最长公共子序列 动态规划
动态规划法求解最长公共子序列(含Java代码)
公共子序列问题徐康123183一．算法设计假设有两个序列X和Y，假设X和Y分别有m和n个元素，则建立一个二维数组C[(m+1)*(n+1)]，记录X i与Y j的LCS的长度。
将C[i,j]分为三种情况：若i =0 或j =0时，C[i,j]=0；若i,j>0且X[i]=Y[j]，C[i,j]=C[i-1,j-1]+1；若i,j>0且X[i] Y[j],C[i,j]=max{C[i-1,j],C[i,j-1]}。
再使用一个m*n的二维数组b，b[i,j]记录C[i,j]的来向:若X[i]=Y[j]，则B[i,j]中记入“↖”，记此时b[i,j] = 1；若X[i] Y[j]且C[i-1,j] > C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“↑”，记此时B[i,j] = 2；若X[i] Y[j]且C[i-1,j] < C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“←”，记此时B[i,j] = 3；若X[i]Y[j]且C[i-1,j] = C[i,j-1]，则b[i,j]中记入“↑”或“←”，记此时B[i,j] = 4；得到了两个数组C[]和B[]，设计递归输出LCS(X,Y)的算法：LCS_Output(Direction[][], X[], i, j, len,LCS[]){If i=0 or j=0 将LCS[]保存至集合LCS_SET中then return;If b[i,j]=1 then /*X[i]=Y[j]*/{LCS_Output(b,X,i-1,j-1)；将X[i]保存至LCS[len-i]；}else if b[i,j]=2 then /*X[i]Y[j]且C[i-1,j]>C[i,j-1]*/LCS_Output(b,X,i-1,j)else if b[i,j]=3 then /*X[i]Y[j]且C[i-1,j]<C[i,j-1]*/ LCS_Output(b,X,i,j-1)else if b[i,j]=4 then /*X[i]Y[j]且C[i-1,j]=C[i,j-1]*/LCS_Output(b,X,i-1,j)LCS_Output(b,X,i,j-1)}二．算法时间复杂度分析由上述对算法的分析得知，求辅助数组C 和B 所消耗的时间复杂度为O （mn ），而查找所有的公共子序列的时间复杂度取决于所遍历的路径，而路径是由算法递归的方向决定的。
求解两个序列的最长公共子序列的递推次序
最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）是指在两个序列中找到的最长公共非连续子序列。
求解两个序列的最长公共子序列的递推次序是一道经典的动态规划问题，本文将针对这一主题展开详细的描述和分析。
一、问题描述给定两个序列X={x1, x2, ..., xm}和Y={y1, y2, ..., yn}，要求找出它们的最长公共子序列。
对于序列X={A, B, C, B, D, A, B}和Y={B, D, C, A, B, A}，它们的最长公共子序列是{B, C, A, B}，长度为4。
二、递推关系在动态规划的思想下，我们可以通过构造一个二维数组来解决这个问题。
假设L[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度，那么L[i][j]的递推关系可以表示为：1. 当i=0或j=0时，L[i][j]=0；2. 当xi=yj时，L[i][j]=L[i-1][j-1]+1；3. 当xi≠yj时，L[i][j]=max{L[i-1][j], L[i][j-1]}。
三、动态规划的实现在实际编程中，我们可以使用一个二维数组来存储L[i][j]的值。
我们需要初始化L[0][j]和L[i][0]为0；根据上述递推关系，使用一个双重循环来填充数组L，最终得到L[m][n]的值，即序列X和Y的最长公共子序列的长度。
四、回溯求解最长公共子序列在获得了二维数组L之后，我们可以通过回溯的方法来求解最长公共子序列的具体内容。
从L[m][n]开始，我们可以根据递推关系，逆向推导出最长公共子序列的元素，直到回溯到L[0][0]为止。
这样就可以得到最长公共子序列的具体内容。
五、优化在实际应用中，为了提高动态规划的效率，可以对上述算法进行优化。
例如使用滚动数组来降低空间复杂度，或者采用其他策略来减少不必要的计算。
六、总结本文针对求解两个序列的最长公共子序列的递推次序进行了详细的分析和描述。
动态规划中的最长公共子序列ppt课件
问题分析(续)
令c[i][j]记录Xi和Yj的最长公共子序列的长度， 则有
0
i = 0, j = 0
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1
xi = yj
max{c[i][j - 1] , c[i - 1][j] } xi ≠ yj
.
