2019届高三上学期第六次月考(一模)数学(理)试卷

一、单选题1．若z =25i3+4i ，则z 的共轭复数z 对应的点在A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 2．设集合M ={x|x 2−32x +12=0}，N ={x|3x >√3}，则M ∩N = A ． {1,12} B ． ∅ C ． {1} D ． {34}3．在双曲线C:x 29−y 216=1中，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点且满足|PF 1|+|PF 2|=14，则|PF 1|2+|PF 2|2=A ． 108B ． 112C ． 116D ． 1204．由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有个 A ． 10 B ． 11 C ． 12 D ． 135．已知正实数x ，y 满足a x <a y （0<a <1），则下列一定成立的是 A ． 1x −1y >0 B ． x 5y 2<x 4y 3 C ． |x −1|>|y −1| D ． log(x 2+1)e <log(y 2+1)e6．执行如图所示的程序框图，若输入的a 为24，c 为5，输出的数为3，则b 有可能为A ． 11B ． 12C ． 13D ． 147．设实数x ，y 满足{2x −y ≥0,x ≤0,x +y +2≤0, 则x 2+y 2的最小值为 A ． 4 B ． 2 C ．209D ．1038．已知α∈(0,π2)，sin(α+116π)=13，则sinα=A ．2√3+√26B ．1+2√66C ． √3+2√26D ．1+3√269．若ΔABC 的内角满足3sinA =sinB +sinC ，则cosA 的最小值是 A ． 23 B ． 79 C ． 13 D ． 5910．已知平面上有3个点A ，B ，C ，在A 处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A 点的概率为A ．1116B ． 58C ． 13D ． 3811．已知f(x)=x 2+lnx ，在f(x)的图象上存在一点P ，使得在P 处作f(x)图象的切线l ，满足l 的斜率为2√2a−8a−√2，则a 的取值范围为A ． [−√2,√2)∪[2√2,+∞)B ． (−∞,−√2]∪(√2,2√2]C ． [−√2,√2)∪(√2,2√2]D ． (√2,2√2]12．已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，且AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，过点A ，B 分别引抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1，l 2相交于点P ，则|PF⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ． 3√22B ．4√33C ． 2√2D ． 2√3二、填空题13．|a |=1，|b ⃑ |=2，a ⊥b ⃑ ，则|a +2b ⃑ | =__________． 14．在(x −2x )5的展开式中1x 的系数为__________．15．已知函数f(x)=(sinx +√3cosx)(√3sinx +cosx)，则函数f(x)在x ∈[−π2,π2]时的最大值为__________．16．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1+na n =2(n +1) (n ∈N +)，则|a 2017|−|2016a 2016|=__________．三、解答题17．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=3，a 1⋅a 4=a 22． （1）求{a n }的通项公式及a n 的前n 项和S n 的通项公式；（2）b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n，求数列{b n }的通项公式，并判断b n 与1927的大小．18．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ΔABC 的面积为acsinAsinC 2sinB．（1）求证：a ，b ，c 成等比数列；（2）求sinB 的最大值，并给出取得最大值时的条件．19．2017~2018赛季的欧洲冠军联赛八分之一决赛的首回合较量将于北京时间2018年2月15日3:45在伯纳乌球场打响．由C 罗领衔的卫冕冠军皇家马德里队（以下简称“皇马”）将主场迎战刚刚创下欧冠小组赛最多进球记录的法甲领头羊巴黎圣日曼队（以下简称“巴黎”），激烈对决，一触即发．比赛分上，下两个半场进行，现在有加泰罗尼亚每题测皇马，巴黎的每半场进球数及概率如表：（1）按照预测，求巴黎在比赛中至少进两球的概率；（2）按照预测，若设H 为皇马总进球数，A 为巴黎总进球数，求A 和H 的分布列，并判断E(A)和E(H)的大小．20．已知椭圆E ：x 26+y 22=1的右焦点为F 2，设过F 2的直线l 的斜率存在且不为0，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点为C ，O 为原点，直线OC 交x =3于点D ．（1）求证：AB ⊥DF 2； （2）求|AB||DF 2|的最大值．21．设函数f(x)=ae x +bx 2+cx −1，其中a ，b ，c 为常数． （1）若b =0，ac ≠0，试讨论函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在R 上单调递增，且abc ≠0，证明：a >0>b ，并求c 的最小值（用a ，b 的代数式表示）．22．在直角坐标系xOy 中，直线l ：{x =√3+tcosα,y =tsinα （t 为参数，其中α为直线的倾斜角）与曲线C ：{x =2cosθ,y =sinθ（θ为参数）相交于不同的两点A ，B ．