[配套K12]2018版高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.2 换底公式学案 湘教版必修1
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.4.2计算函数零点的二分法课件湘教版必修
2018版高考数学专题2指 数函数对数函数和幂函数 2.4.2计算函数零点的二分 法课件湘教版必修
在这个课件中，我们将深入学习二分法。了解什么是二分法，它的基本思想 和步骤，并探索其在计算函数零点中的应用。
什么是二分法
二分法是一种迭代的方法，用于查找函数在某一区间内的零点。它将区间不 断分成两部分，并判断零点位于哪一部分。
优点
二分法具有简单、快速、有效的特点，适用于 各种问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解决。
局限性
二分法要求函数在查找区间内单调递增或递减， 并且相邻零点之间没有其他零点。
结论和要点
• 二分法是一种强大的数值计算方法，广泛应用于各个领域。 • 掌握二分法的基本原理和步骤是提高问题求解能力的关键。 • 对于存在多个零点的函数，需要结合实际情况进行判断和选择。
二分法的基本思想
二分法的基本思想是通过不断缩小查找区间来逼近函数的零点。每次将区间分成两部分，并根据零点的位置缩 小区间。
二分法的步骤
1
步骤一
选取一个初始区间，确保函数在这个区间内存在一个零点。
2
步骤二
将区间分成两部分，找出中点并计算函数在中点处的值。
3
步骤三
根据中点处函数值的正负决定新的查找区间，并更新中点。
二分法的应用
算法
金融分析
二分法常被应用在查找算法中， 用于快速检索有序数组中的元素。
二分法可以帮助我们在金融市场 上找到最优投资机会。
科学研究
科学家使用二分法来确定化合物 的结构和药物的效果。
通过例题说明二分法的使用方法
让我们通过一些具体的例题来演示二分法的实际应用和使用步骤。
二分法的优点和局限性
【配套K12】2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标8指数与指数函数理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标8指数与指数函数 理[解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．(2017·云南昆明模拟)设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >c解析：b ＝2.50＝1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5＝2－2.5，则2－2.5<1<22.5，即c <b <a .2．(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( B )解析：|f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32.又|f (x )|≥0，故选B ． 3．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( C )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.可知C 正确，故选C ．4．(2017·山西太原模拟)函数y ＝2x－2－x是( A ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析：令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C ，D ．又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数，故选A ．5．(2017·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)解析：原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2，故选C ．6．(2017·山东济宁模拟)已知函数f (x )＝|2x－1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( D )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a＜2cD ．2a＋2c＜2解析：作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图．∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a<1.∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1， ∴1<2c<2，∴f (c )＝|2c－1|＝2c－1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2，故选D ． 二、填空题7．(2017·吉林长春模拟)已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是(0,1)．解析：因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1.8．(2017·山东济南模拟)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝14.解析：因为g (x )在[0，＋∞)上为增函数， 则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上单调递增，最小值为1a＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，m ＝12，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上单调递减，最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116，综上知a ＝14.9．(2017·山东济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，则a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．解析：当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．三、解答题10．化简：(1)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13 b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0. 解析：(1)原式＝a 3b 2a 13b 23 12ab 2a －13 b 13＝a 32 ＋16 ＋13 －1·b 1＋13 －2－13 ＝ab －1. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723 ＋50012 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 2＋3－4a，∵f (x )有最大值，∴g (x )应有最小值，且g (x )min ＝3－4a (a >0)，∴f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－4a ＝3，∴3－4a ＝－1，∴a ＝1.12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t2－1)等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎨⎧t ⎪⎪⎪⎭⎬⎫t >1或t <－13.。
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.2.3第2课时对数函数的图象和性质的应用课件湘教版必修1
立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域. 2.求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证； (2) 借助函数的性质，研究函数 t ＝ f(x) 和 y ＝ logat 在定义域上 的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性.
跟踪演练 2 (1)函数 f(x)＝| log 1 x|的单调递增区间是(
图象
定义域 值域 性质 过定点
(0，＋∞) ___________ ____ R (1,0) ，即当x＝1时，y＝__ 0 ______ 在(0，＋∞)上是 增函数 _________ 在(0，＋∞)上是 减函数 _________ 非奇非偶函数
单调性
奇偶性
[预习导引] 形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(3)log30.2，log40.2；
解 方法一 因为0＞log0.23＞log0.24，
1 1 所以 ＜ ，即 log30.2＜log40.2. log0.23 log0.24
方法二 如图所示
由图可知log40.2＞log30.2.
(4)log3π，logπ3. 解 因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，
答案 D
21－x，x≤1， (2)设函数 f(x)＝ 则满足f(x)≤2的x的取值范 1－log2x，x＞1，
围是( D ) A.[－1,2]
B.[0,2] D.[0，＋∞)
C.[1，＋∞)
解析
故选D.
x≤1， x＞1， f(x)≤2⇔ 1 x 或 ⇔0≤x≤1 或 x＞1， － 2 ≤2 1－log2x≤2
再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函
数的图象，再进行比较.
4.若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.
【配套K12】江苏省启东市2017-2018学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 对数函数(2)学
§3.2.2对数函数学习目标：1. 巩固对数函数图象及性质，以及对数函数的图像与性质的综合应用。
2.解简单的指对数方程及不等式。
学习重难点：对数函数的图像与性质的综合应用。
学习过程：一. 温故链接，导引自学说明下列函数图象与对数函数y=log 3x 的图象的关系，并画出图象。
① y=log 3(x+1) ②y=log 3x +1 ③y=log 3|x| ④y=|log 3x|⑤y=log 3|x+1|二.交流质疑，精讲点拨例1：判断下列函数的奇偶性：（1）22()log (1)log (1)f x x x =++-（2）22()log (1)log (1)f x x x =++-（3）())f x x =-变式训练1：判断下列函数的奇偶性：（1）1()lg1x f x x-=+ （2）()lg(f x x =例2：已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠，求()f x 的表达式。
变式训练2：已知定义在R 上奇函数)(x f ，当0>x 时，)21(log )(2+=x x f ，则不等式0)(≤x f 的解集为 。
例3 .已知函数f(x)=2+log 3x ，x []81,1∈，求()[]()22x f x f y +=的最大值及对应的x 值。
变式训练3：设09)(log 9)(log 221221≤++x x 的解集为M ，求M x ∈时，函数)8)(log 2(log )(22x x x f =的最大值与最小值。
例4．已知函数2log ()a y ax x =-在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围。
变式训练4：已知函数22()log ()f x x ax a =--在(,1-∞上是单调减函数，则实数a的取值范围是_____________________________三.当堂反馈，拓展迁移1．已知函数()log (2)a f x ax =-在[0，1]上是减函数，a 的范围_____________。
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.3.1幂函数的概念2.3.2幂函数的图象和性质课
凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，
曲线下凸.
跟踪演练2
如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，
则(
)
A.－1＜n＜0＜m＜1
B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1
D.n＜－1，m＞1
解析
在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，
如图所示.根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
1 1 C.－ ，－2,2， 2 2
1 1 D.2， ，－2，－ 2 2
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.
注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时
看|n|的大小.
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，
n越大，y＝xn递增速度越快， 1 故 c1 的 n＝2，c2 的 n＝ ，当 n＜0 时，|n|越大，曲线越陡峭， 2 1 所以曲线 c3 的 n＝－ ，曲线 c4 的 n＝－2，故选 B. 2 答案 B
1 2
5 3
D.y＝x
解析 y＝x ＝ x2，其定义域为 R，值域为[0，＋∞)，
3
故定义域与值域不同.