问题分析(续)
显然不应以递归方式（自顶向下，即先考虑 最后一个字符）设计算法，而应设计动态规 划算法，即从第一个字符开始考虑。
.
计算最优值程序跟踪
X = {A C B D} Y = {A B D A}
c
0 00 00 0 11 11 0 11 11 0 12 22 0 12 33
b
00000 01331 02222 02133 02213
i j x[i]=y[j] c[i-1][j]>=c[i][j1]
11Y
2
N
3
N
4Y
列。
.
最长公共子序列的结构
设序列X={x1, x2, …, xm}, Y={y1, y2, …, yn}, Z={z1, z2, …, zk},则
(1) 若xm = yn, 则Zk - 1 是Xm – 1和Yn – 1的 最长公共子序列；
如：X = {…, C}, Y = {…, C}, 则Z = {…, C}
21N
Y
2N
Y
.
补充习题
1. X={B, C, A, D} Y={C, A, B, D},求X与Y的最长公共子序 列，并画出数组c与b.
c
b
0 00 00
00000
0 00 11
02213
0 11 11
01322
动态规划（最长公共子序列）
动态规划（最长公共⼦序列）有⼀个经典问题：长度为n的序列，插⼊若⼲数字后，让其形成回⽂串。
求插⼊的数字最少的个数pp=n-最长公共⼦序列最长公共⼦序列可以利⽤动态规划的思想，具体可以⽤下⾯这个图来表⽰：//求最长公共⼦序列for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(s[i]==s[n-j+1])//正串和逆序串dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;elsedp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}将序列打印出来#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>using namespace std;int dp[100][100];int main(){//防⽌数组越界，添加⼀下前导符string s="0BDCABA";string t="1ABCBDAB";int len1=s.length();int len2=t.length();for(int i=1;i<len1;i++){for(int j=1;j<len2;j++){if(s[i]==t[j])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;elsedp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}cout<<dp[len1-1][len2-1]<<endl;int p=len1-1,q=len2-1;while(p>=1&&q>=1){if(s[p]==t[q]){cout<<s[p]<<"";p-=1;q-=1;}else if(dp[p-1][q]>=dp[p][q-1]){p-=1;}elseq-=1;}}。
0011算法笔记——【动态规划】最长公共子序列问题(LCS)
问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, x m}，则另一序列Z= {z1, z2,…, z k}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列{i1, i2,…, i k}，使得对于所有j=1,2,…,k有X ij=Z j。
例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= {x1, x2, …, x m}和Y= {y1, y2, … , y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。
求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。
对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。
由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。
进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。
设序列X={x1,x2,……x m}和Y={y1,y2,……y n}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……z k}。
则有：(1)若x m=y n,则z k=x m=y n,且z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
(2)若x m!=y n且z k!=x m，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列。
数据结构与算法题解：最长公共子序列和最长公共子串
f [0][0] = 0, f [0][∗] = 0, f [∗][0] = 0,最后应该返回f [lenA][lenB]. 即 f 中索引与字符串串索引
ource, target)); }
}
二二、最⻓长公共子子串串
2.1 简单考虑
可以使用用两根指针索引分别指向两个字符串串的当前遍历位置，若遇到相等的字符时则同时向后移 动一一位。
