2a 4a13.若x，y 满足x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1y 0.27 0.45 0.73 1.21 1.99 3.30 5.44之间关系的函数解析式为．30－4 ×2.52×0.201 2－4 ×0.189 92[答案] y ＝2e x[解析] 画出散点图，形如 y ＝a ·e bx ，其中 a ≈2，b ≈1. ∴y ＝2e x . 三、解答题14. 下表所示是一组试验数据：x0.5 0.25 160.125 0.1 y64138205285360(1) (2) 利用所得的函数模型，预测 x ＝10 时 y 的值．[答案] (1)散点图略 y 与 x 不具线性可能成反比例型函数关系 (2)－7.605 [解析] (1)散点图如图所示，从散点图可以看出 y 与 x 不具有线性相关关系．b根据已有知识发现样本点分布在函数 y ＝ x＋a 的图像的周围，其中 a ，b 为待定参1数．令 x ′＝x，y ′＝y ，由已知数据制成下表：序号 i x i ′ y i ′ x ′2i y ′2i x ′i y ′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64 81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑301 052220275 9907 790x ′＝ 6， y ′＝ 210.4，故∑x ′2i－ 5(x ′)2＝ 40， ∑y ′2i－ 5y ′2＝ 54 649.2， r ＝779 0－5 × 6 × 210.4i ＝1i ＝1≈0.999 7，由于 r 非常接近于 1，∴x ′与 y ′具有很强的线性关系，计算知 b ≈36.95，a ＝210.4－36.95×6＝－11.3， ∴y ′＝－11.3＋36.95x ′，36.95∴y 对 x 的回归曲线方程为 y ＝ x－11.3.36.95(2)当 x ＝10 时，y ＝ 10－11.3＝－7.605.40 × 54 649.215.如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震次数为N，试建立N 对x 的回归方程，并表述二者之间的关系.震级 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 地震数28 381 20 380 14 795 10 695 7 641 5 502 3 842 2 698 震级 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6地震数 1 919 1 356 973 746 604 435 274 206 震级 6.2 6.4 6.6 6.8 7地震数148 98 57 41 25[答案]^N＝10－0.741x＋6.704[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出，震级x 与大于或等于该震级的地震次数N 之间呈现出一种非线性的相关性，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长．于是令y＝lg N.得到的数据如下表所示．图 1x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431x 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6y 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314x 6.2 6.4 6.6 6.8 7y 2.170 1.991 1.756 1.613 1.398图 2从散点图(2)中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性，因此由最小二乘法得a ≈6.704， b ≈－0.741，故线性回归方程为 y ＝－0.741x ＋6.704.因此，所求的回归方程为：lg N ＝－0.741x^＋6.704，故N ＝10－0.741x ＋6.704.[点评] 在解回归分析问题时，一般先作出原始数据的散点图．依据散点图中点的分布，选择合适的函数模型进行拟合16.某商店各个时期的商品流通率 y (%)和商品零售额 x(万元)资料如下：散点图显示出 x b 率 y 决定于商品的零售额 x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋x .试根据上表数据，求出 a 与 b 的估计值，并估计商品零售额为 30 万元时的商品流通率．[答案] ^ 56.25 0.1875＋所求流通率约为 16.875% y ＝－ x1[解析] 设 u ＝x，则 y ≈a ＋bu ，得下表数据：10∑u 2i －10u ≈0.004 557 3，i ＝110∑u i y i－10u y≈0.256 35，i＝10.256 35b≈≈56.25，0.004 557 3a＝y－b·u0.187 5，^ 56.25.当x＝30 时，y＝1.687 5，即商品零售额为30 万所求的回归方程为y＝－0.187 5＋x元时，商品流通率为1.687 5%.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

【成才之路】高中数学第2章 §2 2.2抛物线的简单性质同步测试北师大版选修1-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学第2章 §2 2.2抛物线的简单性质同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是( ) A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y[答案] D[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上， ∴9＝4p ，p ＝94，4＝6p ′，p ′＝23.2．(2014·山师大附中高二期中)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点恰好与椭圆x 29＋y 25＝1的一个焦点重合，则p ＝( )A ．1B ．2C ．4 D.8[答案] C[解析] 椭圆中a 2＝9，b 2＝5，∴c 2＝a 2－b 2＝4，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点F (－p 2，0)与F 1重合，∴－p2＝－2，∴p ＝4，故选C.3．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] ∵圆心到直线x ＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)． 4．抛物线y 2＝4x 上点P (a,2)到焦点F 的距离为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] B[解析] ∵点P (a,2)在抛物线上， ∴4a ＝4，∴a ＝1，∴点P (1,2)．又抛物线的焦点F 坐标为(1,0)， ∴|PF |＝0＋4＝2.5．P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A 、B 、P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|、|BB 1|、|PP 1|，则有( )A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|BB 1| B ．|PP 1|＝12|AB |C ．|PP 1|>12|AB |D ．|PP 1|<12|AB |[答案] B [解析] 如图，由题意可知|PP 1| ＝|AA 1|＋|BB 1|2，根据抛物线的定义，得 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BC |， ∴|PP 1|＝|AF |＋|BF |2＝12|AB |.6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)．如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠AA 1F ＝∠FA 1A ，∠BFB 1＝∠FB 1B . 又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠AF 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ， ∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.二、填空题7．(2014·长春市调研)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，设|FA |>|FB |，则|FA ||FB |＝________.[答案] 3＋2 2[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，过F 斜率为1的直线方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，求得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，故由抛物线的定义可得|FA ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝3＋2 2.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－2[解析] 由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2.9．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.[答案] ±2 3[解析] 设正三角形边长为x .由题意得，363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax ，得a ＝2 3.当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax ，得a ＝－23，故a ＝±2 3. 三、解答题10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． [答案] (1)略 (2)±16[解析] (1)如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k x ＋，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k.∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上， ∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12－1k2＋4.∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.一、选择题11．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D.－8[答案] B[解析] y ＝ax 2⇒x 2＝1ay ，由题意得14a ＝－2，a ＝－18，故选B. 12．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴相交于点Q ，若过点Q 的直线与抛物线有公共点，则此直线的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4][答案] C[解析] 准线x ＝－2，Q (－2,0)，设y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋y 2＝8x，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，由Δ≥0得，－1≤k <0或0<k ≤1，综上，k 的取值范围是[－1,1]，故选C.13．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ， ∴OF 垂直平分AB .∴AB 为垂直于x 轴的直线，设A (2pt 2,2pt )(t >0)，B (2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ， ∴k OB ·k AF ＝－1.即－pt 2pt 2－p2pt2＝－1，整理，解得t 2＝54.∴直线AB 的方程为x ＝2pt 2，即x ＝52p ，∴选C.14．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的标准方程，抛物线定义的应用等知识．由于抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点且经过点M (2，y 0)，可设方程为y 2＝2px ，由点M 到抛物线焦点的距为3，则由抛物线定义得2＋p2＝3，解得p ＝2，则y 2＝4x ，又M (2，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，则y 20＝8，|OM |＝22＋y 20＝12＝2 3. 二、填空题15．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x 2＋ky 2＝3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．[答案]32[解析] 抛物线的焦点为F (3,0)，椭圆的方程为：x 23k ＋y 23＝1，∴3k －3＝9，∴k ＝4，∴a ＝23，c ＝3，离心率e ＝c a ＝32. 16．过点P (2,2)作抛物线y 2＝3x 的弦AB ，恰被P 所平分，则AB 所在的直线方程为______________．[答案] 3x －4y ＋2＝0[解析] 解法一：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝3x 1，① y 22＝3x 2，② x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4.③ ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝3(x 1－x 2)．④将③代入④得y 1－y 2＝34(x 1－x 2)，即34＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为y －2＝34(x －2)，即3x －4y ＋2＝0.解法二：设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －2)＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝k x －＋2.消去x ，得ky 2－3y －6k ＋6＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由韦达定理和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝3k ，又y 1＋y 2＝4，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为3x －4y ＋2＝0. 三、解答题17．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．[答案] y 2＝4x[解析] 依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0x 20＋y 20－9x 0＝0，∴x 20＋(2p －9)x 0＝0.①∵OA ⊥BF ，∴k OA ·k BF ＝－1. ∴y 0x 0·y 0p2－x 0＝－1，即2px 0x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫p2－x 0＝－1.∴x 0＝52p .②把②代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x .18．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[答案] y 2＝－4x[解析] 如图所示，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12py 2＝2px，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . 当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .。