1 2 3 4 5
3.设
1 α∈－1，1， ，3 ，则使函数 2
y＝xα 的定义域为 R 且为
奇函数的所有 α 值为( A ) A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3
答案 B
要点三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
1 1 2 (1) 3 1 1 2 与 4 1 2
；
1 1 x 解 ∵y＝ 是[0，＋∞)上的增函数，且 ＞ ， 3 4
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.1.1指数概念的推广学案湘教版必修1
a·a＝a，n ＝am n m＋n m－n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n·b n，()n＝(b≠0)．＝a m2．1.1指数概念的推广[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2.252．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，23＝4.[预习导引]11．把n(正整数)个实数a的连乘记作a n，当a≠0时有a0＝1，a－n＝an(n∈N)．2．整数指数幂的运算有下列规则：a m a a na b b n3．若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即x n＝a，就说x是a的n次方根.3次方根也称为立方根．n当n是奇数时，数a的n次方根记作a.n n na＞0时，a＞0；a＝0时，0＝0；a＜0时，a＜0.当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，n n记作a.也就是说，当a＞0时，如x n＝a，那么x＝±a.n规定：0＝0，负数没有偶次方根．n n4．式子a叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数．一般地，有(a)n＝a.n n当n为奇数时，a n＝a；当n为偶数时，a n＝|a|.5．当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定n ma m＝a n，1na mn.6．规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a＞0时，对于任意有理数m，n仍有公式a m a a ma m ·a n ＝a m ＋n ，a n ＝a m －n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )m ＝a m ·b m ，(b )m ＝b m (b ≠0)．7．对任意的正有理数 r 和正数 a ，若 a ＞1 则 a r ＞1；若 a ＜1 则 a r ＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：对任意的负有理数 r 和正数 a ，若 a ＞1，则 a r ＜1；若 a ＜1 则 a r ＞1.8．任意正数 a 的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数 a ，对任意实数 x ，a 的 x次幂 a x 都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：对任意的正实数 x 和正数 a ，若 a ＞1 则 a x ＞1；若 a ＜1 则 a x ＜1.对任意的负实数 x 和正数 a ，若 a ＞1 则 a x ＜1；若 a ＜1 则 a x ＞1.要点一 根式的运算例 1 求下列各式的值：3 4 8(1) (－2)3；(2) (－3)2；(3) (3－π )8；(4) x 2－2x ＋1－ x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)．3解 (1) (－2)3＝－2.4 4(2) (－3)2＝ 32＝ 3.8(3) (3－π )8＝|3－π |＝π －3.(4)原式＝ (x －1)2－ (x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1 时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2.当 1＜x ＜3 时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.⎧⎪－2x －2，－3＜x ≤1，因此，原式＝⎨⎪⎩－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练 1 化简下列各式．(a －b )4＝|a －b |＝⎨ ⎩a ＝a 3 1 6 n ＝ 1 子：a ＝ a 和 a m - m a n n a mab 2·a b ＝3 25 4 4(1) (－2)5；(2) (－10)4；(3) (a －b )4.5解 (1) (－2)5＝－2.4(2) (－10)4＝|－10|＝10.(3) 4⎧⎪a －b ，a ≥b ，⎪b －a ，a ＜b .要点二 根式与分数指数幂的互化例 2 将下列根式化成分数指数幂形式：3 4(1) a · a ； (2) a a a ；3 3(3) a 2· a 3； (4)( a )2· ab 3.3 41 解 (1) a · ·a 4 ＝a 7 12 ；1 (2)原式＝a2 1·a 4 1 ·a 8 7 ＝a 8 ；2 3(3)原式＝a 3 ·a 2 ＝a 13 6 ；1 (4)原式＝(a 3 1 )2·a23 7 3·b 2 ＝a b 2 .规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式n 1 n ＝ ，其中字母 a 要使式子有意义． m跟踪演练 2 用分数指数幂表示下列各式：3 63 (1) a · －a (a ＜0)；(2) ab 2( ab )3(a ，b ＞0)；(3)(42 2b 3 ) 3 (b ＜0)；(4)1(x ≠0)．35x ( x 2)21 1解(1)原式＝a 3 ·(－a ) 61 1 1＝－(－a ) 3 ·(－a ) 6 ＝－(－a ) 2 (a ＜0)；(2)原式＝32 2 33a 5b 7 23⎛7⎫－ －⎪＋[(－2)3]3＋16－0.75＋|－0.01|2；2-11114316880·a2×13＝a6－6＋6－133⎫-2⎛(1) －3⎪3＋(0.002)2－10(5－2)－1＋(2－3)0；⎛3⎫-2⎛1⎫-110⎝8⎭⎝500⎭5－2⎛27⎫-2⎝8⎭992·(a-1·a＝(a0)355＝(a27·b215)＝a67b6(a，b＞0)；(3)原式＝b 23×14×213＝(－b)9(b＜0)；(4)原式＝1＝1＝x-35. 1x34·x5×133x5要点三分数指数幂的运算例3(1)计算：0.064-13⎝8⎭-41(2)化简：3a9a－3÷33a－7·a13(a＞0)．解(1)原式＝(0.43)13－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)2＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.191 (2)原式＝[a3×2·a3×(-321)]÷[a2×(-73)13]9376＝a0＝1.规律方法指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．跟踪演练3计算或化简：1-⎝8⎭33(2)a2·a－3·(a－5)-12·(a-12)13.解(1)原式＝(－1)-23 3⎪3＋ ⎪2－＋11＝ ⎪3＋5002－10(5＋2)＋14167＝＋105－105－20＋1＝－.3 (2)原式＝(a2-321)3·[(a－5)-12)13]121·(a2·a-13 2)121＝(a－4)2＝a－2.A ．( a )3＝a 4C. 2D ．－2⎛ 1⎫－1 ⎛1⎫ - 14．在 － ⎪ ，2 2 ， ⎪ 2 ，2－1 中，最大的数是()⎛ 1⎫⎝ 2⎭⎛1⎫ - 1 ⎝2⎭ ⎛ 1⎫－1 1 2 ⎛1⎫ - 1 1 ⎛1⎫ - 1 解析 － ⎪ ＝－2,2 2 ＝ ＝ ， ⎪ 2 ＝ 2，2－1＝ ，所以 ⎪ 2 最大． 5．2 ＋(－4)0- 111．下列各式正确的是()3 B ．( 7)4＝－75C ．( a )5＝|a |6D. a 6＝a答案 A45 6解析 ( 7)4＝7，( a )5＝a ， a 6＝|a |.52. (a －b )2＋ (a －b )5的值是()A ．0B ．2(a －b )C ．0 或 2(a －b )D ．a －b答案 C解析 当 a －b ≥0 时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )；当 a －b ＜0 时，原式＝b －a ＋a －b ＝0.13．计算[(－ 2)2] 2 的结果是( ) A. 22B ．－ 22答案 A11解析 [(－ 2)2] 2 ＝[( 2)2] 2 ＝ 2.1 - ⎝ 2⎭ ⎝2⎭ A. － ⎪－1C. ⎪ 2 B ．2 -D ．2－112答案 C1 - ⎝ 2⎭2 2 ⎝2⎭ 2 ⎝2⎭22 ＋－ (1－ 5)0·8 3 ＝________. 2－122＋⎪⎩－a，a＜0.＝(a21B．{x|x∈R且x≠}C．{x|x＞}D．{x|x＜}解析(1－2x)－＝，∴1－2x＞0，得x＜.-12244＝24×(-4)12答案22－3解析原式＝112＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na)n＝a；(2)n为奇数，na n＝a，n为偶数，na n＝|a|＝⎧⎪a，a≥0，⎨2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标31．化简a a的结果是()3A．a B.a C．a2D.a答案B解析31a a＝(a·a2)133)31＝a3＝a.2．若(1－2x)A．R12答案D-34有意义，则x的取值范围是()121234411(1－2x)323．16等于()11A.B．－C．2D．－2答案A解析16-14＝(24)-11＝2－1＝.⎛1 ⎫ - 1 4 ⎝27⎭ ⎛1 ⎫ - 1 4 ⎝27⎭⎡⎛1⎫3⎤ - 1 ⎛1⎫ - 1 4 ⎝4⎭⎣⎝3⎭ ⎦＝⎛1⎫2×（ - 1 ）＋⎛1⎫3×（ - 1 ）－2 2 a 2＋1＝- 1 a ＝m ，∴⎝a 2 －a - 2⎭2＝m 2， 即 a ＋a －1－2＝m 2，a ＋ ＝m 2＋2.∴ ＝m 2＋2.故选 C.6．如果 a ＝3，b ＝384，那么 a ⎢⎛ ⎫⎪ 7 ⎥n －3＝________.⎡⎛b ⎫ 1 ⎤ ⎡⎛384⎫ 1 ⎤ 解析 a ⎢ ⎪ 7 ⎥n －3＝3⎢ ⎪ 7 ⎥n －3＝3(128 7)n －3＝3×2n －3. 9 ⎛ 7⎫0.5 ⎛ 10⎫ - 2 37 ⎝ 9⎭ ⎝ 27⎭(2) 2 ⎪ ＋0.1－2＋ 2 ⎪ 3 －3π0＋ .3⎛1⎫⎝3⎭- 234．计算 0.25－0.5＋ ⎪ 3 － 16的值为()A ．7B ．3C ．7 或 3D ．5答案 B解析 0.25－0.5 ＋ ⎪ 3 － 16＝ ⎪ 2 ＋⎢ ⎪ ⎥ 3 － 24⎝2⎭ ⎝3⎭＝2＋3－2＝3.1 5．设 a2 －a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2答案 C1解析∵a 2 －a - 1 2⎛ 1 1 ⎫1aa 2＋1a⎡ b 1 ⎤ ⎣⎝a ⎭ ⎦答案 3×2n －31 ⎣⎝a ⎭ ⎦ ⎣⎝ 3 ⎭ ⎦7．求下列各式的值：333 143(1)7 3－3 24－6 ＋3 3；48 1 解(1)原式＝7×3 33－3 23×3－6⎪2＋ 413×3 31 ＝7×3 3 1 －6×3 3 1 －6×3＋3 3⎛25⎫1⎛64⎫-237⎝9⎭⎝27⎭(2)原式＝ ⎪2＋102＋ ⎪3－3＋＝＋100＋－3＋＝100.8．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于()14得α＋β＝－2，αβ＝.14⎛1⎫1⎝4⎭2551＝2×331－2×3×31-23＝2×33－2×33＝0.48593731648二、能力提升11a bA.10B．10C．20D．100答案A解析∵2a＝m,5b＝m，∴2＝m 1a1，5＝m b，∵2×5＝m1a1·m b＝m1a＋1b∴m2＝10，∴m＝10.故选A.9．化简23－610－43＋22得()A．3＋2B．2＋3C．1＋22D．1＋23答案A解析原式＝23－610－4(2＋1)＝23－622－42＋(2)2＝23－6(2－2)＝9＋62＋2＝3＋ 2.10．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.1答案25解析利用一元二次方程根与系数的关系，151则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝25.11．计算下列各式的值：1 (1)(0.027)332－ 6⎪2＋2564＋(22)3－3－1＋π0；8 (2)(a5·b-65)-1·a4÷b3(a＞0，b＞0)．⎡⎛5⎫2⎤ 1 3 3 2 1 5 1⎣⎝2⎭ ⎦解 (1)原式＝ [(0.3)3] 3－ ⎢ ⎪ ⎥ 2 ＋ (44) 4 ＋ (2 2 ) 3 － ＋ 1 ＝ 0.3－ ＋ 43 ＋ 2 － ＋ 1 ＝152 )·a 5 3-6 5 )×( - 12 2 2 2 ＝ (x ＋y )－2(xy ) ＝－3 －y 3 3 3 )3＝x 2－y －1，因为 x ＝ 2＋ 2，y ＝2－ 2，所以原式＝2＋ 2－1 32 3764 .8 (2)原式＝a 5 ×( - 1 )·b (4÷b 5＝a - 45 3 ·b 5 4 ·a 5 3 ÷b 5 ＝a - 4 5＋ 4 3 5 b 5 － 3 5 ＝a 0b 0＝1.三、探究与创新12．(1)已知 2x ＋2－x ＝a (常数)，求 8x ＋8－x 的值；1 1(2)已知 x ＋y ＝12，xy ＝9 且 x ＜y ，求x 2 －y 2的值．x 1 2 1 ＋y 2解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x－1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .1 1 (2)x2 －y 2 1 1 ＝ (x 2 －y 2 )21 1 x ＋y2 1 1 (x＋y 2 1 1 )(x －y 2)x －y12 .①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x ＜y ，∴x －y ＝－6 3.③1 1 将②③代入①，得x2 －y 2 1 1 x 2 ＋y 21 ＝ 12－2×92 －6 33 .2 1 4 13．当 x ＝ 2＋ 2，y ＝2－ 2时，化简(x 3 - )·(x 3 2 ＋x 3 y - 1 3 ＋y 2-)．2解原式＝(x 3 )3－(y - 11 2－ 2 ＝2＋ 22.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.2 第1课时 对数函数的概念、图象与性质学业分
2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2 第1课时对数函数的概念、图象与性质学业分层测评苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2 第1课时对数函数的概念、图象与性质学业分层测评苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2。
2 第1课时对数函数的概念、图象与性质(建议用时:45分钟）［学业达标]一、填空题1．已知对数函数f (x）的图象过点（8，－3），则f （22)＝________.【答案】－错误!2．函数f (x)＝错误!＋lg (3x＋1）的定义域为________．【解析】由题知错误!⇒－错误!〈x〈1。
【答案】错误!3．已知函数f （x）＝错误!则f 错误!＝________。
【解析】 f 错误!＝f 错误!＝f （－3）＝错误!－3＝8。