public class Demo { public static int longestCommonSubstring(String A, String B) { if (A == null || A.length() == 0) return 0; if (B == null || B.length() == 0) return 0; int lenA = A.length(); int lenB = B.length(); int lcs = 0, lcs_temp = 0; for (int i = 0; i < lenA; ++i) { for (int j = 0; j < lenB; ++j) { lcs_temp = 0; while ((i + lcs_temp < lenA) && (j + lcs_temp < lenB) && (A.charAt(i + lcs_temp) == B.charAt(j + lcs_temp))) { ++lcs_temp; }
最长公共子序列的时间复杂度
最长公共子序列的时间复杂度简介最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一个经典的动态规划问题，用于求解两个序列中最长的公共子序列的长度。
在计算机科学中，LCS问题是一个重要的基础问题，被广泛应用于字符串相似度比较、基因序列分析、文本相似度计算等领域。
问题描述给定两个序列X和Y，求解它们的最长公共子序列的长度。
序列是由若干个元素组成的有序集合，子序列是原序列中选择若干个元素并按照原有顺序排列得到的新序列。
例如，序列X={A,B,C,B,D,A,B}和序列Y={B,D,C,A,B,A}的最长公共子序列是{B,C,B,A}，长度为4。
动态规划算法最长公共子序列问题可以通过动态规划算法求解。
动态规划算法通常包括两个关键步骤：定义状态和状态转移方程。
定义状态在最长公共子序列问题中，我们定义一个二维数组dp[m+1][n+1]来表示序列X和Y 的最长公共子序列的长度，其中m和n分别为序列X和Y的长度。
数组dp的大小为(m+1)×(n+1)是为了方便处理序列为空的情况。
状态转移方程根据最长公共子序列的定义，我们可以得到如下的状态转移方程：if X[i] == Y[j]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])其中，X[i]表示序列X的第i个元素，Y[j]表示序列Y的第j个元素。
如果X[i]和Y[j]相等，则最长公共子序列的长度等于前一个位置的最长公共子序列的长度加1；如果X[i]和Y[j]不相等，则最长公共子序列的长度等于分别考虑序列X的前i-1个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度，以及分别考虑序列X的前i个元素和序列Y的前j-1个元素的最长公共子序列的长度中的较大值。
求解过程根据状态转移方程，我们可以通过填表的方式求解最长公共子序列的长度。
首先初始化dp数组的第一行和第一列为0，然后按照从左到右、从上到下的顺序依次计算dp数组的值，最终得到dp[m][n]即为所求的最长公共子序列的长度。
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
实验二最长公共子序列（动态规划算法）
实验二最长公共子序列（动态规划算法）班级：08计算机科学与技术（1）班学号：E08620113 姓名：戴斌江机器号：实验二最长公共子序列问题一、实验目的：1、理解动态规划算法的概念；2、掌握动态规划算法的基本要素；3、掌握设计动态规划算法的步骤；4、通过应用范例学习动态规划算法的设计技巧与策略；二、实验内容及要求：1、使用动态规划算法解决最长公共子序列问题：给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
2、通过上机实验进行算法实现。
3、保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析，上交实验报告。
三、实验原理：动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
算法总体思想：1)动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
2)与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是独立的。
子问题中存在大量的公共子问题，在分治求解过程中被多次重复计算，保存计算结果，为后面的计算直接引用，减少重复计算次数这就是动态规划的基本思想。
3)用动态规划算法求解问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量重复计算，最终得到多项式时间算法。
算法55----最长子序列【动态规划】
算法55----最长⼦序列【动态规划】⼀、题⽬：最长公共⼦序列：给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共⼦序列（Longest Common Sequence）。
⽐如字符串L：BDCABA；字符串S：ABCBDAB 则这两个字符串的最长公共⼦序列长度为4，最长公共⼦序列是：BCBA思路：动态规划：时间O(n * m)，空间O(n * m)创建 DP数组C[i][j]：表⽰⼦字符串L【：i】和⼦字符串S【：j】的最长公共⼦序列个数。
