山东省沂水县第二中学高三上学期期中考试数学(文)试题
2022-2023学年山东省临沂市沂水县高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省临沂市沂水县高二上学期期中考试数学试题一、单选题110y +-=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】由斜率直接求解倾斜角即可.【详解】设倾斜角为[),0,ααπ∈，则tan α=23πα=. 故选：C.2．已知空间向量()3,2,4a =-，()1,2,2b =-，则a b -=（ ）A B ．6 C ．36 D ．40【答案】B【分析】根据空间向量的减法结合模长公式求解即可.【详解】由题意，()4,4,26a b -=-=.故选：B3．已知直线1l ：220x y ++=，2l ：10x ay --=．若12l l ∥，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2【答案】A【分析】两直线平行，斜率相等，又两直线方程所对应的x 前的系数都是1，故只需令两直线方程所对应的y 前的系数相等，即可求出实数a 的值 【详解】解：由题意在直线1l ：220x y ++=和2l ：10x ay --=中，12l l ∥ ∴2a -=，解得：2a =-， 故选：A.4．若圆()()22125x y ++-=与直线l 相切，且直线l 与直线20x y -=垂直，则直线l 的方程是（ ） A ．220x y ++=或280x y +-= B ．250x y ++=或250x y +-= C ．210x y ++=或290x y +-= D ．250x y --=或250x y --=【答案】B【分析】由题意可设直线l 的方程为20x y C ++=，再由直线l 与圆()()22125x y ++-=相切，利用圆心(1,2)-到直线l 的距离等于半径5，解出C 的值，即可得直线l 的方程. 【详解】解：因为直线l 与直线20x y -=垂直， 所以设直线l 的方程为20x y C ++=， 又因为直线l 与圆()()22125x y ++-=相切， 所以22|2(1)2|521C ⨯-++=+，解得5C =或5C =-，所以直线l 的方程为：250x y ++=或250x y +-=. 故选：B.5．四面体ABCD 中，22AC AD AB ===，60BAD ∠=︒，2AB CD ⋅=，则BAC ∠=（ ） A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C【分析】根据题意得()AB CD AB AD AC ⋅=⋅-，由数量积公式计算即可.【详解】由题知，22AC AD AB ===，60BAD ∠=︒ 所以()AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅cos cos 2AB AD BAD AB AC BAC =⋅∠-⋅∠=，所以12cos6012cos 2BAC ⋅︒-⋅∠=，解得120BAC ∠=︒， 故选：C6．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的洞门．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m ，地面宽为1m ，则该洞门的半径为（ ）A ．1.1mB ．1.2mC ．1.3mD ．1.5m【答案】C【分析】根据圆的相关性质即可求得半径.【详解】如图所示设圆的半径为r .由题意知：在Rt OFD △中，2221124OF r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又因为 2.5EF =，所以 2.5r OF += 所以212.54r r -=，解得 1.3r = 故选：C7．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量 ()1,0,1n =-，则两平面间的距离是 ()A ．32B 2C 3D ．32【答案】B【详解】两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，()2,1,1OA =，且两平面的一个法向量()1,0,1,n =-∴两平面间的距离20122n OA n⋅-++===B. 8．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 上存在两点A 、B 满足122F A F B =，243AF a =，则E 的离心率为（ ）A 5B ．23C 3D ．12【答案】A【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，推导出A 、1F 、C 三点共线，利用椭圆的定义可求得1AF 、2AF 、AC 、2CF ，推导出290CAF ∠=，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.【详解】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，则O 为BC 、12F F 的中点，故四边形12BF CF 为平行四边形，故12//CF BF 且12CF BF =，则12CF F B =， 所以，112F A CF =，故A 、1F 、C 三点共线， 由椭圆定义，122AF AF a +=，有123AF a =，所以13aCF =，则AC a =，再由椭圆定义122CF CF a +=，有253aCF =， 因为22222CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212F F AF AF =+即222049c a =，所以，离心率5e =． 故选：A.二、多选题9．已知圆FC ED ⊥与圆22210x y x ++-=相交于,A B 两点,则（ ） A ．两圆的圆心距为2 B ．直线AB 与x 轴垂直 C ．直线AB 的方程为1y =- D ．公共弦AB 的长为4【答案】AC【分析】根据两圆方程,先求出圆心和半径,进而可以求得圆心距,通过两圆方程的差即可求得公共弦长所在的直线方程,从而判断是否与x 轴垂直,通过一圆的圆心到直线AB 的距离及该圆半径构造直角三角形两边,用勾股定理即可求出公共弦长的一半,进而判断选项D 的正误. 【详解】解:由题知FC ED ⊥, 即()()221210x y ++-=, 所以圆心为1,2,10由圆22210x y x ++-=,即()2212x y ++=,所以圆心为()1,0-,,2=,故选项A 正确;两圆方程相减即可得AB 直线方程, 即1y =-,与x 轴平行, 故选项B 错误,选项C 正确;AB 直线方程为1y =-,则圆()()221210x y ++-=的圆心到AB 直线的距离为3,所以公共弦AB 的长为2,故选项D 错误. 故选:AC10．在空间直角坐标系O xyz -中，()1,0,0A ，()1,2,2B -，()0,0,2C -，则（ ） A ．4⋅=OC ABB ．异面直线OC 与AB 所成角等于π3C ．点B 到平面AOC 的距离是2D ．直线OB 与平面AOC 所成角的正弦值为23【答案】ACD【分析】根据异面直线夹角，直线与平面的夹角，点到面的距离公式分别求解. 【详解】对于A 项，()()()1,0,01,2,20,0,2A B C --()()0,0,20,22OC AB =-=-，，()()224OC AB ∴⋅=-⨯-=，所以A 正确.对于B 项，设OC 与AB 所成的角为θ，则cos 22OC AB OC ABθ⋅===⨯⋅ 且0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以π4θ=，故B 不正确.对于C 项，设平面AOC 的法向量为(),,n x y z =并且()()1,0,00,0,2OA OC ==-，即00OA n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00200x x z z ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以()0,1,0n =，()122OB =-，，所以点B 到平面AOC 的距离221OB n n⋅==，故C 正确.对于D 项，()122OB =-，，设直线OB 与平面AOC 所成角为θ，则22sin 313OB n OB nθ⋅===⋅⋅，故D 正确. 故选：ACD11．已知椭圆E ：221259x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（ ）A ．12PF F △周长为14B ．12PF F △面积最大值为12C ．存在点P 使得1290F PF ∠=︒D ．12PF F △不可能是等腰直角三角形【答案】BCD【分析】对于A ，利用椭圆定义求出12PF F △的周长即可判断；对于B ，利用点P 到12F F 的最大距离即可求得12PF F △面积的最大值，从而可判断； 对于C ，将问题转化为方程210180x x -+=有两解的问题，从而可判断；对于D ，分类讨论m n =、12m F F =与12n F F =三种情况，利用勾股定理即可判断. 【详解】因为椭圆E ：221259x y +=，所以2225,9a b ==，则25,3,16,4a b c c ====， 对于A ，不妨设12,PF m PF n ==，则12210m n PF PF a +=+==，又1228F F c ==， 所以12PF F △周长为2110818m n F F ++=+=，故A 错误；对于B ，因为当点P 在y 轴上时，点P 到12F F 的距离P d 最大，且最大值为3b =， 所以121211831222PF F P S F F d =≤⨯⨯=△，即12PF F △面积最大值为12，故B 正确； 对于C ，假设存在点P 使得1290F PF ∠=︒，则221222864m n F F +===，又10m n +=，所以()()22221006436mn m n m n =+-+=-=，则18=mn ，所以,m n 是方程210180x x -+=的两根，显然()2104180∆=--⨯>，方程有两解， 所以存在点P 使得1290F PF ∠=︒，故C 正确；对于D ，当m n =时，5m n ==，显然222558+≠，所以12PF F △不是直角三角形； 当12m F F =时，8,2m n ==，显然222288+≠，所以12PF F △不是直角三角形； 同理：当12n F F =时，12PF F △也不是直角三角形；综上：12PF F △不可能是等腰直角三角形，故D 正确. 故选：BCD.12．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则（ ）A ．13AC = B ．1A C BD ⊥C ．14ACA π∠=D ．点1A 到平面11BDD B 2【答案】BD【分析】对于A 选项，首先根据空间向量的线性运算得11AC AB AD AA =+-，两边同时平方，然后根据数量积的运算即可求得1AC ； 对于B 选项，首先根据空间向量的线性运算得BD AD AB =-，然后根据数量积运算得10AC BD ⋅=，即可得证1A C BD ⊥；对于C 选项，首先根据边长证明1AAC △为直角三角形，然后利用1112tan AA A CA A C ∠==，即可验证C 选项的正误；对于D 选项，首先证明1A C ⊥平面11BDD B ，即可得点1A 到平面11BDD B 的距离12A Cd =，进而求出距离d .【详解】对于A 选项，111A C AC AA AB AD AA =-=+-，得()222222111111222A C A C AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA ==+-=+++⋅-⋅-⋅1111112112112112222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，即得12AC =，故A 选项错误； 对于B 选项，已知11AC AB AD AA =+-，BD AD AB =-， ()()221111A C BD AB AD AA AD AB AB AD AB AD AD AB AA AD AA AB ⋅=+-⋅-=⋅-+-⋅-⋅+⋅1111111111*********=⨯⨯-+-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=，10A C BD ⋅=，1AC BD ∴⊥，故B 选项正确；对于C 选项，已知1AB AD ==，且60BAD ∠=，得AC =又11AA =，1AC 22211AA A C AC ∴+=，故1AAC △为直角三角形，所以得111tan AA A CA A C ∠==，14A CA π∴∠≠，故C 选项错误； 对于D 选项，由A 选项可知1A C BD ⊥，由C 选项可知11A C AA ⊥，即11AC BB ⊥，1BD BB B =，1A C ∴⊥平面11BDD B ，即可得点1A 到平面11BDD B 的距离12A C d ==故D 选项正确. 故选：BD三、填空题13．直线l 1⊥l 2，若l 1的倾斜角为30°，则l 2的倾斜角为__.【答案】120【分析】结合图象直接求直线l 2的倾斜角即可. 【详解】∵直线l 1的倾斜角为30°，直线l 1⊥l 2， ∴直线l 2的倾斜角是α＝30°+90°＝120°， 故答案为：120°.14．已知空间向量()1,2,3a =，(),1,b m n =-，若a b ∥，则m n +=______． 【答案】2-【分析】利用向量平行可知b a λ=，然后计算即可.【详解】由题可知b a λ=，所以有123m n λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得123212m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以2m n +=-故答案为：2-15．点()2,2A -为圆C ：()()22216x y a -+-=上一点，点B 在圆C 上运动，点M 满足12AM AB =．则点M 的轨迹方程为______． 【答案】()2224x y +-=【分析】首先求出a ，设出(),M x y =，()00B x y ，，利用向量关系，建立等量关系即可求解.【详解】因为点()22A -，在圆上，则()()2222216a --+-=，解得2a =. 设点(),M x y =，()00B x y ，，则由题意12AM AB =可得，()()00122222x y x y +-=+-，，，解得022x x =+，022y y =-，又因为()00B x y ，点满足圆的方程，代入可得()()2222222216x y +-+--=，化简得()2224x y +-=.故答案为：()2224x y +-=16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11D B 的中点，M 为AC 上一点，N 为DE 上一点，MN 的最小值为______．