高三数学二轮复习课余自主加餐训练“12+4”限时提速练(五)理
高三数学二轮复习课余自主加餐训练“12 4”限时提速练(九)理
“12＋4”限时提速练(九)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝2＋i2 0151＋i (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．43．已知向量a ＝(9，m 2)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．15B ．14C ．7D ．65．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是y ＝32x ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 24－y 23＝1C.x 228－y 221＝1 D.x 23－y 24＝1 6．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k >0)的展开式的常数项为240，则⎠⎛1k 1x d x ＝( )A ．1B ．ln 2C ．2D ．2ln 27．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A.43B.52C.73D ．3 8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，x ＋y －3≥0，3x ＋y －11≤0，则z ＝2y ＋1x －1的取值范围是( )A ．[－2，3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 9．若将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，若y ＝f (x )＋a 在x ∈[－π6，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D.⎝⎛⎦⎥⎤－3，－3210．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对任意的n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，则A (n )＝( )A ．3n －1B ．2n －1＋n 2－1C ．2n 2－3n ＋2 D ．n 211.如图，F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2＋e 23b(e 为椭圆的离心率)的最小值为( )A.53 B.54C.63 D.6412．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5.........2 013 2 014 2 015 2 016 3 57 9.................4 027 4 029 4 0318 12 16 ......................8 056 8 06020 28...................................16 116..................................................该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015 D ．2 016×22 014二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．在正项等比数列{a n }中，log 2a 3＋log 2a 6＋log 2a 9＝3，则a 1a 11＝________．14．在长为12厘米的线段AB 上任取一点C ，现以线段AC ，BC 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为________．15．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥B A 1B 1C 1与三棱锥A A 1B 1D 1的公共部分的体积为________．16．已知函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的导函数为g (x )，且g (1)＝0，a <b <c ，设x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根，则|x 1－x 2|的取值范围为________．答 案一、选择题 1．解析：选A ∵i2 015＝i4×503＋3＝i 3＝－i ，∴z ＝2－i 1＋i ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 2＝12－32i ，∴z ＝12＋32i ，其在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2．解析：选D 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以A ∩B ＝{(0，1)， (－1，0)}，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4，故选D.法二：在同一坐标系中作出直线y ＝x ＋1和圆x 2＋y 2＝1，由图可知，直线与圆有两个交点，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.3．解析：选A 当m ＝－3时，a ＝(9，9)，∴a ·b ＝9×1＋9×(－1)＝0，所以a ⊥b ；当a ⊥b 时，由a ·b ＝9－m 2＝0，得m ＝±3，故“m ＝－3”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．4．解析：选A 第一次循环，得a ＝2，S ＝1＋2＝3<10；第二次循环，得a ＝4，S ＝3＋4＝7<10；第三次循环，得a ＝8，S ＝7＋8＝15>10，输出S 的值为15.故选A.5．解析：选B 双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，所以b a ＝32，抛物线的准线方程为x ＝－7，所以c ＝7，由a 2＋b 2＝c 2，可得a 2＝4，b 2＝3，故选B.6．解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k >0)的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k x r＝C r 6k r x 12－3r，当12－3r ＝0时，r ＝4，故常数项为C 46k 4＝15k 4＝240，得k ＝2，⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2.7．解析：选A 根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V 几何体＝V 三棱柱＋V 三棱锥＝12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43.8．解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由题意可知，z ＝2y ＋1x －1＝2·y ＋12x －1，它表示平面区域内的点(x ，y )与定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－12的连线的斜率的2倍．由图可知，当点(x ，y )位于点C 时，直线的斜率取得最小值－16；当点(x ，y )位于点A 时，直线的斜率取得最大值32.故z ＝2y ＋1x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3，选B.9．解析：选D 把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象，再向右平移π6个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6，结合图形知－a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，可得a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－3，－32.