【成才之路】2014-2015高中数学北师大版选修2-2：1章综合测试[来源：学优高考网196608]

第一章综合测试一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点2．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1 3．不等式a ＞b 与1a ＞1b同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞b C.1b ＜1a ＜0 D.1a ＞1b ＞04．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋146．数列{a n }中前四项分别为2，27，213，219，则a n 与a n ＋1之间的关系为( )A ．a n ＋1＝a n ＋6 B.1a n ＋1＝1a n ＋3 C ．a n ＋1＝a n 1＋3a nD ．a n ＋1＝1a n7．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 48．已知a 、b 、c 、d 为正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b ，则( )A ．0＜S ＜1B ．1＜S ＜2C ．2＜S ＜3D ．3＜S ＜49．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)10．(2014·北京理，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________． 13．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．14．(2014·济南3月模拟，13)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)时，第一步要证的不等式是________．15．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba ≥a ＋b .17.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，算出“黄金双曲线”的离心率．18．(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．19．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．20．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．21．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。

【成才之路】高中数学 1.1 归纳与类比基础巩固北师大版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.1 归纳与类比基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．(2014·太原模拟)如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )[答案] A[解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B ．l 22C ．lr2D ．不可类比[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．(2013·华池一中期中)平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( ) A.43a B.63a C.54a D.64a [答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题4．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝＋2＝1 000.5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案]x－x ＋2[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x－x ＋2，f 2(x )＝x 3x ＋4＝x2－x ＋22， f 3(x )＝x 7x ＋8＝x 3－x ＋23， f 4(x )＝x15x ＋16＝14－x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝xn－x ＋2n.三、解答题6．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求点P 1、P 2的坐标； (2)猜想点P n 的坐标公式．[分析] 两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1(a 2，b2)．过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b3)．(2)由(1)可猜想P n (a n ＋1，bn ＋1).一、选择题1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形[答案] C[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．(2014·三峡名校联考)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n －1个式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<n 2n ＋1[答案] C[解析] 观察可得第n －1个式子中不等式的左边为数列{1i2]的前n 项的和，右边为分式2n －1n.4．(2014·临沂模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N ＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011等于( )A ．1 003B ．1 005C ．1 006D ．2 011[答案] B[解析] 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n .又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.5．(2014·湖北理，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，则L＝2πr，由136L2h≈13sh，代入s＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V≈275L2h时，π≈258.本题的关键是理解“若V≈136L2h，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________．[答案] S2△ABC＝S△OBC·S△DBC[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC.7．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：[答案] F＋V－E＝2[解析] 5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2. 三、解答题8．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23； S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34； S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sinα＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．10．已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质：(1)通项a n＝a m＋(n－m)·d；(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N＋，则a m＋a n＝a p＋a q；(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N＋，则a m＋a n＝2a p；(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n}中，写出相类似的性质．[解析] 在等比数列{b n}中，公比为q，前n项和为S n，则可推出：(1)通项b n＝b m·q n－m；(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N＋，则b m·b n＝b p·b q；(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N＋，则b m·b n＝b2p；(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列．。

成才之路北师大数学选修22习题第1章综合测试含解析

第一章综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 [答案] C[解析] 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C ．2．不等式a ＞b 与1a ＞1b 同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞bC ．1b ＜1a ＜0D ．1a ＞1b＞0[答案] B[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b1a ＞1b ⇔⎩⎨⎧a ＞b a －bab ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞bab ＜0⇔a ＞0＞b ，故选B. 3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解[答案] C[解析] 至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况． 4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] ∵f (n )＝1n ＋0＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n 2－n ∴f (n )中共有n 2－n ＋1项． f (2)＝12＋0＋12＋1＋12＋2＝12＋13＋145．数列{a n }中前四项分别为2，27，213，219，则a n 与a n ＋1之间的关系为( )A ．a n ＋1＝a n ＋6B ．1a n ＋1＝1a n ＋3C ．a n ＋1＝a n1＋3a nD ．a n ＋1＝1a n[答案] B[解析] 观察前四项知它们分子相同，分母相差6， ∴{1a n}为等差数列． 6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) [答案] B[解析] 依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10×(10＋1)2<60<11×(11＋1)2.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，为(5,7)．故选B. 7．设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 [答案] D[解析] a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2，当且仅当a ＝1，b ＝1，c ＝1时取等号∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6∴a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2.8．把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10，因此，由归纳推理得第n 个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋n )n 2.由此可以得出第七个三角形数是28.9．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C ．证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 10．(2015·陕西文，10)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q[答案] C[解析] p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )；q ＝f (a ＋b 2)＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln (ab )，因为a ＋b2＞ab ，由f (x )＝ln x 是个递增函数，f (a ＋b2)＞f (ab )，所以q ＞p ＝r ，故答案选C ．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11.(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________． [答案] f (2n )＞n ＋22[解析] 由前几项的规律可得答案．13.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．[答案] 8[解析] y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A (－2，－1)．又∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴2m ＋n ＝1.又∵mn >0，∴m >0，n >0.∴2m ＋n ＝1≥22mn ，当且仅当2m ＝n ＝12，即m ＝14，n ＝12时取等号，∴mn ≤18.∴1m ＋2n ＝2m ＋n mn ＝1mn≥8.14．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10(91＋109)2＝1 000.15．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析] f 1(x )＝f (x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋21＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，…，f 2014(x )＝x1＋2014x.