0695.北师大版八下数学《提公因式法》典型例题1
北师大版八年级下册数学 4.2提公因式法 同步习题(含答案)
4.2提公因式法 同步习题一.选择题1. 把多项式2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y 分解因式时,应提取的公因式为( )A .x 2yB .xy 2C .2x 3yD .6x 2y2. 观察下列各式:①abx adx -;②2226x y xy +;③328421m m m -++;④3223a a b ab b ++-;⑤()()()22256p q x y x p q p q +-+++;⑥()()()24a x y x y b y x +--+.其中可以用提公因式法分解因式的有()A .①②⑤B .②④⑤C .②④⑥D .①②⑤⑥3. 下列各式中,运用提取公因式分解因式正确的是( )A.()()()()22222a x a a x -+-=-+B.()32222x x x x x x ++=+C.()()()2x x y y x y x y ---=-D.()2313x x x x --=--4. 分解因式2322212n n n x x x +++-+的结果是( )A.()22n x x x -+B.()2322n x x x -+C.()2122n x x x +-+D.()322n x x x -+5. 把﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3因式分解时,应提取公因式( )A.﹣3x 2y 2B.-2x 2y 2C.x 2y 2D.﹣x 2y 26. 计算()2011201022+-的结果是( )A.20102B.-1C. 20102-D.-2二.填空题7. 把下列各式因式分解:(1)2168a b ab --=__________.(2)()()2232x x y x y x ---=_________________.8. 在空白处填出适当的式子:(1)()()()()111x y y x --=-+;(2)()()238423279ab b c a bc +=+9. 因式分解:()()()x b c a y b c a a b c +--+----=______________.10. 若ab=2,a ﹣b=﹣1,则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于___________.11. 2011201222_________________-=.12. 若m ﹣n=3,mn=﹣2,则2m 2n ﹣2mn 2+1的值为_____________.三.解答题13.已知:213x x +=,求43261510x x x ++的值.14. 先阅读第(1)题的解答过程,然后再解第(2)题.(1)已知多项式2x 3﹣x 2+m 有一个因式是2x+1,求m 的值.解法一:设2x 3﹣x 2+m=(2x+1)(x 2+ax+b ),则:2x 3﹣x 2+m=2x 3+(2a+1)x 2+(a+2b )x+b 比较系数得,解得,∴解法二:设2x 3﹣x 2+m=A•(2x+1)(A 为整式)由于上式为恒等式,为方便计算了取, 2×=0,故 .(2)已知x 4+mx 3+nx ﹣16有因式(x ﹣1)和(x ﹣2),求m 、n 的值.15. 先分解因式(1)、(2)、(3),再解答后面问题;(1)1+a +a (1+a );(2)1+a +a (1+a )+a ()21a +;(3)1+a +a (1+a )+a ()21a ++a ()31a +问题:a .先探索上述分解因式的规律,然后写出:1+a +a (1+a )+a ()21a ++a ()31a ++…+()20121a +分解因式的结果是_______________.b .请按上述方法分解因式:1+a +a (1+a )+a ()21a ++a ()31a ++…+()1n a +(n 为正整数).参考答案一.选择题1. 【答案】A ;【解析】2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y=x 2y (2x ﹣y ﹣6).2. 【答案】D【解析】①()abx adx ax b d -=-;②()222623x y xy xy x y +=+;⑤()()()()()222225656p q x y x p q p q p q x y x p q ⎡⎤+-+++=+-++⎣⎦;⑥()()()()()2244a x y x y b y x x y a x y b ⎡⎤+--+=+--⎣⎦.所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥.3. 【答案】C ;【解析】()()()()22222a x a a x -+-=--;()322221x x x x x x ++=++.4. 【答案】C ;5. 【答案】D .【解析】解:﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2(6x+3+8y ),因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2.故选D .6. 【答案】C ;【解析】()()()()2011201020102010201020102010222222222+-=+-⨯-=+-⨯=-. 二.填空题7. 【答案】(1)()821ab a -+;(2)()()221xx y x -- 【解析】()()()()()()22222323221x x y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--.8. 【答案】(1)1y -;(2)2427b ; 【解析】()()()()()()111111y x x y y x y y -+=-+-=---.9. 