故选D .10．解析：选D 法一：根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )， 整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴A (n )＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2，故选D.法二：(特值法)因为A (n )＋C (n )＝2B (n )，当n ＝1时，得a 3＝5，所以A (1)＝1，A (2)＝4，A (3)＝9，经检验只有D 选项符合，故选D.11.解析：选A 连接F 1P ，OQ ，因为点Q 为线段PF 2的中点，所以|F 1P |＝2|OQ |＝2b ，由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2b ，由F 1P ⊥F 2P ，得(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，解得2a ＝3b ，e ＝53，所以a 2＋e23b ＝a 2＋592a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋59a ≥12·2a ·59a ＝53⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝53时等号成立，故选A. 12．解析：选B 当第一行有3个数时，最后一行仅有一个数为8＝23－2×(3＋1)；当第一行有4个数时，最后一行仅有一个数为20＝24－2×(4＋1)；当第一行有5个数时，最后一行仅有一个数为48＝25－2×(5＋1)；当第一行有6个数时，最后一行仅有一个数为112＝26－2×(6＋1)；……，归纳推理可得，当第一行有2 016个数时，最后一行仅有一个数为22 016－2×(2 016＋1)＝2 017×22 014.二、填空题13．解析：∵在正项等比数列{a n }中，log 2a 3＋log 2a 6＋log 2a 9＝3，∴log 2(a 3a 6a 9)＝log 2a 36＝3，∴a 6＝2，∴a 1a 11＝a 26＝4.答案：414．解析：不妨设长为x cm ，则宽为(12－x )cm ，由x (12－x )>20，得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23. 答案：2315．解析：设A 1C 1∩B 1D 1＝M ，AB 1∩A 1B ＝N ，取A 1B 1中点P ，连接MN ，MP ，NP ，则三棱锥B A 1B 1C 1与三棱锥A A 1B 1D 1的公共部分为三棱锥A 1MNB 1，其体积为2VA 1MNP ＝2×13×12×1×1×1＝13.答案：1316．解析：由已知g (x )＝f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴g (1)＝a ＋b ＋c ＝0， ∵a <b <c ，∴a ＜0，c ＞0，b ＝－a －c ，∴a <－a －c <c ，解得－2<c a <－12，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－c a ＝1－c a ，∵－2<c a <－12，∴|x 1－x 2|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3。
高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：小题练速度“12+4”限时提速练(一)含答案
一、小题练速度——“12＋4”限时提速练（每练习限时40分钟）“12＋4”限时提速练(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝( ) A ．[2，3] B ．(2，3)C ．[1，＋∞)D ．[1，2)∪[3，＋∞)解析：选C A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2，3)，故A ∪∁R B ＝[1，＋∞)，选C.2．已知复数z 满足z ＋i ＝1＋i i (i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i 解析：选D 由题意可得z ＝1＋i i －i ＝1＋i ＋1i ＝（2＋i ）（－i ）i （－i ）＝1－2i ，故z ＝1＋2i ，选D.3.已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 0 12 0 1 2 43 1 3 5 5 7 84 3 3 356789 5 0 1 2 2 5 6 8 6267A ．44，45，56B ．44，43，57C ．44，43，56D ．45，43，57解析：选B 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.4．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋(y ＋3)2＝16相交于A ，B 两点，则“k ＝22”是“|AB |＝43”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3＋3|1＋k 2＝61＋k 2，弦长的一半为|AB |2＝23，故d ＝42－12＝2＝61＋k2，解得k 2＝8，可得k ＝22或k ＝－22，故“k ＝22”是“|AB |＝43”的充分不必要条件，故选A.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，ω＞0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin(2×π6＋φ)＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，选C. 6.某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15，60)B ．(15，60]C ．[12，48)D ．(12，48]解析：选B 根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x 3－2＞3，13⎝⎛⎭⎫x3－2－3≤3，解得15＜x ≤60，故选B.7．已知P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2 2D ．6解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1变形可得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，a ≤x ≤a ＋1，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S ＝12(2a ＋2a ＋2)×1＝3，解得a ＝1，平移直线y ＝2x ，得z ＝2x －y 在点(2，－2)处取得最大值6，故选D.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6>0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2>0，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，所以满足条件的正整数n 为12，选B.9．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：选C 设B ⎝⎛⎭⎫x ，－ba x ，OA ⊥FB ，可知点O 在线段FB 的垂直平分线上，可得|OB |＝x 2＋⎝⎛⎭⎫－b a x 2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A ⎝⎛⎭⎫c －a 2，b 2，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意实数x ，都有f [f (x )－e x ]＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)＝( )A ．