2018届中考数学总复习 (七)圆的有关证明与计算试题
2018年中考数学圆的综合题试题
2018年中考数学圆的综合题试题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的综合题1.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝13，延长OE到点F，使EF＝2OE.(1)求证：∠BOE＝∠ACB;(2)求⊙O的半径；(3)求证：BF是⊙O的切线．2. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且AD DE，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O 的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC 于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．6 (2017原创)如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E 为DC的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G.(1)求证：AB＝AG；(2)(2)若DG＝DE，求证：GB2＝GC·GA；(3)在(2)的条件下，若tan D＝34，EG＝10，求⊙O的半径．7.(2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为AD上一点，且AF BC，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E. (1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD≌△AFD；(3)若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．8. 如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)求证：∠PCA＝∠ABC；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sin P＝35，CF＝5，求BE的长．9、(2016大庆9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB 于点M，若H是AC的中点，连接MH。
河南2018中考数学总复习专题检测：圆(含答案)
圆(建议时间：90分钟总分：100分)一、选择题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分)1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(D) A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－α第1题图第2题图2．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C.连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于(B)A．20°B．25°C．30°D．40°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于(B)A．100°B．112.5°C．120°D．135°第3题图第5题图4．已知圆锥的底面面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是(A) A．18π cm2B．27π cm2C．18 cm2D．27 cm2 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为(A)A．2 B．－1 C.2D．46．已知一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为(A)A ．6 cmB ．12cmC ．2 3 cm D. 6 cm7．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②∠AOC ＝∠AEC ；③BC 平分∠ABD ；④AF ＝DF ；⑤DB ＝2OF ； ⑥△CEF ≌△BED ，其中一定成立的是( D )A ．②④⑤⑥B ．①③⑤⑥C ．②③④⑥D ．①③④⑤二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)8．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D .若∠CAD ＝30°，则∠BOD ＝ 120 °.第8题图 第9题图 9．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，︵AD ＝︵CD .若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝ 25° .10．在半径为20的⊙O 中，弦AB ＝32，点P 在弦AB 上，且OP ＝15，则AP ＝7或25 .11．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm 的⊙O ，︵AB ＝90°，弓形ACB (阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为 (48π＋32)cm 2 .第11题图 第12题图12．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在︵AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为2π－4. 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长线于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为π(结果保留根号)．三、解答题(本大题共4个小题，共48分)14．(12分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF，BE.(1)求证：DB＝DE；(2)求证：直线CF为⊙O的切线．证明：(1)∵E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE；(2)连接CD ，如解图所示．∵E 是△ABC 的内心，∴∠DAB ＝∠DAC ，∴BD ＝CD .∵BD ＝DF ，∴CD ＝DB ＝DF ，∴∠BCF ＝90°，∴BC ⊥CF ，∴CF 是⊙O 的切线．15．(12分)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵)的长l .(1)证明：连接OC ，如解图所示．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA .又∵∠OAC ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴AD ∥OC .∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥OC ，∴EF 是⊙O 的切线；。
中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)
专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。
2018届中考数学复习专题(七)圆的有关计算与证明(含答案)
（2017浙江衢州第19题）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。
连结OD，作BE ⊥CD于点E，交半圆O于点F。
已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）求证：△COD∽△CBE；（2）求半圆O的半径r的长[来源:学#科#网Z#X#X#K]：试题解析：（1）∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO=90°，∵BE⊥CD，∴∠E=90°=∠CDO，又∵∠C=∠C，∴△COD∽△CBE．（2）在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，∴BC=22CE BE=15，∵△COD∽△CBE．∴OD OCBE BC，即15915r r，解得：r=458．考点：1. 切线的性质； 2.相似三角形的判定与性质.2.（2017山东德州第20题）如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点 E.[来源:]（1）求证：DE是圆O的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.(1)如图所示，连接OE，CE∵AC是圆O的直径∴∠AEC=∠BEC=90°∵D是BC的中点∴ED＝12BC＝DC∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE⊥DE又∵E是圆O上的一点∴DE是圆O的切线.考点：圆切线判定定理及相似三角形3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，AB AN，∴由勾股定理可知：NB=2243∴B（43，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=12NB=ND ，∴∠CND=∠NCD ，∵MC=MN ，∴∠MCN=∠MNC ，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC ⊥CD ．∴直线CD 是⊙M 的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD ，O 是PAD 的外接圆.（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若28,tan ,2AC BAC 求O 的半径.【答案】(1)证明见解析；（2）364．（1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图，∵PA=PD ，∴弧AP=弧DP ，∴OP ⊥AD ，AE=DE ，∴∠1+∠OPA=90°，∵OP=OA ，∴∠OAP=∠OPA ，∴∠1+∠OAP=90°，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA ⊥AB ，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴DB 与AC 互相垂直平分，∵AC=8，tan ∠BAC=22，∴AF=4，tan ∠DAC=DF AF =22，∴DF=22，∴AD=22AF DF =26，∴AE=6，在Rt △PAE 中，tan ∠1=PEAE =22，∴PE=3，设⊙O 的半径为R ，则OE=R ﹣3，OA=R ，在Rt △OAE 中，∵OA 2=OE 2+AE 2，∴R 2=（R ﹣6）2+（3）2，∴R=364，即⊙O 的半径为364．考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣43π．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB ，在△OCE 和△OBE 中OC OBOE OE EC EB，∴△OCE ≌△OBE ，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切；（2）解：设⊙O 的半径为r ，则OD=r ﹣1，在Rt △OBD 中，BD=CD=12BC=3，∴（r ﹣1）2+（3）2=r 2，解得r=2，∵tan ∠BOD=BDOD =3，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt △OBE 中，BE=3OB=23，∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC=2S △OBE ﹣S 扇形BOC=2×12×2×23﹣21202360=43﹣43π．考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC 内接于O ，,AB AC CO 的延长线交AB 于点D ．（1）求证AO 平分BAC ；（2）若36,sin5BC BAC ，求AC 和CD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）310；9013.（2）过点C 作CE ⊥AB 于E∵sin ∠BAC=35,设AC=5m ，则CE=3m ∴AE=4m ，BE=m在Rt ΔCBE 中，m 2+(3m)2=36 ∴m=3105，∴AC=310延长AO 交BC 于点H ，则AH ⊥BC ，且BH=CH=3，过点O 作OF ⊥AH 交AB 于点F ，∵∠HOC=∠BAC∴OH=4，OC=5。
中考数学专题复习演练：圆的有关计算与证明(含答案)