状态⽅程：个数代码：def LCS(L,S):if not L or not S:return""dp = [[0] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]for i in range(len(S)+1):for j in range(len(L)+1):if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = 0else:if L[j-1] == S[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])return dp[-1][-1]L = 'BDCABA'S = 'ABCBDAB'LCS(L,S)最长⼦序列代码：设置⼀个标志def LCS(L,S):if not L or not S:return""res = ''dp = [[0] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]flag = [['left'] * (len(L)+1) for i in range(len(S)+1)]if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = 0flag [i][j] = '0'else:if L[j-1] == S[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1flag[i][j] = 'ok'else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])flag[i][j] = 'up'if dp[i][j] == dp[i-1][j] else'left' return dp[-1][-1],flagdef printres(flag,L,S):m = len(flag)n = len(flag[0])res = ''i , j = m-1 , n-1while i > 0 and j > 0:if flag[i][j] == 'ok':res += L[j-1]i -= 1j -= 1elif flag[i][j] == 'left':j -= 1elif flag[i][j] == 'up':i -= 1return res[::-1]L = 'BDCABA'S = 'ABCBDAB'num,flag = LCS(L,S)res = printres(flag,L,S)⼆、题⽬：最长递增⼦序列8}，则其最长的单调递增⼦序列为{5，6，7，8}，长度为4.解法⼀：最长公共⼦序列：O（N^2）这个问题可以转换为最长公共⼦序列问题。
动态规划解最长公共子序列问题
动态规划解最长公共子序列问题动态规划主要针对最优化问题,它的决策是全面考虑不同的情况分别进行决策,,最后通过多阶段决策逐步找出问题的最终解.当各个阶段采取决策后,会不断决策出新的数据,直到找到最优解.每次决策依赖于当前状态,又随机引起状态的转移.一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,故有”动态”的含义.所以,这种多阶段最优化决策解决问题的过程称为动态规划.一问题的描述与分析字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干字符(可能一个也不去掉)后形成的字符序列..令给定的字符序列X=”x0,x1,x2,…xm-1”,序列Y=”y0,y1,…yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列i=i0,i1,i2,…ik-1,使得对所有的j=0,1,2,…k-1,有xi=yi。
例如X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
给定两个序列A和B,称序列Z是A和B公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。
求最长公共子序列。
若A的长度为m,B的长度为n,则A的子序列有2*m-1个，B的子序列有2*n-1个。
采用枚举法分别对A和B的所以子序列一一检查，最终求出最长公共子序列。
如此比较次数（2*2n）接近指数阶，当n较大时，算法太耗时，不可取。
所以要全面考虑不同的情况分别进行决策,,最后通过多阶段决策逐步找出问题的最终解.当各个阶段采取决策后,会不断决策出新的数据,直到找到最优解。
二、算法设计（或算法步骤）A=”a0,a1,a2,……am-1”,B=”b0,b1,b2,……bn-1”,且Z=”z0,z1,z2……zk-1”,为她们的最长公共子序列。
不难证明有一下结论：（1）如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,z2,……zk-2”是“a0,a1,a2,……am-2”和“b0,b1,b2,……bn-2”的一个最长公共子序列；（2）如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,则“z0,z1,z2,……zk-1”是“a0,a1,a2,……am-2”和”b0,b1,b2,……bn-1”的一个最长公共子序列。
最长公共子序列算法利用的算法
最长公共子序列算法利用的算法最长公共子序列算法通常使用动态规划算法来实现。
动态规划是一种将问题拆分成子问题并按顺序解决的算法。
在最长公共子序列算法中，我们将两个序列分别称为序列X和序列Y。