【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出高即可【详解】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面,ABCD 又AC ⊂平面,ABCD 1DD AC ∴⊥，又ABCD 中1;,AC BD DD BD D AC ⊥⋂=∴⊥平面11,BDD BAC ⊥平面11BDD B 上所有直线；过O 作'ON DE ⊥于'N',AC ON AC ON ∴⊥⊥，'MN ON ON ∴≥≥，'ON ∴为所求在Rt ODE △中，231,OE OD DE === '21623ON ∴==6四、解答题17．在平行四边形ABCD 中，()1,1A -，()1,2B ，()3,2C -，点E 是线段BC 的中点． (1)求直线CD 的方程； (2)求四边形ABED 的面积． 【答案】(1)270x y --=； (2)152.【分析】（1）求出AB k ，由ABCD ，由点斜式即可写出直线CD 的方程；（2）四边形ABED 为梯形，E 是线段BC 的中点，求出E 坐标、直线AD 的方程，即可求出E 到直线AD 的距离，再求出BC ，即可求梯形面积. 【详解】（1）由ABCD ，121112AB k -==--，∴直线CD 的方程为()()1232y x --=-，即270x y --=；（2）四边形ABED 为梯形，E 是线段BC 的中点，则1322,20E +-⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,0E ， 直线AD 的方程为()221131y x ---=+-，即210x y ++=，则E 到直线AD 的距离为2201541⨯++=+，()()22223125BC =--+-=.故四边形ABED 的面积为()52551522+⨯=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，112AD AB CD ===，90ADC ∠=︒，//AB CD ，点M 为棱P A的中点．(1)设DA a =，DC b =，DP c =，用a ，b ，c 表示CB ，CM ；(2)若PD ⊥底面ABCD ，且2PD =，求平面BCM 与平面ABCD 所成角的余弦值． 【答案】(1)12CB b a -=；1122CM c a b =-+ 317【分析】（1）结合向量的加法和减法运算化简即可；（2）分别求出平面BCM 与平面ABCD 的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解； 【详解】（1）111222CB DB DC DA AB DC DA DC DC DA DC a b =-=+-=+-=--=；()1111122222CM DM DC DA DP DC DA DC DP b c a =-=+-=-+=-+； （2）由PD ⊥面ABCD ，,⊂DA DC 面ABCD ，则,PD DA PD DC ⊥⊥， 又90ADC ∠=︒，则DA DC ⊥，故,,DA DC DP 两两垂直，以DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()11,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2,,0,12A B C P M ⎛⎫⎪⎝⎭，可设平面ABCD 的法向量为()10,0,1n =，()1,1,1,1,1,02BM BC ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，设平面BCM 的法向量为()2,,n x y z =，则2200n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z x y ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩，令1x =，231,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1233172cos ,924n n =+BCM 与平面ABCD 317. 19．已知椭圆Γ的中心在原点，一个焦点为()4,0F ，点(15D 在椭圆Γ上． (1)求椭圆Γ的方程；(2)已知直线l 平行于直线DF ，且l 与椭圆Γ有且只有一个公共点M ，求l 的方程 【答案】(1)2213620x y += (2)15435y x =-±【分析】（1）根据椭圆Γ的中心在原点，一个焦点为()4,0F ，得到c =4，且另一个焦点为()4,0F '-，再由点(15D 在椭圆Γ上，利用椭圆定义求解a 即可；（2）根据题意设直线l 的方程为：15y x m =-+，与椭圆方程联立，根据l 与椭圆Γ有且只有一个公共点，由Δ0=求解.【详解】（1）解：因为椭圆Γ的中心在原点，一个焦点为()4,0F ， 所以c =4，且另一个焦点为()4,0F '-， 又点(15D 在椭圆Γ上， 所以()()()()222223415341512a -+++，解得6a =，则22220b a c =-=，所以椭圆Γ的方程为2213620x y +=；（2）由题意，设直线l的方程为：y m =+，由2213620y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，化简得2214091800x m -+-=，因为l 与椭圆Γ有且只有一个公共点，所以()()22414091800m ∆=-⨯-=， 即2560m =，解得m =±所以直线的方程为：y =±20．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，2AB =，30AOB ∠=︒，且点B 在第一象限．记OAB 的外接圆为圆E ． (1)求圆E 的方程；(2)过点(D 且不与y 轴重合的直线l 与圆E 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，1211+x x 是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由． 【答案】(1)2220x y x +--=； (2)是定值，23-.【分析】(1)根据题意可得B ，设OAB 的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入,,O A B 三点的坐标，即可解得圆的方程；(2) 由题意可知直线l的斜率存在，设为：y kx =+12x x +，12x x 的关于k 代数式，再由12121211x x x x x x ++=化简即可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得||2OA =， 所以||||2OA AB ==，又因为30AOB ∠=︒，点B 在第一象限， 所以直线AB 的倾斜角为60︒，所以2||cos60213B x AB =+⋅︒=+=，||sin 603B y AB =⋅︒=， 所以(3,3)B ，设OAB 的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由有024033120F D F D E F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得0223F D E ⎧=⎪=-⎨⎪=-⎩,所以OAB 的外接圆的方程为：222230x y x y +--=； （2）解：由题意可知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为：3y kx =+,由223230y kx x y x ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩，可得22(1)230k x x +--=， 所以2412(1)0k ∆=++>，12221x x k +=+，12231x x k =-+， 所以1222121221121331x x k x x x x k ++==+=--+， 所以1211+x x 是定值23-. 21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E ，F 分别是CD ，BC 的中点．(1)求证：1EB ⊂平面1D EF ； (2)点P 在平面1AED 上，若2DP =DP 与1B E 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）建立空间直角坐标系，先求得平面1D EF 的法向量，利用向量垂直的坐标表示证得1//EB 平面1D EF ，进而证得1EB ⊂平面1D EF ；（2）在（1）的基础上，先证得1EB 是平面1AED 的法向量，再求得D 到平面1AED 的距离，又通过作图得到DP 与1B E 所成角为PDG ∠，从而利用所得长度求得cos PDG ∠，即为所求. 【详解】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，如图1所示， 则()()()()()1111,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,,2,0,1,2,12A D E D F B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()1111,1,1,,1,0,0,1,12EB EF D E ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，设平面1D EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则11020EF n x y D E n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令2x =，则1y z ==-，故()2,1,1n =--，所以12110EB n ⋅=--=，即1EB n ⊥， 所以1//EB 平面1D EF ，又E ∈平面1D EF ，所以1EB ⊂平面1D EF ..（2）由（1）得，()()11,0,1,1,1,0AD AE =-=-，设平面1AED 的一个法向量为(),,m a b c =，则10AD m a c AE m a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1a =，则1,1b c ==，故()1,1,1m =，又()11,1,1EB =，所以1EB 是平面1AED 的一个法向量，即1EB ⊥平面1AED ， 又因为()1,0,0DA =，所以D 到平面1AED 的距离为1333DA m m⋅==， 过D 作DG ⊥平面1AED 且交平面1AED 于G ，则33DG =，1DG EB //，如图2， 易得PDG △是直角三角形，DP 与1B E 所成角为DP 与DG 所成角，即PDG ∠， 所以363cos 322DG PDG PD ∠===，即DP 与1B E 所成角的余弦值为63.22．已知椭圆Γ：()22220x y a b a b+>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为4，A ，B 是Γ上关于原点对称的两个动点，当2AF 垂直于x 轴时，2ABF △的周长为4 (1)求Γ的方程；(2)已知Γ的离心率e <直线2AF 与Γ交于点M （异于点A ），直线2BF 与Γ交于点N （异于点B ），证明：直线MN 过定点． 【答案】(1)22143x y += (2)证明过程见详解【分析】(1)根据椭圆的对称性可知：21AF BF =，则2ABF △的周长为22a OA +，由题意知2(,)b A c a±，则OA ，从而得到24a +=22224,a c a b ==-即可求出,a b 的值，从而求出方程；(2)设直线MN 的方程为,(0)x my n m =+≠，1122(,),(,)M x y N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线2AF 的方程为1331,(,)x m y A x y =+，设直线2BF 的方程为2331,(,)x m y B x y =+--，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示出3y ，然后利用,A B 两点关于原点对称，纵坐标之间的关系建立等量关系，化简整理进而得出结果.【详解】（1）由题意可知：2(,)b A c a±，又因为A ，B 是Γ上关于原点对称的两个动点，所以21AF BF =， 则2ABF △的周长为2221222AF BF AB BF BF OA a OA ++=++=+，因为OA =24a +又因为22224,a c a b ==-，所以23,1b c ==， 故Γ的方程为22143x y +=. （2）当A ，B 为椭圆的左右顶点时，直线MN 与x 轴重合；当A ，B 为椭圆的上下顶点时，则2(1,0)A F ，所以直线2AF 的方程为y =与椭圆方程联立可得点8(,5M ，同理可得点85(N ，此时直线MN 的方程为85x =；当A ，B 不是顶点时，设直线MN 的方程为,(0)x my n m =+≠，1122(,),(,)M x y N x y ，由22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(34)63120m y mny n +++-=，222222364(312)(34)144481920m n n m m n ∆=--+=-+>，212122263123434mn n y y y y m m --+==++，， 设直线2AF 的方程为11x m y =+，其中1111x m y -=，11(,)M x y ，33(,)A x y ， 由1221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：2211(34)690m y m y ++-=，22111361081440m m ∆=++>，所以1332211199,34(34)y y y m m y --==++ 设直线2BF 的方程为21x m y =+，其中2221x m y -=，22(,)N x y ，33(,)B x y --， 由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：2222(34)690m y m y ++-=，22222361081440m m ∆=++>，所以2332222299,34(34)y y y m m y ---==+-+， 所以22221199(34)(34)m y m y --=-++，整理可得：221122(34)+(34)0m y m y ++=， 所以22112212334(+)0m y m y y y ++=，因为2222221212112212121211(1)(1)()()x x my n my n m y m y y y y y y y --+-+-+=+=+ 22121212()4(1)(1)y y m y y m n n y y +=++-+-， 则22121212123()12(1)3(1)4()0y y m y y m n n y y y y +++-+-++=， 整理可得：22121212(34)()12(1)3(1)0y y m y y m n n y y ++++-+-=， 将21212226312,3434mn n y y y y m m --+==++代入上式可得：222266(34)12(1)3(1)034312mn mnm m n n m n --+⋅+-+-=+-，也即(58)0m n -=，因为0m ≠，所以85n =，所以直线MN 的方程为85x my =+，恒过定点8(,0)5，综上：直线MN 恒过定点8(,0)5.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