中考数学习题精选：圆的有关计算与证明解答题1.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm，求AF、BD、CE的长？2.如图，在4×4 的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形OAB 的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）．3.如图,直线y=与x轴、y 轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P 与y轴相切于点O.若将圆P沿x 轴向左移动,当圆P与该直线相交时,求横坐标为整数的点P的个数.4.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF 的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= BF．5.如图，△在ABC中，BE 是它的角平分线，∠C=90°，点D 在AB边上，以DB为直径的半圆O 经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积6.如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．（1）求证：．（2）已知，若△是外接圆的直径，，求的长．7.已知：如图，△在ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，△求DPE的面积．8.如图，AB是半圆O的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O 的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD 的长．9.如图1，在正方形ABCD 中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD 于点E，连接OA、OE．（1）求证：AO⊥EO；（2）如图2，连接DF 并延长交BC于点M，求的值．10.如图，AD 是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD 于点D．连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．11.如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP 交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；12.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC 于E，连接AD．（1）求证△：CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE//BC 交⊙O 于点E，连接BE 交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x 轴相切于点B.图①图②（1）当x＞0，y=5时，求x的值；（2）当x =6 时，求⊙P的半径；（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.15.如图△，OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA 的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．16.如图，△在ABC中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC于点E，过点E 作BE的垂线交AB 于点F，⊙O△是BEF 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF 及AF长．17.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB 的长；（2）求⊙O的半径．18.如图，△在ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA 为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE 的长．19.如图，AB 为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.（1）求∠A的度数；（2）若点F在⊙O 上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积.20.如图，在 △R t ABC 中，∠C=90°，点 D ，E ，F 分别在 AC ，BC ，AB 边上，以 AF 为直径的⊙O 恰好经过 D ， E ，且 DE=EF ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若∠B=40°，求∠CDE 的度数；（3）若 CD=2，CE=4，求⊙O 的半径及线段 BE 的长．21.如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、 ，一次函数的图像经过点 ，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点.（1）求（2）求的值及点长及的坐标；的大小；（3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离.参考答案解答题1.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC ，CA ，AB 分别相切于点 D 、E 、F ， ∴AF=AE ，BF=BD ，CD=CE ．设 AF=AE=x ，则 BF=BD=11﹣x ，EC=DC=15﹣x ．根据题意得 11﹣x+15﹣x=16．解得；x=5cm ．∴AF=5cm ．BD=11﹣x=11﹣5=6cm ，EC=15﹣x=10cm ．∴AF=5cm ，BD=6cm ，EC=10cm ．2.解：由图形可知，∠AOB=90°，∴OA=OB==2，∴= =，扇形 OAB 的面积= =2π．弧 AB 的长是：= π∴周长=弧 AB 的长+2OA=π+4综上所述，扇形 OAB 的弧长是．π，周长是π+4，面积是 2π．3.解:∵直线 y=与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,∴A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐标为(0,),∴AB=2.如图,将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切于 C 时,连结 P C ,则 P C =1,易 △知AP C ∽△ABO,∴=,∴AP =2,∴P 的坐标为(-1,0),同理可得 P 的坐标为(-5,0).-5 与-1 之间的整数(不含-5 和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点 P 的个数是 31 1 1 1 1 1 1 1 1 24.证明：连接OA，交BF 于点E，∵A是弧BF 的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD△与OBE中，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF5. （1）证明：连结OE，[MISSING IMAGE:,]∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠AOE，又∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A+∠AOE=90°，∵∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O 的切线.，（2）解：连结 OF ， ∵sinA= ,∴∠A=30°，由（1）知 OE ⊥AC ，∴∠AOE=∠ABC=60°， ∵⊙O 半径为 3，∴OD=OE=OF=OB=BF=3，∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°, ∴S= 扇形在 △R t AOE 中，，∴AO=6，AE=3在 △R tACB 中，，∴AB=9，BC= ， AC=∴CE=AC-AE=-3，， CF=BC-BF= -3= ，∴S= ==梯形，∴S =S-S=阴梯形扇形6.（1）解：∵四边形 ∴∵-.内接于圆，，，∴∵△是，的外角平分线，∴∴又∵∴，，，，（2）解：由（ ）得，OEFOFCEOFCE OEF又∵，∴△∴∽△，，∴，∴又∵∴∵，，，是直径，，∴，∴BD=又∵∠D=∠D，∴△DBF∽△DAC，，∴∴，CD=24，解得：CD=.7.（1）解：∵AB 是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O 中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD 所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在 △R tABD 中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴ ，∴∠BEP=∠EDB ，∴△BPE ∽△BED ，∴ ∴BP=，，∴DP=BD-BP=，∴ ： =DP ：BP=13：32，∵ △S BCD= × ×3 =15， ：=BE ：BC=4：5，∴ △S BDE=12，∴ △S DPE=．8.（1）证明：∵AB 是半圆 O 的直径∴∠D=90°∴∠A+∠DBA=90°∵∠DBC=∠A∴∠DBC+∠DBA=90°∴BC ⊥AB∴BC 是半圆 O 的切线（2）解：∠BEC=∠D=90∘，∵BD ⊥AD ，BD=6，∴BE=DE=3， △S DPE △S BPE△S BDE △S BCD∵∠DBC=∠A，∴△BCE∽△BAD，∴，即∴AD=4.59.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，∴AB和CD 为⊙O的切线，∵AE切半圆于点F，∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，而AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC=180°，∴∠OAE+∠OEA=90°，∴∠AOE=90°，∴OA⊥OE（2）解：作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，则AF=AB=4a，OB=OC=2a，∵∠AOE=90°，∴∠AOB+∠COE=90°，∵∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠EOC，∴△R tABO∽△R t OCE，∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，∴EF=EC=a，∴EA=5a，ED=3a，∵FH∥AD，∴△EFH∽△EAD，∴==，即==，∴FH=a，EH=a，∴DH=3a﹣∴CH=4a﹣∵FH∥CM，a=a，a=a，∴==．10.（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在△R tAMC 中，AM==6，设⊙O 的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在△R t OCM中，2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，OM2+CM2=OC∴CE=2r=，OM=6﹣=，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴△R t PCM∽△R t CEB，∴=，即=，∴PC=．11.（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O 上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC===3，∴在△R t OCB中，OB=∴∠COB=60°，==6，tan∠COB==，∴△SOPB=×OP×BC=×=18，S扇DOB==6π，∴S阴影△=SOPB﹣S扇DOB=18﹣6π；②若点E 是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE=．3﹣3或3 +312.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O 的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在△R t AOC 中，AC=2∴OC=，=3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即=．∴CE=∴AE=AC﹣CE=2﹣==，．13.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE//BC，∴OE⊥AC，∴=，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC（2）解：∵BD 是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=90°，BH=BD=2，∴∠CBD=∠2，∴∠1=∠2=∠CBD，∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，∵∠ABD=90°，∴AB=2，OB=，∵OD2=OB2+BD．∴OD=2，14.（1）解: 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB，∵圆P与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=5，由AP=PB，由勾股定理得，x=2+=2+4=6，∴x=6（2）解: 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB，∵圆P 与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=5，则圆P的半径为5（3）解:同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2 ，整理得：=，即图象为抛物线，画出函数图象，如图②所示；15.（1）证明：连OC，如图，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，∴OA=2OC=2r，∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=∴∠AOB=120°，AB=2r ，r ，∴S 阴影部分 △=S OAB﹣S 扇形 ODE •OC •AB ﹣=﹣ ， ∴•r •2 r ﹣ r 2=﹣ ， ∴r=1，即⊙O 的半径 r 为 116. （1）证明：如图，连接OE ． ∵BE ⊥EF ，∴∠BEF=90°，∴BF 是圆 O 的直径．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ，∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；（2）证明：如图，连结 DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于 C ，EH ⊥AB 于 H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ． =在△CDE△与HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在△R t HFE 中，EF=∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，=，∴=，即=，∴BF=10，∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4，∴△R tOHE中，cos∠EOA=∴△R t EOA 中，cos∠EOA=，=，∴∴OA=∴AF==，，﹣5=17.