应寻求规律，找出解析式．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 证法一：(综合法) ∵a >0，b >0， ∴a b ＋b ≥2a ，当且仅当a ＝b 时取等号，同理：ba＋a ≥2b ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴a b ＋b ＋ba＋a ≥2a ＋2b ，即a b ＋ba≥a ＋b . 证法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证：a a ＋b b ≥a b ＋b a ，只需证：a a ＋b b －a b －b a ≥0，而a (a －b )－b (a －b )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a b ＋ba≥a ＋b . 证法三：(反证法) 假设当a >0，b >0时，a b ＋ba<a ＋b . 由a b ＋b a <a ＋b ，得a b ＋ba －a －b <0，即a a ＋b b －a b －b aa b＝a (a －b )－b (a －b )a b＝(a ＋b )(a －b )2a b<0，当a >0，b >0时，显然不成立，∴假设不成立．故a b ＋ba≥a ＋b . 17．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[证明] 如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直， AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 如图(2)，连结BE 交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2 ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．18．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1和S k 与S k ＋1之间的关系．[解析] (1)由已知，得a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(n ＝1)5×2n －2(n ≥2).(2)①证明当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，表达式成立．当n ＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n ≥2时结论亦成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时表达式成立，即a k ＝5×2k －2，则当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2 ＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故当n ＝k ＋1时，表达式也成立．由①②可知，对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都有a n ＝5×2n －2.19.在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A ，B 分别是椭圆长轴的左右端点，点P (x ，y )是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则k AP ·k BP ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A ，B ，P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A ，B ，P 为异于A ，B 的椭圆上的任意一点，则有k AP ·k BP ＝－b 2a2.20.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－20，当0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac . 又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a .又a >0，∴b >－2， ∴－20且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． [解析] (1)因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上，所以S n ＝b n ＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n >n ＋1. ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1恒成立．。

成才之路高二北师大数学选修23习题：第1章计数原理 §2 含答案

第一章§2一、选择题1．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种[答案] C[解析]本题考查了排列问题的应用．由题意，甲可从4个位置选择一个，其余元素不限制，所以所有不同次序共有A14A55＝480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论．2．由1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A．1543 B．2543C．3542 D．4532[答案] C[解析]容易得到千位为1时组成四位数的个数为A34＝24，则千位为2、3、4、5时均有四位数24个，由于24×3＝72，四位数由小到大排列，可知第72个数为千位为3的最大的四位数即3542，故选C.3．(2014·辽宁理，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24[答案] D[解析]采用插空法．任两人隔1椅，共有2A33＝12，有两个隔2椅，共有A22·A33＝12，共有12＋12＝24(种)方法．4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种[答案] B[解析]分两类解决：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24种排法．第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18种排法．所以节目演出顺序的编排方案共有24＋18＝42种．5．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27[答案] A[解析]不相邻问题用插空法，8种学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A29种排法，故选A.二、填空题6．2014年南京青奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)．[答案]96[解析]先安排最后一棒，有A12种方案；再安排第一棒，有A12种方案；最后安排中间四棒，有A44种方案．所以不同的传递方案共有A12·A12·A44＝96种．7．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．[答案]96[解析]5张参观券分为4堆，有2个连号的有4种分法，每一种分法中的不同排列有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96种．8．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答) [答案] 2 400[解析]此为有限制条件的排列应用题．要注意排列顺序．先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20种排法，其余5人再进行排列，有A55＝120种排法，所有共有20×120＝2 400种安排方法．三、解答题9．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生按下述要求入座，有多少种坐法？(1)师生相间；(2)3个学生要相邻坐在一起．[解析](1)设6个座位编号为1,2,3,4,5,6，若教师坐在1,3,5位置，学生坐在2,4,6位置，坐法有A33A33种；若教师坐在2,4,6位置，学生坐在1,3,5位置，坐法有A33A33种．因此符合条件的坐法为2A33A33＝72种．(2)先排教师，有A33种排法；将3个学生看作一个整体，插入3个教师形成的4个“空”中，有A14种排法，而3个学生有A33种排法，因此符合条件的坐法有A33A14A33＝144种．10．书架上某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书原有顺序，问有多少种不同插法？[解析]解法一：9本书按一定顺序排在一层，考虑到其中原来的6本书保持原有顺序，原来的每一种排法都重复了A66次．所以有A99÷A66＝504(种)．解法二：把书架上的这一层欲排的9本书看作9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入．则A39＝504(种)．解法三将新买来的3本书逐一插进去．空档中选1个，有7种选法，第2本书可从现在的7本书的8个空档中选1个，有8种选法，最后1本可从现在的8本书9个空档中选1个有9种选法；3本书都插进去，这件事才算做完，根据乘法原理，共有7×8×9＝504(种)不同的插入方法.一、选择题1．(2014·郑州网校期中联考)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析]先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案，A14·A35＝240种．2．在由数字1、2、3、4、5组成的没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有()A．56个B．57个C．58个D．60个[答案] C[解析]首位为3时，有A44＝24；首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5，千位4或5时，A12A33＝12；首位为4时，千位为1或2，则A12A33＝12，千位为3，则有A12A22＋1＝5，∴共有24＋5＋12＋12＋5＝58.3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种[答案] A[解析]本题考查了分步计数原理的应用．利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12种．故选A.解题的关键是正确地利用分步计数原理合理地分步计算．4．(2014·四川理，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种[答案] B[解析]分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有C14A44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有216种．解决排列问题，当有限制条件的问题要注意分类讨论，做到不重、不漏．二、填空题5．(2014·辽宁省协作联校三模)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．[答案]36种[解析]∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A44＝48种，其中甲乙相邻，且甲丁相邻的只能是甲乙丁看作一个整体，甲中间，有A22A33＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．6．(1)若A2n＝7A2n－4，则n＝________；(2)若A5n＋A4nA3n＝4，则n＝________.[答案](1)7(2)5[解析](1)将A2n＝7A2n－4按排列数公式展开得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)(n≥6，n为正整数)，解得n＝7.(2)将A5n＋A4nA3n＝4改写为阶乘形式为n！(n－5)！＋n！(n－4)！n！(n－3)！＝(n－3)！(n－5)！＋(n－3)！(n－4)！＝(n－3)(n－4)＋(n－3)＝4(n≥5，n为正整数)，解得n＝5.三、解答题7．从7名运动员中选出4人参加4×100米接力，求满足下述条件的安排方法的种数：(1)甲、乙二人都不跑中间两棒；(2)甲、乙二人不都跑中间两棒．[解析](1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒有A25种方法，再从所有余下5人中安排首、末棒有A25种方法，故符合要求的共有A25·A25＝400(种)方法．(2)从7人中选4人安排到各接力区有A47种方法，去掉甲、乙两人都跑中间两棒的种数为A25·A22.即得甲、乙二人不都跑中间两棒的有A47－A25·A22＝800(种)方法．[反思总结]本题主要考查了体育中4×100米接力的要求和排列知识，考查了应用数学知识的能力，解决此类问题的关键在于从题目情景中提炼出“序”的实质．8.由0、1、2、3、4、5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不等于5的倍数的数有多少个？[解析]解法一：因为0和5不能排在首位或个位，先将它们排在中间4个位置上有A24种排法，再排其他4个数有A44种排法，由分步乘法计数原理，共有A24·A44＝12×24＝288个符合要求的六位数．解法二：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1、2、3、4中任选2个排在首位和个位，有A24种排法，再排中间4位数有A44种排法，由分步乘法计数原理，共有A24·A44＝12×24＝288个符合要求的六位数．解法三：六个数字的全排列共有A66个，其中有0排在首位或个位上的有2A55个，还有5排在首位或个位上的也有2A55个，它们都不合要求应减去，但这种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A44种，所以有A66－4A55＋2A44＝288个符合要求的六位数．。

成才之路数学北师大选修2-2答案