1B ．e ＋1C ．3D ．e ＋3解析：选C 设t ＝f (x )－e x ，则f (x )＝e x ＋t ，则f [f (x )－e x ]＝e ＋1等价于f (t )＝e ＋1，令x ＝t ，则f (t )＝e t ＋t ＝e ＋1，分析可知t ＝1，∴f (x )＝e x ＋1，即f (ln 2)＝e ln 2＋1＝2＋1＝3.故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.76B.73C.53D.56解析：选B 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以体积为1×1×1－13×12×1×1×1＋12×1×(1＋2)×1＝73，故选B.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c 且sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，若△ABC 的面积为24，c ＝13，则a 的值为( )A ．8B ．14 C.145 D ．12解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，∴22sin A －22cos A ＝7226，∴sin A －cos A ＝713， 与sin 2A ＋cos 2A ＝1联立可得cos 2A ＋713cos A －60169＝0，解得cos A ＝513 或cos A ＝－1213，故⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝513，或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213，∵0＜A ＜π，∴⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213舍去，由12bc sin A ＝24，得12×13×b ×1213＝24，得b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋132－2×4×13×513＝16＋169－40＝145，∴a ＝145，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k 的值是________．解析：根据题意可知，向量a －2b ＝(1，4)，又(a －2b )⊥c ，则k －8＝0，解得k ＝8. 答案：814．在区间[0，1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为________． 解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.答案：1415.如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径r ＝1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则球的半径R ＝________．解析：根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且AB ⊥O 1C ，所以OO 1＝R 2－1，因此体积较小的圆锥的高AO 1＝R －R 2－1，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋R 2－1，故AO 1BO 1＝R －R 2－1R ＋R 2－1＝13，化简得R ＝2R 2－1，即3R 2＝4，得R ＝233.答案：23316．若函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点等价于方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]内有唯一的实数解，又x ＞0，所以m ＝ln xx －1，要使方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]上有唯一的实数解，只需m ＝ln x x －1有唯一的实数解．令g (x )＝ln xx －1(x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2，由g ′(x )＞0得0＜x ＜e ，由g ′(x )＜0得x ＞e ，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，e 2]上是减函数．又g (1)＝－1，g (e)＝1e －1，g (e 2)＝2e 2－1，故－1≤m ＜2e 2－1或m＝1e－1. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，2e 2－1∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e－1。
高三数学二轮复习 课余自主加餐训练“12+4”限时提速练(九)理
“12＋4”限时提速练(九)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝2＋i2 0151＋i (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．43．已知向量a ＝(9，m 2)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．15B ．14C ．7D ．65．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是y ＝32x ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 24－y 23＝1C.x 228－y 221＝1 D.x 23－y 24＝1 6．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k >0)的展开式的常数项为240，则⎠⎛1k 1x d x ＝( )A ．1B ．ln 2C ．2D ．2ln 27．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A.43B.52C.73D ．3 8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，x ＋y －3≥0，3x ＋y －11≤0，则z ＝2y ＋1x －1的取值范围是( )A ．[－2，3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 9．若将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，若y ＝f (x )＋a 在x ∈[－π6，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D.⎝⎛⎦⎥⎤－3，－3210．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对任意的n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，则A (n )＝( )A ．3n －1B ．2n －1＋n 2－1C ．2n 2－3n ＋2D ．n 211.如图，F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2＋e 23b(e 为椭圆的离心率)的最小值为( )A.53 B.54C.63 D.6412．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5.........2 013 2 014 2 015 2 016 3 57 9.................4 027 4 029 4 0318 12 16 ......................8 056 8 06020 28...................................16 116..................................................该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015 D ．