【答案】84．函数f (x）＝log错误!（2x＋1）的单调减区间是________．【解析】∵y＝log 12u单调递减，u＝2x＋1单调递增,∴在定义域上，f (x）单调递减，故减区间为2x＋1〉0,∴x>－1 2。
【答案】错误!5．函数y＝x＋a与y＝log a x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．（填序号）【解析】由y＝x＋a的斜率为1，排除③，①②中直线在y轴上截距大于1,但①中y＝log a x的图象反映a〈1，排除①，④中对数底a〉1,但截距a〈1矛盾．【答案】②6．函数f (x）＝log a（2x＋1）＋2（a>0且a≠1）必过定点________．【解析】令错误!得错误!即f (x）必过定点（0,2）．【答案】(0,2)7．设a＝log3 6，b＝log5 10，c＝log7 14，则a，b,c的大小关系是________.【解析】a＝log3 6＝log3 2＋1，b＝log5 10＝log5 2＋1，c＝log7 14＝log7 2＋1，∵log3 2〉log5 2〉log7 2，∴a>b>c.【答案】a>b>c8．设函数f (x）＝log2x的反函数为y＝g(x），且g(a)＝错误!，则a＝________.【解析】g(x)是f (x）＝log2x的反函数，∴g（x）＝2x，∴g（a）＝2a＝错误!,∴a＝－2.【答案】－2二、解答题9．求下列函数的定义域：(1）f （x）＝lg （x－2）＋错误!；(2)f (x）＝log（x＋1）（16－4x）．【解】(1）由题知错误!⇒x>2且x≠3，故f (x）的定义域为｛x|x〉2且x≠3}．（2)由题知错误!⇒－1<x<4且x≠0,故f （x)的定义域为{x|－1〈x<4且x≠0}．10．比较下列各组数的大小：（1）log0。
[K12学习]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学
![[K12学习]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学](https://img.taocdn.com/s3/m/b559ab1ea5e9856a561260a5.png)
3.1.2 第2课时指数函数的图象与性质的应用1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)[基础·初探]教材整理指数函数形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．【解析】一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.【答案】a(1＋p)8[小组合作型]求下列函数的定义域和值域：【精彩点拨】使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．1．对于y＝a f (x)这类函数(1)定义域是指使f (x)有意义的x的取值范围．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f (x)的值域．②利用指数函数y＝a u的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(a x)2＋n(a x)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．[再练一题]1．(1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________.(2)求函数y ＝4－x－21－x＋1在x ∈[－3,2]上的最大值和最小值．【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，得－3<x ≤0.所以函数的定义域是(－3,0]． 【答案】 (－3,0] (2)y ＝4－x－21－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12，∵x ∈[－3,2]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，得y ＝(t －1)2，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，∴y ∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．【精彩点拨】 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．【自主解答】 (1)1年后城市人口总数为：y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；4．检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．[再练一题]2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，求出y 关于x 的函数解析式．【解】 设该乡镇现在人口数量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克． 经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)千克，人口数量为M (1＋1.2%)． 则人均占有粮食为360M＋M＋千克，经过2年后，人均占有粮食为 360M＋2M＋2千克，…经过x 年后，人均占有粮食为 y ＝360M ＋x M＋x千克，即所求函数解析式为y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x (x ∈N *)．[探究共研型]探究 通过指数函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？【提示】 指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．【精彩点拨】 (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．【自主解答】 (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f－＝－f，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b22＋a，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2xx ＋＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2x 2＋x 1＋<0，∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2，∴3t 2－2t －k >0恒成立， ∴Δ＝(－2)2＋12k <0， ∴k <－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减，∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．[再练一题]3．设a >0，函数f (x )＝4xa ＋a4x 是定义域为R 的偶函数．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 【解】 (1)由f (x )＝f (－x ) 得4xa ＋a 4x ＝4－xa ＋a4－x ， 即4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＋14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫4x －14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝0，根据题意，可得1a－a ＝0，又a >0，所以a ＝1.(2)由(1)可知f (x )＝4x＋14x ，设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝4x 1＋14x 1－4x 2－14x 2＝(4x 1－4x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－14x 1＋x 2.因为0<x 1<x 2， 所以4x 1<4x 2. 又x 1＋x 2>0， 所以4x 1＋x 2>1，所以1－14x 1＋x 2＝4x 1＋x 2－14x 1＋x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．于是知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．探究1 y ＝2x【提示】 y ＝2x 在R 上单调递增，y ＝x ＋1在R 上单调递增，y ＝2x ＋1在R 上单调递增．探究2 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性分别如何？【提示】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1单调递减．探究3 y ＝－x 与y ＝2－x的单调性如何？【提示】 y ＝－x 单调递减，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减．探究4 由以上3个探究，我们可以对由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))的单调性做出什么猜想．【提示】 y ＝f (g (x ))可以由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成，复合而成的函数单调性与y ＝f (u )，u ＝g (x )各自单调的关系为“同增异减”．即f 与g 单调性相同，复合后单调递增，f 与g 单调性不同，复合后单调递减．探究5 用单调性的定义证明：当y ＝f (u )，u ＝g (x )均单调递减时y ＝f (g (x ))单调递增．【提示】 任取x 1，x 2∈D 且x 1<x 2. ∵g (x )单调递减，∴g (x 1)>g (x 2)，即u 1>u 2， 又f (x )单调递减，∴f (u 1)<f (u 2)， 即f (g (x 1))<f (g (x 2))， ∴y ＝f (g (x ))单调递增．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调增区间为________，单调减区间为________，最大值为________．【精彩点拨】 先确定u ＝x 2－4x 的值域、单调性，再确定f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 的单调性和值域．【自主解答】 令u ＝x 2－4x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，∵u (x )＝x 2－4x 在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，故u min ＝u (2)＝－4，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上单调递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－4x 在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，且y max ＝y (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.【答案】 (－∞，2] [2，＋∞) 161．关于指数型函数y ＝af (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．[再练一题]4．(1)函数y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2的单调增区间为________．(2)讨论函数f (x )＝ax 2－4x 的单调性． 【解析】 (1)设y ＝2u，u ＝1x2，【答案】 (－∞，0)(2)设u ＝x 2－4x ，则f (x )＝a u ，u ＝x 2－4x ，易知u ＝x 2－4x 在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，故当a >1时，y ＝a u递增，故f (x )的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)，当0<a <1时，y ＝a u 递减，故f (x )的单调增区间为(－∞，2)，单调减区间为(2，＋∞).1．函数f (x )＝1－3x＋1x ＋5的定义域为________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，x ＋5>0，∴－5<x ≤0.【答案】 (－5,0]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】 x ∈[－1,2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，3，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，23．函数y ＝3的单调递减区间是________．【解析】 令y ＝3u，u ＝2－2x 2，因为y ＝3u 在R 上单调递增，u ＝2－2x 2在(0，＋∞)上单调递减，所以y ＝32－2x 2的单调递减区间是(0，＋∞)．【答案】 (0，＋∞)4．若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x (k 为常数)在定义域内为奇函数，则k 的值为________．【解析】 依题意，f (－x )＝2－x－k ·2x 2－x ＋k ·2x ＝－f (x )＝－2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x ，即(2－x－k ·2x )(2x ＋k ·2－x )＝(2－x ＋k ·2x )·(－2x ＋k ·2－x )，∴k 2＝1，k ＝±1. 【答案】 ±15．设0≤x ≤2，y ＝4－3·2x＋5，试求该函数的最值.【解】 令t ＝2x,0≤x ≤2，∴1≤t ≤4. 则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12t 2－3t ＋5.又y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,4]，∴y ＝12(t －3)2＋12在[1,3]上是减函数；在t ∈[3,4]上是增函数，∴当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝52.故函数的最大值为52，最小值为12.。
2018版高考数学专题2指数函数、对数函数和幂函数2.3.1幂函数的概念2.3.2幂函数的图象和性质课件湘教版必修1
已知幂函数 f(x) ＝ xα 的图象经过点 (9,3) ，则
f(100)＝________. 10 解析 由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，
1 1 ∴α＝ ，∴f(x)＝ x ，∴f(100)＝100 2 ＝10. 2
1 2
要点二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数
y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2， 1 ± 四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为( 2 1 1 1 1 A.－2，－ ， ，2 B.2， ，－ ，－2 2 2 2 2 )
1 4
1 4
解 0.25
1 1 ＝ 4 4
＝2 ，6.25 ＝2.5 .