（1）当α=π4时，求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若|MA|⋅|MB|=|OM|2−52，其中M(√3,0)，求直线l 的斜率．23．已知函数f(x)=|x −1|+|x −2|，若f(x)≤3的解集为C ． （1）求解集C ；（2）已知非零实数a ，b ，c 满足1a2+14b2+1c2=2，求证：a 2+4b 2+9c 2≥252参考答案 1．D 【解析】由题意可得：z =25i3+4i =25i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=5(3i +4)=20+15i ， 则z̅=20−15i ，据此可得：z 对应的点在第四象限. 本题选择D 选项. 2．C 【解析】求解一元二次方程可得：M ={1,12}，求解指数不等式可得：N ={x|x >12}，结合交集的定义可得：M ∩N ={1}. 本题选择C 选项. 3．C 【解析】由双曲线的定义可得：||PF 1|−|PF 2||=2a =6， 结合题意有：|PF 1|+|PF 2|=14，两式平方相加可得：|PF 1|2+|PF 2|2=116 . 本题选择C 选项. 4．B 【解析】千位数字为3时满足题意的数字个数为：3!=6，千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3!−1=5， 综上可得：2018大的有6+5=11个. 本题选择B 选项. 5．D 【解析】 利用排除法：由指数函数的单调性可得：x >y >0，由反比例函数的单调性可得：1x <1y ,∴1x −1y <0，选项A 错误； x 5y 2−x 4y 3=x 4y 2(x −y )>0,∴x 5y 2>x 4y 3，选项B 错误； 当x =12,y =13时，|x −1|<|y −1|，选项C 错误；本题选择D 选项. 6．B 【解析】结合流程图，若输出的数字为3，则经过循环结构之后的b =a +3=27， 由于27MOD5=2，结合循环结构的特点可得：输入的数字除以5的余数为2， 结合选项可得：b 有可能为12. 本题选择B 选项. 7．C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数边上坐标原点与可行域内点距离的平方， 据此可得，目标函数在点A (−23,−43)处取得最小值：49+169=209.本题选择C 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 8．C 【解析】由题意可得：sin (α+116π)=sin (α−π6)=13，∵α∈(0,π2),∴α−π6∈(−π6,π3)，据此可得：cos (α+116π)=√1−sin 2(α+116π)=2√23， 结合两角和差正余弦公式有：sinα=sin [(α−π6)+π6]=sin (α−π6)cos π6+cos (α−π6)sin π6=√3+2√26.本题选择C 选项. 9．B 【解析】由题意结合正弦定理有：3a =b +c ，结合余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−(b +c3)22bc=89b 2+89c 2−29bc 2bc =89b 2+89c 22bc −19≥2×√89b ×√89c 2bc −19=79.当且仅当b =c 时等号成立. 综上可得：cosA 的最小值是79.本题选择B 选项. 10．D 【解析】由于可知，所有可能的放置方法为：ABABA,ABABC,ABACA,ABACB,ABCAB,ABCAC,ABCBA,ABCBC,ACABA,ACABC,ACACA,ACACB,ACBAB,ACBAC,ACBCA,ACBCB,共有16种可能的放置方法，其中满足题意的方法有6种， 由古典概型计算公式可得：小球仍在A 点的概率为p =nN =616=38. 本题选择D 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.11．A 【解析】结合函数的解析式有：f′(x )=2x +1x ≥2√2x ×1x =2√2， 当且仅当x =√22时等号成立，据此可得：2√2a−8a−√2≥2√2恒成立， 即：2√2a−8a−√2−2√2≥0，整理可得：√2)(a+√2)a−√2≥0，求解分式不等式可得a 的取值范围为[−√2,√2)∪[2√2,+∞).本题选择A 选项. 12．A 【解析】由焦点弦的性质有：1|AF |+1|BF |=2p =1，结合AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2BF ⃑⃑⃑⃑⃑ 可得：|AF |=3,|BF |=32， 设A,B 两点的坐标为：A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，结合y′=12x 有直线方程： l 1:y −y 1=x 12(x −x 1),l 2:y −y 2=x 22(x −x 2)， 联立直线方程可得交点坐标为P (x 1+x 22,−1)，则AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2−x 1,y 2−y 1)⋅(−x 1+x 22,2)=0,∴AB ⊥PF ， 结合焦点弦的性质可知：直线l 1l 2的斜率：x 12×x 22=−p 24=−1，即l 1⊥l 2，结合射影定理有：|PF |2=|AF |×|BF |=92， 据此可得：|PF ⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√22. 本题选择A 选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．13．√17 【解析】由题意可得：|a +2b ⃑ |=√(a +2b ⃑ )2=√a 2+4a ⋅b ⃑ +4b ⃑ 2=√1+4×0+4×22=√17. 14．−80 【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式有：T r+1=C 5r x 5−r(−2x )r =(−2)r C 5r x 5−2r，满足题意时：5−2r =−1,∴r =3，其系数为：(−2)3C 53=−80.15．