2 016×22 014二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．在正项等比数列{a n }中，log 2a 3＋log 2a 6＋log 2a 9＝3，则a 1a 11＝________．14．在长为12厘米的线段AB 上任取一点C ，现以线段AC ，BC 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为________．15．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥B A 1B 1C 1与三棱锥A A 1B 1D 1的公共部分的体积为________．16．已知函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的导函数为g (x )，且g (1)＝0，a <b <c ，设x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根，则|x 1－x 2|的取值范围为________．答 案一、选择题 1．解析：选A ∵i2 015＝i4×503＋3＝i 3＝－i ，∴z ＝2－i 1＋i ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 2＝12－32i ，∴z ＝12＋32i ，其在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2．解析：选D 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以A ∩B ＝{(0，1)， (－1，0)}，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4，故选D.法二：在同一坐标系中作出直线y ＝x ＋1和圆x 2＋y 2＝1，由图可知，直线与圆有两个交点，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.3．解析：选A 当m ＝－3时，a ＝(9，9)，∴a ·b ＝9×1＋9×(－1)＝0，所以a ⊥b ；当a ⊥b 时，由a ·b ＝9－m 2＝0，得m ＝±3，故“m ＝－3”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．4．解析：选A 第一次循环，得a ＝2，S ＝1＋2＝3<10；第二次循环，得a ＝4，S ＝3＋4＝7<10；第三次循环，得a ＝8，S ＝7＋8＝15>10，输出S 的值为15.故选A.5．解析：选B 双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，所以b a ＝32，抛物线的准线方程为x ＝－7，所以c ＝7，由a 2＋b 2＝c 2，可得a 2＝4，b 2＝3，故选B.6．解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k >0)的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k x r＝C r 6k r x 12－3r，当12－3r ＝0时，r ＝4，故常数项为C 46k 4＝15k 4＝240，得k ＝2，⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2.7．解析：选A 根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V 几何体＝V 三棱柱＋V 三棱锥＝12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43.8．解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由题意可知，z ＝2y ＋1x －1＝2·y ＋12x －1，它表示平面区域内的点(x ，y )与定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－12的连线的斜率的2倍．由图可知，当点(x ，y )位于点C 时，直线的斜率取得最小值－16；当点(x ，y )位于点A 时，直线的斜率取得最大值32.故z ＝2y ＋1x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3，选B.9．解析：选D 把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象，再向右平移π6个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6，结合图形知－a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，可得a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－3，－32.故选D .10．解析：选D 法一：根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )， 整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴A (n )＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2，故选D.法二：(特值法)因为A (n )＋C (n )＝2B (n )，当n ＝1时，得a 3＝5，所以A (1)＝1，A (2)＝4，A (3)＝9，经检验只有D 选项符合，故选D.11.解析：选A 连接F 1P ，OQ ，因为点Q 为线段PF 2的中点，所以|F 1P |＝2|OQ |＝2b ，由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2b ，由F 1P ⊥F 2P ，得(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，解得2a ＝3b ，e ＝53，所以a 2＋e23b ＝a 2＋592a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋59a ≥12·2a ·59a ＝53⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝53时等号成立，故选A. 12．解析：选B 当第一行有3个数时，最后一行仅有一个数为8＝23－2×(3＋1)；当第一行有4个数时，最后一行仅有一个数为20＝24－2×(4＋1)；当第一行有5个数时，最后一行仅有一个数为48＝25－2×(5＋1)；当第一行有6个数时，最后一行仅有一个数为112＝26－2×(6＋1)；……，归纳推理可得，当第一行有2 016个数时，最后一行仅有一个数为22 016－2×(2 016＋1)＝2 017×22 014.二、填空题13．解析：∵在正项等比数列{a n }中，log 2a 3＋log 2a 6＋log 2a 9＝3，∴log 2(a 3a 6a 9)＝log 2a 36＝3，∴a 6＝2，∴a 1a 11＝a 26＝4.答案：414．解析：不妨设长为x cm ，则宽为(12－x )cm ，由x (12－x )>20，得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23.答案：2315．解析：设A 1C 1∩B 1D 1＝M ，AB 1∩A 1B ＝N ，取A 1B 1中点P ，连接MN ，MP ，NP ，则三棱锥B A 1B 1C 1与三棱锥A A 1B 1D 1的公共部分为三棱锥A 1MNB 1，其体积为2VA 1MNP ＝2×13×12×1×1×1＝13.答案：1316．解析：由已知g (x )＝f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴g (1)＝a ＋b ＋c ＝0， ∵a <b <c ，∴a ＜0，c ＞0，b ＝－a －c ，∴a <－a －c <c ，解得－2<c a <－12，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－c a ＝1－c a ，∵－2<c a <－12，∴|x 1－x 2|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3。