（1）解：∵∴，在中∴∴∵,∴∵是∴∴（2）解：∵∴∵,∴∵的直径，是,.，的半径，,∴又∵∴∴即的半径是18.（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在△R tBDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=∴∠C=∠CDE，BC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD 为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB 的中点，∴OE△是ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE（3）解：∵cos∠BAD=∴sin∠BAC==，，又∵BE=∴AC=，E是BC的中点，即BC=．，又∵AC=2OE，∴OE=AC=19.（1）解：连接OC，∵CD切⊙O于点C∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°；（2）解：∵CF ⊥直径 AB ，CF=4∴CE=2∴在 △R t OCE 中，tan ∠COE=，OE=∴OC=2OE=4=2，∴S =扇形， △S EOC ×2×2 =2 ∴S =S 阴影 扇形 BOC △-S EOC-2 ．20.（1）证明：连接 OD 、OE 、DF ，如图，∵AF 为直径，∴∠ADF=90°，而∠C=90°，∴DF ∥BC ，∵DE=EF ，∴=∴OE ⊥DF ，∴OE ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°，BOC = =∴∠OFE=（180°﹣50°）=65°，∴∠CDE=∠AFE=65°（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O 的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在△R tOHD中，（r﹣2）2，解得r=5，2+42=r∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，∵HF∥BE，∴△OHF∽△OEB，∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，∴BE=21.（1）解：如图1中，连接AC、AB．∵⊙A 与x轴、y轴相切于点B、C，∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m），∵点A在y=上，∴m2=3，∵m＞0，∴点A坐标（，），∴OC=，∴点C坐标（0，），∵一次函数y=x+b的图象经过点C，∴b=，∴一次函数的解析式为y=，令y=0得x=-3，∴D（-3，0），b=（2）解：如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在△R t DOC 中，∵tan∠CDO=，∴∠CDO=30°，∵AC∥BD，∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，∵AM⊥CE，∴∠CAM=∠EAM=60°，∴∠CAE=120°，在△R tAMC 中，CM=AC•cos30°=（3）解：如图3中，，∴CE=2CM=3，∴∠CBE=∠CAE=60°①当⊙A″与直线y=∵AB∥OC，相切于点E，AB与直线CD交于点K，∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在△R tA″EK中，A″E= AK=CA•tan30°=1，∴AA″=A″K+AK=1+2=3，∴⊙A 向上平移3的单位⊙A与y轴及直线y=，A″K=A″E÷cos30°=2，在△R tCKA中，均相切．②同理可得⊙A 向下平移1个单位⊙A与y轴及直线y=均相切。
(完整版)天津市南开区2018届中考《圆证明题》专项复习试卷(含答案),推荐文档
2018年九年级数学中考复习圆证明题专项复习卷1、如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．2、如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C 作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=9，BC=6．求PC的长．3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．4、已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．求证：MN是⊙O的切线．6、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．7、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC=BD（2）求证：DE为⊙O的切线．8、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．9、如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．（1）求证：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．10、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC；连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DC=BD(2)求证：DE为⊙O的切线11、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF和AD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．12、如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．⑴求证：BC是⊙O的切线；⑵已知AD=3，CD=2，求BC的长．13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．14、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．15、如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于F，AC=AF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若EF=5，DF=，求⊙O的半径．参考答案1、∵直线AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，∴∠B+∠ODB=90°，而∠ODB=∠ADC，∴∠ADC+∠B=90°，∴OA=OB，∴∠OAB=∠B，∴∠ADC=∠CAB，∴AC=CD．2、（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在Rt△AMC中，AM= =6，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，∴CE=2r=，OM=6 ﹣= ，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴= ，即= ，∴PC= 3、（1）证明：连接OP，∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，BC⊥AC，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC（2）作PH⊥AB于H．∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，∴PC=PH=1，在Rt△APH中，AH= =2 ，∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，∴△APH∽△ABC，∴= ，∴= ，∴AB=3，∴BH=AB﹣AH=，在Rt△PBC和Rt△PBH中，，∴Rt△PBC≌Rt△PBH，∴BC=BH=．4、（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB，∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB，在△ABC和△PBO中∵，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．5、证明：连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC，∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．6、（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∴∠DCE=∠A，∵CE=4，DE=2∴在Rt△ACE中，可得AE=8∴AD=6在在Rt△ADB中可得BD=3∴根据勾股定理可得7、证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．8、（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．9、（1）证明：连结OP，如图，∴直线PQ与⊙O相切，∴OP⊥PQ，∵OP=ON，∴∠ONP=∠OPN，∵NP平分∠MNQ，∴∠ONP=∠QNP，∴∠OPN=∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ；（2）解：连结PM，如图，∵MN是⊙O的直径，∴∠MPN=90°，∵NQ⊥PQ，∴∠PQN=90°，而∠MNP=∠QNP，∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，∴=，即=，∴NQ=3．10、（1）证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵AB=AC∴DC=BD（2）连接半径OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．11、（1）证明：连接CE，如图所示：∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF．∴∠FEC=∠FCE．∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．∴EF是⊙O的切线．（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE=60°．∴∠COD=∠AOE=60°．∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，∴∠ODC=30°．∴OD=2OC=4，∴CD=．在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．∴AD==．12、1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则=，即可得出BC=；13、解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为．14、（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．15、（1）证明：连结OD、OC，如图，∵D是弧BE的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠3=90°，∵∠3=∠2，∴∠D+∠2=90°，∵AF=AC，OD=OC，∴∠1=∠2，∠D=∠4，∴∠1+∠4=90°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=OE﹣EF=r﹣5，在Rt△ODF中，∵OD2+OF2=DF2，∴r2+（r﹣5）2=（）2，整理得r2﹣5r﹣6=0，解得r1=6，r2=﹣1，∴，⊙O的半径为6．。
武汉市2018年中考数学21题圆的有关证明和计算4
4． （本题 8 分）如图，在正方形 ABCD 中，以 BC 为直径的正方形内，作半圆 O，AE 切 半圆于点 F 交 CD 于 E (1) 求证：AO⊥EO (2) 连接 DF，求 tan∠FDE 的值
21 题圆的有关证明和计算 4
1． （本题 8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，过点 B 作⊙O 的切线 BM，弦 CD∥BM，交 AB 于点 F，且弧 DA＝弧 DC，连接 AC、AD，延长 AD 交 BM 于点 E (1) 求证：△ACD 是等边三角形 (2) 连接 OE，若 DE＝2，求 OE 的长
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2． （本题 8 分）如图，AC 为⊙O 的直径，DAB 为⊙O 的割线，E 为⊙O 上一点，弧 BE ＝弧 CE，DE⊥AB 于 D，交 AO 的延长线于 F (1) 求证：DF 为⊙O 的切线 (2) 若 AD＝
5 ，CF＝3，求 tan∠CAE 的值 4
3． （本题 8 分）如图，BC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，D 为弧 BC 的中点，CE⊥AD 于 E，AD 交 BC 于点 F，tanB＝ (1) 求证：DE＝2AE (2) 求 sin∠BFD 的值
2018全国各地中考数学试题《圆》试题汇编(解答题)