我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度。
动态规划的递推关系如下：1. 如果X[i]等于Y[j]，则dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]加1。
即序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度等于序列X的前i-1个元素和序列Y的前j-1个元素的最长公共子序列的长度加1。
2. 如果X[i]不等于Y[j]，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值。
即序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度等于序列X的前i-1个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度，或者序列X的前i个元素和序列Y的前j-1个元素的最长公共子序列的长度中的较大值。
通过填充dp数组，最终dp[X.length][Y.length]即为序列X和序列Y 的最长公共子序列的长度。
然后，我们可以通过回溯dp数组来找到最长公共子序列。
从dp[X.length][Y.length]开始，根据上述递推关系，如果dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]加1，则说明X[i]等于Y[j]，将X[i]加入最长公共子序列中，并继续回溯dp[i-1][j-1]；如果dp[i][j]等于dp[i-1][j]，则说明X[i]不在最长公共子序列中，回溯dp[i-1][j]；如果dp[i][j]等于dp[i][j-1]，则说明Y[j]不在最长公共子序列中，回溯dp[i][j-1]。
最终，通过回溯，我们可以得到序列X和序列Y的最长公共子序列。
最长公共子序列动态规划算法
最长公共子序列动态规划算法下面我们将详细介绍使用动态规划算法求解最长公共子序列的过程。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列1的前i个字符和序列2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
接下来，我们需要确定动态规划的状态转移方程。
对于dp[i][j]，我们有以下两种情况：1. 如果序列1的第i个字符和序列2的第j个字符相等，即seq1[i] == seq2[j]，那么dp[i][j]就等于dp[i-1][j-1]加1，表示当前字符可以构成最长公共子序列的一部分。
2. 如果序列1的第i个字符和序列2的第j个字符不相等，即seq1[i] != seq2[j]，那么dp[i][j]就等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值，表示当前字符不能构成最长公共子序列，需要继续考察前面的字符。
根据以上分析，我们可以得到状态转移方程为：```if seq1[i] == seq2[j]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])```其中，max(函数表示取两个值的较大值。
接下来，我们需要确定初始条件。
对于dp数组的第一行和第一列，由于没有前一个字符，我们无法进行状态转移，因此需要将它们初始化为0。
最后，我们需要根据状态转移方程和初始条件，依次计算dp数组的所有值。
最终，dp数组的最后一个元素dp[m][n]就表示序列1的前m个字符和序列2的前n个字符的最长公共子序列的长度。
通过确定状态转移方程、初始条件和计算过程，我们可以得到求解最长公共子序列问题的动态规划算法。
下面是具体的算法步骤：1. 根据待求解的两个序列seq1和seq2的长度，创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列1的前i个字符和序列2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
2. 初始化dp数组的第一行和第一列为0。
算法实验五_最长公共子序列
一、算法分析最长公共子序列问题为动态规划算法的一个具体应用。
动态规划算法思想的实质为分治思想和解决冗余。
其与分治思想不同之处在于经分解的子问题往往不是互相独立的，而分治思想分解出的子问题是互相独立，各自求解。
动态规划问题子问题的解由子子问题的解组成，因此使用一种存储结构建立一个存储表用来记录所有已解子问题的值。
相对应的代价是增加了空间复杂度，以换取问题求解时间的减少。
最长公共子序列问题按动态规划算法的执行步骤求解。
1.找出最优解的性质，刻画其结构特征。
设两个序列为X(x1,x2…..xm)，Y(y1,y2……yn)。
最优子结构特征可以刻画为Z(z1,z2……zk)。
可以分为三种情况：Xm=Yn、Xm>Yn、Xm<Yn。
第一种情况下可断定Zk=Xm=Yn。
第二种情况可将原问题转化为求解Xm-1与Yn的LCS。
第三种情况可将原问题转化为求解Xm与Yn-1的LCS。
2.递归地定义最优值(写出动态规划方程)。
由1中情况可得出递归解的递归过程。
初始条件可判定为C[i][0]、C[0][j]的值为0。
其意义为X或Y有一个序列为0时，最长公共子序列长度为0。
3.以自底向上的方式计算出最优值。
由i=0或j=0的情况向上计算，直到C[m][n]。
4.根据计算最优值时记录的信息，构造最优解。
二、算法实现算法实现可分为三个步骤：1.数据结构选取本次实验采用的数据结构为数组。