2018届高三数学理二轮复习课余自主加餐训练：“12+4”
“12＋4”限时提速练(四)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i1－i是实数，则a 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．－2 D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－2 3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3x＜1，集合B ＝{y |y ＝t －2t －3}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．(3，＋∞)C ．[2，3)D ．(0，3)4．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 016的值为( ) A ．3 B ．1 C.13 D ．32 0155．已知x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0.则目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x×4y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝2cos 2x 的图象，那么φ可以取的值为( )A.π2B.π3C.π4D.π67．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝ln x ＋x ＋2D ．f (x )＝x 28．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π3B.23 C ．π D.4π39．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 过点(1，0)且与直线x －y ＋1＝0垂直．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 210．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为12，那么这4位同学得分之和为0的概率为( )A.1164B.34C.38D.111611．已知A 1，A 2分别为双曲线x 24－y 29＝1的左、右顶点，P 为双曲线上第一象限内的点，直线l ：x ＝1与x 轴交于点C ，若直线P A 1，P A 2分别交直线l 于B 1，B 2两点，且△A 1B 1C 与△A 2B 2C 的面积相等，则直线P A 1的斜率为( )A.33B.12C.32D.1312．已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，若f (0)＝1，则函数f ′（x ）f （x ）的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 14．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x 4的系数为________．15．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．16．设f 1(x )＝21＋x ，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2，则a 2 017＝________.答 案一、选择题1．解析：选D 依题意，复数2i －a i1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i 2是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.故选D.2．解析：选A f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a ＞0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1，故选A.3．解析：选B 由3x ＜1，得x －3x ＞0，因而x ＞3或x ＜0，即A ＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，设m ＝t －3≥0，则t ＝m 2＋3，因而y ＝m 2＋3－2m ＝(m －1)2＋2，所以B ＝[2，＋∞)，从而A ∩B ＝(3，＋∞)，故选B.4．解析：选C 由已知，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 1a 3＝a 2，从而a 3＝3，又a 2a 4＝a 3，∴a 4＝1，同理a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，那么数列{a n }为周期数列，且周期为6，∴a 2 016＝a 6＝13，故选C.5．解析：选A 通过不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x×4y ＝22y －x 的最小值，可转化为求2y －x 的最小值，当x ＝y ＝0时，2y －x 取得最小值0，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x×4y 的最小值为1，故选A.6．解析：选C 将y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1的图象，此时y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1＝2cos 2x ，即sin[2(x ＋φ)]＝cos 2x ，因而2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，那么，由选项可知φ可以取的值为π4，故选C.7．解析：选C 当输入f (x )＝sin x 时，由于是奇函数，因而执行输出“是奇函数”，然后结束；当输入f (x )＝e x 时，f (x )＝e x 不是奇函数，但恒为正，因而输出“非负”，然后结束；当输入f (x )＝ln x ＋x ＋2时，f (x )＝ln x ＋x ＋2既不是奇函数，又不恒为非负，因而输出该函数；而当输入f (x )＝x 2时，由于f (x )＝x 2是偶函数，且非负，因而输出“非负”．故选C.8．解析：选C 由已知三视图，可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体，即如图所示的下半部分，则其体积为圆柱的一半，因而V ＝12×π×12×2＝π.故选C.9．解析：选A 因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0.圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为12， 所以S △OAB ＝12×22×12＝1.10．解析：选A 每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 24种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 14种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 24×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 24种可能．共有C 24＋2C 14＋C 24×2×2＋C 24＝44种情况，因而所求概率为P ＝44256＝1164，故选A.11．解析：选B 法一：由已知，显然直线P A 1的斜率存在，故可设直线P A 1的方程为y ＝k (x ＋2)，由已知k ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24－y 29＝1得(9－4k 2)y 2－36ky ＝0，易知9－4k 2≠0，因而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋8k 29－4k 2，36k 9－4k 2，所以kP A 2＝94k ，则直线P A 2的方程为y ＝94k (x －2)，直线P A 1，P A 2与直线l 分别交于B 1(1，3k )，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－94k ，因而12×3×3k＝12×1×94k ，得k ＝12.