山东省临沂市沂水县2024—2025学年高二上学期11月期中质量检测语文试题(含答案)
2023级普通高中学科素养水平监测试卷语文2024．11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：文化交往实际上是一个说理的过程，“公共说理”是文化交往主要且最有效的方式。
文化软实力之“软”在于温润人心，而文化交往靠的是“理”而不是“力”，这个“理”的显著特点就是“软”。
只有以“理”的方式进行文化交往，不同文化之间才能以文化的方式实现交流、互鉴与发展。
这个“理”并非一己之“理由”，而是不同文化的最大公约数——共同认可的“道理”。
因此，“公共说理”实际上关涉文明形象的塑造。
“公共说理”必须坚持自由、民主的基本原则。
自由与民主不仅是中华文明的核心内容，也是人类文明的核心要素，从而构成全人类共同价值的基本内容。
“公共说理”首先必须是自由的，说理当然离不开一己之“理由”，但只有在大家共同认可之“道理”中，一己之“理由”才能获得自由的发展。
“公共说理”还必须是平等的。
说理意味着平等的对话。
居高临下、以强凌弱、盛气凌人都不是说理的正确姿态。
说理的目的不是为了分清谁对谁错，也不一定是达成共识，而是相互理解。
在申说自己的立场、观点或主张时，认真倾听别人的心声，不把自己的立场、观点或主张强加于人。
“公共说理”还必须坚持以事实为根据的基本原则。
说理不是空口无凭、信口雌黄，而是以事实为根据，以理服人。
没有事实根据的理由即使不是谎言，也是经不起推敲的空洞说辞，不具有真理的力量。
中华文明以“明德”为其基本的精神特质。
“明德”不仅在于“明明德”，而且还在于“明明德于天下”。
山东省临沂市2022-2023学年高三期中数学试题含答案
临沂市高三教学质量检测考试数㊀学２０２２．１１注意事项：１．答卷前，考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上㊂２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑㊂如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号㊂回答非选择题时，将答案写在答题卡上㊂写在本试卷上无效㊂３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．设集合Ａ＝｛ｘ｜３－ｘ＜２｝，Ｂ＝｛１，２，４，５｝，则Ｂɘ∁ＲＡ＝Ａ．｛１｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛１，２｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｃ．｛１，２，４｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｄ．｛４，５｝２．若ｚ＝５ｉｉ－２，则ｚ＝Ａ．２＋ｉＢ．－２＋ｉＣ．１＋２ｉＤ．１－２ｉ３．若扇形的弧长与面积都是６，则这个扇形的圆心角的弧度数是Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５４．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行 阶梯水价 ．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过１２ｍ３４元／ｍ３超过１２ｍ３但不超过１８ｍ３６元／ｍ３超过１８ｍ３８元／ｍ３若某户居民上月交纳的水费为６６元，则该户居民上月用水量为Ａ．１３ｍ３Ｂ．１４ｍ３Ｃ．１５ｍ３Ｄ．１６ｍ３５．已知ｐ：ｘ２＋ｘ－２＞０，ｑ：ｘ＞ａ，若ｐ是ｑ的必要不充分条件，则Ａ．ａȡ１Ｂ．ａɤ１Ｃ．ａȡ－２Ｄ．ａɤ－２６．已知向量ＯＡң＝（１，７），ＯＢң＝（５，１），ＯＭң＝（２，１），若点Ｐ是直线ＯＭ上的一个动点，则ＰＡң㊃ＰＢң的最小值为Ａ．－４Ｂ．－６Ｃ．－８Ｄ．－１０㊀７．已知ａ＝５４ｌｎ５４，ｂ＝１４，ｃ＝２ｌｎ（ｓｉｎ１８＋ｃｏｓ１８），则Ａ．ｂ＜ｃ＜ａＢ．ａ＜ｃ＜ｂＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ｃ＜ｂ＜ａ８．函数ｆ（ｘ）是定义在（０，＋ɕ）上的单调函数，且对定义域内的任意ｘ，均有ｆ（ｆ（ｘ）－ｌｎｘ－ｘ）＝２，则ｆ（ｅ）＝Ａ．ｅ＋１Ｂ．ｅ＋２Ｃ．ｅ２＋１Ｄ．ｅ２＋２二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．欧拉公式ｅｘｉ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ（其中ｉ为虚数单位，ｘɪＲ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则Ａ．ｅπｉ＝１Ｂ．ｅπｉ２为纯虚数Ｃ．ｅｘｉ３＋ｉ＝１２Ｄ．复数ｅ２ｉ对应的点位于第三象限１０．函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，０＜φ＜π）的部分图象如图所示，则Ａ．ω＋φ＝π２Ｂ．ｆ（－２）＝－２２Ｃ．ｆ（ｘ）的图象关于点（２０２２，０）对称Ｄ．ｆ（２ｘ）在［３，４］上单调递增１１．南宋数学家杨辉所著的‘详解九章算法㊃商功“中出现了如图所示的形状，后人称之为 三角垛 ． 三角垛 最上层有１个球，第二层有３个球，第三层有６个球， ，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列｛ａｎ｝，则Ａ．ａ４＝９Ｂ．ａｎ＋１－ａｎ＝ｎ＋１Ｃ．ａ１０＝５５Ｄ．ðｎｉ＝１１ａｉ＝２ｎｎ＋１１２．若ａ＞ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则Ａ．ａｌｎｂ＞ｂｌｎａＢ．２ａ＋ａｂȡ２＋２２Ｃ．（ａ２＋１）（ｂ２＋１）＜３２Ｄ．ａ２ａ＋２＋ｂ２ｂ＋１ȡ１４三㊁填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．已知向量ａ在ｂ方向上的投影向量是－２ｅ（ｅ是与ｂ同方向的单位向量），｜ｂ｜＝３，则ａ㊃ｂ＝㊀㊀㊀㊀．１４．已知ｔａｎ（π８－α）＝２３，则ｓｉｎ（π４＋２α）＝㊀㊀㊀㊀．１５．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ１２（－ｘ）－１，ｘ＜０ｌｏｇ２ｘ＋１，ｘ＞０{，若ｆ（ａ）＞ｆ（－ａ），则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１６．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度１２８米，转盘直径为１２０米，设置有４８个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要３０分钟．若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转ｔ分钟后距离地面的高度为ｈ米，则ｈ关于ｔ的函数解析式为㊀㊀㊀㊀㊀㊀；若游客甲在ｔ１，ｔ２时刻距离地面的高度相等，则ｔ１＋ｔ２的最小值为㊀㊀㊀㊀．四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象过点（０，２），且满足ｆ（－１）＝ｆ（３）．（１）求ｆ（ｘ）的解析式；（２）解关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ．１８．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ４ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｓｉｎ４ｘ．（１）求ｆ（ｘ）的最小正周期；（２）将ｆ（ｘ）的图象向右平移π４个单位，得到函数ｇ（ｘ）的图象，若ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上的最小值为ｇ（０），求ｍ的最大值．１９．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｓｉｎｘ－２ｘ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线为ｙ＝１．（１）求ａ，ｂ；（２）求ｆ（ｘ）的最小值．㊀２０．（１２分）已知正项数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ，且ａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ．（１）证明：数列｛Ｓｎ２｝为等差数列；（２）记Ｔｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ，证明Ｔｎ＜２ｎ．２１．（１２分）әＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ｃｏｓＡ＝７８，ＡＣ＞ＡＢ．（１）若ＡＢң㊃ＢＣң＝１２，求ＢＣ；（２）若ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，求әＡＢＣ的面积．２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘｘ和ｇ（ｘ）＝ａｘｅｘ有相同的最大值．（１）求ａ，并说明函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点；（２）证明：存在直线ｙ＝ｂ，其与两条曲线ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．临沂市高三教学质量检测考试数学试题参考答案及评分标准２０２２．１１说明：一㊁本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．二㊁当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．三㊁解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四㊁只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．Ｄ㊀２．Ｃ㊀３．Ｂ㊀４．Ｃ㊀５．Ａ㊀６．Ｃ㊀７．Ｄ㊀８．Ｂ㊀二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．ＢＣ㊀１０．ＡＢＤ㊀１１．ＢＣＤ㊀１２．ＢＤ㊀三㊁填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．－６㊀１４．５１３㊀１５．（－１２，０）ɣ（１２，＋ɕ）㊀１６．ｈ（ｔ）＝６０ｓｉｎ（π１５ｔ－π２）＋６８，ｔɪ［０，＋ɕ）㊀３０（第一空３分，第二空２分）四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）解：（１）ȵｆ（ｘ）的图象过点（０，２），即ｆ（０）＝２，ʑｃ＝２．１分又ｆ（－１）＝ｆ（３），ʑｆ（ｘ）图象的对称轴为ｘ＝－１＋３２＝１，２分 ʑ－ｂ２＝１，ʑｂ＝－２．４分故ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋２．５分 （２）不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ，可化为ｘ２－２ａｘ＋２＜０．６分①当Δ＝４ａ２－８ɤ０，即－２ɤａɤ２时，不等式ｘ２－２ａｘ＋２ȡ０恒成立，此时不等式ｘ２－２ａｘ＋２＜０的解集为Ø．７分 ②当Δ＝４ａ２－８＞０，即ａ＜－２或ａ＞２时，㊀方程ｘ２－２ａｘ＋２＝０有两个根为ｘ１＝ａ－ａ２－２，ｘ２＝ａ＋ａ２－２，８分此时不等式ｘ－２ａｘ＋２＜０的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．９分综上，当－２ɤａɤ２时，不等式的解集为Ø；当ａ＜－２或ａ＞２时，不等式的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．１０分１８．（１２分）解：（１）ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ）（ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ２分＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π４）４分ʑ最小正周期Ｔ＝２π２＝π．５分（２）ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ［２（ｘ－π４）＋π４］，７分即ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ（２ｘ－π４），８分ȵ０ɤｘɤｍ，ʑ－π４ɤ２ｘ－π４ɤ２ｍ－π４．９分由ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上最小值为ｇ（０），ʑ２ｍ－π４ɤ５π４．ʑｍɤ３π４．１０分ʑ０＜ｍɤ３π４．１１分即ｍ的最大值为３π４．１２分１９．（１２分）解：（１）由已知：ｆᶄ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｃｏｓｘ－２，１分ȵ曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程为ｙ＝１，ʑｆ（０）＝１，ｆᶄ（０）＝０，{即ａ＝１，ａ＋ｂ－２＝０，{ʑａ＝１，ｂ＝１．{５分（２）由（１）知，ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ＋ｃｏｓｘ－２，６分当ｘ＜０时，ȵｅｘ＜１，ｃｏｓｘ＜１，ʑｆᶄ（ｘ）ɤ０，ʑｆ（ｘ）单调递减．８分当ｘ＞０时，令ｇ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ），则ｇᶄ（ｘ）＝ｅｘ－ｓｉｎｘ，ȵｅｘ＞１，ｓｉｎｘɤ１ʑｇᶄ（ｘ）＞０，ʑｆᶄ（ｘ）单调递增，ʑｆᶄ（ｘ）＞ｆᶄ（０）＝０．１０分ʑ当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）单调递增．１１分ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（０）＝１．ʑｆ（ｘ）的最小值为１．１２分２０．（１２分）解：（１）证明：ȵａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ，ʑ当ｎȡ２时，Ｓｎ－Ｓｎ－１＋１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝２Ｓｎ，１分ʑ１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝Ｓｎ＋Ｓｎ－１），ʑＳｎ２－Ｓｎ－１２＝１．