2018全国各地中考数学试题《圆》试题汇编(解答题)2018全国各地中考数学试题《圆》解答题汇编1. 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长．2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O 于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．求∠B的度数．求AD的长．3.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是BF的中点．求证：AD⊥CD；若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．第 1 页共 27 页4. 如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．求证：OP ⊥CD；连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．5. 如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O 于点F，AC平分∠BAD，连接BF．求证：AD⊥ED；若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．6. 如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE 丄AB，交AB的延第 2 页共 27 页长线于点E．求证：CB平分∠ACE；若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB 于点F．求证：BC是⊙O的切线；若⊙O的半径是2cm，E 是AD的中点，求阴影部分的面积8.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，如图①，若D为AB的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，第 3 页共 27 页求∠OCD的大小．9. 如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC 的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG ⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．求证：BG∥CD；设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．10. 如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．求证：AE与⊙O相切于点A；若AE∥BC，BC=27，AC=22，求AD的长．第 4 页共 27 页11.如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．12.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．求证：DA=DE；若AB=6，CD=43，求图中阴影部分的面积．13.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．求证：DF是⊙O的切线；已知BD=25 第 5 页共27 页25. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．求证：PC是⊙O的切线；若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．26. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理；若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=，求图中阴影部分的面积．第 11 页共 27 页27.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．求证：MD=MC；若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．27. 如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．判断CM与⊙O的位置关系，并说明理；若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．第 12 页共 27 页28.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC 于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．求证：四边形ABFC是菱形；若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．29.如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=23，∠BCD=120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．求线段BD的长；求证：直线PE是⊙O的切线．第 13 页共 27 页30.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．求证：EF是⊙O的切线；若AC=4，CE=2，求 BD的长度．31.已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．求扇形OBC的面积；求证：CD是⊙O的切线．32.已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．求证：DF是⊙O的切线；若等边△ABC的边长为8，求第 14 页共 27 页DE、DF、EF围成的阴影部分面积．33.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．求证：AE=ED；若AB=10，∠CBD=36°，求AC的长．34.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．求证：AC是⊙O 的切线；若BD=3，BE=1．求阴影部分的面积．第 15 页共 27 页35.如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．求证：EA是⊙O的切线；求证：BD=CF．36. 如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．若∠ADE=25°，求∠C的度数；若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．37. 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，过点B作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点C．求证：DE是⊙O的切线；第 16 页共 27 页若AD=l，BC=4，求直径AB的长．38. 如图所示，PB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在PC上，∠P=30°，D为弧BC的中点．求证：PB=BC；试判断四边形BOCD的形状，并说明理．39. 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．40. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C 的切线交AB的延长线于点F，连接DF．求证：DF是⊙O的切线；连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．第 17 页共 27 页41. 已知，如图AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于点D．求证：PD是⊙O 的切线．若AB=8cm，BD=6cm，求CD的长．42. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC 是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．求证：CF是⊙O的切线；若∠F=30°，EB=8，求图中阴影部分的面积．43.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC， AD=OC．求证：四边形OCAD是平行四边形；第 18 页共 27 页探究：①当∠B= °时，四边形OCAD是菱形；②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理．43. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；若OC=3，OA=5，求AB的长．44.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．求证：AB=CD；如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．第 19 页共 27 页45.如图，⊙O的直径AB=12，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD． AB，BD，AD围成的阴影部分的面积是；求线段DE的长．46.如图，在△ABC中，AB=AC，O为边AC上一点，以OC 为半径的圆分别交边BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AB于点F．求证：直线DF是⊙O的切线；若∠A=45°，OC=2，求劣弧DE的长．第 20 页共 27 页2018全国各地中考数学试题《圆》解答题汇编1. 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长．2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O 于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．求∠B的度数．求AD的长．3.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是BF的中点．求证：AD⊥CD；若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．第 1 页共 27 页4. 如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．求证：OP ⊥CD；连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．5. 如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O 于点F，AC平分∠BAD，连接BF．求证：AD⊥ED；若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．6. 如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE 丄AB，交AB的延第 2 页共 27 页长线于点E．求证：CB平分∠ACE；若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB 于点F．求证：BC是⊙O的切线；若⊙O的半径是2cm，E是AD的中点，求阴影部分的面积8.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，如图①，若D为AB的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，第 3 页共 27 页求∠OCD的大小．9. 如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC 的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG ⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．求证：BG∥CD；设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．10. 如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．求证：AE与⊙O相切于点A；若AE∥BC，BC=27，AC=22，求AD的长．第 4 页共 27 页11.如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．12.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．求证：DA=DE；若AB=6，CD=43，求图中阴影部分的面积．13.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．求证：DF是⊙O的切线；已知BD=25 第 5 页共27 页。
中考专题复习——圆的相关证明(附答案)
中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小； （Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ， 若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小； （Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ． （Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长． 图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解： （Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。
中考数学圆的证明与计算题型专项训练(基础篇)