【答案】()()1x y b c a -++-;【解析】()()()x b c a y b c a a b c +--+----()()()x b c a y b c a b c a =+--+-++-()()1x y b c a =-++-.10.【答案】-2;【解析】∵ab=2,a ﹣b=﹣1,∴a 2b ﹣ab 2=ab (a ﹣b )=2×(﹣1)=﹣2.11.【答案】20112-;【解析】()201120122011201120112011222222122-=-⨯=-=-.12.【答案】-11;【解析】解:∵2m 2n ﹣2mn 2+1=2mn (m ﹣n )+1将m ﹣n=3,mn=﹣2代入得:原式=2mn (m ﹣n )+1=2×(﹣2)×3+1=﹣11.故答案为:﹣11.三.解答题13.【解析】解: 43261510x x x ++ ()()()43322222222226699691169333331313x x x x x x x x x x x x x x x x xx x =++++=++++=⨯+⨯+=+=+=⨯= 14.【解析】解:设x 4+mx 3+nx ﹣16=A (x ﹣1)(x ﹣2)(A 为整式),取x=1,得1+m+n ﹣16=0①,取x=2,得16+8m+2n ﹣16=0②,由①、②解得m=﹣5,n=20.15.【解析】解:(1)原式=()()()2111a a a ++=+;(2)原式=()()()()()()31111111a a a a a a a a ++++=+++=+⎡⎤⎣⎦;(3)原式=()()()21111a a a a a a ⎡⎤++++++⎣⎦()()()1111a a a a a =+++++⎡⎤⎣⎦()()()2111a a a =+++()41a =+a .结果为:()20131a +,b .原式=()()()1111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦=()()()()21111......1n a a a a a a a -⎡⎤++++++++⎣⎦=()()()33111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦=……=()()()()111111n n a a a a -++++=+。
《提公因式法》典型例题2(北师大版八年级数学下册)
《提公因式法》典型例题例1.把下列各式因式分解例 5.已知:x 2 bx c (b 、c 为整数)是 x 4 6x 2 25及 3x 4 4x 2 28x 5的 公因式,求b 、c 的值。
例6.设x 为整数,试判断10 5x x(x 2)是质数还是合数,请说明理由。
(1)m 1abxm m3acx ax(2) a(a b)3 2a 2(b a)2 2ab(ba) 例2:计算123 987 1368268987 456987 521987 例3: 不解方程组2x y 3,求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。
5x 3y 2证明:对于任意自然数n ,3n2 2n 23n 2n 一定是10的倍数136813681368例4.在代数证明题中的应用参考答案例1•分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出 •”号,使括号内的 第一项系数是正数,在提出 •”号后,多项式的各项都要变号。
(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,(a b)2n (b a)2n ; (a b)2n 1 (b a)2n 1,是在因式分解过程中常用的因式变换解: a(a32b) 2a (ba)22ab(b a)a(a 32 b) 2a (a b)2 2ab(a b)a(a b)[(a 2 b) 2a(ab) 2b]a(a b)(3a 2 4ab b 22b)例2:分析:算式中,每一项都含有z,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。
解: 原式9871368(123 268 456 521)98713681368 ,987例3:分析:不要求解方程组,我们可以把2x y 和5x 3y 看成整体,它们的值分别是3和2,观察代数式,发现每一项都含有 2x y ,利用提公因式法把 代数式恒等变形,化为含有2x y 和5x 3y 的式子,即可求出结果。
解:(2x y)(2x 3y)3x(2x y) (2xy)(2x 3y 3x)(2xy)(5x 3y) 把2x y 和5x 3y 分别为3和2带入上式,求得代数式的值是6。
北师大版八年级下册4.2提公因式法练习(word无答案)
4.2提公因式法典型例题:1.找出下列式子中的公因式(1)bc a b a a 222230,8,4-;(2)()()()118,142-++y y x y x ;(3)()。
的整数为大于116,12112n y x y x n n n n +-2.把下列多项式分解因式:(1)()()y x y x x +-+53;(2)();)(323x y z y x ---(3)()()4321015y x b y x a -+-;(4)()()x y a y x b a 2314322122---(5)()()()b ac c a c b b c b a a +-+-++--(6)()()()()b a y x b a y x +-++-2332练习:一、填空1.单项式-12x 12y 3与8x 10y 6的公因式是________.2.-xy 2(x +y )3+x (x +y )2的公因式是________.3.把4ab 2-2ab +8a 分解因式得________.4.5(m -n )4-(n -m )5可以写成________与________的乘积.5.