二维数组C[i][j]用于判断最优解的构造顺序以及计算最优解的长度。
二维数组B[i][j]用于记录最优解的构造顺序，在打印最优解时做一个索引。
X[i]、Y[i]用于存储输入的两个子序列。
2.LCS长度求解函数函数名为LCS_length。
实现方法参照分析步骤二和三。
3.LCS值输出函数函数名为Print_LCS。
实现方法为自底向上判断记录符号，并输出符合条件的Xi或Yj。
三、实验结果实验进行三次。
第一次为X与Y等长的情况，第二次为X长度小于Y的情况，第三次为X长度大于Y的情况。
12个动态规划算法举例
动态规划是一种用于解决最优化问题的算法。
它通常用于找到最小或最大值。
这里列举了12 个常见的动态规划算法，并给出了每个算法的举例：
1 最长公共子序列（LCS）算法：用于比较两个序列，找出它们之
间的最长公共子序列。
2 最小编辑距离算法：用于比较两个字符串，找出将一个字符串变
为另一个字符串所需的最少编辑操作次数。
3 背包问题算法：用于在限制给定的总体积的情况下选择最优的物
品组合。
4 最短路径算法：用于求解有向图或路径的最短路径。
5 最小生成树算法：用于求解图的最小生成树。
6 线性规划算法：用于求解线性规划问题。
7 矩阵链乘法算法：用于计算矩阵链乘法的最优计算次序。
8 单源最短路径算法：用于求解有向图的单源最短路径问题。
9 拓扑排序算法：用于对有向无环图（DAG）进行拓扑排序。
10图形相似性算法：用两个图形进行对齐，并通过比较它们之间的差异来评估它们的相似程度。
11 11 区间动态规划算法：用于解决区间动态规划问题，例如
最小编辑代价问题。
12 分数背包问题算法：用于在限制给定的总价值的情况下选择
最优的物品组合。
13这些算法的具体细节及实现方式可以通过搜索或者学习相
关的资料来了解。
力扣优秀题解
力扣优秀题解——动态规划动态规划（Dynamic programming，简称DP）是一种常见的求解优化问题的方法。
它与分治算法类似，都是通过将大问题分解成若干个小问题来求解的。
不同的是，DP解决的问题通常是有重叠子问题和最优子结构特征的，即在求解过程中会反复计算相同的子问题，并且每个子问题都具有最优解，可以通过这些最优解推导出全局最优解。
力扣中的很多题目都可以使用动态规划来解决，比如最长公共子序列、股票买卖、打家劫舍等等。
下面针对这些题目进行详细解析。
一、最长公共子序列题目描述：给定两个字符串text1 和text2，返回它们的最长公共子序列。
如果不存在公共子序列，返回0。
示例：输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
解题思路：最长公共子序列问题是比较经典的DP问题。
设字符串text1和text2的长度分别为m 和n，令dp[i][j]表示text1[0:i]和text2[0:j]的最长公共子序列长度，为方便起见，text1和text2的下标从1开始。
当text1[i-1] == text2[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，即text1[0:i-1]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度加上1。
当text1[i-1] != text2[j-1]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即考虑text1[0:i-1]和text2[0:j]的最长公共子序列长度与text1[0:i]和text2[0:j-1]的最长公共子序列长度，两者取最大值。
最终的答案即为dp[m][n]。
代码实现：class Solution: def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int: m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i - 1] == text2[j - 1]: dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) return dp[m][n]二、股票买卖题目描述：给定一个数组prices，其中prices[i]是一支给定股票第i天的价格。
动态规划--最长公共子序列
动态规划--最长公共⼦序列描述：找出两个字符串的最长公共⼦序列，例如串X = <A, B, C, B, D, A, B>，Y = <B, D, C, A, B, A>，则<B, C>可以算⼀个公共⼦序列，但不是最长的，最长的公共⼦序列为<B, C, A, B>.算法分析，设序列X = <X1, X2, ..., X m>, Y= <Y1, Y2, ..., Y n>. 设Z = <Z1, Z2, ..., Z k>是X和Y的任意⼀个LCS，则：1. 如果X m == Y n,那么 Z k = X m = Y n, ⽽且 Z k-1 是 X m-1 和 Y n-1 的⼀个LCS.2. 如果X m != Y n, 那么 Z k != X m 蕴含 Z 是 X m-1 和 Y 的⼀个LCS.3. 如果X m != Y n, 那么 Z k != Y n 蕴含 Z 是 Y n-1 和 X 的⼀个LCS.上述特征说明，两个序列的⼀个LCS也包含了两个序列的前缀的⼀个LCS，这说明LCS问题就有最优⼦结构性质。
那么可以得到递归式：⼜递归式可以看出该问题有重复⼦问题性质，由于为了找 X 和 Y 的⼀个LCS，可能会求 X 和 Y n-1或者是 X m-1 和 Y 的LCS，⼉这两个⼦问题⼜包含找 X m-1 和 Y n-1的LCS。