中考数学圆的证明与计算题型专项训练（基础篇）1．如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC2＝AB•AD．2．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE＝．（1）求EM的长；（2）求sin∠EOB的值．3．如图，AC是圆O的直径，AC＝10厘米，P A，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A 作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．（1）求证：△ABC∽△ADB；（2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长．4．如图，⊙O的直径AB是4，过B点的直线MN是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连接AD、BD、CD和BC．（1）求证：∠CBN＝∠CDB；（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB＝15°，求DC的长．5．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E．（1）求证：AD2＝DE•DB；（2）若BC＝，CD＝，求DE的长．7．如图，AB为⊙O的直径，D为弦BE的中点，连接OD并延长交⊙O于点F，与过B点的切线相交于点C．若点E为的中点，连接AE．求证：△ABE≌△OCB．8．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2＝AP•AD．（1）求证：AB＝AC；（2）如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为的中点，求AD的长．9．如图所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD相交于点E．（1）求证：△DEC∽△AEB；（2）当∠AED＝60°时，求△DEC与△AEB的面积比．10．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．11．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．12．课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．（1）△A1OB1的面积是；A1点的坐标为（）；B1点的坐标为（）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，﹣1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积；（3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于．13．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．14．如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．（1）试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r的一种方案：①你选用的已知数是；②写出求解过程．（结果用字母表示）15．如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．16．如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为（2，3），⊙A的半径为1，过A作直线l平行于x轴，点P在l上运动．（1）当点P运动到圆上时，求线段OP的长．（2）当点P的坐标为（4，3）时，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由．17．如图，A、B、C三点在⊙O上，＝，∠1＝∠2．（1）判断OA与BC的位置关系，并说明理由；（2）求证：四边形OABC是菱形；（3）过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，且OA＝4，求△APB的周长．18．已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B＝30°，OH＝．请求出：（1）∠AOC的度数；（2）劣弧的长（结果保留π）；（3）线段AD的长（结果保留根号）．19．如图，⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．（1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HK＝HG；（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．20．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，（Ⅰ）求∠AOD的度数；（Ⅱ）若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的长．22．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若∠P＝30°，求∠B的度数．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．①求⊙O的半径；②求sin∠BOC的值．24．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，E 为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．25．如图，B，C在⊙O上，△OBC是等边三角形，BA⊥OC于点D，交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC的延长线，直径BG的延长线分别为点E、F，（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）若＝，求线段AE的长．26．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数．27．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得P A＝5cm，求铁环的半径．。
河北省2018年中考数学总复习-圆专题
圆1、如图1，AB 是⊙O 的弦,AC 切⊙O 于点A ,且∠BAC =45°，2=AB ，则⊙O 的面积为 （结果可保留π）．2、如图2，O ⊙表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸,并且MB ∶MA ＝１∶４．求工件半径的长．3、某机械传动装置在静止状态时，如图3所示．连杆PB 与点B 运动所形成的⊙O 交于点A ， 测量得PA ＝4cm ，AB ＝5cm, ⊙O 半径为4。
5cm ．求点P 到圆心O 的距离．4、如图4—1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图4-2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为A ．2R r =B ．94R r =C ．3R r =D ．4R r = 5、某工件形状如图5所示，圆弧BC 的度数为60°,AB =6cm ，点B 到点C 的距离等于AB ，∠BAC =30°,则工件的面积等于 【 】（A )π4 （B ）π6 （C )π8 (D ）π10 6、如图6-1，一个圆球放置在V 形架中．图6—2是它的平面示意图，CA 和CB 都是⊙O 的切线，切点分别是A ，B ．如果⊙O 的半径为23cm ，且AB =6cm ，求∠ACB ．7、如图7，已知圆锥的母线长OA =8,底面圆的半径r =2．若一只小虫从A 点出 发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是 (结果保留根式）．8、（2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求,设计了一个如图8—1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90º,尺寸如图（单位:cm ）．将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图8—1所示的A ,B ,E 三个接触点，该球的大小就符合要求．图8—2是过球心O 及A ，B ，E 三点的截面示意图．已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦,CD 切⊙O 于点E ,AC ⊥CD ，BD ⊥CD ．请你结合图8-1中的数据，计算这种铁球的直径．9、图9中，EB 为半圆O 的直径,点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB=2，半圆O 的半径为2,则BC 的长为( )A ．2 B ．1 C ．1.5 D ．0。
2018年中考数学综合能力提升 与圆相关的计算与证明专题练习卷
与圆相关的计算与证明专题练习卷1.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DA C．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2＝DF·D A．解：证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DA C．∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CA D．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CA D．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·D A．∴DE2＝DF·D A．2. 如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C .连接BC .（1）求证：CBP BAC ∠=∠；（2）求证：PA PC PB ⋅=2；（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值.【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵PB 与⊙O 相切于点B∴∠CBP+∠ABC=90°∴CBP BAC ∠=∠(2)∵CBP BAC ∠=∠，∠P=∠P∴△PB ∽C △ABP ∴BPPC AP PB = ∴PA PC PB ⋅=2（3）∵3,6==CP AC∴AP=9∵PA PC PB ⋅=2 ∴33=PB∴PAB ∠sin =3339==AP PB 3.如图，菱形ABCD 中，对角线BD AC ,相交于点O ，cm BD cm AC 16,12==，动点N 从点D 出发，沿线段DB 以s cm /2的速度向点B 运动，同时动点M 从点B 出发，沿线段BA 以s cm /1的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为)0)((>t s t ，以点M 为圆心，MB 为半径的⊙M 与射线BA ，线段BD 分别交于点F E ,，连接EN .（1）求BF 的长（用含有t 的代数式表示），并求出t 的取值范围；（2）当t 为何值时，线段EN 与⊙M 相切？（3）若⊙M 与线段EN 只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）BF=85t （0＜t ≤8）．（2）t=327s 时，线段EN 与⊙M 相切．（3）当0＜t ≤327或409＜t ＜8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点．4.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点D ，且AE ⊥CD ，垂足为点E ．（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线．（2）若BC=3，AD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2） 试题解析：（1）证明：连结OC ，如图，∵AD 平分∠EAC ，∴∠1=∠3，∵OA=OD ，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴OD ∥AE ，∵AE ⊥DC ，∴OD ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线；（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C ，∴△CDB ∽△CAD ， ∴CD CB BD CA CD AD==， ∴CD 2=CB•CA，∴（2=3CA ， ∴CA=6，∴AB=CA ﹣BC=3，BD AD ==,设，AD=2K ， 在Rt △ADB 中，2k 2+4k 2=5，∴∴ 5.如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E.（1）求证：DE 是圆O 的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2试题解析：(1)如图所示，连接OE ，CE∵AC 是圆O 的直径∴∠AEC=∠BEC=90°∵D 是BC 的中点∴ED ＝12BC ＝DC ∴∠1=∠2∵OE=OC∴∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD∵∠ACD=90°∴∠OED=90°,即OE ⊥DE又∵E 是圆O 上的一点∴DE 是圆O 的切线.6.如图，ABC ∆内接于O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．（1）求证AO 平分BAC ∠；（2）若36,sin 5BC BAC =∠=，求AC 和CD 的长．【答案】（1）证明略；（2）；9013.7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线；（2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）试题解析：（1）证明：∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ，∵PF 是⊙O 的切线，CE ⊥AB ，∴∠OCP =∠CEB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，∠BCE +∠OBC =90°，∴∠BCE =∠BCP ，∴BC 平分∠PCE ．（2）证明：连接AC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCP +∠ACF =90°，∠ACE +∠BCE =90°，∵∠BCP =∠BCE ，∴∠ACF =∠ACE ，∵∠F =∠AEC =90°，AC =AC ，∴△ACF ≌△ACE ，∴CF =CE ．（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，∵△BMC ∽△PMB ，∴BM CM PM BM =，∴BM 2=CM •PM =3a 2，∴BM ，∴tan ∠BCM =BM CM =BCM =30°，∴∠OCB =∠OBC =∠BOC =60°，∴BC 的长=． 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）求证：BD 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根，且tan ∠PCD =13，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．解析：（1）证明：∵PQ ∥AB ，∴∠ABD =∠BDQ =∠ACD ，∵∠ACD =∠BCD ，∴∠BDQ =∠ACD ，如图1，连接OB ，OD ，交AB 于E ，则∠OBD =∠ODB ，∠O =2∠DCB =2∠BDQ ，在△OBD 中，∠OBD +∠ODB +∠O =180°，∴2∠ODB +2∠O =180°，∴∠ODB +∠O =90°，∴PQ 是⊙O 的切线；（2）证明：如图2，连接AD ，由（1）知PQ 是⊙O 的切线，∴∠BDQ =∠DCB =∠ACD =∠BCD =∠BAD ，∴AD =BD ，∵∠DBQ =∠ACD ，∴△BDQ ∽△ACD ，∴AD AC BQ BD=，∴BD 2=AC •BQ ；（3）解：方程4x m x +=可化为x 2﹣mx +4=0，∵AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根，∴AC •BQ =4，由（2）得BD 2=AC •BQ ，∴BD 2=4，∴BD =2，由（1）知PQ 是⊙O 的切线，∴OD ⊥PQ ，∵PQ ∥AB ，∴OD ⊥AB ，由（1）得∠PCD =∠ABD ，∵tan ∠PCD =13，∴tan ∠ABD =13，∴BE =3DE ，∴DE 2+（3DE ）2=BD 2=4，∴DE，∴BE设OB =OD =R ，∴OE =R，∵OB 2=OE 2+BE 2，∴R 2=（R）2+2，解得：R=，∴⊙O的半径为． 9.如图，AB 与O 相切于点B ，C B 为O 的弦，C O ⊥OA ，OA 与C B 相交于点P ；（1）求证：AP =AB ；（2）若4OB =，3AB =，求线段BP 的长．【答案】(1)略；（2）10.如图，已知C ∆AB 内接于O ，AB 是直径，点D 在O 上，D//C O B ，过点D 作D E ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F ． （1）求证：D ∆OE ∽C ∆AB ；（2）求证：DF D ∠O =∠B E ；（3）连接C O ，设D ∆OE 的面积为1S ，四边形C D B O 的面积为2S ，若1227S S =，求sin A 的值．【答案】（1）略；（2）详见解析；（3）2sin 3A =。