多项式14abx -8ab 2x +2ax 各项的公因式是________.6.7ab 4+14a 2b 2-49a 3b 2=7ab 2(________).7.若4x 3-6x 2=2x 2(2x +k ),则k =________.8.2(a -b )3-4(b -a )2=2(a -b )2(________).二、选择9.多项式8x m y n -1-12x 3m y n 的公因式是()A.x m y nB.x m y n-1C.4x m y nD.4x m y n-110.把多项式-4a 3+4a 2-16a 分解因式()A.-a (4a 2-4a +16)B.a (-4a 2+4a -16)C.-4(a 3-a 2+4a )D.-4a (a 2-a +4)11.如果多项式-51abc +51ab 2-a 2bc 的一个因式是-51ab ,那么另一个因式是()A.c -b +5acB.c +b -5acC.c -b +51acD.c +b -51ac12.用提取公因式法分解因式正确的是()A.12abc -9a 2b 2=3abc (4-3ab )B.3x 2y -3xy +6y =3y (x 2-x +2y )C.-a 2+ab -ac =-a (a -b +c )D.x 2y +5xy -y =y (x 2+5x )13.下列多项式中,公因式是5a 2b 的是()A.15a 2b -20a 2b 2B.30a 2b 3-15ab 4-10a 3b 2C.10a 2b 2-20a 2b 3+50a 4b 5D.5a 2b 4-10a 3b 3+15a 4b 214.下列分解因式结果正确的是()A.a2b+7ab-b=b(a2+7a)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2)C.8xyz-6x2y2=2xyz(4-3xy)D.-2a2+4ab-6ac=-2a(a-2b-3c)15.下列分解因式结果正确的是()A.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(6+x)B.x3+2x2+x=x(x2+2x)C.a(a-b)2+ab(a-b)=a(a-b)D.3x n+1+6x n=3x n(x+2)16.分解因式b2(x-2)+b(2-x)正确的结果是()A.(x-2)(b2+b)B.b(x-2)(b+1)C.(x-2)(b2-b)D.b(x-2)(b-1)三、解答题17.分解因式(1)x(x-y)-y(y-x)(2)-12x3+12x2y-3xy2(3)(x+y)2+mx+my(4)a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y) (5)15a3b2+5a2b(6)-5a2b3+20ab2-5ab(7)(x+y)(x-y)-(x+y)2(8)8a(x-y)2-4b(y-x)18.计算与求值(1)29×20.03+72×20.03+13×20.03-14×20.03.(2)已知S=πrl+πRl,当r=45,R=55,l=25,π=3.14时,求S的值.19.先化简,再求值(1)a(8-a)+b(a-8)-c(8-a),其中a=1,b=21,c=21.(2)已知2x -y =81,xy =2,求2x 4y 3-x 3y 4的值.20.若x 2+3x-2=0,求2x 3+6x 2-4x 的值。
北师大版八下数学《提公因式法》典型例题1(含答案)
《提公因式法》典型例题例题1 找出下列式子中的公因式:(1)bc a b a a 222330,8,4-;(2))1)(1(8,)1(42-++y y x y x ;例题2.分解因式:m m m 126323+--例题3.分解因式:323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.例题4.解方程:0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .例题5.不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m求:32)2(2)2(5m n n m n ---的值.参考答案例题1 分析 多项式中各项都含有的因式是公因式,公因式中的系数是各项系数的最小公倍数,各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂.解答 (1)公因式是22a .(2)公因式是)1(4+y x .说明 字母的指数中含有字母时,要判断哪个指数是最小的.解答 m m m 126323+--).42(3)1263(223-+-=-+-=m m m m m m说明 观察到第一项的系数是负数,我们先把“-”号提出来,便于继续分解因式.例题3.分析 观察题目结构特征:第一项系数是负数,且有因式)(y x -,第二、三项有因式)(x y -,这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号,就变成)(y x --,这样三项中均有公因式了.解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--[]).1()(18)333()(6)(43)()(6)(24)(18)(6222323+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ,第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式,再化简求解.解答 原方程依次变形为:[].21.012,0)5()12(6,0)2313()1823()12(6,0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x例题5.分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式,再代入求解.解答 32)2(2)2(5m n n m n ---[])34()2()2(25)2()2(2)2(52232n m n m n m n n m n m n m n +-=-+-=-+-=∵⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m ∴原式9132=⋅=.说明 在解题过程中,巧妙地运用了转化思想,用提公因式法分解因式作为桥梁,把题给方程组和所求多项式结合起来,体现了思维的广阔性.。