法二：由已知，P 为双曲线x 24－y 29＝1上的点，则kP A 1·kP A 2＝94，又直线P A 1的方程为y ＝kP A 1(x ＋2)，交直线l 于B 1(1，3kP A 1)，直线P A 2的方程为y ＝kP A 2(x －2)，交直线l 于B 2(1，－kP A 2)，由于P 为第一象限内的点，因而kP A 1＞0，则12×3×3kP A 1＝12×1×kP A 2，即9k 2P A 1＝kP A 1kP A 2，从而kP A 1＝12，故选B.12．解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ， ∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2e x，∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2xx 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1， 当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x ∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.二、填空题13．解析：将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)(cosα＋sin α)＝－53.答案：－5314．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数分别为C 0n ，C 1n ×12，C 2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由已知得C 0n ＋C 2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2C 1n×12，解得n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8x8－r ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r 8x8－2r ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，令8－2r ＝4，得r ＝2，因而展开式中x 4的系数为C 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.答案：715．解析：由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 20＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43.答案：4316．解析：由题意得f 1(0)＝21＋0＝2，a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14＝122；f 2(0)＝f 1(f 1(0))＝f 1(2)＝23，a 2＝f 2（0）－1f 2（0）＋2＝－18＝－123；f 3(0)＝f 1(f 2(0))＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝65，a 3＝f 3（0）－1f 3（0）＋2＝116＝124；同理可推出a 4＝－125，a 5＝126，a 6＝－127，…，由此可得a n ＝(－1)n ＋112n ＋1(n ∈N *)，所以a 2 017＝122 018.答案：122 018。
高三数学二轮复习课余自主加餐训练“12 4”限时提速练(六)理
“12＋4”限时提速练(六)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x |－x 2＋2x ≤0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[1，3] B ．(2，3] C ．(1，2) D ．[1，2]2．设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|(i 是虚数单位)，则复数z 的虚部是( ) A ．4 B ．4i C.45i D.453．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，3)内是增函数的是( ) A ．y ＝log 12|x | B ．y ＝cos xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝x ＋1x4．已知变量X 服从正态分布N (2，4)，下列概率与P (X ≤0)相等的是( ) A ．P (X ≥2) B ．P (X ≥4) C ．P (0≤X ≤4) D ．1－P (X ≥4)5．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 6．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为( )A ．25＋2 2B ．6＋23＋2 2C ．2＋25＋2 2D ．6＋25＋2 27．(x 2－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋15的展开式的常数项是( )A ．－2B ．2C ．－3D ．38．执行如图所示的程序框图，若将输出的数组(x ，y )依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．则程序结束时，最后一次输出的数组(x ，y )是( )A ．(1 007，－2 012)B ．(1 009，－2 016)C ．(1 008，－2 014)D ．(1 010，－2 018)9．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 10．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则三点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，S 1010，⎝ ⎛⎭⎪⎫100，S 100100，⎝ ⎛⎭⎪⎫110，S 110110共线；③“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1＜1”； ④在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件． 其中正确的命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．定义域是R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈（0，1]，－log 2x ，x ∈（1，2]，0，f (x )∈(－4，－2]时，f (x )≤t 4－12t 有解，则实数t 的取值范围是( )A ．[－2，0)∪(0，1)B ．[－2，0)∪[1，＋∞)C ．[－2，－ 2 ]∪[1， 2 ]D ．[－2，－ 2 ]∪[1，＋∞)12．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A.5B.5－1C.5＋1D.5＋12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是________． 14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．15．已知四面体P ABC ，其中△ABC 是边长为6的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，则四面体P ABC 的外接球的表面积为________．16．