中考数学高频考点《圆的有关计算与证明》专项测试卷-带答案
中考数学高频考点《圆的有关计算与证明》专项测试卷-带答案（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O中直径AB与弦CD交于点,2E AC BD=．连接AD过点B的切线与AD的延长线交于点F．若68AFB∠=︒，则DEB∠=°．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作其中收录了计算圆弧长度的“会圆术” 如图．AB是以O为圆心OA为半径的圆弧C是弦AB的中点D在AB上CD AB⊥．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：2CDs ABOA=+当2OA=90AOB∠=︒时l s-=．（结果保留一位小数）二 解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O AB 为O 的直径 延长AC 到点G 使得CG CB = 连接GB 过点C 作CD GB ∥ 交AB 于点F 交点O 于点D 过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC = 2BC = 求BE 的长．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒O 和底边AB 相切于点C并与两腰OA OB 分别相交于D E 两点 连接CD CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形(2)若O 的半径为2 求图中阴影部分的面积．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O AB 为O 的直径 过点D 作DF BC ⊥ 交BC 的延长线于点F 交BA 的延长线于点E 连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE = 2sin 3BDC ∠= 求O 的半径．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 点C D 是O 上AB 异侧的两点DE CB ⊥ 交CB 的延长线于点E 且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒ 4AB = 求图中阴影部分的面积．7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O AB 为O 的直径 N 为AC 的中点 连接ON 交AC 于点H ．(1)如图① 求证2BC OH =(2)如图① 点D 在O 上 连接DB DO DC DC 交OH 于点E 若DB DC = 求证OD AC ∥(3)如图① 在（2）的条件下 点F 在BD 上 过点F 作FG DO ⊥ 交DO 于点G ．DG CH = 过点F 作FR DE ⊥ 垂足为R 连接EF EA 32EF DF =:: 点T 在BC 的延长线上 连接AT 过点T 作TM DC ⊥ 交DC 的延长线于点M 若42FR CM AT ==， 求AB 的长．8．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州 桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到 玉壁 玉环为我国的传统玉器 通常为正中带圆孔的扇圆型器物 据《尔雅·释器》记载：“肉倍好 谓之璧 肉好若一、调之环．”如图1 “肉”指边（阴影部分） “好”指孔 其比例关系见图示 以考古发现看 这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为(2)利用圆规与无刻度的直尺 解决下列问题（保留作图痕迹 不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图 试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？①图3表示一件圆形玉坯 若将其加工成玉璧 且比例关系符合“肉倍好” 请画出内孔．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 点C E ，在O 上 2CAB EAB ∠=∠ 点F 在线段AB 的延长线上 且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 与O 相切(2)若41sin 5BF AFE =∠=， 求BC 的长．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆 连接CO 并延长交AB 于点D 交O 于点E 连接EA EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______ 图中与ACD 全等的三角形是_______(2)求证：AED CEB ∽△△(3)连接OA OB 判断四边形OAEB 的形状 并说明理由．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB为O的直径E为O上一点点C为EB的中点过点C ⊥交AE的延长线于点D延长DC交AB的延长线于点F．作CD AE(1)求证：CD是O的切线(2)若1DE=2DC=求O的半径长．∠12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图① 点A B P均在O上90∠=︒，则锐角APBAOB的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图① O是等边三角形ABC的外接圆点P在AC上（点P不与点A=连结BE C重合）连结PA PB PC．求证：PB PA PC=+．小明发现延长PA至点E使AE PC通过证明PBC EBA△△可推得PBE是等边三角形进而得证．≌下面是小明的部分证明过程：=连结BE证明：延长PA至点E使AE PC四边形ABCP是O的内接四边形180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=(SAS)PBC EBA ∴≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图① O 是ABC 的外接圆 90ABC AB BC ∠=︒=， 点P 在O 上 且点P 与点B 在AC 的两侧 连结PA PB PC ．若22PB PA =，则PB PC的值为__________．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O AB 是O 的直径 BC BD = DE AC ⊥于点E DE 交BF 于点F 交AB 于点G 2BOD F ∠=∠ 连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线(2)判断DGB 的形状 并说明理由(3)当2BD =时 求FG 的长．14．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D DE AC ⊥ 垂足为E ．(1)求证：DE 是O 的切线(2)若30C ∠=︒ 23CD = 求BD 的长．15．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 C 是O 上一点过点C 作CD AB ⊥于点E 交O 于点D 点F 是AB 延长线上一点 连接CF AD 2FCD DAF ∠=∠．(1)求证：CF 是O 切线(2)若10AF2sin 3F = 求CD 的长．16．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 AC 是弦 D 是AC 上一点 P 是AB 延长线上一点 连接,,AD DC CP ．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒ （请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠ O 的半径为3 4CP = 求AP 的长．17．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具 既经济又环保 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下 筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动 每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图① OM 始终垂直于水平面 设筒车半径为2米．当0=t 时 某盛水筒恰好位于水面A 处 此时30AOM ∠=︒ 经过95秒后该盛水筒运动到点B 处．（参考数据 2 1.4143 1.732，≈）问题解决：(1)求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时 BOM ∠的度数(2)求该盛水筒旋转至B 处时 它到水面的距离．（结果精确到0.1米）18．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形 AB 是直径 C 是BD 的中点 过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线(2)若6BC = 8AC = 求,CE DE 的长．19．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径 D E 是O 上的两点 延长AB 至点C 连接CD BDC A ∠=∠．(1)求证：ACD DCB ∽(2)求证：CD 是O 的切线(3)若3tan ,105E AC == 求O 的半径．20．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中 点O A B 均在格点上 3OA =2AB = 以O 为圆心 OA 为半径画圆 请按下列步骤完成作图 并回答问题：①过点A 作切线AC 且4AC =（点C 在A 的上方）①连接OC 交O 于点D①连接BD 与AC 交于点E ．(1)求证：BD 为O 的切线(2)求AE 的长度．参考答案一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中 直径AB 与弦CD 交于点,2E AC BD =．连接AD 过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠= °．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒ 然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠ 进而问题可求解．【详解】解：连接BD 如图所示：①AB 是O 的直径 且BF 是O 的切线①90ADB ABF ∠=∠=︒①68AFB ∠=︒①22A ∠=︒①68ABD ∠=︒①2AC BD =①244ADC A ∠=∠=︒①9046CDB ADC ∠=︒-∠=︒①18066DEB CDB ABD ∠=︒-∠-∠=︒故答案为：66．【点睛】本题主要考查切线的性质 圆周角 弧之间的关系 熟练掌握切线的性质 圆周角 弧之间的关系是解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作 其中收录了计算圆弧长度的“会圆术” 如图．AB 是以O 为圆心 OA 为半径的圆弧 C 是弦AB 的中点 D 在AB 上CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 长l 的近似值s 计算公式：2CD s AB OA=+ 当2OA = 90AOB ∠=︒时 l s -= ．（结果保留一位小数）【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与CD 的值 代入2CD s AB OA=+得弧长的近似值 利用弧长公式可求弧长的值 进而即可得解．【详解】①290OA OB AOB ︒==∠=，①22AB =①C 是弦AB 的中点 D 在AB 上 CD AB ⊥①延长DC 可得O 在DC 上 122OC AB ==①22CD OD OC =-=①(22222322CD s AB OA=+==9022360l ππ⨯⨯== ①30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长 掌握垂径定理。
2018届初三数学中考复习与圆有关的证明与计算专项复习练习.doc