1 2
1 4
1 2
∵y＝x ∴2
1 2
1 2
是[0，＋∞)上的增函数，且 2＜2.5，
1 2
1 4
＜2.5 ，即 0.25
＜6.25 .
1 4
(4)0.20.6与0.30.4.
解 由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6， 又y＝0.3x是减函数，
1 1 C.－ ，－2,2， 2 2
1 1 D.2， ，－2，－ 2 2
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.
注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时
看|n|的大小.
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，
n越大，y＝xn递增速度越快， 1 故 c1 的 n＝2，c2 的 n＝ ，当 n＜0 时，|n|越大，曲线越陡峭， 2 1 所以曲线 c3 的 n＝－ ，曲线 c4 的 n＝－2，故选 B. 2 答案 B
规律方法
1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.2.2换底公式课件湘教版必修
在数学专题2中，我们将探讨指数函数、对数函数和幂函数的换底公式，包括 定义、推导过程、证明方法和应用场景。
换底公式的定义
换底公式是指在指数函数和对数函数中，将底数换成不同的数时，用于求解 等式的公式。
换底公式的推导过程
我们将详细解释换底公式的推导过程和思路，并探讨不同的证明方法和其直观解释。
换底公式的应用举例
通过举例，我们将展示换底公式在实际问题中的应用，以及其重要性和应用 场景。
换底公式的练习题目
选择题
根据换底公式求解给定的选 择题。
计算题
使用换底公式计算指数函数 和对数函数的值。
应关问题。
换底公式的表述和含义
换底公式是为了更好地理解指数函数和对数函数，并运用其特性解决实际问题而提出的重要工具。
换底公式的直观解释
我们将通过直观的解释方式，帮助您更加深入地理解换底公式的含义和作用。
换底公式的重要性和应用场景
我们将讨论换底公式在数学领域中的重要性，并探索其在实际应用中的不同场景。
【配套K12】2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数教师用书
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5指数与指数函数教师用书1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na＝1 m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质【知识拓展】1．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1a)．2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘．( × ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数．( × ) (5)函数21x y a +=(a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( × )1．(2016·临安中学期末)已知函数f (x )＝ax －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,2) 答案 B解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2,3)． 2．已知a ＝(35)13-，b ＝(35)14-，c ＝(32)34-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <b ．a <b <c C ．b <a <c ．c <b <a答案 D解析 ∵y ＝(35)x是减函数，∴(35)13->(35)14->(35)0， 即a >b >1，又c ＝(32)34-<(32)0＝1，∴c <b <a .3．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3213-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42________.答案 2解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 4．函数y ＝8－23－x(x ≥0)的值域是________．答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y ＝8－23－x的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a23÷(a23-－23b a)×a ·3a 25a ·3a.解 (1)原式＝{[(641 000)15]52-}23－(278)13－1＝[(410)3]152()523⨯-⨯－[(32)3]13－ 1＝52－32－1＝0. (2)原式＝a 13a133－b133]a132＋a13b 13＋b132÷a 13－2b13a×a ·a2312a 12·a1315＝a 13(a 13－2b 13)×aa 13－2b 13×a 56a16＝a 13×a ×a 23＝a 2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．化简(14)12-·4ab－13－1a 3·b －312＝________.答案 85解析 原式＝2×23·a 32·b32-10·a 32·b32-＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a<2cD ．2a＋2c<2答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，观察易知，a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.(2)作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)(2017·湖州调研)已知函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax ＋b的图象可能是( )(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案 (1)A (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )的单调性知0<a <1， 又x ＝0时，a －b>1，x ＝1时，a1－b<1，∴0<b <1，对照图象知g (x )的图象可能是A.(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·绍兴模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)(－3,1)解析 (1)选项B 中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， ∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. ∴0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3,1)． 命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝22x m-(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221x x -+-的单调减区间为_____________________________________．答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝22x m-在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 引申探究 函数f (x )＝142x x +-的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝142xx +-的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 (1)B (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－－8,1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2．指数函数底数的讨论典例 (2016·金华模拟)已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________．错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a≤b ＋a t≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2,2 现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1,0]．①若a >1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为增函数， ∴a t∈[1a ，1]，b ＋22x x a +∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t∈[1，1a]，则b ＋22x xa+∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2,2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1．(2016·宁波模拟)设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27 答案 D 解析 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27. 2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除C 、D.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除A.故选B.3．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)答案 C解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故选C.5．(2015·山东)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为() A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a ，整理得(a －1)(2x＋1)＝0，∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3， 当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．*6.(2016·富阳模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(0,1]D ．(－∞，1] 答案 B解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域为f (x )，x ∈[－2,2]的值域的子集． 经分析知f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0. 综上可得－1≤a ≤1. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由ex －1≤2，得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立； 当x ≥1时，由x 13≤2，得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是(－∞，8]．8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9．(2016·武汉模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．答案 [－14，14] 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]． 故函数的值域为[－14，14]． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f (x )的最大值是94，且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12．已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+， 令t ＝－x 2－4x ＋3， 由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)． 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)． 所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)． ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14， 不符合，舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3， 令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合，舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合，舍去． 综上所述，实数λ的值为 2.。
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.2.2换底公式学案湘教版必修1