√3+2 【解析】由题意结合三角函数的性质有：f (x )=√3sin 2x +sinxcosx +3sinxcosx +√3cos 2x =√3+2sin2x ， ∵x ∈[−π2,π2],∴2x ∈[−π,π]，据此可得，当2x =π2,x =π4时，函数取得最大值：√3+2. 16．−4034 【解析】由递推关系可得：a n+1−2=−n (a n −2)，则：a n+1−2=(−n )×(−n +1)×⋯×[(−1)×(a 1−2)]=(−1)n+1×n!， 即列的通项公式为：a n+1=(−1)n+1×n!+2，则：|a 2017|−|2016a 2016|=2016!−2−(2016!+4032)=−4034.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．17．(1)a n =3n ，S n =3n(n+1)2．(2)b n =23(1−1n+1),1b n<1927.【解析】 试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式可得关于公差的方程，解方程有d =3，则数列的通项公式为a n =3n ，前n 项和S n =3n(n+1)2．(2)结合(1)的结论有1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，据此裂项求和可得b n =23(1−1n+1)，据此有1b n<23<1927．试题解析：（1）设a 1=a ，公差为d ，则a(a +3d)=(a +d)2，解得d =a =3， 所以a n =3n ，S n =3n(n+1)2．（2）1S n=23⋅1n(n+1)=23(1n −1n+1)，从而b n =1S 1+1S 2+⋯+1S n=23(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =23(1−1n+1)，故1b n<23<1927．18．(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】 试题分析：(1)由题意结合面积公式有：12acsinB =acsinAsinC 2sinB，则sin 2B =sinAsinC ，角化边可得a b=bc，故a ，b ，c 成等比数列．(2)由题意结合余弦定理和(1)的结论有：cosB =a 2+c 2−b 22ac≥12，则sinB =√1−cos 2B ≤√32，由均值不等式的结论可得当ΔABC 为等边三角形时等号成立．试题解析：（1）证明：S ΔABC =12acsinB =acsinAsinC 2sinB，即sin 2B =sinAsinC ，由正弦定理可得ab =bc ，故a ，b ，c 成等比数列． （2）解：依题意得cosB =a 2+c 2−b 22ac=12(c a+a c−1)≥12，又B 为ΔABC 的一个内角，从而sinB =√1−cos 2B ≤√32， 当且仅当ΔABC 为等边三角形时等号成立． 19．(1)79144；(2)答案见解析.【解析】 试题分析：(1) 设A 为巴黎总进球数，由题意可得P (A ≥2)=P (A =2)+P (A =3)+P (A =4)=79144．(2)由题意首先求得A ,H 的分布列，然后结合分布列计算数学期望可得E(A)=E(H)=53． 试题解析：（1）设A 为巴黎总进球数，则P(A ≥2)=P(A =2)+P(A =3)+P(A =4) =(512×14+13×13+14×512)+(13×14+14×13)+14×14=2372+16+116=79144． （2）A 和H 的分布列如下：则E(A)=E(H)=53． 20．(1)证明见解析；(2)√3. 【解析】试题分析：(1)设直线l 的斜率为k （k ≠0），联立直线方程与椭圆方程可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0．结合韦达定理可得线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k3k 2+1)．据此计算可得直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k ，则AB ⊥DF 2.(2)考查t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k 2=k 2(x 1−x 2)2=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．换元令u =3k 2+1，则t =−163[(1u −14)2−916]．结合二次函数的性质可得k =±1时，t 取最大值3，此时|AB||DF 2|取最大值√3． 试题解析：（1）证明：设直线l 的斜率为k （k ≠0），则直线l 的方程为y =k(x −2)， 联立方程组{x 26+y 22=1,y =k(x −2),消去y 可得(3k 2+1)x 2−12k 2x +12k 2−6=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=12k 23k 2+1,x 1x 2=12k 2−63k 2+1,于是有y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4k =−4k 3k 2+1， 所以线段AB 中点C 的坐标为(6k 23k 2+1,−2k 3k 2+1)．又直线OC 的斜率k OC =−13k ，因此直线OC 的方程为y =−13k x ，它与直线x =3的交点D(3,−1k )，故直线DF 2的斜率为k DF 2=−1k ，于是k DF 2⋅k =−1．因此AB ⊥DF 2. （2）解：记t =(|AB||DF 2|)2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)21+1k 2=(x 1−x 2)+k 2(x 1−x 2)21+1k 2=k 2(x 1−x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =k 2[(12k 23k 2+1)2−4(12k 2−63k 2+1)]=24k 2(k 2+1)(3k 2+1)2．