2018届初三数学中考复习与圆有关的证明与计算专项复习练习1.如图，QO是“ABC的外接圆，BC=2, ZBAC=30°,则劣弧矗的长等于( )A.込B.- C 2y[37T D.血3333\ / AB _C 第1题图 A B第2题图2.如图，在△/EC中，ZABC=9Q° , ZBAC=3Q° , AC=2,将△必T绕点/逆时针旋转至△ AEG,使也丄個，则EC边扫过的面积为（）A. -B. -C. -D.—12 2 6 4 33.已知扇形的弧长为6口，面积为27 n ,则这个扇形的圆心角为______度.4.如图，中，Zr=90° , ZJ=60° , AB^23,将沿直线①向右作无滑动滚动一次，则点C经过的路径长是_____ .B第4题图第5题图5.如图，正方形必氏的边长为2,以。
为圆心，彷为直径的半圆经过点连接/龙CF相交于点只将正方形必氏从0A与莎重合的位置开始，绕着点。
逆时针旋转90°,交点P运动的路径长是•6.如图，仙是©0的直径，M是弦，AC=3, ZBOC^2ZAOC,若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是•7.如图，在△肋C中，AB^AC,初是角平分线，庞平分ZABC交初于点龙点。
在肋上，以仞为半径的00经过点仅交肚于点、F.（1）求证：/力是＜3 0的切线；（2）若/C=4, ZC = 30°,求庶的长.8.如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计）, 如果圆锥形帽子的底面半径为10cm,那么这张扇形纸板的面积是（）第8题图A. 240 口cm2B. 480 口cm2C. 1200 Ji cm2D. 2400 □ cm29.如图，点/在以氏为直径的（DO内，且AB=AC,以点/为圆心，/C长为半径作弧，得到扇形剪下扇形围成一个圆锥（仙和M重合），若ABAC 120° , BC = 2晶,则这个圆锥底面圆的半径是（A. -B. -C. V2D. 733310. 圆锥的底面半径长为5,将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长 是 ______ .11. 用一个圆心角为120。
湖南省2018年中考数学复习热点小专题(七) 以圆为背景的综合计算与证明题
热点小专题(七)__以圆为背景的综合计算与证明题类|型|1 圆与切线相结合的计算与证明 1．[2017·绵阳]如图R 7－1，已知AB 是圆O 的直径．弦CD ⊥AB ，垂足为H.与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1)求证：CA ＝CN ；(2)连接DF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝2 10，求圆O 的直径．图R 7－12．[2017·潍坊]如图R 7－2，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为BC ︵的中点，作DE ⊥AC ，交AB 的延长线于点F ，连接DA.(1)求证：EF 为半圆O 的切线；(2)若DA ＝DF ＝6 3，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)图R 7－2类|型|2 圆与四边形相结合的计算与证明 3．[2017·宜昌]已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，DE ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于点D.B 点在⊙O 上，连接OB.(1)求证：DE ＝OE ；(2)若CD ∥AB ，求证：四边形ABCD 是菱形．图R 7－34．[2016·潍坊]正方形ABCD 内接于⊙O ，如图R 7－4所示，在劣弧AB ︵上取一点E ，连接DE ，BE ，过点D 作DF ∥BE 交⊙O 于点F ，连接BF ，AF ，且AF 与DE 相交于点G ，求证：(1)四边形EBFD 是矩形； (2)DG ＝BE.图R 7－4类|型|3 圆与三角函数相结合的计算与证明 5．[2017·贵港]如图R 7－5，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA ＝PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆． (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，求⊙O 的半径．图R 7－56．[2017·绥化]如图R 7－6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E.∠ADC 的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F.(1)求证：CD 与⊙O 相切．(2)若BF ＝24，OE ＝5，求tan ∠ABC 的值．图R 7－6类|型|4 圆与三角形相似相结合的计算与证明 7．[2017·河池]如图R 7－7，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F.(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ；(2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．图R 7－7类|型|5 圆与二次函数相结合的计算与证明8．[2017·绵阳]如图R 7－8，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y ＝12x＋1与抛物线交于B ，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，圆C 与直线m 交于对称轴右侧的点M(t ，1)．直线m 上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C 与x 轴相切；(3)过点B 作BE ⊥m ，垂足为E ，再过点D 作DF ⊥m ，垂足为F.求BE ∶MF 的值．图R 7－8参考答案1．解：(1)证明：连接OF ， ∵ME 与圆O 相切于点F ，∴OF ⊥ME ，即∠OFN ＋∠MFN ＝90°.∵∠OFN ＝∠OAN ，∠OAN ＋∠ANH ＝90°， ∴∠MFN ＝∠ANH (等量代换)．又∵ME ∥AC ，∴∠MFN ＝∠NAC ， ∴∠ANH ＝∠NAC ，∴CA ＝CN . (2)∵cos ∠DF A ＝45，∴cos C ＝45.在直角△AHC 中，设AC ＝5a ，HC ＝4a ， 则AH ＝3a ，由(1)知，CA ＝CN ，∴NH ＝a ，在Rt △ANH 中，利用勾股定理，得AH 2＋NH 2＝AN 2，即(3a )2＋a 2＝(210)2，解得a ＝2(a ＝－2舍去)．连接OC ，在Rt △OHC 中，利用勾股定理，得OH 2＋HC 2＝OC 2， 设圆O 的半径为R ，则(R －6)2＋82＝R 2，解得R ＝253，∴圆O 的直径2R ＝503.2．解：(1)证明：连接OD ，∵D 为BC ︵的中点， ∴∠CAD ＝∠BAD .∵OA ＝OD ， ∴∠BAD ＝∠ADO . ∴∠CAD ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥EF . ∴EF 为半圆O 的切线． (2)连接OC 与CD .∵DA ＝DF ，∴∠BAD ＝∠F ， ∴∠BAD ＝∠F ＝∠CAD .又∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠F ＝90°， ∴∠F ＝30°，∠BAC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴△AOC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°，∠COB ＝120°.∵OD ⊥EF ，∠F ＝30°，∴∠DOF ＝60°.在Rt △ODF 中，DF ＝6 3， ∴OD ＝DF ·tan 30°＝6.在Rt △AED 中，DA ＝6 3，∠CAD ＝30°， ∴DE ＝DA ·sin 30°＝3 3，EA ＝DA ·cos 30°＝9. ∵∠COD ＝180°―∠AOC ―∠DOF ＝60°， ∴∠OCD ＝∠AOC ＝60°， ∴CD ∥AB .故S △ACD ＝S △COD .∴S 阴影＝S △AED －S 扇形COD ＝12×9×3 3－60360×π×62＝27 32－6π.3．解：(1)证明：如图，连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ， ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠COD ＝90°.∵DE ＝EC ，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠COD ，∴DE ＝OE .(2)∵OD ＝OE ，∴OD ＝DE ＝OE ， ∴∠3＝∠COD ＝∠DEO ＝60°，∴∠2＝∠1＝30°.∵OA ＝OB ＝OE ，OE ＝DE ＝EC ， ∴OA ＝OB ＝DE ＝EC .∵AB ∥CD ，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA ＝30°， ∴△ABO ≌△CDE ，∴AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵∠DAE ＝12∠DOE ＝30°，∴∠1＝∠DAE ，∴CD ＝AD ，∴▱ABCD 是菱形．4．证明：(1)∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BED ＝∠BAD ＝90°，∠BFD ＝∠BCD ＝90°. 又∵DF ∥BE ，∴∠EDF ＋∠BED ＝180°， ∴∠EDF ＝90°，∴四边形EBFD 是矩形； (2)∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴AD ︵的度数是90°，∴∠AFD ＝45°. 又∵∠GDF ＝90°，∴∠DGF ＝∠DFG ＝45°，∴DG ＝DF .又∵在矩形EBFD 中，BE ＝DF ，∴BE ＝DG .5．解：(1)证明：连接OP ，OA ，OP 交AD 于点E ，如图， ∵P A ＝PD ，∴AP ︵＝DP ︵，∴OP ⊥AD ，AE ＝DE ，∴∠1＋∠OP A ＝90°. ∵OP ＝OA ，∴∠OAP ＝∠OP A ， ∴∠1＋∠OAP ＝90°.∵四边形ABCD 为菱形，∴∠1＝∠2，∴∠2＋∠OAP ＝90°，∴OA ⊥AB ， ∴直线AB 与⊙O 相切； (2)连接BD ，交AC 于点F ，∵四边形ABCD 为菱形， ∴DB 与AC 互相垂直平分． ∵AC ＝8，tan ∠BAC ＝22， ∴AF ＝4，tan ∠DAC ＝DF AF ＝22，∴DF ＝2 2，∴AD ＝AF 2＋DF 2＝2 6，AE ＝ 6. 在Rt △P AE 中，由tan ∠1＝PE AE ＝22，得PE ＝ 3. 设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R －3，OA ＝R ， 在Rt △OAE 中，∵OA 2＝OE 2＋AE 2， ∴R 2＝(R －3)2＋(6)2，解得R ＝3 32， 即⊙O 的半径为3 32.6．解：(1)证明：过点O 作CD 的垂线，垂足为G ，如图①.因为AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，所以OA ⊥AD . 又因为DO 是∠ADC 的平分线，且OG ⊥CD ， 所以OA ＝OG .所以CD 是⊙O 的切线． (2)如图②，连接OB .在Rt △OBE 中，BE ＝12BF ＝12，OE ＝5，所以半径OB ＝BE 2＋OE 2＝122＋52＝13， 所以AE ＝OA ＋OE ＝OB ＋OE ＝18， 所以tan ∠ABC ＝AE BE ＝1812＝32.7．解：(1)证明：∵CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ， ∴OC 平分∠BCE ，即∠ECO ＝∠BCO ，OB ⊥BC ， ∴∠BCO ＋∠COB ＝90°.∵EF ⊥OG ，∴∠FEB ＋∠FOE ＝90°，而∠COB ＝∠FOE ，∴∠FEB ＝∠ECF ；(2)连接OD ，如图，∵CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ， ∴CD ＝CB ＝6，OD ⊥CE ， ∴CE ＝CD ＋DE ＝6＋4＝10. 在Rt △BCE 中，BE ＝102－62＝8.设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OB ＝r ，OE ＝8－r ， 在Rt △ODE 中，r 2＋42＝(8－r )2， 解得r ＝3，∴OE ＝8－3＝5.在Rt △OBC 中，OC ＝62＋32＝3 5. ∵∠COB ＝∠FOE ，∠EFO ＝∠CBO ＝90°， ∴△OEF ∽△OCB ， ∴EF BC ＝OE OC ，即EF 6＝53 5，∴EF ＝2 5. 8．解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －h )2＋k ， 因为抛物线的顶点坐标是(2，1)， 所以y ＝a (x －2)2＋1. 又抛物线经过点(4，2)，所以2＝a (4－2)2＋1，解得a ＝14，所以抛物线的解析式是y ＝14(x －2)2＋1＝14x 2－x ＋2；(2)证明：联立⎩⎨⎧y ＝14x 2－x ＋2，y ＝12x ＋1，消去y ，整理得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3－5，x 2＝3＋5， 代入直线方程，解得y 1＝52－52，y 2＝52＋52，所以B (3－5，52－52)，D (3＋5，52＋52)．因为点C 是BD 的中点，所以点C 的纵坐标为y 1＋y 22＝52，利用勾股定理，可算出BD ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝5，即半径R ＝52，即圆心C 到x 轴的距离等于半径R ，所以圆C 与x轴相切．(3)方法1：如图①，连接BM 和DM ，因为BD 为直径，所以∠BMD ＝90°，所以∠BME ＋∠DMF ＝90°.因为BE ⊥m 于点E ，DF ⊥m 于点F ，所以∠BME ＝∠MDF ，所以△BME ∽△MDF ， 所以BE MF ＝EMDF ，即y 1－1x 2－t ＝t －x 1y 2－1，代入得32－52（3＋5）－t ＝t －（3－5）32＋52，化简得(t －3)2＝4，解得t ＝5或t ＝1.因为点M 在对称轴右侧， 所以t ＝5，所以BEMF ＝5＋12；方法2：如图②，过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由(2)知CM ＝R ＝52，CH ＝R －1＝32，由勾股定理，得MH ＝2.又HF ＝x 2－x 12＝5，所以MF ＝HF －MH ＝5－2.又BE ＝y 1－1＝32－52，所以BEMF ＝5＋12.。