222 换底公式［学习目标］1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题.戸预习导学全挑战自我，点点落实___________________________________________________________________［预习导引］1 .对数的换底公式丄“宀…log c N换底公式：log a N= (a>0, a* 1, c>0, c* 1, N>0).log c a最常用的换底公式是log a N= 和log a N= .lg a ln a2 •换底公式的两个重要推论(1) log a m D n= n log a b.m1(2) log a b= .log b a［解决学生疑难点］_____________________________________________产课堂讲义聾重点难点，个个击破___________________________________________________________________ 要点一利用换底公式求值或化简例1求解下列各题：(1) 化简(log 43+ log 83)丨lg3(2) 已知log 1227= a, 求log 616 的值.解(1)方法一原式=+器箸=S2lg2lg3 \ lg2 +3lg2 / lg3lg3 lg2 +lg3 lg2 1 1+ =52lg2 lg3 十3lg2 lg3 2 3 6.方法二原式=(log 2 2 33 + log 2 3) • log 3211 - - =)2log 23+ 3log 23 • log 32= glog 23 • log s 2=-•- lg 2 =穿 lg 3._ 3方法二 由于 log 1227= log 123 = 3log 123 = a ,a•「log 123= 3.3 3于是 log 312=，即 1 + 2log 32 =.a a3 — a 因此 log 32= 2a .十4 444 4 3— a \ 而 log 616 = 4log 62=l 话=1+o^=厂=药= ^+T.1 +斫 1 + 3—^规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底. 二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值.三是将式子中的对数的底数及真数改写为幕的形式，然后利用变形m nnlog a b= m og ab对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值.2 •对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用. 跟踪演练 1(1)求值：log 89 • log 27 32.⑵已知 log 23 = a , log 37= b,试用 a , b 表示 log 1456.Ig32 = 2lg3 5lg2 = 10lg27 = 3lg2 3lg3 = 9方法二 log 89 • log 2732= log 2332 • log 3325 2 5 10 =3log 23 • 3log 32 =—.log 27 log 27 ,⑵•/ log 23= a,A log37= ― = = = b.•••log 27 = ab .log 56 log 8 + log 3+ log 3+ ab • • log 1456— log 14 — log 2 + log 袒—1 + log 袒—5 6.3lq3⑵方法一由砸1227= a ，得a ,「•log 616 =ig 16 = 4lg 2lg 2 + lg 34X3 —a 2a 3 —a ""2a~故 log 616 =4(3—a)3 + a .解（1）方法 lg9 log 89 • log 2732 = y y lg8要点二利用对数的换底公式证明等式a b c 2 12例2 已知a, b, c均为正数，3 — 4 — 6 ,求证：二+匸一a b c证明不妨设3a—4b—6c—m贝U m> 0且m^ 1,于是a—log 31m b—log 4m, c—log 6m1 1 1 则由换底公式可得5—log m3 , b= log m4 , —log ^6 ,于是?+ 售-2log m3+ log M —log <32x 4) a b2—log n36 —2log m3 —厶.因此等式成立.规律方法 1.在已知条件中出现幕值相等的形式时，通常可以设出幕值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形.2.由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明1问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质log a b—进行log b a变换.跟踪演练2 已知2m—5n—10,求证：R H n—mn证明由已知可得m= log 210, n—log 510,1 1因此一一lg2，——lg5 ,m n十口 1 1于是一 +-—lg2 + lg5 —lg10 —1,m nn+ m 一即—1，故R H n—mnmn要点三对数换底公式的综合应用a b 1 1例 3 (1)已知11.2 —1000,0.0112 —1000，求一一匚的值；a b2⑵设log a c, log b c是方程x - 3x + 1 —0的两根，求log a c的值.b解(1) T 11.2 a—1000, • lg11.2 a—lg1000 ,即a • lg11.2 —3,于疋一=厅Ig11.2.a 3 1 1同理可得b = 390.0112. 十口1 1 1 1 于是--b =R g11.2 --Igo.0112a b 3 3 1 11.2 1 1 =3Ig00iiT = 3Ig1000 = 3X 3= 1 2.log -c + log b c = 3,(2)由根与系数的关系可得*log -c • log b c = 1,1所以 log a c == blog E1 =±@±7(log c a + log c b 2 — 4log c a • log c b5规律方法对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互 化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识（如一元二次方程根与系数的关系）•解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题， 然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识. 1 a跟踪演练3 * 2+时比©而大（） A . 3 B. 4C. 5D. 6答案 B由换底公式可知log c a log c b—log c -1 _log c b - 1.log c - • log c b = 1, 因此*log c a + log c b = 3.1log c a - log c b1B . logcd =莎答案 D1 i2 .若 2.5 x = 1000,0.25 y = 1000，则 ---- 等于(x y1 1 A.3 B . 3C.— 3D.— 33 3答案 A解析由指数式转化为对数式：x = log 2.5 1000, y = log 0.25 1000 ,3. log 25125 等于( )3 A.^ 2 B.3 C. 2D. 3答案 A解析lg125 3lg5 3log 25125 = = = _.lg25 2lg5 24 .已知 log 63 = 0.6131 , log 6x = 0.3869，贝U x= _______ 答案 2解析 由 log 63 + log 6x = 0.6131 + 0.3869 = 1. 得 log 6(3 x ) = 1，故 3x = 6, x = 2.lg9_解析 log 89 = = Ig9 • Ig2 = 2lg3 • Ig2 = 2 解析 log 23 = igT = lg8 • lg3 = 3lg2 • lg3 = 3.lgT「课堂那结 ------------------------------------ 11. 对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计 算、化简和证明中将起到重要作用.2. 在什么情况下选用换底公式？(1) 在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以 10为底的常用对数进行运算；(2) 在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，C. log c d • log d f = log c f,log D- lOgab =两则 1 — -=logx y10002.5 —log 10000.25 = log1 10001 0 =35.log 89log 23的值是 可统一化成以同一个实数答案 A解析由根与系数的关系,1得 lg a + lg b = 2, lg a • lg b = 2,i'a2 2 2二［g bJ = (lg a -lg b ) = (lg a + lg b ) -4lg a • lg b为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值.戸分层训练全 解疑纠偏丄训练检测 __________________________________________________________________一、基础达标1. (log 29) • (log 34)等于( )1 1A. RB.gC 2D. 4 答案 D解析原式=(log 232) • (log 322) = 4(log 23) • (log 32)=4 •lg3 lg2 , —4.lg2 lg3log 23 log 43A . log38B . log s 3 C. log 36 D. log 63答案 A解析 原式=log 32 + log 34= log 38，故选 A.3 .已知ln2 = a , In3 = b,那么log 32用含a , b 的代数式表示为()aA . a -b B. C. ab D. a + bb答案解析 ln2 a 丄…log 32=mr =l 故选 B.4 .右 lg a , lg b 是方程2x 2-4x + 1= 0的两个根，则 山学2的值等于（ ）A . 2B.2-C.1 4D.- 42 .化简)=22-4X 舟=2.5. (log 43+ log 83)(log 32+ log 98) = ____________lg3)(里 + lg8) lg8 )( lg3 lg9 )」g3 Ig3 » Ig2 3lg2、 (2lg2 + 3lg2 )(丽 + 2lg3)_ 5lg3 5lg2 _ 25 —6lg2 2lg3 — 12.6 .已知 lg9 = a, 10 = 5，用 a , b 表示 log 3645 为解析 lg9 = a, 10 = 5,「.lg5 = b ,Ig5 + Ig9 ______ Ig5 + Ig910 Ig9 + 2f1 — Ig5 \ Ig9 + 2lg 石 = a + b ________ a + b =a + 2 1— b = 2+ a — 2b . 7 .计算：(1) lg5 • Ig8000 + (Ig2 3)2+ lg0.06 — Ig6 ; (2) lg , 2 + Ig3 — lg 10 () lg1.8.解 (1)原式=Ig5(3lg2 + 3) + 3(lg2) + Ig6 — 2 — Ig6=3lg5 • Ig2 + 3lg5 + 3(lg2) 2— 2 =3lg2(lg5 + Ig2) + 3lg5 — 2 =3lg2 + 3lg5 — 2 = 1.18 lg 荷 _1 2lg1.8 = 2 、能力提升8 .若 a > 1, b > 1，且 lg( a + b ) = lg a + lg b ，贝U lg( a — 1) + lg( b — 1)的值为( )A . Ig2B . 1C. 0D.不确定 答案 C答案 25 12解析答案a +b 2 + a -2b•••log 3645 = lg45 = lg36 =Ig5 + Ig9 lg9 + lg4 = lg5 + lg9Ig9 + 2lg2⑵原式=12lg2 + Ig9 — Ig10lg1.8解析 lg( a + b ) = lg a + lg b = lg( ab )? a + b = ab , lg( a — 1) + lg( b - 1) = lg[ ab —(a + b ) +1] = lgl = 0. 9 .若log 3 •1 心log 29 • log 49a — log 运，贝a —答案2解析log 3©7 ©9 'log 29 log 49a — lg3lg2 lg alg49lg7 —lg3 2lg3 lg2 •驚—log 4； 2lg7 21lg2 — lg 2 _ 1 lg 4 — 2lg 2 _— 2. 1 • a _ 2丄述 lg 22'2 210. 若 log a x — 2, log b x — 3, log c x — 6，贝U log abc x 的值为 答案 1■/ log a X — 2, log b x — 3, log c x — 6,1 1 1 •- log x a —2 log x b — 3, log x c —©,1• • log abc x — —1 1 12 +3 + 66a 3b 2c12 311. 右 2 — 3 — 6，求证：〜+ 二——•a b c证明 设 26a — 33b — 62c — k ( k > 0),.1 6a log 2k y ' 1 3• b —寸—3logk3, 1 2i 一— -- — 2log k 6.c log 6k a1 2• a + ^— 6 • log k 2+ 2X 3log k 3—log k (2 6X 3 6) — 6log k 6 — 3X 2log k 6 — |,解析1log abcX —莎赢—1log x a + log x b + log x c ，一=1.6a — log 2k , 那么 3b — log 3k ,2c — log 6k ,1 2即 a + b =12. 设a > 1，若对于任意的x €[a,2a ]，都有y €[a , a 2]满足方程log a x + log a y = 3,求a 的 取值范围.解 ■/ log a x + log a y = 3,「. log a xy = 3,3a•••函数y = —(a > 1)在［a, 2a ］上为减函数,x322a a又当x = a 时，y = a ,当x = 2a 时，y =玄=g ,2a 2］ , •夕>a ,又 a > 1, • a >2,三、探究与创新13. 设x , y , z 均为正数，且 3x = 4y = 6z . (1)试求x , y , z 之间的关系；⑵ 求使2x = py 成立，且与p 最接近的正整数(即求与p 的差的绝对值最小的整数 )；⑶比较3x, 4y,6z 的大小.解⑴设 3 = 4 = 6 = t ，由 x >0，知 t > 1,故取以t 为底的对数，得 x log t 3=y log t 4= z log t 6 = 1,1 1 y = log t 4, z = log t 6‘1 1 1 1一一一 =log t 6 — log t 3= log t 2 = _log t 4 = z x 2 2y1 1 1• x , y , z 之间的关系为z —x =亦2x 2⑵ p= 7= =log 3 • log 14= 2 • log 34 = log 316.由 9v 16v 27,得 log 39v log 316v log 327,从而 2v p v 3. 16 而 p — 2 = log 316 — log 39= log 3—, 273 — p = log 327 — log 316= log 3^ 丄 16 27 256 /口 16 27由7十厉=血> x 得V >石.16 27• p — 2= log <9>log 3亦=3 — p ,• • xy a ，…y3a _ xlog t 3'2• a 的取值范围为a >2.11故所求正整数为3.(3) ..Vx — 4y = 3log 3t — 4log 4t =箫一箫3 4• lg4 (lg4 - lg3)- lg3 而 lg t > 0, lg3 > 0, lg4 > 0, lg4 3< lg3 4,/•3 x < 4y .又 .4y — 6z = 2(2log 4t — 3log 6t ) = 2(訝—醫)2 3_ 2lg t(2lg6 — 3lg4 2lg t (Ig6 — Ig4)— lg4 • lg6 — lg4 • Ig62 3而 lg t > 0, lg4 > 0, lg6 > 0, lg6 < lg4 ,•••4y <6z ,故有 3x <4y < 6z解析 2 + ~ — lg 100= 2+ lg a — （lg a — lg100） = 4.故选 B.产当堂检测全 肖堂迥练丄住验成功_______________________________________________________________________________________________________ 1.下列各式中错误的是（ ）A . log a b • log b a = 1 ig t =lg t (3lg4 — 4lg3 ) lg3 • lg4 )。
[配套K12]2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数章末综合测评 苏教版必修1