第一章 §1一、选择题 1．[答案] A[解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．[答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题 4．[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10(91＋109)2＝1 000.5． [答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x(2－1)x ＋2，f 2(x )＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 7x ＋8＝x(23－1)x ＋23，f 4(x )＝x 15x ＋16＝1(24－1)x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.三、解答题6．[分析] 两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1(a 2，b2)．过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b3)．(2)由(1)可猜想P n (a n ＋1，bn ＋1).一、选择题 1．[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .2．[答案] C[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．[答案] C[解析] 观察可得第n －1个式子中不等式的左边为数列{1i 2]的前n 项的和，右边为分式2n －1n. 4．[答案] B[解析] 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n . 又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005. 5．[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.本题的关键是理解“若V ≈136L 2h ，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 7．[答案] F ＋V －E ＝2 [解析] 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2. 三、解答题8．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23；S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34；S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．[解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sinα＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2) ＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．10．[解析] 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可推出：(1)通项b n ＝b m ·q n－m；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋，则b m ·b n ＝b p ·b q ；(3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则 b m ·b n ＝b 2p ；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．第一章 §2一、选择题 1．[答案] C[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即“a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 2．[答案] B[解析] f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .3．[答案] A[解析] 由c 0，c <0.由不等式的性质不难选出答案为A. 二、填空题4．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0 5．[答案] ①③④[解析] ①中x ⊥平面z ，平面y ⊥平面z ， ∴x ∥平面y 或x 平面y . ∵x 平面y ，故x ∥y 成立．②中若x ，y ，z 均为平面，则x 可与y 相交，故②不成立．③x ⊥z ，y ⊥z ，x ，y 为不同直线，故x ∥y 成立．④由z ⊥x ，z ⊥y ，z 为直线，x ，y 为不同平面，可得x ∥y ，④成立． ⑤x ，y ，z 均为直线可异面垂直，故⑤不成立．三、解答题6．[分析] 本题中出现的有a －b ，b －c 和a －c ，注意它们之间的关系为a －c ＝(a －b )＋(b －c )从而解答问题．[证明] ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，且a －c ＝(a －b )＋(b －c )． ∴a －c a －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当a －b ＝b －c 时等号成立． ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c成立.一、选择题 1．[答案] C[解析] 对于平面α和共面的直线m ，n ，真命题是“若m α，n ∥α，则m ∥n ”． 2．[答案] C [解析]x 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y3．[答案] D [解析] 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .4．[答案] A [解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 5．[答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数，由a ＋b >0得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0. 二、填空题 6．[答案] －12[解析] 观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)， cos γ＝－(cos α＋cos β)， ∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2 ＝sin 2γ＋cos 2γ＝1，化简并整理得cos(α－β)＝－12.7．[答案]324[解析] a ·1＋b 2＝2a ·12＋b 22≤22(a 2＋12＋b 22)＝324(当且仅当a 2＝12＋b 22且a 2＋b 22＝1即a ＝62，b ＝22时取“＝”) 三、解答题8．[解析] 证法一：(分析法)要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只需证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ，只需证(bc －ad )2≥0. 因为(bc －ad )2≥0显然成立，所以(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2成立．证法二：(综合法)因为b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ，所以a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 9．[证明] 要证1n>n －n －1，即证1>n －n (n －1)，只需证n (n －1)>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10．[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.第一章 §3一、选择题 1．[答案] D 2．[答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.3．[答案] A[解析] 利用反证法解决．假设x 1＋y ≤12，y 1＋x ≤12，x >0，y >0，则1＋y ≥2x,1＋x ≥2y⇒2＋x ＋y ≥2x ＋2y ⇒x ＋y ≤2，这与x ＋y >2矛盾．二、填空题4．[答案] 两个方程都没有实数根 5．[答案] 13[解析] 假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知条件矛盾．a 、b 、c 中至少有一个不小于13.三、解答题6．[解析] 已知∠A 、∠B 、∠C 为△ABC 的三个内角．求证：∠A 、∠B 、∠C 中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 都小于60°，即∠A <60°，∠B <60°，∠C <60°，三式相加得∠A ＋∠B ＋∠C <180°. 这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A 、∠B 、∠C 都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.一、选择题 1．[答案] D[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数． 2．[答案] D[解析] a 、b 、c 不全为零，即a 、b 、c 中至少有一个不为0. 3．[答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定． 4．[答案] C[解析] 对“<”的否定应为“≥”，故选C. 5．[答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)，sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)，sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．二、填空题6．[答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．7．[答案] 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12[解析] 根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)剥离出来作为已知条件．三、解答题8．[解释] 假设1a 、1b 、1c 能构成等差数列，则由2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a 、b 、c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝c ，这与a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a 、1b 、1c不能构成等差数列．9．[解析] 假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a 、b 是正有理数，所以p >0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a 、b 、p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．[点评] 数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论．10．[分析] 本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．[解析] 假设x 、y 、z 中有负数，不妨设x <0，则x 2>0，则y ＋z ＝1－x ，y 2＋z 2≥(y ＋z )22，∴12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋(y ＋z )22＝x 2＋(1－x )22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x <0，∴x －23<0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有负数．假设x ，y ，z 中有一个大于23，不妨设x >23.则12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋(y ＋z )22＝x 2＋(1－x )22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x >23，∴x >0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有大于23的．综上，x ，y ，z ∈[0，23]．[点评] 像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明的题目，应考虑用反证法证明．第一章 §4一、选择题 1．[答案] C[解析] ∵n ＝1时，2n ＋1＝3 ∴f (1)＝1＋12＋13.2．[答案] D[解析] (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n 时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立． 3．[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.二、填空题4．[答案] 1＋2＋3；4k ＋5(或(2k ＋2)＋(2k ＋3))[解析] 因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时2n ＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k →k ＋1需增添的项的是4k ＋5或(2k ＋2)＋(2k ＋3)．5．[答案] 1＋a ＋a 2[解析] 就本题而言，它的左边是按a 的升幂排列的，共有(n ＋2)项，故当n 取第一个值时，共有1＋2＝3项，它们的和应是1＋a ＋a 2.三、解答题6．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N * a n ＝2n －12n －1成立.一、选择题 1．[答案] D[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29. 2．[答案] C[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，可推得若n ＝k ＋1时命题不成立可推得n ＝k (k ∈N *)时命题不成立，所以答案为C.3．[答案] D[解析] 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．4．[答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.5．[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题 6．[答案]12n ＋12n ＋1[解析] ∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.7．[答案] 11[解析] 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12(n ＋1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝f (n )＋(12n ＋1－12n ＋2)＝f (n )＋1(2n ＋1)(2n ＋2)＞f (n )，∴f (n ＋1)＞f (n )＞…＞f (1)＝12＝1224，∴m ＝11.三、解答题8．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋ ⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1 ＝56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都成立．9．[解析] 若存在常数a ，b 使等式成立，将n ＝1，n ＝2代入上式，有 ⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. 即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2.对于n 为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明．证明：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，等式成立．