中考数学复习 第六单元 圆 滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明练习
滚动小专题(七) 与圆有关的计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为E ，连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC ＝OD.证明：(1)∵OD⊥AC，OD 为半径，∴CD ︵＝AD ︵.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD 平分∠ABC.(2)∵OB＝OD ，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD ＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC 于E ，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴在Rt △ACB 中，BC ＝12AB. 又∵OD＝12AB ， ∴BC＝OD.2．(2018·温州)如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB＝90°，cos ∠ADB＝13，BE ＝2，求BC 的长．解：(1)证明：由题意，得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE ＝AC.∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD.∴AB＝AC ，∴AE＝AB.(2)过点A 作AH⊥BE 于点H.∵AB＝AE ，BE ＝2.∴BH＝EH ＝1.∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos ∠ADB＝13， ∴cos ∠ABE＝cos ∠ADB＝13. ∴BH AB ＝13. ∴AC＝AB ＝3.∵∠BAC＝90°，AC ＝AB ，∴BC＝3 2.3．(2018·包头)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接CD ，CE ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且∠FAB＝∠ABC，连接BF.(1)求证：∠BCD＝∠BEC；(2)若BC ＝2，BD ＝1，求CE 的长及sin ∠A BF 的值．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°.∵DE 是⊙A 的直径，∴∠DCE＝90°.∴∠BEC＋∠CDE＝90°.∵AD＝AC ，∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC.(2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BDC∽△BCE.∴CD EC ＝BD BC ＝BC BE. ∵BC＝2，BD ＝1，∴BE＝4，EC ＝2CD.∴DE＝BE －BD ＝3.在Rt △DCE 中，DE 2＝CD 2＋CE 2＝9. ∴CD＝355.∴CE＝655. 过点F 作FM⊥AB 于点M ，∵∠F AB ＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°，∴△AFM∽△BAC.∴FM AC ＝AF BA. ∵DE＝3，∴AD＝AF ＝AC ＝32，AB ＝52.∴FM＝910. 过点F 作FN⊥BC 于点N ，∴∠FNC＝90°.∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC.∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四边形FNCA 是矩形．∴FN＝AC ＝32，NC ＝AF ＝32，∴BN＝12. 在Rt △FBN 中，BF ＝BN 2＋FN 2＝102， ∴在Rt △F BM 中，sin ∠ABF＝FM BF ＝91050.类型2 与圆的切线有关的计算与证明4．(2018·滨州)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD⊥CD 于点D ，且AC 平分∠DAB.求证：(1)直线DC 是⊙O 的切线；(2)AC 2＝2AD·AO.证明：(1)连接OC.∵OA＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC 平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC.∵OC 为⊙O 的半径，∴DC 是⊙O 的切线．(2)连接BC.∵AB 为⊙O 的直径，∴AB＝2AO ，∠ACB＝90°.∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.∴AD AC ＝AC AB，即AC 2＝AB·AD. ∴AC 2＝2AD·AO.5．(2017·金华)如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．解：(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②过点O作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2 3.∴EF＝GE－FG＝23－2.6．(2018·苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E，延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC.(1)求证：CD＝CE；(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：(1)连接AC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°.∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.又∵OC＝OA ，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAO.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°.在△CDA 和△CEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠CEA，∠DAC＝∠EAC，AC ＝AC ，∴△CDA≌△CEA(AAS )．∴CD＝CE.(2)证法一：连接BC.∵△CDA≌△CEA ，∴∠DCA＝∠ECA.∵CE⊥AG，AE ＝E G ，∴CA＝CG. ∴∠ECA＝∠ECG.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B.又∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG.又∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°.∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°.∴∠AOC＝2∠F＝45°.∴△CEO 是等腰直角三角形．证法二：设∠F＝x°，则∠AOC ＝2∠F＝2x°.∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x°.∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x°.∵CE⊥AG，AE ＝EG ，∴CA＝CG.∴∠EAC＝∠CGA.∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°.又∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°，∴3x°＋3x°＋2x°＝180°.∴x＝22.5.∴∠AOC＝2x°＝45°.∴△CEO 是等腰直角三角形．7．(2017·孝感)如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，过点D 作DE∥AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD.(1)由AB ，BD ，AD ︵围成的曲边三角形的面积是252＋25π4； (2)求证：DE 是⊙O 的切线；(3)求线段DE 的长．解：(2)证明：连接OD.∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴AD＝DB.又∵AB 为直径，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.∴OD⊥AB.∵DE∥AB，∴OD⊥DE.又∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．(3)∵AB＝10，AC ＝6， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.过点A 作AF⊥DE 于点F ，则四边形AODF 是正方形，∴AF＝OD ＝FD ＝5，∠BAF＝90°.∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°，∴∠EAF＝∠ABC.∴tan ∠EAF＝tan ∠ABC.∴EF AF ＝AC BC ，即EF 5＝68. ∴EF＝154. ∴DE＝DF ＋EF ＝5＋154＝354. 8．(2018·株洲)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，点C 和点D 是⊙O 上关于直线AB 对称的两个点，连接OC ，AC ，且∠BOC＜90°，直线BC 和直线AD 相交于点E ，过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且∠GAF＝∠GCE.(1)求证：直线CG 为⊙O 的切线；(2)若点H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB ＝CH.①求证：△CBH∽△OBC；②求OH ＋HC 的最大值．解：(1)证明：∵C，D 关于AB 对称，∴∠GAF＝∠CAF.∵∠GAF＝∠GCE，∴∠GCE＝∠CAF.∵OA＝OC ，∴∠CAF＝∠ACO.∴∠GCE＝∠ACO.∵AB 为直径，∴∠A CO ＋∠OCB＝90°.∴∠GCE＋∠OCB＝90°，即∠OCG＝90°.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CG 为⊙O 的切线．(2)①证明：∵OC＝OB ，CH ＝BC ，∴∠OCB＝∠OBC，∠CHB＝∠CBH，∠CBH＝∠OBC＝∠OCB＝∠CHB.∴△CBH∽△OBC.②∵△CBH∽△OBC，∴BH BC ＝BC BO .∴BH＝BC 24. 设BC ＝x ，则CH ＝x ，BH ＝x 24. ∴OH＋HC ＝－14x 2＋x ＋4＝－14(x －2)2＋5. ∴当x ＝2时，OH ＋HC 的最大值为5.9．(2018·娄底)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；(2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°.∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°.∴∠DAB＝∠PBD.(2)证明：∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE.∴DE BE ＝AE CE，即DE·CE＝AE·BE. 连接OC.设圆的半径为r ，则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2.∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°.∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2，BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2. ∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4. ∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2.又∵E 是半径OA 的中点，∴AE＝OE ＝2.则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∵BC 2－CE 2＝DE·CE， ∴(42)2－(25)2＝DE·2 5.∴DE＝655.。
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题型专项(七) 圆的有关证明与计算
类型1 圆的有关证明与计算(不含函数)
1．(2017·南充)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心，OC 为半径作半圆．
(1)求证：AB 为⊙O 的切线；
(2)如果tan ∠CAO ＝13
，求cos B 的值．
解：(1)作OM⊥AB 于点M.
∵OA 平分∠CAB，OC ⊥AC ，OM⊥AB，
∴OC ＝OM.
∴AB 是⊙O 的切线．
(2)设BM ＝x ，OB ＝y ，
则y 2－x 2＝1①.
∵tan ∠CAO ＝13＝OC AC
，OC ＝1， ∴AC ＝3.
∵cos B ＝BM OB ＝BC AB
，AB ＝AM ＋MB ＝AC ＋MB ， ∴x y ＝y ＋1x ＋3
. ∴x 2＋3x ＝y 2
＋y②.
由①②可以得到：y ＝3x －1，
∴(3x －1)2－x 2＝1.
∴x ＝34，y ＝54
. ∴cos B ＝x y ＝35
. 2．(2017·贵港模拟)如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E.
(1)求证：DE⊥AC；
(2)连接OC 交DE 于点F ，若sin ∠ABC ＝34，求OF FC 的值．
解：(1)证明：连接OD.
∵DE 是⊙O 的切线，
∴DE ⊥OD ，即∠ODE＝90°.。