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(三) 指数函数、对数函数和幂函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，log 2 xx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是________．【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 12＝f (－1)＝2－1＝12.【答案】 122．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是________．(填序号) ①y ＝1x；②y ＝e －x ；③y ＝－x 2＋1；④y ＝lg|x |.【解析】 ①项，y ＝1x是奇函数，故不正确；②项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；③④两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，＋∞)上是增函数，故选③.【答案】 ③3．f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 016x＋log 2 016 x ，则函数f (x )的零点的个数是________．【解析】 作出函数y 1＝2 016x ，y 2＝－log 2 016x 的图象，可知函数f (x )＝2 016x＋log 2016x 在x ∈(0，＋∞)内存在一个零点，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )在x ∈(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以函数f (x )的零点的个数是3个．【答案】 34．把函数y ＝a x向________平移________个单位得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＋2的图象，函数y ＝a 3x －2(a >0且a ≠1)的图象过定点________．【解析】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＋2＝a x －2可由y ＝a x 向右平移2个单位得到．令3x －2＝0，即x ＝23，则y ＝1，∴y ＝a3x －2的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.【答案】 右 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 5．设12 015<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015a <1，那么a b ，a a ，b a 的大小关系为________．【解析】 根据指数函数的性质，可知0<a <b <1，根据指数函数的单调性，可知a b<a a，根据幂函数的单调性，可知a a<b a，从而有a b<a a<b a.【答案】 a b<a a<b a6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2 x ，x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >1，则A ∩B ＝________.【解析】 ∵x >1，∴y ＝log 2 x >log 2 1＝0， ∴A ＝(0，＋∞)，又∵x >1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <12，∴B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. ∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 7．已知y ＝f (2x)的定义域为[－3,3]，则f (x 3)的定义域为________.【解析】 由题知，x ∈[－3,3]时，2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x 3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.即f (x 3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，下一个有根区间是________．【解析】 设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．【答案】 (2,3)9．若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点________．(填序号)(1)y ＝f (－x )e x ＋1；(2)y ＝f (x )e x＋1； (3)y ＝f (－x )e －x－1；(4)y ＝f (x )e x－1.【解析】 f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，∴f (x 0)＝e x 0，将－x 0代入各函数式，代入(2)时，可得y ＝f (－x 0)e －x 0＋1＝－f (x 0)e －x 0＋1＝－e x 0e －x 0＋1＝0，因此－x 0是函数y ＝f (x )e x＋1的零点．【答案】 (2)10．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为________．(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 操作次数为n 时的浓度为⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1＜10%，得 n ＋1＞－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8， 所以n ≥21. 【答案】 2111．下列说法中，正确的是________．(填序号) ①任取x >0，均有3x >2x； ②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称； ⑥图象与y ＝3x的图象关于y ＝x 对称的函数为y ＝log 3 x . 【解析】 对于①，可知任取x >0,3x >2x一定成立． 对于②，当0<a <1时，a 3<a 2，故②不一定正确． 对于③，y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，因为0<33<1，故y ＝(3)－x是减函数，故③不正确． 对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，故正确． 对于⑤，y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称是正确的． 对于⑥，根据反函数的定义和性质知，⑥正确． 【答案】 ①④⑤⑥12．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f (x )＝a x－x －a (a ＞0)有两个零点，即a x－x －a ＝0有两个根， ∴a x＝x ＋a 有两个根．∴y ＝a x 与y ＝x ＋a 有两个交点． 由图形知，a ＞1.【答案】 (1，＋∞)13．若存在x ∈[2,3]，使不等式1＋axx ·2x ≥1成立，则实数a 的最小值为________．【解析】 因为x ∈[2,3]，所以不等式可化为a ≥2x －1x ，设y ＝2x －1x，因为y ＝2x和y＝－1x 在区间[2,3]上为增函数，所以函数y ＝2x－1x在区间[2,3]上为增函数，则其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，233，由题意得a ≥72，所以实数a 的最小值为72. 【答案】 7214．已知函数f (x )＝log 3 x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的最大值为________.【解析】 由题知⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3，故y ＝f 2(x )＋2f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(log 3 x ＋2)2＋2(log 3 x 2＋2)＝(log 3 x )2＋8log 3 x ＋8＝(log 3 x ＋4)2－8，当x ∈[1,3] 时，log 3 x ∈[0,1]，∴y ∈[8,17]． 【答案】 17二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算下列各式的值： (1)3－π3＋4－π4；(2)2log 5 10＋log 5 0.25；【解】 (1)原式＝(3－π)＋(π－2)＝1.(2)原式＝2log 5 (2×5)＋log 5 0.52＝2(log 5 2＋log 5 5)＋2log 5 12＝2(log 5 2＋1－log 52)＝2.＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.16．(本小题满分14分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． 【解】 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以幂函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．17．(本小题满分14分)(1)已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x的值域；(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2 x 2·log 2 x4的值域．【解】 (1)f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x ＝－(3x )2＋6·3x ＋3，令3x ＝t ，则y ＝－t 2＋6t ＋3＝－(t －3)2＋12，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，∴当t ＝3，即x ＝1时，y 取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，y 取得最小值－24，即f (x )的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x )的值域为[－24,12]．(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴－3≤log 2x log 212≤－32，即－3≤log 2x －1≤－32，∴32≤log 2x ≤3. ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －log 2 2)·(log 2x －log 24) ＝(log 2x －1)·(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3，f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵32≤t ≤3， ∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－14. ∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝log 131＋x1＋ax(a ≠1)是奇函数， (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋21＋2x，x ∈(－1,1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值；(3)若g (m )>g (n )(m ，n ∈(－1,1))，比较m ，n 的大小.【解】 (1)∵f (x )为奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即log 131－x 1－ax ＋log 131＋x 1＋ax ＝log 131－x21－a 2x2＝0，∴a ＝±1，由条件知a ≠1，∴a ＝－1.(2)∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，令 h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. (3)f (x )＝log 131＋x 1－x＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 随x 增大，1－x 减小，∴21－x 增大，∴1＋x1－x 增大，∴f (x )单调递减，又h (x )＝21＋2x 也随x 增大而减小，∴g (x )单调递减．∵g (m )>g (n )，∴m <n .19．(本小题满分16分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t (天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格(单位：元)为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格(单位：元)为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t (天)的函数关系式； (2)求日销售额S 的最大值． 【解】 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t ≤50，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，当t ＝20时，S 的最大值为6 400； 当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，当t ＝31时，S 的最大值是6 210.∵6 210<6 400，∴当销售时间为20天时，日销售额S 取最大值6 400元．20．(本小题满分16分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．图1(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 【解】 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得 Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P ，－32P ＋P，代入①式得L ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋P －－P ，⎝⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －－P ≤2，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．。
2018版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数2.4.1方程的根与函数的零点课件湘教版必修1
答案 C
规律方法
1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点
存在定理，二是利用函数图象.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的 判断中的应用 ，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)· f(b)＜0， 则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)· f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上 不一定没有零点.
2.函数零点的存在性定理
设f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时， f(b)＜0 ，则方程f(x)＝0在(a，b) 如果f(x)连续变化而且 f(a)·
内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使 f(x0)＝0.
要点一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)＝x2＋7x＋6； 解 解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； 解 解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数的零点是－1.
第2章——
2.4 函数与方程
2.4.1 方程的根与函数的零点
[学习目标] 1.知道函数零点的定义，会求函数的零点. 2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性 及存在区间. 3.能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况. 4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围.