３分当ｎ＝１时，ａ１＋１ａ１＝２ａ１，ʑａ１２＝１，即Ｓ１２＝１，４分 故｛Ｓｎ２｝是首项为１，公差为１的等差数列，５分 （２）证明：由（１）知Ｓｎ２＝ｎ，Ｓｎ＝ｎ；７分 １Ｓｎ＝１ｎ＝２２ｎ＜２ｎ＋ｎ－１＝２（ｎ－ｎ－１），９分 ʑＴｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ＜２（１－０＋２－１＋３－２＋ ＋ｎ－ｎ－１）＝２ｎ．１１分 即Ｔｎ＜２ｎ．１２分２１．（１２分）解：（１）ȵＡＢң㊃ＢＣң＝ＡＢң㊃（ＡＣң－ＡＢң）＝ＡＢң㊃ＡＣң－｜ＡＢң｜２１分＝｜ＡＢң｜㊃｜ＡＣң｜㊃ｃｏｓＡ－４２＝４ˑＡＣˑ７８－１６＝７２ＡＣ－１６，２分 由７２ＡＣ－１６＝１２，得ＡＣ＝８．３分 ʑＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２ＡＢ㊃ＡＣｃｏｓＡ＝２４，４分 ʑＢＣ＝２６．５分 （２）法一：ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑπ３＜Ｂ－Ｃ＜π２，２π３＜２（Ｂ－Ｃ）＜π，６分又ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）＝２ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）－１＝－７８，又ｃｏｓＡ＝７８，０＜Ａ＜π３，ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝π－Ａ，㊀ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝Ｂ＋Ｃ，ʑＢ＝３Ｃ，７分ʑＡ＝π－４Ｃ，ʑｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π－４Ｃ）＝７８，ʑｃｏｓ４Ｃ＝－７８，ʑ２ｃｏｓ２２Ｃ－１＝－７８，８分ʑｃｏｓ２Ｃ＝１４，ʑ１－２ｓｉｎ２Ｃ＝１４，ʑｓｉｎＣ＝６４，９分由正弦定理得，ＡＢｓｉｎＣ＝ＢＣｓｉｎＡ，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，ＡＢ＝４，ʑＢＣ＝４ˑ１５８ˑ４６＝１０，１０分又ｓｉｎ２Ｃ＝１５４，ｃｏｓＣ＝１０４，ʑｓｉｎＢ＝ｓｉｎ３Ｃ＝ｓｉｎ（Ｃ＋２Ｃ）＝ｓｉｎＣｃｏｓ２Ｃ＋ｃｏｓＣｓｉｎ２Ｃ＝６４ˑ１４＋１０４ˑ１５４＝３６８，１１分ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＢＣｓｉｎＢ＝１２ˑ４ˑ１０ˑ３６８＝３１５２．１２分法二：在ＡＣ上取点Ｄ，使得øＣＢＤ＝øＣ，ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑｃｏｓøＡＢＤ＝１４，６分ʑｓｉｎøＡＢＤ＝１－ｃｏｓ２øＡＢＤ＝１５４，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，７分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓ［π－（øＡ＋øＡＢＤ）］＝－ｃｏｓ（øＡ＋øＡＢＤ）＝ｓｉｎＡ㊃ｓｉｎøＡＢＤ－ｃｏｓＡｃｏｓøＡＢＤ＝１５８ˑ１５４－７８ˑ１４＝１４，８分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓøＡＢＤ，ʑøＡＤＢ＝øＡＢＤ．ʑＡＤ＝ＡＢ＝４．９分 又ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ㊃ＡＤ㊃ｃｏｓＡ＝１６＋１６－２ˑ４ˑ４ˑ７８＝４，ʑＢＤ＝２，１０分 ʑＤＣ＝ＢＤ＝２，ＡＣ＝ＡＤ＋ＤＣ＝６，１１分 ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＡＣ㊃ｓｉｎＡ＝１２ˑ４ˑ６ˑ１５８＝３１５２．１２分２２．（１２分）解：（１）ｆᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２，１分 当ｘɪ（０，ｅ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增；当ｘɪ（ｅ，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，ʑｘ＝ｅ时，ｆ（ｘ）取得最大值．即ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（ｅ）＝１ｅ．２分 ｇᶄ（ｘ）＝ａ（１－ｘ）ｅｘ，当ａ＞０时，ｘɪ（－ɕ，１）时，ｇᶄ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；ｘɪ（１，＋ɕ）时，ｇᶄ（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，ʑｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝ａｅ．３分 当ａ＝０时，ｇ（ｘ）＝０，不合题意；当ａ＜０时，可知ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（１），不合题意．故ａｅ＝１ｅ，即ａ＝１．４分 ʑｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ－ｘｅｘ．５分 ȵｈᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２－１－ｘｅｘ，当１＜ｘ＜ｅ时，１－ｌｎｘ＞０，１－ｘ＜０，ʑｈᶄ（ｘ）＞０，ʑｈ（ｘ）在［１，ｅ］上单调递增，又ｈ（１）＝－１ｅ＜０，ｈ（ｅ）＝１ｅ－ｅｅｅ＝１ｅ－１ｅｅ－１＝ｅｅ－１－ｅｅｅ＞０，ʑｈ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点．６分（２）由（１）知，ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）的图象大致如下图：㊀７分直线ｙ＝ｂ与曲线ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）三个交点的横坐标从左至右依次为ｘ１，ｘ２，ｘ３，且０＜ｘ１＜１＜ｘ２＜ｅ＜ｘ３，８分 ʑ０＜ｌｎｘ２＜１＜ｌｎｘ３且ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｘ１ｅｘ１＝ｂ．９分 由ｘ１ｅｘ１＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｌｎｘ２ｅｌｎｘ２即ｇ（ｘ１）＝ｇ（ｌｎｘ２），ｘ１，ｌｎｘ２ɪ（０，１），ʑｘ１＝ｌｎｘ２即ｘ２＝ｅｘ１．① １０分 由ｘ２ｅｘ２＝ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ３ｅｌｎｘ３即ｇ（ｘ２）＝ｇ（ｌｎｘ３），ʑｘ２＝ｌｎｘ３．② １１分 由①，②，ｘ２２＝ｅｘ１ｌｎｘ３，又ｌｎｘ３ｘ３＝ｘ１ｅｘ１即ｅｘ１ｌｎｘ３＝ｘ１ｘ３，ʑｘ２２＝ｘ１ｘ３．１２分。
高三上学期期中数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 3$，$f(2) = 8$，$f(3) = 15$，则$a + b + c$的值为：A. 6B. 7C. 8D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10} + a_{20} + a_{30}$的值为：A. 120B. 150C. 180D. 2103. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值为：A. 13B. 14C. 15D. 164. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围为：A. $(-1, 1)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$D. $[-1, 1]$5. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$，公比$q = -2$，则$a_3 \cdot a_5\cdot a_7$的值为：A. -8B. -16C. 8D. 166. 若不等式组$\begin{cases} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{cases}$的解集在坐标系中对应的图形为：A. 一个正方形B. 一个矩形C. 一个三角形D. 一个平行四边形7. 函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值分别为：A. $-2, -3$B. $-3, -2$C. $2, -3$D. $3, -2$8. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$b^2$的值为：A. 4B. 3C. 2D. 19. 若函数$g(x) = \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1)$的定义域为$[1, 3]$，则$g(x)$在定义域内的最大值为：A. 1B. 0C. -1D. 无最大值10. 若直线$y = kx + 1$与直线$y = -\frac{1}{k}x + 1$的交点在第一象限，则$k$的取值范围为：A. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$B. $(-\infty, 0) \cup (0,1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ D. $(-1, 0) \cup (0, 1)$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 3n$，则$a_1$的值为______。
高三试卷数学-山东省临沂市2023届高三上学期期中考试数学试卷及参考答案
临沂市高三教学质量检测考试数㊀学注意事项：１．答卷前，考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上㊂２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑㊂如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号㊂回答非选择题时，将答案写在答题卡上㊂写在本试卷上无效㊂３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．设集合Ａ＝｛ｘ｜３－ｘ＜２｝，Ｂ＝｛１，２，４，５｝，则Ｂɘ∁ＲＡ＝Ａ．｛１｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛１，２｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｃ．｛１，２，４｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｄ．｛４，５｝２．若ｚ＝５ｉｉ－２，则ｚ＝Ａ．２＋ｉＢ．－２＋ｉＣ．１＋２ｉＤ．１－２ｉ３．若扇形的弧长与面积都是６，则这个扇形的圆心角的弧度数是Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５４．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行 阶梯水价 ．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过１２ｍ３４元／ｍ３超过１２ｍ３但不超过１８ｍ３６元／ｍ３超过１８ｍ３８元／ｍ３若某户居民上月交纳的水费为６６元，则该户居民上月用水量为Ａ．１３ｍ３Ｂ．１４ｍ３Ｃ．１５ｍ３Ｄ．１６ｍ３５．已知ｐ：ｘ２＋ｘ－２＞０，ｑ：ｘ＞ａ，若ｐ是ｑ的必要不充分条件，则Ａ．ａȡ１Ｂ．ａɤ１Ｃ．ａȡ－２Ｄ．ａɤ－２６．已知向量ＯＡң＝（１，７），ＯＢң＝（５，１），ＯＭң＝（２，１），若点Ｐ是直线ＯＭ上的一个动点，则ＰＡң㊃ＰＢң的最小值为Ａ．－４Ｂ．－６Ｃ．－８Ｄ．－１０㊀７．已知ａ＝５４ｌｎ５４，ｂ＝１４，ｃ＝２ｌｎ（ｓｉｎ１８＋ｃｏｓ１８），则Ａ．ｂ＜ｃ＜ａＢ．ａ＜ｃ＜ｂＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ｃ＜ｂ＜ａ８．函数ｆ（ｘ）是定义在（０，＋ɕ）上的单调函数，且对定义域内的任意ｘ，均有ｆ（ｆ（ｘ）－ｌｎｘ－ｘ）＝２，则ｆ（ｅ）＝Ａ．ｅ＋１Ｂ．ｅ＋２Ｃ．ｅ２＋１Ｄ．ｅ２＋２二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．欧拉公式ｅｘｉ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ（其中ｉ为虚数单位，ｘɪＲ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则Ａ．ｅπｉ＝１Ｂ．ｅπｉ２为纯虚数Ｃ．ｅｘｉ３＋ｉ＝１２Ｄ．复数ｅ２ｉ对应的点位于第三象限１０．函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，０＜φ＜π）的部分图象如图所示，则Ａ．ω＋φ＝π２Ｂ．ｆ（－２）＝－２２Ｃ．ｆ（ｘ）的图象关于点（２０２２，０）对称Ｄ．ｆ（２ｘ）在［３，４］上单调递增１１．南宋数学家杨辉所著的‘详解九章算法㊃商功“中出现了如图所示的形状，后人称之为 三角垛 ． 三角垛 最上层有１个球，第二层有３个球，第三层有６个球， ，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列｛ａｎ｝，则Ａ．ａ４＝９Ｂ．ａｎ＋１－ａｎ＝ｎ＋１Ｃ．ａ１０＝５５Ｄ．ðｎｉ＝１１ａｉ＝２ｎｎ＋１１２．若ａ＞ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则Ａ．ａｌｎｂ＞ｂｌｎａＢ．２ａ＋ａｂȡ２＋２２Ｃ．（ａ２＋１）（ｂ２＋１）＜３２Ｄ．ａ２ａ＋２＋ｂ２ｂ＋１ȡ１４三㊁填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．已知向量ａ在ｂ方向上的投影向量是－２ｅ（ｅ是与ｂ同方向的单位向量），｜ｂ｜＝３，则ａ㊃ｂ＝㊀㊀㊀㊀．１４．已知ｔａｎ（π８－α）＝２３，则ｓｉｎ（π４＋２α）＝㊀㊀㊀㊀．１５．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ１２（－ｘ）－１，ｘ＜０ｌｏｇ２ｘ＋１，ｘ＞０{，若ｆ（ａ）＞ｆ（－ａ），则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．１６．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度１２８米，转盘直径为１２０米，设置有４８个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要３０分钟．