已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π3＝－34；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )； ③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④函数f (x )的周期为π； ⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．答 案一、选择题1．已知集合P ＝{x |－x 2＋2x ≤0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q 等于( )解析：选CP ＝{x |－x 2＋2x ≤0}＝{x |x ≤0或x ≥2}，∴∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}．2．解析：选D ∵z ＝|4＋3i|3－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝5（3＋4i ）25＝35＋45i ，∴复数z 的虚部是45.3．解析：选C y ＝log 12|x |是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减；y ＝cos x 是偶函数，在(0，π)上单调递减；y ＝e x ＋e －x是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增；y ＝x ＋1x是奇函数，且在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．故选C.4．解析：选B 由变量X 服从正态分布N (2，4)可知，x ＝2为其密度曲线的对称轴，因此P (X ≤0)＝P (X ≥4)．5．解析：选A ∵3a ＋2b 与λa －b 垂直，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，又a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，∴12λ＋0－18＝0，解得λ＝32.6．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为( )解析：选D 易知该几何体为一个四棱锥，有一个侧面垂直于底面，则其表面积为2×2＋12×2×2＋12×2×5×2＋12×2×22＝6＋25＋2 2.7．解析：选B ∵(x 2－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋15＝(x 2－3)(C 05x －10＋C 15x －8＋C 25x －6＋C 35x －4＋C 45x －2＋C 55)，∴展开式的常数项是x 2·C 45x －2－3C 55＝2.8．解析：选C 由程序框图可得：(1，0)，n ＝3；(2，－2)，n ＝5；(3，－4)，n ＝7；(4，－6)，n ＝9；…；(1 008，－2 014)，n ＝2 017.故最后一次输出的数组是(1 008，－2 014)．9．解析：选A 画出可行域可知，将直线x ＋y ＝0平移至过直线2x －y －3＝0与直线x －my ＋1＝0的交点A ⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋12m －1，52m －1时，x ＋y 取得最大值，∴3m ＋12m －1＋52m －1＝9，解得m ＝1. 10．解析：选B ①“p 且q ”为假命题，则“p 真q 假”或“p 假q 真”或“p 假q 假”，∴此命题不正确；②∵S n n ＝a 1＋(n －1)·d2，即为关于n 的一次函数，∴⎝⎛⎭⎪⎫10，S 1010，⎝ ⎛⎭⎪⎫100，S 100100，⎝ ⎛⎭⎪⎫110，S 110110三点共线， ∴此命题正确； ③易知此命题正确；④设角A ，B 对应的边分别为a ，b ，由A ＞B 得，a ＞b ，由正弦定理得sin A ＞sin B ，反之，也成立，∴此命题正确．11．解析：选B ∵当x ∈(0，1]时，f (x )＝x 2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0，当x ∈(1，2]时，f (x )＝－log 2x ∈[－1，0)，∴当x ∈(0，2]时，f (x )∈[－1，0]．又∵函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，∴当x ∈(－4，－2]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0，∵当x ∈(－4，－2]时，f (x )≤t 4－12t 有解，∴－14≤t 4－12t ，解得－2≤t ＜0或t ≥1.12．解析：选D 设双曲线的右焦点为F 2(c ，0)，∵曲线C 1，C 3有一个共同的焦点，∴y2＝4cx .∵原点O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，∴OM 为△F 1F 2N 的中位线，∴OM ∥NF 2.∵|OM |＝a ，∴|NF 2|＝2a .又NF 2⊥NF 1，|F 1F 2|＝2c ，∴|NF 1|＝2b ，设N (x ，y )，则由抛物线定义可得x ＋c ＝2a ，∴x ＝2a －c ，过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ，由勾股定理得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2－e －1＝0，又e ＞1，∴e ＝5＋12. 二、填空题13．解析：由f (m )＋f (2n )＝3得，log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，即(m －2)(n －1)＝4，所以m ＋n ＝m －2＋n －1＋3≥2（m －2）（n －1）＋3＝7，当且仅当m －2＝n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3时等号成立，故m ＋n 的最小值为7.答案：714．解析：∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25×2＋25×242×2＝676.答案：67615．解析：∵△ABC 是边长为6的等边三角形， ∴6sin 60°＝2r ，r 为△ABC 外接圆的半径，∴r ＝2 3.∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，∴四面体P ABC 外接球的半径R ＝12＋4＝4，∴四面体P ABC 外接球的表面积S ＝4π×42＝64π.答案：64π 16．解析：①f ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2 014π3·cos 2 014π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin 2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin 2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin 2x ，－π4≤x ＜0，12sin 2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |·cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin 2x ，－π＋2k π≤x ＜2k π，12sin 2x ，2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．答案：①⑤。
高三数学二轮复习 课余自主加餐训练“12+4”限时提速练(八)理