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在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现
两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点. 答案 B
1 2 3 4 5
1.函数 y＝4x－2 的零点是( D ) A.2 B.(－2,0)
[配套K12]2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 指数与指数函数试题 理 北师大
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第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 指数与指数函数试题 理北师大版(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A 2.函数f (x )＝ax －b的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b的图像是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.答案 D3.(2017·南昌一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1B.aC.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.(2015·江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________.解析 ∵2x 2－x<4，∴2x 2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8.(2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1).(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立. 解 (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x>1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )< －f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1， 即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析 因为2x>0，所以由2x(x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1， 所以a >－1. 答案 D12.(2017·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图像为( )解析 ∵x ∈(0，4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号.∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图像由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图像知A 正确. 答案 A13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图像如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x >0.当x <0时，－x >0.∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.答案 －2x(x <0)14.(2017·合肥期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数). (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。
2018版高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 第1课时 反函数及对数函数的图象和性质课件 湘教
a≠1)”的形式，只有D选项符合.
2.函数 f(x)＝
1
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＋lg(3x＋1)的定义域是( D )
1－x
A.(－13，＋∞)
B.(－∞，－13)
C.(－13，13)
D.(－13，1)
解析
1－x＞0， 由
3x＋1＞0，
可得－13＜x＜1.
12 345
3.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图 象形状可能是( )
5.函数y＝lg x的反函数是__y_＝__1_0_x_. 解析 由反函数的定义知x＝10y， 故反函数为y＝10x.
12 345
课堂小结 1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否 具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式. 2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响， 学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度 分析.
C.y＝log2x或y＝2log4x
D.不确定
解析 设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0且a≠1)，由题
意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴该对数函数的解析式为y＝log2x.
要点二 对数函数的图象
例2 如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取 3
43，35、110，则相应于 c1、c2、c3、c4 的 a 值依次为(
[知识链接] 1.作函数图象的步骤为 列表、 描点、 连线 .另外也可以采取 ___图__象__变__换__法____.
2.指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与性质.
a＞1
0＜a＜1
图象
2018版高考数学专题指数函数对数函数和幂函数2.2.1对数的概念和运算律学案湘教版
2．2.1 对数的概念和运算律[学习目标] 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.4.掌握对数的运算性质及其推导.5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．[知识链接] 1．823＝4,2-364＝116. 2．若2x＝8，则x ＝3；若3x＝81，则x ＝4. 3．在指数的运算性质中：a m·a n＝a m ＋n，a m an ＝a m －n，(a m )n ＝a mn .[预习导引] 1．对数的概念如果a b＝N (a ＞0，a ≠1)，那么b 叫作以a 为底，(正)数N 的对数，记作b ＝log a N .这里，a 叫作对数的底，N 叫作对数的真数． 把上述定义中的b ＝log a N 代入a b＝N ，得到a log aN＝N ；把N ＝a b 代入b ＝log a N ，得到b ＝log a a b，这两个等式叫作对数的基本恒等式：a log a N ＝N ，b ＝log a a b .由上述基本恒等式可知，log a a ＝log a a 1＝1，log a 1＝log a a 0＝0. 2．对数的运算法则如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (3)log a MN＝log a M －log a N . 3．常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫作常用对数，log 10N 记作lg_N .(2)以无理数e ＝2.71828…为底的对数叫作自然对数．log e N 通常记为ln N .要点一 指数式与对数式的互化例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2－7＝1128；(2)3a ＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log 232＝－5；(5)lg0.001＝－3. 解 (1)log 21128＝－7.(2)log 327＝a . (3)lg0.1＝－1. (4)2－5＝32. (5)10－3＝0.001.规律方法 1.解答此类问题的关键是要搞清a ，x ，N 在指数式和对数式中的位置． 2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式．跟踪演练1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)log 3x ＝6；(2)lne ＝1；(3)43＝64. 解 (1)36＝x . (2)e 1＝e. (3)log 464＝3.要点二 对数式的计算与化简 例2 求下列各式的值： (1)lg 27＋lg8－lg 1000lg1.2；(2)2log 32－log 3329＋log 38－log 5125；(3)log 2748＋log 212－12log 242； (4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3. 解 (1)原式＝12lg27＋lg23－12lg1000lg12－lg10＝32lg3＋3lg2－322lg2＋lg3－1＝32(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝2log 32－log 332＋log 39＋log 323－log 553＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3 ＝－1. (3)原式＝log 27×1248×42＝log 2212＝－12.(4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.规律方法 1.进行对数式的计算与化简，主要依据是对数的运算法则，同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用．2．应用对数的运算法则时，除了正用这些法则外，还要注意它们的逆用．3．lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2在计算和化简时经常使用，注意记忆． 4．在对数的运算和化简中提取公因式，因式分解等仍适用． 跟踪演练2 (1)已知lg a ＝2.4310，lg b ＝1.4310，则ba等于( ) A.1100 B.110C ．10D ．100 (2)计算下列各式的值： ①4lg2＋3lg5－lg 15；②2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.(3)化简：lg3＋25lg9＋35lg 27－lg 3lg81－lg27.(1)答案 B解析 由于lg b a＝lg b －lg a ＝1.4310－2.4310＝－1，∴b a ＝10－1＝110，故选B. (2)解 ①原式＝lg 24×5315＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.②原式＝lg4＋lg31＋lg 0.36＋lg 38＝lg121＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1. (3)解 方法一 原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg3(4－3)lg3＝115. 方法二 (逆用公式)： 原式＝lg (3×925×2712×53×312-)lg 8127＝lg3115lg3＝115. 要点三 对数恒等式a log aN＝N 的应用 例3 计算：31＋log 35－24＋log 23＋103lg3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 25. 解 31＋log 35－24＋log 23＋103lg3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 25 ＝3×3log 35－24×2log 23＋(10lg3)3＋(2log 25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－295. 规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alog aN＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数． 跟踪演练3 求值：(1)912log 34；(2)51＋log 52.解 (1)912log 34＝(32)12log 34＝3log 34＝4.(2)51＋log 52＝5·5log 52＝5×2＝10.1．已知ab ＞0，则下面4个式子中，正确的个数为( )①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg a b ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝lg ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b .A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 当a ＜0，b ＜0时，虽有ab ＞0，但①②不正确，因为lg a ，lg b 均无意义．只有③正确．2．log 34＋log 31108的值是( )A ．－3B ．3C ．－13D.13答案 A解析 原式＝log 34108＝log 3127＝log 33－3＝－3.3．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 4．若ln(lg x )＝0，则x ＝________. 答案 10解析 由已知得lg x ＝1，所以x ＝10.5．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 答案 2解析 由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.1.一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．利用a b＝N ⇔b ＝log a N (其中a ＞0，a ≠1，N ＞0)可以进行指数式与对数式的互化． 3．对数恒等式：alog aN＝N (a ＞0且a ≠1)，b ＝log a a b.4．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．5．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 6．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、基础达标1．指数式a 5＝b (a ＞0，a ≠1)所对应的对数式是( ) A ．log 5a ＝b B ．log 5b ＝aC ．log b 5＝aD ．log a b ＝5答案 D2．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2B.5＋2C.5－2或5＋2D ．2－ 5答案 B解析 ∵log x (5－2)＝－1，∴x －1＝5－2，即1x＝5－2，即x ＝15－2＝5＋2.3．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B 解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.4．log 7[log 3(log 2x )]＝0，则x 12等于( )A.13B.123 C.122D.133答案 C解析 由已知得，log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23，∴x12-＝(23)12-＝812-＝1812＝18＝122.5．若4lg x＝16，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵4lg x＝16＝42，∴lg x ＝2， ∴x ＝102＝100.6．已知log 32＝a,3b＝5，则log 330用a 、b 表示为______． 答案 12(a ＋b ＋1)解析 由3b＝5，得b ＝log 35， log 330＝12log 3(3×5×2)＝12(1＋log 35＋log 32)＝1＋a ＋b 2. 7．求下列各式中x 的值： (1)若log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，求x 的值；(2)若log 2015(x 2－1)＝0，求x 的值． 解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3.∴1－2x ＝27，即x ＝－13. (2)∵log 2015(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2. ∴x ＝± 2. 二、能力提升8．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，若f (|x 1·x 2·…·x 2014|)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22014)的值为( ) A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (|x 1·x 2·…·x 2014|)＝8， 所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22014) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22014＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2014| ＝2log a |x 1x 2…x 2014|＝2f (|x 1·x 2·…·x 2014|)＝2×8＝16. 