若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转ｔ分钟后距离地面的高度为ｈ米，则ｈ关于ｔ的函数解析式为㊀㊀㊀㊀㊀㊀；若游客甲在ｔ１，ｔ２时刻距离地面的高度相等，则ｔ１＋ｔ２的最小值为㊀㊀㊀㊀．四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象过点（０，２），且满足ｆ（－１）＝ｆ（３）．（１）求ｆ（ｘ）的解析式；（２）解关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ．１８．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ４ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｓｉｎ４ｘ．（１）求ｆ（ｘ）的最小正周期；（２）将ｆ（ｘ）的图象向右平移π４个单位，得到函数ｇ（ｘ）的图象，若ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上的最小值为ｇ（０），求ｍ的最大值．１９．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｓｉｎｘ－２ｘ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线为ｙ＝１．（１）求ａ，ｂ；（２）求ｆ（ｘ）的最小值．㊀２０．（１２分）已知正项数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ，且ａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ．（１）证明：数列｛Ｓｎ２｝为等差数列；（２）记Ｔｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ，证明Ｔｎ＜２ｎ．２１．（１２分）әＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ｃｏｓＡ＝７８，ＡＣ＞ＡＢ．（１）若ＡＢң㊃ＢＣң＝１２，求ＢＣ；（２）若ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，求әＡＢＣ的面积．２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘｘ和ｇ（ｘ）＝ａｘｅｘ有相同的最大值．（１）求ａ，并说明函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点；（２）证明：存在直线ｙ＝ｂ，其与两条曲线ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．临沂市高三教学质量检测考试数学试题参考答案及评分标准２０２２．１１说明：一㊁本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．二㊁当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．三㊁解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四㊁只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．Ｄ㊀２．Ｃ㊀３．Ｂ㊀４．Ｃ㊀５．Ａ㊀６．Ｃ㊀７．Ｄ㊀８．Ｂ㊀二㊁选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．ＢＣ㊀１０．ＡＢＤ㊀１１．ＢＣＤ㊀１２．ＢＤ㊀三㊁填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．－６㊀１４．５１３㊀１５．（－１２，０）ɣ（１２，＋ɕ）㊀１６．ｈ（ｔ）＝６０ｓｉｎ（π１５ｔ－π２）＋６８，ｔɪ［０，＋ɕ）㊀３０（第一空３分，第二空２分）四㊁解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．（１０分）解：（１）ȵｆ（ｘ）的图象过点（０，２），即ｆ（０）＝２，ʑｃ＝２．１分又ｆ（－１）＝ｆ（３），ʑｆ（ｘ）图象的对称轴为ｘ＝－１＋３２＝１，２分 ʑ－ｂ２＝１，ʑｂ＝－２．４分故ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋２．５分 （２）不等式ｆ（ｘ）＜（２ａ－２）ｘ，可化为ｘ２－２ａｘ＋２＜０．６分①当Δ＝４ａ２－８ɤ０，即－２ɤａɤ２时，不等式ｘ２－２ａｘ＋２ȡ０恒成立，此时不等式ｘ２－２ａｘ＋２＜０的解集为Ø．７分 ②当Δ＝４ａ２－８＞０，即ａ＜－２或ａ＞２时，㊀方程ｘ２－２ａｘ＋２＝０有两个根为ｘ１＝ａ－ａ２－２，ｘ２＝ａ＋ａ２－２，８分此时不等式ｘ－２ａｘ＋２＜０的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．９分综上，当－２ɤａɤ２时，不等式的解集为Ø；当ａ＜－２或ａ＞２时，不等式的解集为｛ｘ｜ａ－ａ２－２＜ｘ＜ａ＋ａ２－２｝．１０分１８．（１２分）解：（１）ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ）（ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ２分＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π４）４分ʑ最小正周期Ｔ＝２π２＝π．５分（２）ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ［２（ｘ－π４）＋π４］，７分即ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ（２ｘ－π４），８分ȵ０ɤｘɤｍ，ʑ－π４ɤ２ｘ－π４ɤ２ｍ－π４．９分由ｇ（ｘ）在［０，ｍ］上最小值为ｇ（０），ʑ２ｍ－π４ɤ５π４．ʑｍɤ３π４．１０分ʑ０＜ｍɤ３π４．１１分即ｍ的最大值为３π４．１２分１９．（１２分）解：（１）由已知：ｆᶄ（ｘ）＝ａｅｘ＋ｂｃｏｓｘ－２，１分ȵ曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程为ｙ＝１，ʑｆ（０）＝１，ｆᶄ（０）＝０，{即ａ＝１，ａ＋ｂ－２＝０，{ʑａ＝１，ｂ＝１．{５分（２）由（１）知，ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ＋ｃｏｓｘ－２，６分当ｘ＜０时，ȵｅｘ＜１，ｃｏｓｘ＜１，ʑｆᶄ（ｘ）ɤ０，ʑｆ（ｘ）单调递减．８分当ｘ＞０时，令ｇ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ），则ｇᶄ（ｘ）＝ｅｘ－ｓｉｎｘ，ȵｅｘ＞１，ｓｉｎｘɤ１ʑｇᶄ（ｘ）＞０，ʑｆᶄ（ｘ）单调递增，ʑｆᶄ（ｘ）＞ｆᶄ（０）＝０．１０分ʑ当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）单调递增．１１分ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（０）＝１．ʑｆ（ｘ）的最小值为１．１２分２０．（１２分）解：（１）证明：ȵａｎ＋１ａｎ＝２Ｓｎ，ʑ当ｎȡ２时，Ｓｎ－Ｓｎ－１＋１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝２Ｓｎ，１分ʑ１Ｓｎ－Ｓｎ－１＝Ｓｎ＋Ｓｎ－１），ʑＳｎ２－Ｓｎ－１２＝１．３分当ｎ＝１时，ａ１＋１ａ１＝２ａ１，ʑａ１２＝１，即Ｓ１２＝１，４分 故｛Ｓｎ２｝是首项为１，公差为１的等差数列，５分 （２）证明：由（１）知Ｓｎ２＝ｎ，Ｓｎ＝ｎ；７分 １Ｓｎ＝１ｎ＝２２ｎ＜２ｎ＋ｎ－１＝２（ｎ－ｎ－１），９分 ʑＴｎ＝１Ｓ１＋１Ｓ２＋１Ｓ３＋ ＋１Ｓｎ＜２（１－０＋２－１＋３－２＋ ＋ｎ－ｎ－１）＝２ｎ．１１分 即Ｔｎ＜２ｎ．１２分２１．（１２分）解：（１）ȵＡＢң㊃ＢＣң＝ＡＢң㊃（ＡＣң－ＡＢң）＝ＡＢң㊃ＡＣң－｜ＡＢң｜２１分＝｜ＡＢң｜㊃｜ＡＣң｜㊃ｃｏｓＡ－４２＝４ˑＡＣˑ７８－１６＝７２ＡＣ－１６，２分 由７２ＡＣ－１６＝１２，得ＡＣ＝８．３分 ʑＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２ＡＢ㊃ＡＣｃｏｓＡ＝２４，４分 ʑＢＣ＝２６．５分 （２）法一：ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑπ３＜Ｂ－Ｃ＜π２，２π３＜２（Ｂ－Ｃ）＜π，６分又ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）＝２ｃｏｓ２（Ｂ－Ｃ）－１＝－７８，又ｃｏｓＡ＝７８，０＜Ａ＜π３，ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝π－Ａ，㊀ʑ２（Ｂ－Ｃ）＝Ｂ＋Ｃ，ʑＢ＝３Ｃ，７分ʑＡ＝π－４Ｃ，ʑｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π－４Ｃ）＝７８，ʑｃｏｓ４Ｃ＝－７８，ʑ２ｃｏｓ２２Ｃ－１＝－７８，８分ʑｃｏｓ２Ｃ＝１４，ʑ１－２ｓｉｎ２Ｃ＝１４，ʑｓｉｎＣ＝６４，９分由正弦定理得，ＡＢｓｉｎＣ＝ＢＣｓｉｎＡ，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，ＡＢ＝４，ʑＢＣ＝４ˑ１５８ˑ４６＝１０，１０分又ｓｉｎ２Ｃ＝１５４，ｃｏｓＣ＝１０４，ʑｓｉｎＢ＝ｓｉｎ３Ｃ＝ｓｉｎ（Ｃ＋２Ｃ）＝ｓｉｎＣｃｏｓ２Ｃ＋ｃｏｓＣｓｉｎ２Ｃ＝６４ˑ１４＋１０４ˑ１５４＝３６８，１１分ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＢＣｓｉｎＢ＝１２ˑ４ˑ１０ˑ３６８＝３１５２．１２分法二：在ＡＣ上取点Ｄ，使得øＣＢＤ＝øＣ，ȵｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＝１４，ʑｃｏｓøＡＢＤ＝１４，６分ʑｓｉｎøＡＢＤ＝１－ｃｏｓ２øＡＢＤ＝１５４，又ｓｉｎＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝１５８，７分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓ［π－（øＡ＋øＡＢＤ）］＝－ｃｏｓ（øＡ＋øＡＢＤ）＝ｓｉｎＡ㊃ｓｉｎøＡＢＤ－ｃｏｓＡｃｏｓøＡＢＤ＝１５８ˑ１５４－７８ˑ１４＝１４，８分ʑｃｏｓøＡＤＢ＝ｃｏｓøＡＢＤ，ʑøＡＤＢ＝øＡＢＤ．ʑＡＤ＝ＡＢ＝４．９分 又ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ㊃ＡＤ㊃ｃｏｓＡ＝１６＋１６－２ˑ４ˑ４ˑ７８＝４，ʑＢＤ＝２，１０分 ʑＤＣ＝ＢＤ＝２，ＡＣ＝ＡＤ＋ＤＣ＝６，１１分 ʑＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＡＣ㊃ｓｉｎＡ＝１２ˑ４ˑ６ˑ１５８＝３１５２．１２分２２．（１２分）解：（１）ｆᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２，１分 当ｘɪ（０，ｅ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增；当ｘɪ（ｅ，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，ʑｘ＝ｅ时，ｆ（ｘ）取得最大值．即ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（ｅ）＝１ｅ．２分 ｇᶄ（ｘ）＝ａ（１－ｘ）ｅｘ，当ａ＞０时，ｘɪ（－ɕ，１）时，ｇᶄ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；ｘɪ（１，＋ɕ）时，ｇᶄ（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，ʑｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝ａｅ．３分 当ａ＝０时，ｇ（ｘ）＝０，不合题意；当ａ＜０时，可知ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（１），不合题意．故ａｅ＝１ｅ，即ａ＝１．４分 ʑｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ－ｘｅｘ．５分 ȵｈᶄ（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２－１－ｘｅｘ，当１＜ｘ＜ｅ时，１－ｌｎｘ＞０，１－ｘ＜０，ʑｈᶄ（ｘ）＞０，ʑｈ（ｘ）在［１，ｅ］上单调递增，又ｈ（１）＝－１ｅ＜０，ｈ（ｅ）＝１ｅ－ｅｅｅ＝１ｅ－１ｅｅ－１＝ｅｅ－１－ｅｅｅ＞０，ʑｈ（ｘ）在（１，ｅ）上有且仅有一个零点．６分（２）由（１）知，ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）的图象大致如下图：㊀７分直线ｙ＝ｂ与曲线ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）三个交点的横坐标从左至右依次为ｘ１，ｘ２，ｘ３，且０＜ｘ１＜１＜ｘ２＜ｅ＜ｘ３，８分 ʑ０＜ｌｎｘ２＜１＜ｌｎｘ３且ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｘ１ｅｘ１＝ｂ．９分 由ｘ１ｅｘ１＝ｌｎｘ２ｘ２＝ｌｎｘ２ｅｌｎｘ２即ｇ（ｘ１）＝ｇ（ｌｎｘ２），ｘ１，ｌｎｘ２ɪ（０，１），ʑｘ１＝ｌｎｘ２即ｘ２＝ｅｘ１．① １０分 由ｘ２ｅｘ２＝ｌｎｘ３ｘ３＝ｌｎｘ３ｅｌｎｘ３即ｇ（ｘ２）＝ｇ（ｌｎｘ３），ʑｘ２＝ｌｎｘ３．② １１分 由①，②，ｘ２２＝ｅｘ１ｌｎｘ３，又ｌｎｘ３ｘ３＝ｘ１ｅｘ１即ｅｘ１ｌｎｘ３＝ｘ１ｘ３，ʑｘ２２＝ｘ１ｘ３．１２分。
山东省临沂市沂水二中北校区高三数学上学期10月月考试