令u =3k 2+1，则t =8⋅(u−1)(u+2)3u 2=−163(1u 2−12u −12)=−163[(1u −14)2−916]．因为u =3k 2+1>1，所以0<1u <1． 故当u =4时，即k =±1时，t 取最大值3． 从而当k =±1时，|AB||DF 2|取最大值√3．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)函数f(x)的定义域为R ，求导可得f′(x)=ae x +c ．据此分类讨论： 若a >0，c >0，f(x)在R 上单调递增； 若a <0，c <0，f(x)在R 上单调递减；若a >0，c <0，f (x )在(−∞,ln (−c a ))上单调递减，在(ln (−ca ),+∞)上单调递增； 若a <0，c >0，f (x )在(−∞,ln (−ca ))上单调递增，在(ln (−ca ),+∞)上单调递减； (2)函数f(x)在R 上单调递增，则f′(x)=ae x +2bx +c ≥0对任意实数x 均成立， 取实数x 1>0，−x 1<0，有a(e x 1+e −x 1)+2c ≥0，据此讨论可得a >0>b ． 证明问题c ≥−2b(ln(−2b a)−1)来说明c 的最小值为−2b(ln(−2b a)−1)：构造函数g(x)=ae x ，ℎ(x)=−2bx −c ，可证明g(x)=ae x ≥−2bx +2bln(−2b a)−2b ，则g(x)≥ℎ(x)恒成立，据此可得c ≥−2b(ln(−2b a)−1)成立．试题解析：（1）解：依题意得f(x)的定义域为R ，当b =0时，f′(x)=ae x +c ．若a >0，c >0，则f′(x)>c >0，从而f(x)在R 上单调递增； 若a <0，c <0，则f′(x)<0，从而f(x)在R 上单调递减； 若a >0，c <0，令f′(x)=0，得x =ln(−ca )，列表如下：若a <0，c >0，令f′(x)=0得x =ln(−ca)，列表如下：（2）证明：函数f(x)在R 上单调递增，则f′(x)=ae x +2bx +c ≥0对任意实数x 均成立，取实数x1>0，−x1<0，则{ae x1+2bx1+c≥0,ae−x1−2bx1+c≥0,两式相加得：a(ex1+e−x1)+2c≥0，令x1→+∞，则e x1+e−x1→+∞，从而a>0．又由ae−x1−2bx1+c≥0，当x1→+∞时，ae−x1→0，若b>0，则ae−x1−2bx1+c≥0不恒成立，又b≠0，从而b<0，从而a>0>b．下证c≥−2b(ln(−2ba)−1)．记g(x)=ae x，ℎ(x)=−2bx−c，x2=ln(−2ba)，由于g′(x)=ae x，g(x)在点(x2,g(x2))处的切线方程为：y=−2b(x−x2)+g(x2)=−2bx+2bln(−2ba)−2b．接下来，我们证明g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b，构造函数H(x)=ae x+2bx−2bln(−2ba)+2b，H′(x)=ae x+2b．当x∈(−∞,x2)时，H′(x)<0，H(x)单调递减；当x∈(x2,+∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增；从而H(x)≥H(x)min=H(x2)=0，故g(x)=ae x≥−2bx+2bln(−2ba)−2b成立．考虑到直线y=−2bx+2bln(−2ba)−2b与直线y=ℎ(x)斜率相等，即它们平行，又由于g(x)≥ℎ(x)恒成立，从而−2bx+2bln(−2ba)−2b≥ℎ(x)恒成立，即−c≤2b(ln(−2ba )−1)，即c≥−2b(ln(−2ba)−1)．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．(1)直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2)±√22.【解析】试题分析：(1)由题意结合参数方程可得直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2) 联立直线的参数方程与椭圆方程可得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，结合参数的几何意义可得sin2α=13，则直线的斜率k=±√22．试题解析：（1）当α=π4时，直线l的普通方程为y=x−√3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．（2）把{x=√3+tcosα,y=tsinα代入x24+y2=1，得(4sin2α+cos2α)t2+(2√3cosα)t−1=0，|MA|⋅|MB|=|t1t2|=14sin2α+cos2α=|OM|2−52=12，得sin2α=13，∴tan2α=12，∴斜率k=±√22．23．(1)[0,3]；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集C=[0,3]；(2)由题意结合柯西不等式有a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a2=4b2=3c2=52时取等号．则题中的不等式得证.试题解析：（1）解：f(x)=|x−1|+|x−2|≤3，即{x<1,−x+1−x+2≤3或{1≤x≤2,x−1−x+2≤3或{x>2,x−1+x−2≤3,即0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，即解集C=[0,3]．（2）证明：∵1a2+14b2+1c2=2，由柯西不等式得a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2)≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a1a=2b12b=3c1c时取等号，即a2=4b2=3c2=52时取等号．。