9．对于a ＞0，a ≠1，下列说法： ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. 其中正确的有________． 答案 ②解析 ①若M ＝N ＝－5，则log a M 与log a N 无意义，所以①错；②对；③因为log a 52＝log a (－5)2，而5≠－5，所以③错；④若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2无意义，所以④错．10．若f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 答案2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f (12)＝212＝ 2.11．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7(322)；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (3)log a na ＋log a 1an ＋log a 1na.解 (1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0. (2)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2 ＝lg5＋lg2＝1.(3)原式＝log a a 1n ＋log a a －n＋log a a －1n＝1n＋(－n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ＝－n .三、探究与创新12．已知2lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(m －n )＝lg m ＋lg n ，求m n 的值．解 由2lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(m －n )＝lg m ＋lg n ，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22＝lg mn ，∴⎝⎛⎭⎪⎫m －n 22＝mn .∴m 2－6mn ＋n 2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 2－6mn＋1＝0，解得m n＝3±22，由题意得m ＞n ＞0，则m n ＞1，∴m n＝3＋2 2.13．已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根，求实数a 、b 和m 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝1， ①lg a ·lg b ＝m ，②(lg a )2＋4(1＋lg a )＝0，③由③得(lg a ＋2)2＝0， ∴lg a ＝－2，即a ＝1100.④ ④代入①得lg b ＝1－lg a ＝3， ∴b ＝1000.⑤④⑤代入②得m ＝lg a ·lg b ＝(－2)×3＝－6.。
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2.2.2 换底公式[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．[预习导引] 1．对数的换底公式换底公式：log a N ＝log c N log c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，N ＞0)．最常用的换底公式是log a N ＝lg N lg a 和log a N ＝ln N ln a. 2．换底公式的两个重要推论 (1)log a m b n＝n mlog a b . (2)log a b ＝1log b a. 解决学生疑难点___________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________要点一 利用换底公式求值或化简 例1 求解下列各题：(1)化简(log 43＋log 83)lg2lg3；(2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． 解 (1)方法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＝lg32lg2·lg2lg3＋lg33lg2·lg2lg3＝12＋13＝56. 方法二 原式＝(log 223＋log 233)·log 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23·log 32＝56log 23·log 32＝56. (2)方法一 由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg 2＝3－a2alg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4(3－a )3＋a.方法二 由于log 1227＝log 1233＝3log 123＝a ， ∴log 123＝a3.于是log 312＝3a ，即1＋2log 32＝3a.因此log 32＝3－a2a .而log 616＝4log 62＝4log 26＝41＋log 23＝41＋1log 32＝41＋2a 3－a＝4(3－a )3＋a .故log 616＝4(3－a )3＋a.规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底． 二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形log a m b n＝n mlog a b . 对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用． 跟踪演练1 (1)求值：log 89·log 2732.(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 1456.解 (1)方法一 log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.方法二 log 89·log 2732＝log 2332·log 3325＝23log 23·53log 32＝109. (2)∵log 23＝a ，∴log 37＝log 27log 23＝log 27a ＝b .∴log 27＝ab .∴log 1456＝log 256log 214＝log 28＋log 27log 22＋log 27＝3＋log 271＋log 27＝3＋ab1＋ab .要点二 利用对数的换底公式证明等式例2 已知a ，b ，c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c.证明 不妨设3a ＝4b ＝6c＝m ，则m ＞0且m ≠1， 于是a ＝log 3m ，b ＝log 4m ，c ＝log 6m .则由换底公式可得1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c＝log m 6，于是2a ＋1b＝2log m 3＋log m 4＝log m (32×4)＝log m 36＝2log m 6＝2c.因此等式成立．规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质log a b ＝1log b a 进行变换．跟踪演练2 已知2m＝5n＝10，求证：m ＋n ＝mn . 证明 由已知可得m ＝log 210，n ＝log 510， 因此1m ＝lg2，1n＝lg5，于是1m ＋1n＝lg2＋lg5＝lg10＝1，即n ＋mmn＝1，故m ＋n ＝mn . 要点三 对数换底公式的综合应用例3 (1)已知11.2a ＝1000,0.0112b＝1000，求1a －1b的值；(2)设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bc 的值．解 (1)∵11.2a ＝1000，∴lg11.2a＝lg1000， 即a ·lg11.2＝3， 于是1a ＝13lg11.2.同理可得1b ＝13lg0.0112.于是1a －1b ＝13lg11.2－13lg0.0112＝13lg 11.20.0112＝13lg1000＝13×3＝1. (2)由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧log a c ＋log b c ＝3，log a c ·log b c ＝1，由换底公式可知⎩⎪⎨⎪⎧1log ca ＋1log cb ＝3，1log ca ·1log cb ＝1.因此⎩⎪⎨⎪⎧log c a ·log c b ＝1，log c a ＋log c b ＝3.所以log a b c ＝1log ca b＝1log c a －log c b＝1±(log c a ＋log c b )2－4log c a ·log c b＝±55. 规律方法 对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识． 跟踪演练3 2＋1log a 10比lg a 100大( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 2＋1log a 10－lg a100＝2＋lg a －(lg a －lg100)＝4.故选B.1．下列各式中错误的是( ) A ．log a b ·log b a ＝1 B ．log c d ＝1log d cC ．log c d ·log d f ＝log c fD ．log a b ＝log b clog a c答案 D2．若2.5x ＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51000，y ＝log 0.251000，则1x －1y ＝log 10002.5－log 10000.25＝log 100010＝13. 3．log 25125等于( ) A.32 B.23C ．2D ．3答案 A解析 log 25125＝lg125lg25＝3lg52lg5＝32.4．已知log 63＝0.6131，log 6x ＝0.3869，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.6131＋0.3869＝1. 得log 6(3x )＝1，故3x ＝6，x ＝2. 5.log 89log 23的值是________． 答案 23解析 log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝lg9·l g2lg8·lg3＝2lg3·lg23lg2·lg3＝23.1.对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用． 2．在什么情况下选用换底公式？(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值．一、基础达标1．(log 29)·(log 34)等于( ) A.14B.12C ．2D ．4 答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32) ＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．化简1log 23＋1log 43的结果为( )A ．log38B ．log 83C ．log 36D ．log 63答案 A解析 原式＝log 32＋log 34＝log 38，故选A.3．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B.a bC ．abD ．a ＋b 答案 B解析 log 32＝ln2ln3＝ab，故选B.4．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2B.12C ．4D.14答案 A解析 由根与系数的关系， 得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.5．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)＝________. 答案2512解析 原式＝(lg3lg4＋lg3lg8)(lg2lg3＋lg8lg9)＝(lg32lg2＋lg33lg2)(lg2lg3＋3lg22lg3) ＝5lg36lg2·5lg22lg3＝2512. 6．已知lg9＝a,10b＝5，用a ，b 表示log 3645为________． 答案a ＋b2＋a －2b解析 ∵lg9＝a,10b＝5，∴l g5＝b ， ∴log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg9＋lg4＝lg5＋lg9lg9＋2lg2＝lg5＋lg9lg9＋2lg105＝lg5＋lg9lg9＋2(1－lg5)＝a ＋ba ＋2(1－b )＝a ＋b 2＋a －2b.7．计算：(1)lg5·lg8000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6； (2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.解 (1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6 ＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2 ＝3lg2＋3lg5－2＝1. (2)原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝lg18102lg1.8＝12. 二、能力提升8．若a ＞1，b ＞1，且lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，则lg(a －1)＋lg(b －1)的值为( ) A ．lg2B ．1C ．0D ．不确定 答案 C解析 lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )⇔a ＋b ＝ab ， ∴lg(a －1)＋lg(b －1)＝lg[ab －(a ＋b )＋1]＝lg1＝0. 9．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412，则a ＝________.答案22解析 log 37·log 29·log 49a ＝lg7lg3·lg9lg2·lg alg49＝lg7lg3·2lg3lg2·lg a 2lg7＝log 412＝lg12lg 4＝－lg 22lg 2＝－12. ∴lg a lg 2＝－12，∴a ＝2－12＝22. 10．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为______． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ，∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6， ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.11．若26a ＝33b ＝62c，求证：1a ＋2b ＝3c.证明 设26a ＝33b ＝62c＝k (k ＞0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c.12．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，求a 的取值范围．解 ∵log a x ＋log a y ＝3，∴log a xy ＝3，∴xy ＝a 3，∴y ＝a 3x.∵函数y ＝a 3x (a ＞1)在[a,2a ]上为减函数，又当x ＝a 时，y ＝a 2，当x ＝2a 时，y ＝a 32a ＝a 22，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22，a 2⊆[a ，a 2]，∴a 22≥a ，又a ＞1，∴a ≥2，∴a 的取值范围为a ≥2. 三、探究与创新13．设x ，y ，z 均为正数，且3x＝4y＝6z. (1)试求x ，y ，z 之间的关系；(2)求使2x ＝py 成立，且与p 最接近的正整数(即求与p 的差的绝对值最小的整数)； (3)比较3x,4y,6z 的大小．解 (1)设3x＝4y＝6z＝t ，由x ＞0，知t ＞1， 故取以t 为底的对数，得x log t 3＝y log t 4＝z log t 6＝1， ∴x ＝1log t 3，y ＝1log t 4，z ＝1log t 6，1z －1x ＝log t 6－log t 3＝log t 2＝12log t 4＝12y ， ∴x ，y ，z 之间的关系为1z －1x ＝12y.(2)p ＝2x y ＝2log t 3·log t 4＝2·log 34＝log 316.由9＜16＜27，得log 39＜log 316＜log 327，从而2＜p ＜3. 而p －2＝log 316－log 39＝log 3169，3－p ＝log 327－log 316＝log 32716.由169÷2716＝256243＞1，得169＞276. ∴p －2＝log 3169＞log 32716＝3－p ，故所求正整数为3.(3)∵3x －4y ＝3log 3t －4log 4t ＝3lg t lg3－4lg tlg4＝lg t (3lg4－4lg3lg3·lg4)＝lg t lg3·lg4(lg43－lg34)．而lg t ＞0，lg3＞0，lg4＞0，lg43＜lg34， ∴3x ＜4y .又∵4y －6z ＝2(2log 4t －3log 6t )＝2(2lg t lg4－3lg tlg6)＝2lg t (2lg6－3lg4)lg4·lg6＝2lg t (lg62－lg43)lg4·lg6.而lg t ＞0，lg4＞0，lg6＞0，lg62＜lg43， ∴4y ＜6z ，故有3x ＜4y ＜6z。