山东省临沂市沂水二中北校区20 15届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A2．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．（5分）在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形5．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，则函数y=log a （x+1）的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．③④7．（5分）等差数列{a n}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于（）A．60 B．80 C．90 D．1208．（5分）已知函数（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，0）D．（0，1]9．（5分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0（其中f′（x）为f（x）的导数）．设，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．12．（5分）计算÷=．13．（5分）若，则=．14．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{，则f（2x）＞0的解集为．15．（5分）给出下列命题：①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；③若log m3＜log n3＜0，则0＜m＜n＜1；④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．16．（12分）已知全集U=R，集合A={}，B={x|}．（Ⅰ）求（∁U A）∪B；（Ⅱ）若集合C={x|x+m2≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（12分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．18．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．19．（12分）已知向量=（，1），向量是与向量夹角为的单位向量．（1）求向量；（2）若向量与向量=（﹣，1）共线，且与=（x，）的夹角为钝角，求实数x的取值范围．20．（13分）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）当b=2﹣a，a＞0时，求F（x）的最大值；（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．山东省临沂市沂水二中北校区2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解答：解：全称命题的否定是特称命题，∴￢p：∃x∈Z，2x∉A．故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：集合中元素个数的最值．专题：规律型．分析：根据集合C的元素关系确定集合C即可．解答：解：A={1，2，3}，B={4，5}，∵a∈A，b∈B，∴a=1，或a=2或a=3，b=4或b=5，则x=b﹣a=3，2，1，4，即B={3，2，1，4}．故选：B．点评：本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．3．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2考点：对数的运算性质；幂函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：先设log2f（2）=n，求出函数f（x）的解析式，然后将点代入解析式，即可求出结果．解答：解：设log2f（2）=n，则f（2）=2n∴f（x）=x n又∵由幂函数y=f（x）的图象过点∴，故选A．点评：本题主要考查了对数函数和幂函数的关系，关键是将所求转化成幂函数，此题比较容易是基础题．4．（5分）在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：利用正弦定理将条件转化为，三角变形后判断角A、B之间的关系，可得答案．解答：解：由正弦定理得：，∴⇒sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B，∵A、B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故选C．点评：本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理、倍角公式，利用正弦定理将条件转化为关于角的三角函数关系，来判断角之间的关系是解答本题的关键．5．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，则函数y=log a （x+1）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得 0＜a＜1，可得函数y=log a（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，且函数图象经过点（0，0），结合所给的选项，得出结论．解答：解：∵函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，∴由|x|≥0，可得a|x|≤a0=1，∴0＜a＜1．故函数y=log a（x+1）在定义域（﹣1，+∞）上是减函数，且函数图象经过点（0，0），结合所给的选项，只有C满足条件，故选：C．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，求得 0＜a＜1，是解题的关键，属于基础题．6．（5分）已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可．解答：解：∵，∴b＜a＜0．①a＜b，错误．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，∴ab＜b2成立．∴正确的是②④．故选：B．点评：本题主要考查不等式的性质，利用条件先判断b＜a＜0是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用．7．（5分）等差数列{a n}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于（）A．60 B．80 C．90 D．120考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}中，设首项a1，公差d，由前20项和s20=300，可得a1+a20的值；又a4+a17=a6+a15=a8+a13=a1+a20，可得a4+a6+a8+a13+a15+a17的值．解答：解：在等差数列{a n}中，设首项是a1，公差是d，则它的前20项和为：s20==10（a1+a20）=300，∴a1+a20=30；∴a4+a17=a6+a15=a8+a13=a1+a20=30，∴a4+a6+a8+a13+a15+a17=（a4+a17）+（a6+a15）+（a8+a13）=3（a1+a20）=3×30=90；故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的灵活应用问题，是基础题．8．（5分）已知函数（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，0）D．（0，1]考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得方程2x﹣a=0在（﹣∞，0]上有解，再根据当x∈（﹣∞，0]时，0＜2x≤20=0，可得a的取值范围．解答：解：由于函数（a∈R）在R上有两个零点，显然x=是函数f（x）的一个零点，故方程2x﹣a=0在（﹣∞，0]上有解．再根据当x∈（﹣∞，0]时，0＜2x≤20=0，可得1≥a＞0，故选D．点评：本题主要考查函数的零点的定义和求法，指数函数的定义域和值域，属于基础题．9．（5分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：规律型；三角函数的图像与性质．分析：由函数周期可求得ω值，由题意知，该函数平移后为奇函数，根据奇函数性质得图象过原点，由此即可求得m值．解答：解：由已知，周期为π，∵ω=，∴ω=2，将该函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得y=sin[2（x﹣m）+]=sin（2x﹣2m+），因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，有﹣2m=kπ，k∈Z，则m=，k∈Z，则正数m的最小值为．故选A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查奇偶函数的性质，要熟练掌握图象变换的方法．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0（其中f′（x）为f（x）的导数）．设，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a考点：函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：由题意得对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，得到函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（﹣1）．由当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．比较自变量的大小即可得到函数值的大小．解答：解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x）成立，所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（﹣1）．因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．因为﹣1＜0＜，所以f（﹣1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故选B．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，函数的性质一直是各种考试考查的重点内容．二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ，可得•=2cosθ，再根据，得•﹣2=2cosθ﹣1=0，最后结合θ∈[0，π]，可得向量与的夹角θ的大小．解答：解：设向量与的夹角为θ，∴•=•cosθ=1×2×cosθ=2cosθ∵，∴=•﹣2=0，得2cosθ﹣1=0，所以cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴θ=故答案为：点评：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量，求与的夹角大小，着重考查了平面向量的数量积运算和向量的夹角等知识，属于基础题．12．（5分）计算÷=﹣20．考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．解答：解：=lg=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．13．（5分）若，则=7．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求出tanθ的值，原式分子分母除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanθ的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan（﹣θ）==，∴2﹣2tanθ=1+tanθ，即tanθ=，则原式===7．故答案为：7点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{，则f（2x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．考点：指、对数不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式解集得到f（x）＞0的解集，然后解指数不等式即可．解答：解：∵一元二次不等式f（x）＜0的解集为{，∴一元二次不等式f（x）＞0的解集为{x|x}，由f（2x）＞0，得2x＞2或2x，解得x＞1或x＜﹣1，即f（2x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞1}．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法和性质，以及指数不等式的解法，考查学生运算能力．15．（5分）给出下列命题：①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；③若log m3＜log n3＜0，则0＜m＜n＜1；④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．其中正确命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①根据函数奇偶性的性质进行判断．②根据函数周期性的定义进行推导．③根据对数的运算法则进行计算．④根据复合函数的单调性进行判断．解答：解：①若y=f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∴|f（﹣x）|=|﹣f（x）|=|f （x）|，即|f（x）|为偶函数，∴图象关于y轴对称；正确．②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则f（x）≠0，∴f（x）•f（x+4）=f（x+4）•f（x+8）=1，即f（x+8）=f（x），则8是函数f（x）的一个周期；正确．③若log m3＜log n3＜0，则，即log3n＜log3m＜0，即0＜n＜m＜1，∴③错误．④设t=|x﹣a|，则函数y=e t单调递增，t=|x﹣a|在[a，+∞）上也单调递增，∴若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．正确．∴正确的是①②④．故答案为：①②④．点评：本题主要考查函数奇偶性，周期性和单调性的判断和应用，利用相应的定义和性质是解决本题的关键，要求熟练掌握函数的性质的综合应用．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．16．（12分）已知全集U=R，集合A={}，B={x|}．（Ⅰ）求（∁U A）∪B；（Ⅱ）若集合C={x|x+m2≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：（Ⅰ）先求出集合A，B，然后利用集合的基本运算求（∁U A）∪B；（Ⅱ）根据条件p命题是命题q的充分条件，确定实数m的取值范围．解答：解（Ⅰ）：A={}={}={y|≤y≤2}，B={x|}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}，∴∁U A={y|y＞2或y＜}，（∁U A）∪B={x|x≤1或x＞2}．（Ⅱ）∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆C，∵C={x|x≥﹣m2}，∴﹣m2≤，∴m2≥，∴m≥或m≤﹣∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．点评：本题主要考查集合的基本运算，以及集合的应用，比较基础．17．（12分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：利用倍角公式与两角差的正弦公式化成一个角的三角函数形式．