(2)假设当n ＝k 时成立，即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2. 那么，当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N ＋都成立．[点评] 这类问题是由n ＝1，n ＝2两种特殊情况求出a ，b 的值，即由不完全归纳法得出结论．对所有的正整数是否成立，还需要用数学归纳法加以证明．10．[解析] 由f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9得f (1)＝36，f (2)＝3×36，f (3)＝10×36，f (4)＝34×36. 由此猜想m ＝36.下面用数学归纳法证明．方法一：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，f (k )能被36整除，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除；那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝[(2k ＋9)3k ＋1＋9]－[(2k ＋7)3k ＋9]＝3k (6k ＋27－2k －7)＝3k (4k ＋20)＝36×3k －2×(k ＋5)．当k ＝1时，13×(1＋5)＝2为整数，因此36×3k －2×(k ＋5)是36的倍数，从而可知f (k ＋1)能被36整除，这说明当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除，m 的最大值为36.方法二：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，f (k )能被36整除，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除；那么当n ＝k ＋1时，[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除．这就是说，当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除，m 的最大值为36.第二章 §1一、选择题 1．[答案] D[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．[答案] C[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝4Δx ＋2Δx 2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx .3．[答案] A[解析] ∵Δs ＝(3＋Δt )2＋3－32＝6Δt ＋Δt 2 ∴ΔsΔt＝6＋Δt . 二、填空题 4．[答案] 1[解析] 物体的初速度即t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝[－2(0＋Δt )2＋(0＋Δt )]－0Δt＝－2Δ＋1，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于1，即初速度为1.5．[答案] 81[解析] Δc ＝[4(10＋Δq )2＋(10＋Δq )－6]＝(4×102＋10－6)＝4(Δq )2＋81Δq ，∴Δc Δq ＝4(Δq )2＋81Δq Δq＝4Δq ＋81. 当Δq 趋于0时，ΔcΔq 趋于81，即当产量q ＝10时，边际成本为81. 三、解答题 6．[解析]Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时， ΔsΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s.(2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ， ∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评] 本题重点是求质点M 的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度.一、选择题 1．[答案] D[解析] Δs Δt ＝2(1＋Δt )2－2Δt＝4＋2Δt .2．[答案] A[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A. 3．[答案] B[解析] 43π(R ＋ΔR )3－43πR 3＝43π[R 3＋3R 2ΔR ＋3R (ΔR )2＋(ΔR )3－R 3] ≈4πR 2ΔR .故选B. 4．[答案] A[解析] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .∴物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为v 0－gt 0－12g Δt . 5．[答案] C[解析] 在0到t 0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t 0到t 1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．二、填空题 6．[答案] 2[解析] Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴Δs Δt ＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0秒时，Δs Δt趋于2米/秒． 7．[答案] 12[解析] Δs Δt ＝18(t ＋Δt )2－18t 2Δt ＝14t ＋18Δt .当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs 趋于12.三、解答题8．[解析] 自变量x 从1变到3时，函数f (x )的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝32＋3－(12＋1)2＝5，自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝22＋2－(12＋1)1＝4.[点评] 解决函数平均变化率的计算问题，要紧扣定义：函数f (x )当自变量x 从x 1变到x 2时，函数值的平均变化为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.此外，要保证计算过程的准确性．9．[分析] 用函数的平均变化率和瞬时变化率来求．[解析] (1)因为Δs ＝3(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt ＋3Δt 2，所以从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度为v ＝ΔsΔt ＝14＋3Δt .当Δt ＝1时，v ＝17；当Δt ＝0.1时，v ＝14.3；当Δt ＝0.01时，v ＝14.03. (2)当t ＝2时的瞬时速度为v ＝lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 10．[解析] 假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a (Δt )2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a,4a ＝8，解得a ＝2. 所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8m/s.[点评] 对于是否存在的探究性问题，可先假设其存在，然后按瞬时速度的定义求解即可．第二章 §2一、选择题1．[答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a ，∴lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3Δx )2Δx＝12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋32lim Δx →0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx ＝a 2＋3a2＝2a ，故选B. 2．[答案] A[解析] Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－11＋ΔxΔx →0时，ΔyΔx 趋于－1，∴f ′(1)－1，∴所求切线为x ＋y －2＝0.3．[答案] A[解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝6598，故选A.二、填空题 4．[答案] 1[解析] f ′(x 0)＝tan π4＝1.5．[答案] x ＋y ＋1＝0 135° [解析] f ′(－2)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 14[(－2＋Δx )2－(－2)2]Δx＝li m Δx →0(－1＋14Δx )＝－1.则切线方程为x ＋y ＋1＝0，倾斜角为135°. 三、解答题6．[分析] 由题意，要求直线l 的方程，只需求其斜率即可，而直线l 与曲线在x ＝2处的切线平行，只要求出f ′(2)即可．[解析] Δy ＝13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－(13×23－4×2＋4)＝13(Δx )3＋2(Δx )2，Δy Δx ＝13(Δx )2＋2Δx . Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于0，所以f ′(2)＝0.所以直线l 的斜率为0，其方程为y ＝－1.一、选择题 1．[答案] C [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx＝a∴f ′(1)＝a ＝3. 2．[答案] A [解析] Δy ＝x 0＋Δx －x 0 ＝(x 0＋Δx －x 0)(x 0＋Δx ＋x 0)Δx (x 0＋Δx ＋x 0)＝1x 0＋Δx ＋x 0∴12x 0＝3323x 0＝3， ∴x 0＝32，∴x 0＝343．[答案] C [解析] lim x →0f (x ＋1)－f (x )2x ＝12lim x →0 f (x ＋1)－f (1)x＝12f ′(1)＝3，∴f ′(1)＝6.故选C. 4．[答案] B[解析] 由导数的几何意义知，f ′(x A )、f ′(x B )分别为y ＝f (x )的图像在A 、B 两点处的切线的斜率．根据图像，知f ′(x A )<f ′(x B )．5．[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20，3x 20＝3，得x 0＝1或x 0＝－1，所以坐标为P (1,1)或P (－1，－1)．二、填空题6．[答案] －2[解析] 由导数的概念和几何意义知，lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.7．[答案] {a |a ∈R ，且a <13}[解析] 由题意，得f ′(x )＝3x 2－3a ＝－1无解，即3x 2－3a ＋1＝0无解．故Δ<0，解得a <13.三、解答题8．[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →0 2x Δx ＋(Δx )2＋ΔxΔx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. 因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229.得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.9．[解析] 设直线l 和曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－x 20＋1)Δx＝3x 20－2x 0.由题意，知切线斜率k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1.于是切点的坐标为(－13，2327)或(1,1)．当切点为(－13，2327)时，2327＝－13＋a ，于是a ＝3227.当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，于是a ＝0(舍去)．所以a 的值为3227.10．[解析] 烟花在t ＝2s 时的瞬时速度就是h ′(2)．因为Δh Δt ＝h (2＋Δt )－h (2)Δt ＝－4.9－4.9Δt ，所以h ′(2)＝lim Δt →0ΔhΔt ＝lim Δt →0(－4.9－4.9Δt )＝－4.9，即在t ＝2s 时，烟花正以4.9m/s 的速度下降．如图所示，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5s 之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5s 后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．第二章 §3一、选择题 1．[答案] D [解析] y ′＝1x ln10，∴函数在x ＝1处的瞬时变化率为11×ln10＝1ln10. 2．[答案] D[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D. 3．[答案] B[解析] y ′＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 二、填空题4．[答案] (1，e ) e[解析] ∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，ex 0)，则过该切点的直线的斜率为ex 0， ∴直线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)． ∴y －ex 0＝ex 0·x －x 0·ex 0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程． ∴x 0·ex 0＝ex 0.∴x 0＝1. ∴切点为(1，e )，斜率为e . 5．[答案] 0[解析] ①因为f (x )＝x ，当x 趋于0时不存在极限，所以x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，(a ＞0，a ≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s (t )对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在(0,0)处的切线为直线y ＝0，故错误．三、解答题6．[解析] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3 (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln2一、选择题 1．[答案] C[解析] 由导数的运算法则易得，注意A 选项中的a 为常数，所以(sin a )′＝0.故选C. 2．[答案] C[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋a ，∴3x 20＋a ＝2①又∵切点既在曲线上，又在切线上，∴x 30＋ax 0＋1＝2x 0＋1②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2.3．