最新北师大版八年级数学下册-第四章 因式分解-《提公因式法》典型例题1
《提公因式法》典型例题例题1 找出下列式子中的公因式:(1)bc a b a a 222330,8,4-;(2))1)(1(8,)1(42-++y y x y x ;例题2.分解因式:m m m 126323+--例题3.分解因式:323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.例题4.解方程:0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .例题5.不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求:32)2(2)2(5m n n m n ---的值.参考答案例题1 分析 多项式中各项都含有的因式是公因式,公因式中的系数是各项系数的最小公倍数,各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂.解答 (1)公因式是22a .(2)公因式是)1(4+y x .说明 字母的指数中含有字母时,要判断哪个指数是最小的.解答 m m m 126323+--).42(3)1263(223-+-=-+-=m m m m m m说明 观察到第一项的系数是负数,我们先把“-”号提出来,便于继续分解因式. 例题3.分析 观察题目结构特征:第一项系数是负数,且有因式)(y x -,第二、三项有因式)(x y -,这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号,就变成)(y x --,这样三项中均有公因式了.解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--[]).1()(18)333()(6)(43)()(6)(24)(18)(6222323+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ,第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式,再化简求解.解答 原方程依次变形为:[].21.012,0)5()12(6,0)2313()1823()12(6,0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x例题5.分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式,再代入求解.解答 32)2(2)2(5m n n m n ---[])34()2()2(25)2()2(2)2(52232n m n m n m n n m n m n m n +-=-+-=-+-=∵⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m ∴原式9132=⋅=.说明 在解题过程中,巧妙地运用了转化思想,用提公因式法分解因式作为桥梁,把题给方程组和所求多项式结合起来,体现了思维的广阔性.。
北师大版八下数学《提公因式法》典型例题2
《提公因式法》典型例题例1. 把下列各式因式分解(1)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213(2)a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2:计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 例3: 不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
例4. 在代数证明题中的应用证明:对于任意自然数n ,323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
例5. 已知:x bx c 2++(b 、c 为整数)是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式,求b 、c 的值。
例6. 设x 为整数,试判断1052+++x x x ()是质数还是合数,请说明理由。
参考答案例1.分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。
解:-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121;,是在因式分解过程中常用的因式变换。
解:a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=例2:分析:算式中每一项都含有9871368,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。
解:原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=98713681368987 例3:分析:不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。
北师大版八年级数学下册提公因式为多项式的因式分解同步练习题