（I）根据正弦函数的单调区间，通过解不等式求得f（x）的增区间和减区间；（II）利用f（）=2求得C=，由sinB=3sinA得b=3a，利用余弦定理求得a，代入三角形的面积公式计算．解答：解：=2sinxcosx+sin2x ﹣cos2x==．（I）∵2sin（2x﹣）≤2，∴函数f（x）的最大值为2．由﹣+2kπ≤≤+2kπ⇒﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈z．∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+⇒kπ+≤x≤kπ+，k∈z，∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（II）∵，∴，又﹣＜＜，∴=，，∵sinB=3sinA，∴b=3a，∵c=2，4=a2+9a2﹣2×a×3a，∴a2=，∴S△ABC=absinC=×3a2sinC=×3××=．点评：本题考查了倍角的三角函数，两角和与差的三角函数，考查了三角函数的单调性及单调区间的求法，考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的运算能力．运用正、余弦定理解三角形关键是判断角的大小和边之间的关系．18．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题．分析：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，推出3xy=800，从而得到试验田ABCD的面积S=（3x+4）（y+2），然后利用基本不等式，由此能够求出结果．解答：解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．点评：本题考查函数问题在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．（12分）已知向量=（，1），向量是与向量夹角为的单位向量．（1）求向量；（2）若向量与向量=（﹣，1）共线，且与=（x，）的夹角为钝角，求实数x的取值范围．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）设，由题意可得，解得即可．（2）由（1）和向量与向量=（﹣，1）共线，可知=．由于与=（x，）的夹角为钝角，可得＜0且与不能反向共线，解得即可．解答：解：（1）设，由题意可得，解得或，∴=（0，1）或=．（2）∵向量与向量=（﹣，1）共线，∴=．∵与=（x，）的夹角为钝角，∴=且≠0，解得或0＜x＜1，且x≠﹣1．∴实数x的取值范围是或0＜x＜1，且x≠﹣1．．点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、单位向量、向量共线定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（13分）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a1a2a3=及等比数列性质得=，可求得a2=，根据等比数列的通项公式求出数列的首项和公比，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法可求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n；解答：解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{a n}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．（II）由（I）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+①，T n=+++…++②．①﹣②得：T n=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣，∴T n=3﹣．点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属中档题．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）当b=2﹣a，a＞0时，求F（x）的最大值；（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义建立切线斜率之间的关系建立方程，求a，b的值；（Ⅱ）利用导数判断函数的单调性求出最大值；（Ⅲ）根据导数和函数极值之间的关系建立方程，即可求n；解答：解：（I）f′（x）=，g'（x）=2x+b…（1分）由题知，即…（2分）解得a=﹣，b=﹣2．（Ⅱ）当b=2﹣a时，F（x）=alnx﹣[x2+（2﹣a）x]，∴F′（x）=﹣2x﹣（2﹣a）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵a＞0，∴＞0，又x＞0，x+1＞0，则由F′（x）=0，解得x=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）F（x）与F′（x）的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）F′（x）+ 0 ﹣F（x）↗极大值↘∴F（x）max=F（）=aln﹣[]=aln+﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），F′（x）=﹣2x﹣b由题知，即，即解得a=6，b=﹣1…（11分）∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），F′（x）=﹣2x+1=，∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（12分）又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0∴x0∈（3，4），故n=3 …（14分）点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数的性质和导数之间的关系，考查学生的运算能力．。
山东省临沂市高三数学上学期期中试卷 文(含解析)
山东省临沂市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集M={0，1，2}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域为（）A．D．3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2=（）A．（3，9）B．（5，9）C．（3，7）D．（5，7）4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a6的值为（）A．10 B．9 C．8 D．75．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣6．（5分）将函数y=sinx+cosx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．π7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，O是底面正三角形ABC的中心，Q为棱PA上的一点，PA=1，若QO∥平面PBC，则PQ=（）A．B．C．D．8．（5分）已知a，b∈R，t＞0，下列四个条件中，使a＞b成立的必要不充分条件是（）A．a＞b﹣t B．a＞b+t C．|a|＞|b| D．4a＞4b9．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xα（x≥0），g（x）=﹣logαx的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）不等式组的解集记为D，由下面四个命题：P1：∀（x，y）∈D，则2x﹣y≥﹣1；P2：∃（x，y）∈D，则2x﹣y＜﹣2；P3：∀（x，y）∈D，则2x﹣y＞7；P4：∃（x，y）∈D，则2x﹣y≤5．其中正确命题是（）A．P2，P3B．P1，P2C．P1，P3D．P1，P4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知若9a=3，log3x=a，则x=．12．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则f（x）的解析式为．13．（5分）已知不等式axy≤4x2+y2对于∈，y∈恒成立，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知△ABC中，三边为AB=2，BC=1，AC=，则=．15．（5分）记函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足：（1）∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，＞0；（2）∀x∈D，f（x+2）﹣f（x+1）≥f（x+1）﹣f（x），则称函数f（x）具有性质P．现有以下四个函数：①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx则具有性质P的为（把所有符合条件的函数编号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．17．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，O是底面ABCD的对角线的交点，A1A=A1C，A1A⊥BC．（1）证明：平面A1BC∥平面CD1B1；（2）证明：A1O⊥平面ABC．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n=2a n﹣2．（1）求{a n}的通项；（2）若{b n}满足b1=1，=1，求数列{a n}的前n项和．19．（12分）已知函数f（x）=（α+cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中α∈R，θ∈（0，π）．（1）求α，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．20．（13分）根据统计资料，某工厂的日产量不超过20万件，每日次品率p与日产量x（万件）之间近似地满足关系式p=，已知每生产1件正品可盈利2元，而生产1件次品亏损1元，（该工厂的日利润y=日正品盈利额﹣日次品亏损额）．（1）将该过程日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当该工厂日产量为多少万件时日利润最大？最大日利润是多少元？21．（14分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax．（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，0），求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）如果x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）为f（x）的导数，证明：f′（）＜0．山东省临沂市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集M={0，1，2}，N={x|x2+x﹣2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由x2+x﹣2≤0求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由x2+x﹣2≤0得，﹣2≤x≤1，则集合N={x|﹣2≤x≤1}，又M={0，1，2}，所以M∩N={0，1}，故选：C．点评：本题考查交集及其运算，以及二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域为（）A．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，解得﹣1≤x＜1，即可得定义域．解答：解：由题意可得，解得﹣1≤x＜1，故函数的定义域为：9．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xα（x≥0），g（x）=﹣logαx的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．解答：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．10．（5分）不等式组的解集记为D，由下面四个命题：P1：∀（x，y）∈D，则2x﹣y≥﹣1；P2：∃（x，y）∈D，则2x﹣y＜﹣2；P3：∀（x，y）∈D，则2x﹣y＞7；P4：∃（x，y）∈D，则2x﹣y≤5．其中正确命题是（）A．P2，P3B．P1，P2C．P1，P3D．P1，P4考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，作出线性规划图，对P1、P2、P3、P4四个选项逐一判断分析即可．解答：解：∵，作出平面区域：由图可知，在阴影区域OAPB中，对于P1：∀（x，y）∈D，则2x﹣y≥﹣1，成立，故P1正确；对于P2：不∃（x，y）∈D，则2x﹣y＜﹣2，故P2错误；对于P3：∀（x，y）∈D，则2x﹣y＜7，故P3错误；对于P4：∃（x，y）∈D，则2x﹣y≤5，故P4正确．故选：D．点评：本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）已知若9a=3，log3x=a，则x=．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出a，然后利用对数的运算法则求解即可．解答：解：9a=3，∴，∴log3x=a=，解得x=．故答案为：．点评：本题考查指数函数以及对数函数的运算法则的应用，函数的零点的求法，基本知识的考查．12．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则f（x）的解析式为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先利用函数的最值确定A的值，进一步利用周期公式确定ω，最后利用x=求出φ的值，进一步求出函数的解析式．解答：解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图函数的最大值和最小值为：±2所以：A=2解得：T=所以：当x=）由于：|φ|＜所以：φ=所以：故答案为：点评：本题考查的知识要点：利用函数的图象求正弦型函数的解析式，主要确定A、ω和φ的值．13．（5分）已知不等式axy≤4x2+y2对于∈，y∈恒成立，则实数a的取值范围是{a|a≤4}．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：不等式axy≤4x2+y2等价于a≤=，设t=，则求出函数的最小值即可．