[答案] B[解析] 首先，对x ＝1给定自变量x 的一个改变量Δx ，得到相应函数值的改变量Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，再计算相应的平均变化率Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1当Δx 趋于0时，可以得出导数 y ′＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4．[答案] B[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，解得－1x 2＝－4，解得x ＝±12，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2，故选B. 5．[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.二、填空题 6．[答案] 21[解析] 函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)，令y ＝0得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 7．[答案] ln2－1[解析] 对曲线对应的函数求导得y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点坐标是(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1.三、解答题8．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝1x ，y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1.由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．9．[分析] 根据导数的几何意义先求出切点的横坐标，再代入方程求出纵坐标． [解析] 设切点坐标为P (x 0，y 0)， f ′(x 0)＝－2x －30＝tan135°＝－1，即－2x －30＝－1，∴x 0＝213.代入曲线方程得y 0＝2－23，∴点P 的坐标为(213，2－23)．10．[分析] 本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A 是否在曲线上，若A 在曲线上，则A 可能为切点，否则A 不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析] 点A 不在曲线y ＝x 2上，应先求切点．设所求切线的切点为P (x 0，y 0)，因为P 是曲线y ＝x 2上一点，所以y 0＝x 20.又过点P (x 0，y 0)的切线斜率为f ′(x 0)＝2x 0，而所求切线过点A (3,5)和P (x 0，y 0)两点，所以其斜率又应为y 0－5x 0－3.所以2x 0＝y 0－5x 0－3，将它与y 0＝x 20联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20，2x 0＝y 0－5x 0－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝25，即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线斜率k 1＝2，相应切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1；当切点为(5,25)时，切线斜率k 2＝10，相应切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.第二章 §4一、选择题 1．[答案] D[解析] y ′＝(2x 3－6x )′＝6x 2－6，由y ′＝0，得x ＝1或x ＝－1. 代入y ＝2x 3－6x ，得y ＝－4或y ＝4，即所求点的坐标为(1，－4)或(－1,4)． 2．[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．[答案] A[解析] y ′＝12x －3x ＝12，∴x 2－x －6＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2. 又∵x ＞0，∴x ＝3. 二、填空题4．[答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．5．[答案] y ＝9x ＋16或y ＝－2[解析] ①当P (－2，－2)为切点时，切线方程为y ＝9x ＋16；②当P (－2，－2)不是切点时，设切点为(a ，b )，则b ＝a 3－3a ，由于y ′＝3x 2－3，所以切线的斜率k ＝3a 2－3，故切线方程为y －b ＝(3a 2－3)(x －a )，又切线过点(－2，－2)，所以－2－b ＝(3a 2－3)·(－2－a )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2，(舍去)，所以切线方程为y ＝－2.综上，所求的切线方程为y ＝9x ＋16或y ＝－2. 三、解答题6．[分析] 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形．[解析] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋6′ ＝4x 3－6x －5；(2)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x ·sin x ＋x 2·cos x ；(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.一、选择题 1．[答案] C[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，于是f ′(1)＝2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝－2，故得f ′(x )＝2x －4，因此f ′(0)＝－4.故选C. 2．[答案] D[解析] f ′(x )＝(sin xx )′＝x cos x －sin x x 2，故选D.3．[答案] C[解析] 依题意得y ′＝cos x ＋e x ，又曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线的斜率为cos0＋e 0＝2，因此该切线方程是y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.选C.4．[答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.5．[答案] D[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式解析：y ′＝－4e x(e x ＋1)2∴tan α＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x (e x )2＋2e x＋1＝－4e x＋1e x ＋2∵e x ＞0∴e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)∴e x ＋1e x ＋2≥4，∴0＜4e x＋1e x ＋2≤1∴－1≤tan α＜0∵α∈[0，π)，∴α∈[34π，π)，故选D二、填空题 6．[答案] －4[解析] 本题考查导数的几何意义．由题意知：P (4,8)，Q (－2,2)，y ′＝x ， ∴切线斜率k ＝4或k ＝－2.L AP ：y －8＝4(x －4)，L AQ ：y －2＝－2(x ＋2)联立消去x ，得y ＝－4.注意在切线问题中常常用导数的几何意义． 7．[答案] y ＝－5x ＋3 [解析] ∵y ＝e－5x＋2，∴y ′＝－5e－5x|x ＝0＝－5.∴k ＝－5，又过点(0.3)， ∴切线方程y －3＝kx ＝－5x ， ∴y ＝－5x ＋3，注意导数的几何意义．三、解答题8．[分析] 因为C 不过原点，所以切点不为原点，应另设切点，再用导数几何意义求切线方程．[解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴切线斜率为3x 20－6x 0＋2，∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)∵切点在曲线C ，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0－1，①又切线过原点，∴－y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(－x 0)，②由①②得0＝－2x 30＋3x 20－1， ∴2x 30－3x 20＋1＝0，因式分解得：(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0 ∴x 0＝1或x 0＝－12，∴两个切点为(1，－1)，(－12，－238)∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋12)即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0.[点评] 过曲线外一点作切线，应是设切点坐标，利用导数求切线方程，再列关于切点横坐标的方程，求解．9．[解析] (1)把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4， ∴ 切点为(1，－4)，y ′＝12x 3－6x 2－18x ， ∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12.∴切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0， ∴(x －1)2(x ＋2)(3x －2)＝0， ∴x ＝1，－2，23.代入y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，求得y ＝－4,32,0，即公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，(23，0).∴除切点外，还有两个交点(－2,32)、(23，0).10．[解析] (1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y ′＝2x ＋2，曲线C 1在点P (x 1，x 21＋2x 1)的切线方程是y －(x 21＋2x 1)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21.①函数y ＝－x 2＋a 的导数y ′＝－2x ，曲线C 2在点Q (x 2，－x 22＋a )的切线方程是 y －(－x 22＋a )＝－2x 2(x －x 2)，即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a .②如果直线l 是过点P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝－x 2，－x 21＝x 22＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0，此方程Δ＝4－4×2(1＋a )．由Δ＝0，得a ＝－12，解得x ＝－12，此时P 与Q 重合，即当a ＝－12时，C 1和C 2有且仅有一条公切线．由①得公切线方程为y ＝x －14.(2)由(1)可知，当a ＜－12时，C 1和C 2有两条公切线，设一条公切线上切点为P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝x 21＋2x 1＋(－x 22＋a )＝x 21＋2x 1－(x 1＋1)2＋a ＝－1＋a ，线段PQ 的中点为(－12，－1＋a 2)．同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是(－12，－1＋a2)，所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分．第二章 §5一、选择题 1．[答案] B[解析] y ′x ＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.2．[答案] B[解析] f ′(x )＝(12sin2x ＋sin x )′＝(12sin2x )′＋(sin x )′＝12cos2x ·(2x )′＋cos x ＝cos2x ＋cos x .因为f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，又－1≤cos x ≤1，所以函数f ′(x )既有最大值又有最小值．因为f ′(－x )＝cos(－2x )＋cos(－x )＝cos2x ＋cos x ＝f (x )，所以f ′(x )是偶函数．故选B. 3．[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y 求导得y ＝e x －1＋x e x－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．二、填空题 4．[答案] 22－1 [解析] y ′|x ＝1＝－1(2x －1)2|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1. 5．[答案] 3x ＋y ＝π[解析] y ′x ＝cos3x ·(3x )′＝cos3x ·3＝3cos3x .∴曲线y ＝sin3x 在点P (π3，0)处的切线斜率为3cos(3×π3)＝－3，∴切线方程为y ＝－3·(x －π3)，即3x ＋y ＝π.三、解答题6．[解析] (1)引入中间变量u ＝φ(x )＝3x ，则函数y ＝e 3x 是由函数f (u )＝e u 与u ＝φ(x )＝3x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝e u ，φ′(x )＝3. 根据复合函数求导法则可得 (e 3x )′＝f ′(u )φ′(x )＝e u ·3＝3e 3x .(2)y ＝cos 42x －sin 42x ＝(cos 22x ＋sin 22x )(cos 22x －sin 22x )＝cos4x .引入中间变量u ＝φ(x )＝4x ，则函数y ＝cos4x 是由函数f (u )＝cos u 与u ＝φ(x )＝4x 复合而成的．查导数公式表可得f ′(u )＝－sin u ，φ′(x )＝4. 根据复合函数求导法则可得(cos 42x －sin 42x )′＝(cos4x )′＝f ′(u )φ′(x )＝－sin u ·4＝－4sin4x .一、选择题 1．[答案] B[解析] f ′(x )＝－6sin(2x ＋π3)，∴f ′(π2)＝－6sin(π＋π3)＝6sin π3＝3 3.2．[答案] A[解析] y ′x ＝(cos2x ＋sin x )′＝(cos2x )′＋(sin x )′＝－sin2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin2x ＋cos x2x.3．[答案] A [解析] y ′＝1cos 2xlog 3e·(cos 2x )′ ＝1cos 2x log 3e·2cos x ·(cos x )′ ＝1cos 2x log 3e·2cos x (－sin x )＝－2log 3e·tan x . 4．[答案] A[解析] ∵f (x )＝x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13·x ， ∴f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13， ∴f ′⎝⎛⎭⎫－13＝2×⎝⎛⎭⎫－13＋2f ′⎝⎛⎭⎫－13， ∴f ′⎝⎛⎭⎫－13＝－2×⎝⎛⎭⎫－13＝23，即f ′⎝⎛⎭⎫－13＝23. 5．[答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.