4.2 提公因式法第2课时 提公因式为多项式的因式分解1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( )A.(x+3)(x-3)=x ²-9B.x ²+1=x(x+1x) C.3x ²-3x+1=3x(x-1)+1 D.a ²-2ab+b ²=(a-b)²2.多项式- 6a ²b+18a ²b ³x+24ab 2y 的公因式是( )A.mx+my 和x+yB.3a(x+y)和2y+2xC.3a-3b 和6(b-a)D.-2a-2b 和 a ²-ab3.下列各多项式因式分解错误的是( )A.( a-b) ³-(b-a)=(a-b)2(a-b-1)B.x(a-b-c)-y(b+c-a)=(a-b-c)(x+y)C.P(m-n)3-Pq(n-m)3=P(m-n)3(1+q)D.(a-2b)(7a+b)-2(2b-a)2=(a-2b)(5a+5b)4.将多项式(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(8b-7a)分解因式正确的结果是( )A.8(7a-8b)(a-b)B.2(7a-8b) ²C.8(7a-8b)(b-a)D.-2(7a-8b) ²5.多项式m (n-2)-m 2(2-n )因式分解等于( )A .(n-2)(m+m 2)B .(n-2)(m-m 2)C .m (n-2)(m+1)D .m (n-2)(m-1)6.多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,另一个因式为( )A.m+1B.2mC.2D.m+27.a 是有理数,则整式a ²(a ²-2)-2a ²+4的值( ) A.不是负数B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0二.细心填一填8.分解因式3x(x-2)-(2-x)=9.分解因式:(x+y)²-x-y= .10.观察下列各式:①abx-adx ②2x ²y+6xy ² ③8m ³-4m ²+1④(p+q)x ²y-5x ²(p+q)+6(p+q)² ⑤(x+y)(x-y)-4b(y+x)-4ab 其中可以用提取公因式法分解的因式( )。
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《提公因式法》典型例题
例题1 找出下列式子中的公因式:
(1)bc a b a a 222330,8,4-;
(2))1)(1(8,)1(42-++y y x y x ;
例题2.分解因式:m m m 126323+--
例题3.分解因式:323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.
例题4.解方程:0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .
例题5.不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,
32n m n m
求:32)2(2)2(5m n n m n ---的值.
参考答案
例题1 分析 多项式中各项都含有的因式是公因式,公因式中的系数是各项系数的最小公倍数,各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂.
解答 (1)公因式是22a .(2)公因式是)1(4+y x .
说明 字母的指数中含有字母时,要判断哪个指数是最小的.
解答 m m m 126323+--
).42(3)
1263(223-+-=-+-=m m m m m m
说明 观察到第一项的系数是负数,我们先把“-”号提出来,便于继续分解因式.
例题3.分析 观察题目结构特征:第一项系数是负数,且有因式)(y x -,第二、三项有因式)(x y -,这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号,就变成)(y x --,这样三项中均有公因式了.
解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--
[]
).1()(18)
333()(6)(43)()(6)(24)(18)(62223
23+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x
说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=---=-ΛΛΛΛ3322)
()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.
分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ,第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式,再化简求解.
解答 原方程依次变形为:
[].2
1.
012,0)5()12(6,
0)2313()1823()12(6,
0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x
例题5.分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式,再代入求解.
解答 32)2(2)2(5m n n m n ---
[])
34()2()2(25)2()2(2)2(5223
2n m n m n m n n m n m n m n +-=-+-=-+-=
∵⎩
⎨⎧=+=-,134,32n m n m ∴原式9132=⋅=.
说明 在解题过程中,巧妙地运用了转化思想,用提公因式法分解因式作为桥梁,把题给方程组和所求多项式结合起来,体现了思维的广阔性.。