解答：解：不等式axy≤4x2+y2等价于a≤=，设t=，故a≤的最小值即可．∵x∈及y∈，∴≤≤1，即1≤≤3，∴1≤t≤3，则=t+，∵t+≥2=4，当且仅当t=，即t=2时取等号．则的最小值为 4．∴a≤4．故答案为：{a|a≤4}．点评：本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+，a＞0图象的单调性以及应用．14．（5分）已知△ABC中，三边为AB=2，BC=1，AC=，则=﹣4．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知三角形三边的关系判断三角形为直角三角形，得到向量夹角的余弦值，然后利用向量的数量积的运算求值．解答：解：∵△ABC的三边分别为AB=2，BC=1，AC=，∴a2+b2=c2，∴AC⊥BC，cosA==，cosB=，∴A=，B=∴═c×acos+a×bcosC+bccos=2×1×（﹣）+1××0+2××（﹣）=﹣4；故答案为：﹣4．点评：本题考查了向量数量积的运算；本题要特别注意向量的夹角及其余弦值符号．15．（5分）记函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足：（1）∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，＞0；（2）∀x∈D，f（x+2）﹣f（x+1）≥f（x+1）﹣f（x），则称函数f（x）具有性质P．现有以下四个函数：①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx则具有性质P的为①②（把所有符合条件的函数编号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，在同一直角坐标系中，分别作出①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx的图象，即可得到答案．解答：解：由（1）知函数f（x）为定义域D上的增函数；由（2）知，f（x+2）+f（x）≥2f（x+1），即≥f（x+1）；在同一直角坐标系中，分别作出①f（x）=x2，x∈（0，+∞）；②f（x）=e x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx的图象，由图可知，具有性质P的为①②．故答案为：①②．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查基本初等函数的单调性与凸性，作图是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标以及平面向量的数量积运算法则化简已知等式，求出cosC 的值，即可确定出C的度数；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinC以及已知面积代入求出a的值，再利用余弦定理即可求出c的值即可．解答：解：（1）∵向量=（﹣cosA，sinA），=（cosB，sinB），且=，∴﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣cos（A+B）=cosC=，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵b=4，sinC=，△ABC的面积为6，∴×4a×=6，即a=3，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=18+16﹣24=10，则c=．点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，O是底面ABCD的对角线的交点，A1A=A1C，A1A⊥BC．（1）证明：平面A1BC∥平面CD1B1；（2）证明：A1O⊥平面ABC．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）运用几何性质判断A1B∥B1C，A1D∥B1C．再运用定理判断．（2）运用性质判断出DB⊥平面A1AO，BD⊥A1O，A1O⊥AC，再运用判定定理证明．解答：证明：（1）易知AA1∥D D1，∵底面ABCD为菱形，∴AB∥CD，又∵AA1∩AB=A，CD∩DD1=D，∴平面AA1BB1∥平面DC1CD1，又A1B⊂平面AA1BB1，CD1⊂平面DC1CD1，平面A1BCD1∩平面AA1BB1=A1B，平面ABCBD1∩平面DC1CD1=D1C，∴A1B∥B1C，同理可证：A1D∥B1C．又∵A1D∩A1B=A1，D1C∩B1C=C，∴平面A1BC∥平面CD1B1；（2）∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵AA1⊥BD，AA1∩AC=A，∴DB⊥平面A1AO，∵A1O⊂平面A1AO，∴BD⊥A1O，由∵A1A=A1C，∴A1O⊥AC，∵AC∩BD=O，∴A1O⊥平面ABC．点评：本题考查了空间几何题的性质，运用判断直线，平面的平行、垂直关系．属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n=2a n﹣2．（1）求{a n}的通项；（2）若{b n}满足b1=1，=1，求数列{a n}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据S n=2a n﹣2，n∈N*得到当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式相减得a n=2a n﹣1，求出首项，再求出等差数列{a n}的通项公式；（2）利用题意和等比数列的定义，求出数列{b n}的通项公式，再求出a n，利用错位相减法能求出数列{a n}的前n项和．解答：解：（1）由题意得，S n=2a n﹣2，则当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式相减得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，令n=1得，a1=2a1﹣2，解得a1=2，因此{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n=2×2n﹣1=2n；（2）因为，b1=1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，则=1+（n﹣1）×1=n，即，所以==n•2n，设数列{a n}的前n项和为T n，则T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n①，2T n=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1②，①﹣②得，﹣T n=2+22+23+24+…+2n﹣n×2n+1==（﹣n+1）•2n+1﹣2所以T n=（n﹣1）•2n+1+2，故数列{a n}的前n项和是（n﹣1）•2n+1+2．点评：本题考查数列的S n与a n的关系式的应用，等差、等比数列的定义、通项公式，以及数列的前n项和的求法：错位相减法的合理运用．19．（12分）已知函数f（x）=（α+cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中α∈R，θ∈（0，π）．（1）求α，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1））由f（）=0即可求得﹣（α）sinθ=0，因为θ∈（0，π）从而可求得，又因为f（x）为奇函数，可得（﹣1）cosθ=0从而求得；（2）由（1）得f（x）=﹣sin4x．由f（）=﹣先求得cosα，sinα从而可求sin（）的值．解答：解：（1）∵f（）=0，∴（α+cos2）cos（+θ）=0，∴﹣（α）sinθ=0∵θ∈（0，π），∴sinθ≠0，∴α+=0，即．又f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∴（﹣1）cosθ=0，∴cosθ=0，∵θ∈（0，π），∴．（2）由（1）知，，则f（x）=（）•cos（2x+）==﹣sin2x•c os2x=﹣sin4x．∵f（）=﹣，∴．∵，∴cosα=﹣=﹣=﹣∴sin（）=sinαcos+cosαsin==．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，属于基础题．20．（13分）根据统计资料，某工厂的日产量不超过20万件，每日次品率p与日产量x（万件）之间近似地满足关系式p=，已知每生产1件正品可盈利2元，而生产1件次品亏损1元，（该工厂的日利润y=日正品盈利额﹣日次品亏损额）．（1）将该过程日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当该工厂日产量为多少万件时日利润最大？最大日利润是多少元？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：本题（1）根据题中的数量关系构造日利润y（万元）表示为日产量x（万件）的分段函数，得到本题结论；（2）利用导函数得到原函数的单调区间，从而研究函数的最值，得到本题结论．解答：解：（1）由题意知：当0＜x≤12时，y=2x（1﹣p）﹣px，∴=，当12＜x≤20时，y=2x（1﹣p）﹣px，=2x（1﹣）﹣=．∴．（2）①当0＜x≤12时，，当0＜x＜10时，y′＞0，当10＜x≤12时，y′＜0．当x=10时，y′=0，∴当x=10时，y取极大值．②当12＜x≤20时，y=≤10，∴当x=20时，y取最大值10．∵，∴由①②知：当x=10时，y取最大值．∴该工厂日产量为10万件时，该最大日利润是万元．点评：本题考查了实际问题的数学建模，还考查了用导函数研究函数的最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax．（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，0），求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）如果x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）为f（x）的导数，证明：f′（）＜0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：函数思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）利用导数求出f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，把点（2，0）的坐标代入方程，求出a的值；（2）求出函数的导数f′（x），讨论a的值，在f′（x）＞0时，f（x）增，f′（x）＜0时，f（x）减，从而得出单调区间；（3）由题意，求出f′（）的表达式，根据它的表达式，利用构造适当的函数，求出函数最值的方法证明f′（）＜0即可．解答：解：（1）∵f（x）=2lnx﹣ax，（x＞0）；∴f′（x）=﹣a，∴f′（1）=2﹣a；又∵f（1）=﹣a，∴曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣a）=（2﹣a）（x﹣1），即y+a=（2﹣a）（x﹣1）；又切线过点（2，0），∴0+a=（2﹣a）（2﹣1），解得a=1；（2）由（1）知，f′（x）=﹣a，（x＞0），①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＞0时，令f′（x）＞0，得x∈（0，），∴f（x）在（0，）上是增函数，令f′（x）＜0，得x∈（，+∞），∴f（x）在（，+∞）上是减函数；∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（3）由题意知，f（x1）=0，f（x2）=0，即；则2lnx2﹣2lnx1=a（x2﹣x1），∴a=；又∵f′（x）=，∴f′（）=﹣a=﹣；要使f′（）＜0，只要﹣＜0（*）；∵x2＞x1＞0，∴x2﹣x1＞0，x1+2x2＞0，（*）式可化为﹣ln＜0，∴﹣ln＜0，令t=，则t＞1，构造函数h（t）=﹣lnt，则h′（t）=﹣=﹣，显然t＞1时，h′（t）＜0，即h（t）在[1，+∞）上是减函数，∴h（t）＜h（1）=0，即证f′（）＜0．点评：本题考查了函数的导数以及导数的综合应用问题，解题时应用导数求函数的切线，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值问题，是综合题．。
山东省临沂市高三上学期期中——数学(文)数学(文)
山东省临沂市2015届高三上学期教学质量检测期中考试数学（文）试题本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2 +x－20}，则MN=（A）{l} （B）{2} （C）{0,1} （D）{1,2}2．函数f（x）=的定义域为（A）[-1,1）（B）（-1,1）（C）（-1,1] （D）[-1,1]3．已知向量a=（2，4），b=（-1，1），则2a－b=（A）（3,9）（B）（5,9）（C）（3,7）（D）（5,7）4．等差数列{a n}中，a1+a4 +a7 =39，a2 +a5+a8 =33，则a6的值为（A）10 （B）9（C）8 （D）75．已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆的半径为l，则该几何体的体积为（A）24一（B）24一（C）24一（D）24一6．将函数y= sinx+ cosx（x∈R）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为（A）（B）（C）（D）7．在三棱锥P -ABC中，O是底面正三角形ABC的中心，Q为棱PA上的一点，PA =1，若QO∥平面PBC，则PQ=（A）（B）（C）（D）8．已知a，bR，t>0，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是（A）a>b－t （B）a>b+t （C）|la| > |b| （D）4a >4b9．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=-log a x的图象可能是10．不等式组0013x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩，的解集记为D ，有下面四个命题：P l :（x ，y ，） D ，则2x －y ≥-1； P 2:（x,y ）D,则2x －y<-2;P 3：（x ，y ）D ，则2x －y>7； P 4:（x,y ）D, 则2x －y ≤5．其中真命题是（A ） P 2 ,P 3 （B ）P 1 ,P 2 （C ） P l ,P 3 （D ） P 1,P 4第Ⅱ卷 （共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．已知g a =3，log 3x=a ，则x= .12．已知函数f （x ）=Asin （）（其中A>0， >0，）的图象如图，则f（x ）的解析式为 。