二、填空题 6．[答案] 2 [解析] ∵f ′(x )＝12ax －1·(ax －1)′＝a2ax －1，∴f ′(1)＝a2a －1＝1.解得a ＝2 7．[答案] －3[解析] 曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，则4a ＋b2＝－5① 又y ′＝2ax －b x 2，所以4a －b 4＝－72②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.所以a ＋b ＝－3.函数在某点处的导数值即为经过改点的切线的斜率．三、解答题8．[分析] 先用两个函数相乘的求导法则，再由复合函数求导法则求解． [解析] f ′(x )＝(x 2)′e 2x ＋x 2·(e 2x )′ ＝2x e 2x ＋x 2·(e 2x )·2＝e 2x (2x ＋2x 2)＝2x (1＋x )e 2x .9．[解析] 函数y ＝s (t )＝3sin(π12t ＋56π)是由函数f (x )＝3sin x 和函数x ＝φ(t )＝π12t ＋π6π复合而成的其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝3cos x ，φ′(t )＝π12.再由复合函数求导法则得y ′t ＝s ′(t )＝f ′(x )φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos(π12t ＋5π6)．将t ＝18时代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.10．[解析] (1)方法一：设y ＝log 2u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u log 2e ·(4x＋3)＝log 2e2x 2＋3x ＋1·(4x ＋3)＝(4x ＋3)log 2e 2x 2＋3x ＋1.方法二：y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′ ＝log 2e2x 2＋3x ＋1(2x 2＋3x ＋1)′＝(4x ＋3)log 2e 2x 2＋3x ＋1.(2)方法一：设y ＝ln u ，u ＝v ，v ＝x 2＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝1u ·12v －12·2x＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝xx 2＋1. 方法二：y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12·1x 2＋1·2x ＝x x 2＋1. 方法三：y ＝ln x 2＋1＝12ln(x 2＋1)，所以y ′＝12[ln(x 2＋1)]′＝12·1x 2＋1·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.。

【成才之路】高中数学综合测试B 北师大版选修2-1

【成才之路】2014-2015学年高中数学综合测试B 北师大版选修2-1时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A ．14 B ．55C ．12 D ．5－2[答案] B[解析] 本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等．∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55，要求离心率，应找到a 、c 关系． 3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( )A ．54 B ．52 C ．32 D ．54[答案] B[解析] ∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，不妨设a ＝2，c ＝3，则b ＝a 2－c2＝1，∴a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线方程为x 24－y 2＝1，∴离心率为e ＝c 2a 2＝4＋14＝52. 4．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝( )A ．AG →B ．CG →C ．BC →D ．12BC → [答案] A[解析] 本题以空间向量的线性运算为载体，考查了向量的平行四边形法则，同时也考查了学生作图、识图、及数形结合思想的应用．如图，∵12(BD →＋BC →)＝BG →，∴AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.故选A.5．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[答案] B[解析] 本小题考查抛物线的定义．由题意知可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则2＋p2＝3，∴p ＝2.∴y 2＝4x ，∴y 20＝4×2＝8，∴|OA |＝22＋y 20＝4＋8＝2 3. 抛物线的定义是考试常考的知识点．6．已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．(4，＋∞)D ．(－∞，1][答案] A[解析] 若p 真，则a ≥e ；若q 真，则16－4a ≥0⇒a ≤4，所以若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]．7．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2 [答案] C[解析] AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a ×a ×12＋a ×a ×12)＝14a 2.8．已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A ． 5B ．4 2C ．3D ．5[答案] A[解析] 本题考查了双曲线与抛物线的几何性质．由y 2＝12x ，焦点坐标为(3,0)． ∴a 2＋b 2＝9，∴b ＝ 5. 双曲线的一条渐近线为y ＝52x .∴d ＝353＝ 5. 求点到直线距离时，直线方程一定要化为一般式后，才能使用公式．9．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 要得到两个平面平行，则必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行．若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．对于选项A ，不是同一平面内的两条直线，显然是既不充分也不必要条件；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由于l 1∥m ，l 2∥n ，故可得α∥β，充分性成立，而α∥β时不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立．对于选项C ，由于m ，n 不一定是相交直线，故是必要非充分条件．对于选项D ，由n ∥l 2得n ∥β，则可转化为C ，故不符合题意．综上选B.10．(2014·新课标Ⅱ理)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94[答案] D[解析] 由题意可知：直线AB 的方程为y ＝33(x －34)，代入抛物线的方程可得：4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则所求三角形的面积为12×34×y 1＋y 22－4y 1y 2＝94，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·北京文)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．[答案] x 2－y 2＝1[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝2，a ＝1，∴b ＝1，∴C 的方程是x 2－y 2＝1.待定系数法是求圆锥曲线方程的常见方法． 12．已知命题p ：任意x ∈R ，存在m ∈R ，使4x－2x ＋1＋m ＝0，若命题非p 是假命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] m ≤1[解析] 命题非p 是假命题，亦即命题p 是真命题，也就是关于x 的方程4x－2x ＋1＋m＝0有实数解，即m ＝－(4x－2x ＋1)，令f (x )＝－(4x －2x ＋1)＝1－(2x －1)2.因为当x ∈R 时，f (x )≤1，因此实数m 的取值范围是m ≤1.[点评] 全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题这一部分内容往往能够和其他的知识联系起来，通过对这类量词的理解与运用，可以很好地考查学生的能力，这一内容是高考命题的热点之一．13．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案]24[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴∠CBE ＝60°.连接CE ，如图所示，设正方形的边长为1，∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°， ∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1. ∵BC ∥AD ，∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角．又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2. 又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2，∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24.解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12.|BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2， ∴|BF →|＝2， BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12，∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24，即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24. 14．过双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线l ，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是________．[答案]5[解析] 由题知点A 的坐标为(a,0)，所以直线l 的方程为x ＋y －a ＝0，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则B (a 2a ＋b ，ab a ＋b )，C (a 2a －b ，－ab a －b )，则有BC →＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b2)，AB→＝(－ab a ＋b ，ab a ＋b)，因为2AB →＝BC →，∴2a ＝b ，∴e ＝ 5. 15．等腰Rt △ABC 斜边BC 上的高AD ＝1，以AD 为折痕将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：①BD ⊥AC ； ②∠BAC ＝60°；③异面直线AB 与CD 之间的距离为22； ④点D 到平面ABC 的距离为33； ⑤直线AC 与平面ABD 所成的角为45°. 其中正确结论的序号是________． [答案] ①②③④⑤[解析] ∵AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，平面ABD ⊥平面ACD ，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD ⊥AC ，∴①正确；又知AD ＝BD ＝CD ＝1，∴△ABC 为正三角形，∠BAC ＝60°，∴②正确；∵△ABC 边长为2，.∴S △ABC ＝32，由V A －BDC ＝V D －ABC 得13×(12×1×1)×1＝13×32×h ，∴h ＝33，故④正确；∵CD ⊥平面ABD ，∴∠CAD 为直线AC 与平面ABD 所成的角，易知∠CAD ＝45°，故⑤正确；以D 为原点，DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AB →＝(1,0，－1)，AC →＝(0,1，－1)，DC →＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·DC →＝0得x －z ＝0，y ＝0，令z ＝1得n ＝(1,0,1)，∴异面直线AB 与DC 之间的距离d ＝|AC →·n ||n |＝22，故③正确．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知命题“p ：存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”是假命题，求实数a 的取值范围． [分析] 本题若直接求解则较为困难，由于该命题也是特称命题，因此依据上述全称命题与特称命题的关系，可将该命题的否定形式写出，依据“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可推知其否定形式必为真命题，从而求出满足题设要求的实数a 的取值范围．[解析] 因命题p ：存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0的否定形式为：非p ：任意x ∈R ，ax2－2ax －3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知命题非p 是真命题．事实上，当a ＝0时，对任意的x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图像，数形结合，很容易知道：不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且其判别式Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0；综合以上两种情形可知：非p 为真命题时，所求实数a 的取值范围是－3≤a <0或a ＝0，即命题p 是假命题时，所求实数a 的取值范围是[－3,0]．[点评] 如果直接解答本题较难下手，在这里巧妙地借助全称命题与特称命题的关系及真假的判定，将较为困难的问题等价转化为“在一个不等式：ax 2－2ax －3≤0恒成立的条件下，求实数a 的取值范围”的问题，使问题得到了巧妙的化归与转化，达到了化难为易，避繁就简的目的，体现了等价转化与化归的数学思想的应用价值．17．(2014·新课标Ⅱ理)设F 1，F 2 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .[解析] (1)∵由题知，MF 1F 1F 2＝34，∴b 2a ·12c ＝34，且a 2＝b 2＋c 2联立整理得：2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12，∴C 的离心率为12.