数学讲义：三角函数的基本关系
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三角函数的基本关系
在上一节我们利用三角形两边长的比例关系，定义了六个锐角的三角函数： 设△ABC 为一直角三角形，其中︒=∠90C ，
AB 为△ABC 的斜边，AC 为∠A 的邻边，
BC 为∠A 的对边，则
◆AB BC A A ==
=∠斜邊對邊的正弦sin ❖AB AC A A ===∠斜邊鄰邊的餘弦cos ♦AC BC A A ==
=∠鄰邊對邊的正切tan ⌧BC AC A A ===∠對邊鄰邊的餘切cot ⍓AC
AB A A ===∠鄰邊斜邊的正割sec BC AB A A ===∠對邊斜邊的餘割csc 此外，我们也可藉由定义推得六个三角函数间的关系，叙述如下：
(1)倒数关系：
1csc sin csc 1sin =⋅⇔=
θθθθ 1sec cos sec 1cos =⋅⇔=
θθθθ ●1cot tan cot 1tan =⋅⇔=θθθ
θ
例题 1
◆试求=︒︒︒︒︒︒40csc 40sec 40cot 40tan 40cos 40sin
❖设θ为锐角﹐求
1111sin 1cos 1sec θθθ＋＋＋＋＋＋11csc θ
＋＝
练习 1 求22212tan 5312cot 53︒︒＋＋＋＝ 1
(2)余角关系：θ为锐角
()θθ-︒=90cos sin ()θθ-︒=90sin cos
●()θθ-︒=90cot tan ❍()θθ-︒=90tan cot
⏹()θθ-︒=90csc sec ☐()θθ-︒=90sec csc
Q ：求出下列锐角θ的値 ◆θsin 56cos =︒，=θ ❖θcot 43tan =︒，=θ ♦θsec 77csc =︒，=θ
例题 2
(1) sin 2(60︒－θ)＋sin 2(30︒＋θ) =
(2) cos40︒csc50︒＋csc 228︒－tan 262︒ =
(3)商数关系：
tan θ= cot θ=
Q ：设θ为锐角，且θθsin 4cos =，则=θtan
(4)平方关系：
22sin cos θθ+=
●
Q ：◆=︒+︒40cos 40sin 22 ❖=︒-︒20sec 20tan 22 ♦()()=︒-︒+︒+︒2
240cos 40sin 40cos 40sin
例题 3
θ 是一个锐角 已知sin θ－cos θ ＝15，求sin θ 与cos θ 的值。
练习 3
θ 是一个锐角，已知sin θ ＋cos θ ＝
1713，求sin θ 与cos θ 的值。 Ans ：cos θ ＝
513时，sin θ ＝1213；cos θ ＝1213时，sin θ ＝513
例题 4
设θ为锐角：
◆试证：θθθθθθcsc sec cos sin 1cot tan ==
+ ❖若12
25cot tan =+θθ，试求下列各式之値： (1)θθcos sin (2)θθcos sin + (3)θθcos sin - (4)θθ33cos sin +
练习 4
设θ为锐角，若5
3cos sin =+θθ，试求下列各式之値： (1)θθcos sin (2)θθcot tan + (3)θθcos sin - (4)θθ33cos sin +
Ans ：(1)52 (2)25 (3)5
1± (4)2559
以上所叙述的三角函数基本关系，务必请同学记忆并熟练。最后，我们来练习推导三角恒等式，处理类似问题时，只要把握以下几点原则，便能迎刃而解囉！
(1)由繁化简
例题 5 [将高次式化为低次式]
设θ 是锐角，求证三角恒等式cos 4 θ－sin 4 θ＝cos 2 θ－sin 2 θ。
练习 5
设θ 是锐角，求证恒等式sin θ．tan θ＋cos θ ＝ sec θ。
(2)单纯化 [例如：一律化成sin θ 与cos θ 表示]
(3)化为同一式
例题 6
设θ 是锐角，求证：sec θ－tan θ ＝
cos 1sin θθ
＋。
例题 7
设θ 是锐角，且θ ≠45°，求证：
cot tan csc sec csc sec cot tan θθθθθθθθ＋－＝＋－。
练习 7
设θ 是锐角，求证：tan θ．
1sin 1cos θθ－＋＝cot θ．1cos 1sin θθ－＋。 (4)相减为零
例题 8
设θ 是锐角，求证：
1tan sec 1tan sec θθθθ＋－－－ ＝ tan θ－sec θ。