由此我们可以写递归代码来求LCS长度，代码如下：1// LCS.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
23 #include <iostream>4 #include <math.h>5 #include <string>6using std::string;78int max(int a, int b){ return a > b ? a : b; }9int LCSRecursive(const string &strX, const string &strY, const int &m, const int &n)10 {11if (m == 0 || n == 0)12return0;13if (strX[m] == strY[n])14 {15return LCSRecursive(strX, strY, m - 1, n - 1) + 1;16 }17else18 {19return max(LCSRecursive(strX, strY, m - 1, n), LCSRecursive(strX, strY, m, n - 1));20 }21 }222324int main(int argc, char **argv)25 {26const string strX = "ABCDAB";27const string strY = "BDCABA";2829int LCSLength = LCSRecursive(strX, strY, strX.size(), strY.size());3031 std::cout << "The Length of the Longest common subsequence is: " << LCSLength << std::endl;3233return0;34 }⾮递归如下：1int LCSNoneRecursive(const string &strX, const string &strY)2 {3// 是字符串从下标1开始，便于C数组计算4string X = "" + strX;5string Y = "" + strY;67int m = X.size();8int n = Y.size();9int **c = new int*[m];1011// 申请内存存储C数组12for (int i = 0; i < m; ++i)13 c[i] = new int[n];1415for (int i = 0; i < m; ++i)16 c[i][0] = 0;1718for (int j = 0; j < n; j++)19 c[0][j] = 0;2021// 计算C数组的值22for (int i = 1; i < m; i++)23for (int j = 1; j < n; j++)24 {25if (X[i] == Y[j])26 c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;27else28 {29if (c[i][j - 1] >= c[i - 1][j])30 c[i][j] = c[i][j - 1];31else32 c[i][j] = c[i - 1][j];33 }34 }35// 最长公共⼦序列长度为最右下⾓的元素36int LCSLength = c[m - 1][n - 1];37for (int i = 0; i < m; i++)38 delete c[i];39 delete []c;40return LCSLength;41 }。
算法设计与分析动态规划——最长公共子序列LCS及模板
算法设计与分析动态规划——最长公共⼦序列LCS及模板摘⾃这位⼤佬写的对理解DP也很有帮助，我就直接摘抄过来了，代码部分来⾃我做过的题⼀，问题描述给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共⼦序列（Longest Common Sequence）。
⽐如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB则这两个字符串的最长公共⼦序列长度为4，最长公共⼦序列是：BCBA⼆，算法求解这是⼀个动态规划的题⽬。
对于可⽤动态规划求解的问题，⼀般有两个特征：①最优⼦结构；②重叠⼦问题①最优⼦结构设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共⼦序列记为LCS(X,Y)找出LCS(X,Y)就是⼀个最优化问题。
因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共⼦序列。
⽽要找X 和 Y的LCS，⾸先考虑X的最后⼀个元素和Y的最后⼀个元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后⼀个元素与Y的最后⼀个元素相同，这说明该元素⼀定位于公共⼦序列中。
因此，现在只需要找：LCS(X n-，Y m-1)1LCS(X n-1，Y m-1)就是原问题的⼀个⼦问题。
为什么叫⼦问题？因为它的规模⽐原问题⼩。
（⼩⼀个元素也是⼩嘛....）为什么是最优的⼦问题？因为我们要找的是X n-1 和 Y m-1的最长公共⼦序列啊。
最长的换句话说，就是最优的那个。