(2)由题意知，O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， ∴MF 1与y 轴的交点D (0,2)是MF 1的中点，故b 2a＝4.即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N | 设N (x 1，y 1)由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32cy 1＝－1，代入c 得9c 24a 2＋1b 2＝1②将①及c ＝a 2－b 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， ∴a ＝7，b ＝27.18．如图，三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，PA ＝PB ＝PC ＝ 6.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)求二面角P －BC －A 的正切值．[解析] (1)如图，设O 是AC 的中点，连接PO ，BO .∵△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝22，OB ＝ 2. 又∵PA ＝PC ＝6，∴PO ⊥AC ，PO ＝2. ∴PO 2＋BO 2＝PB 2，即PO ⊥OB .又∵BO 平面ABC ，BO ∩AC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC . ∵PO 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC . (2)解法一：设H 是BC 的中点，连接OH ，PH . ∵O 为AC 的中点，∴OH ∥AB ，且OH ＝12AB ＝1.∵AB ⊥BC ，∴OH ⊥BC .又PB ＝PC ，∴PH ⊥BC . ∴∠PHO 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △ABC 中，tan ∠PHO ＝PO OH ＝21＝2，即二面角P －BC －A 的正切值为2. 解法二：如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，B (0，2，0)，C (－2，0,0)，P (0,0,2)．∴BC →＝(－2，－2，0)，PB →＝(0，2，－2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0PB →·n ＝0⇒⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2y －2z ＝0，令z ＝1，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，z ＝1.即n ＝(－2，2，1)．又∵PO ⊥平面ABC ，所以OP →＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量．∴cos 〈OP →，n 〉＝OP →·n |OP →||n |＝22×5＝55，且二面角P －BC －A 所成角为锐角，∴二面角P －BC －A 所成角的正切值为2.19．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －a ＋<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a<0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <94}，(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A B . 由a 2＋2>a ，B ＝{x |a <x <a 2＋2}．当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，，解得13<a ≤3－52.当3a ＋1＝2，得a ＝13时，A ＝∅，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上，a ∈[－12，3－52]．20．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ；(2)已知二面角P －BF －C 的余弦值为66，求四棱锥P －ABCD 的体积． [解析] (1)因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE 綊FD ，所以四边形BEDF 为平行四边形，则ED ∥FB ，又因为FB 平面PFB ，且DE 平面PFB ，所以DE ∥平面PFB .(2)如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，x 轴建立空间直角坐标系D －xyz .设PD ＝a ，可得P (0,0，a )，F (1,0,0)，B (2,2,0)，则PF →＝(1,0，－a )，FB →＝(1,2,0)，因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)．设平面PFB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则可得⎩⎪⎨⎪⎧PF →·n ＝0FB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －az ＝0，x ＋2y ＝0，令x ＝1，得z ＝1a ，y ＝－12，所以n ＝(1，－12，1a )．由二面角P －BF －C 的余弦值为66. 得：cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝1a54＋1a2＝66，解得a ＝2. 因为PD 是四棱锥P －ABCD 的高，所以，V P －ABCD ＝13×2×4＝83.21．(2014·山东理)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，(ⅰ)证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意知F (p 2，0)，设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t 4，0)．因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p 2|，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)，由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)(ⅰ)由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，得|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0，设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20. 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．所以直线AE 过定点F (1,0)．(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋(1x 0＋1)＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝|4x 0＋x 0＋4＋m y 0＋8y 0－1|1＋m2 ＝x 0＋x 0＝4(x 0＋1x 0)．则△ABE 的面积S ＝12×4(x 0＋1x 0)(x 0＋1x 0＋2)≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。

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第一章 §4一、选择题1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1，则当n ＝1时，f (n )等于( )A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上都不对[答案] C[解析] ∵n ＝1时，2n ＋1＝3 ∴f (1)＝1＋12＋13.2．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n 时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立．3．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.二、填空题4．(2014·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时左边表达式是________；从k →k ＋1需增添的项是________．[答案] 1＋2＋3；4k ＋5(或(2k ＋2)＋(2k ＋3))[解析] 因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时2n ＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k →k ＋1需增添的项的是4k ＋5或(2k ＋2)＋(2k ＋3)．5．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1且n ∈N *)”，在验证n ＝1时，左边计算所得的结果是____________．[答案] 1＋a ＋a 2[解析] 就本题而言，它的左边是按a 的升幂排列的，共有(n ＋2)项，故当n 取第一个值时，共有1＋2＝3项，它们的和应是1＋a ＋a 2.三、解答题6．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N * a n ＝2n －12n －1成立.一、选择题1．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则归纳猜测a 7＋b 7＝( )A ．26B ．27C ．28D ．29[答案] D[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29.2．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推知n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，可推得若n ＝k ＋1时命题不成立可推得n ＝k (k ∈N *)时命题不成立，所以答案为C.3．(2014·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k－1项D ．2k 项[答案] D[解析] 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.5．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题6．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.[答案]12n ＋12n ＋1[解析] ∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.7．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞m24对n ∈N *都成立，则正整数m 的最大值为____________．[答案] 11[解析] 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12(n ＋1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝f (n )＋(12n ＋1－12n ＋2)＝f (n )＋1(2n ＋1)(2n ＋2)＞f (n )，∴f (n ＋1)＞f (n )＞…＞f (1)＝12＝1224，∴m ＝11.三、解答题8．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋ ⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1 ＝56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都成立．9．是否存在常数a ，b 使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对于一切n ∈N＋都成立．[解析] 若存在常数a ，b 使等式成立，将n ＝1，n ＝2代入上式，有 ⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. 即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2.对于n 为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明．证明：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，等式成立．(2)假设当n ＝k 时成立，即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2. 那么，当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N ＋都成立．[点评] 这类问题是由n ＝1，n ＝2两种特殊情况求出a ，b 的值，即由不完全归纳法得出结论．对所有的正整数是否成立，还需要用数学归纳法加以证明．10．是否存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9对任意自然数n 都能被m 整除？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．[解析] 由f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9得f (1)＝36，f (2)＝3×36，f (3)＝10×36，f (4)＝34×36. 由此猜想m ＝36.下面用数学归纳法证明．方法一：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，f (k )能被36整除，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除；那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝[(2k ＋9)3k ＋1＋9]－[(2k ＋7)3k ＋9]＝3k (6k ＋27－2k －7)＝3k (4k ＋20)＝36×3k －2×(k ＋5)．当k ＝1时，13×(1＋5)＝2为整数，因此36×3k －2×(k ＋5)是36的倍数，从而可知f (k ＋1)能被36整除，这说明当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除，m 的最大值为36.方法二：(1)当n ＝1时，显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时，f (k )能被36整除，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除；那么当n ＝k ＋1时，[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除．这就是说，当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除，m 的最大值为36.。

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