（这⾥的最优就是最长的意思）2）如果xn != ym，这下要⿇烦⼀点，因为它产⽣了两个⼦问题：LCS(X n-1，Y m) 和 LCS(X n，Y m-1)因为序列X 和 序列Y 的最后⼀个元素不相等嘛，那说明最后⼀个元素不可能是最长公共⼦序列中的元素嘛。
（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS(X n-1，Y m)表⽰：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(X n，Y m-1)表⽰：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
c 最长公共子序列
c 最长公共子序列C语言是一种广泛应用于编程领域的高级编程语言，它的灵活性和强大的功能使其成为了许多开发者的首选。
在C语言中，最长公共子序列是一种常见的问题，它在字符串处理和算法设计中具有重要的应用价值。
最长公共子序列问题是指在两个字符串中寻找一个最长的子序列，该子序列在两个字符串中都出现，且不需要连续。
例如，对于字符串"ABCD"和"ACDF"来说，它们的最长公共子序列是"ACD"。
在解决最长公共子序列问题时，通常采用动态规划的方法。
动态规划是一种解决复杂问题的有效算法，它将问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来求解原问题。
对于最长公共子序列问题，可以定义一个二维数组dp[i][j]来表示字符串1的前i个字符和字符串2的前j个字符的最长公共子序列的长度。
具体的动态规划解法如下：1. 初始化dp数组，将dp[i][0]和dp[0][j]都置为0，表示空字符串与任意字符串的最长公共子序列长度为0。
2. 遍历字符串1的每个字符i，遍历字符串2的每个字符j。
3. 如果字符i与字符j相等，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，表示当前字符是最长公共子序列的一部分。
4. 如果字符i与字符j不相等，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])，表示当前字符不是最长公共子序列的一部分，需要在字符串1的前i-1个字符和字符串2的前j个字符中寻找最长公共子序列。
5. 最终，dp[m][n]即为字符串1和字符串2的最长公共子序列的长度，其中m和n分别表示字符串1和字符串2的长度。
通过上述动态规划解法，可以高效地求解最长公共子序列问题。
这种方法的时间复杂度为O(m*n)，其中m和n分别为字符串1和字符串2的长度。
最长公共子序列问题不仅仅是字符串处理中的一个重要问题，它还在许多其他领域中有着广泛的应用。
例如，在版本控制系统中，可以利用最长公共子序列来比较两个文件的差异，并进行代码合并。
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实验二最长公共子序列
一、实验目的与要求：
1、熟悉最长公共子序列问题的算法；
2、初步掌握动态规划算法。
二、问题描述：
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
例如：“ABCBDAB”和“BDCABA”的最长公共子序列为: BCBA .
三、实验结果
四、源代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXLEN 100
void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
int i, j;
for(i = 0; i <= m; i++)
c[i][0] = 0;
for(j = 1; j <= n; j++)
c[0][j] = 0;
for(i = 1; i<= m; i++)
{
for(j = 1; j <= n; j++)
{
if(x[i-1] == y[j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
b[i][j] = 0;
}
elseif(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 1;
}
else
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = -1;
}
}
}
}
void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j) {
if(i == 0 || j == 0)
return;
if(b[i][j] == 0)
{
PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
printf("%c ", x[i-1]);
}
elseif(b[i][j] == 1)
PrintLCS(b, x, i-1, j);
else
PrintLCS(b, x, i, j-1);
}
int main(int argc, char **argv)
{
char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
int b[MAXLEN][MAXLEN];
int c[MAXLEN][MAXLEN];
int m, n;
m = strlen(x);
n = strlen(y);
LCSLength(x, y, m, n, c, b);
PrintLCS(b, x, m, n);
system("pause");
return 0;
}。