“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－1≤log 2 016x ≤1}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2 016，0] B ．[0，2 016] C ．(2，2 016] D ．(－∞，2 016] 2．“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为( )A ．∀x ∈R ，2x －12x ≥1B ．∀x ∈R ，2x－12x ≤1C ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0＞1D ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥13．已知i 是虚数单位，复数z ＝a －i1－i (a ∈R )，若|z |＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，则a ＝( )A ．±1B ．1C ．－1D ．±124.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )A ．20B ．48 3C ．48＋8 3D ．8＋ 35．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6(x ∈R )，把函数f (x )的图象向右平移10π3个单位长度得函数g (x )的图象，则下面结论正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为5πB ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．函数g (x )在区间[π，2π]上是增函数D ．函数g (x )是奇函数6．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤2 015?B ．n ≤2 016?C ．n ＜2 014?D ．n ＜2 016?8．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，＝113，则∠BAD 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π2 D.3π49．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0，则z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．10B ．64C ．1 024D ．2 04810.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示．若S △ABF 2＝14S △AOB ，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )A.54B.247 C ．－2124 D.25511．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝( )A.32n 2－12nB.32n 2＋12n C ．3n 2－2n D.92n 2－32n12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1－1，x ＞1，2－e x ，x ≤1，若函数h (x )＝f (x )－mx －2有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－6－42，0)∪(0，＋∞)B ．(－6＋42，0)∪(0，＋∞)C ．(－6＋42，0)D ．(－6－42，－6＋42)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为________．14.如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB ＝________．15．在正三棱锥P ABC 中，M 是PC 的中点，且AM ⊥PB ，AB ＝22，则正三棱锥P ABC 的外接球的表面积为________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ＋12sin 2B ＝1，0＜B＜π2，若||＝3，则16bac的最小值为________．答 案一、选择题1．解析：选C 由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12 016≤x ≤2 016，B ＝{y |y ＞2}，所以A ∩B ＝(2，2 016]．2．解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为“∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥1”．3．解析：选A 因为|z|＝⎠⎛0π⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，所以|z |＝⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋1πx π0＝1，因为z＝a －i 1－i ＝（a －i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋a 2＋a －12i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＝1，解得a ＝±1.4.解析：选C 因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.5．解析：选C 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6＝sin(15x ＋π6)，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10π3＋π6＝sin(15x －π2)＝－cos 15x ，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π15＝10π，故A 错误；函数g (x )为偶函数，故D 错误；g (x )图象的对称轴为x ＝5k π(k ∈Z )，故函数g (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，B 错误；函数g (x )的单调递增区间为[10k π，10k π＋5π](k ∈Z )，故函数g (x )在区间[π，2π]上为增函数，故选C.6．解析：选D 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cosx (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 7．解析：选B 通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n ≤2 016？”，选B.8．9．解析：选C 因为z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝22x －y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令u ＝2x －y ，当直线2x －y ＝0平移到经过点C 时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6，即C (2，－6)，即u max ＝2×2－(－6)＝10，所以z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为210＝1 024，选C.10.解析：选B 因为S △ABF 2＝14S △AOB ，所以12(c －a )b ＝14×12ab ，即c ＝54a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝916，即b a ＝34.设双曲线的一条渐近线y ＝34x 与x 轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝34，所以tan 2θ＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.选B.11．解析：选A 由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＝k ，所以＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .12．解析：选B 函数h (x )＝f (x )－mx －2有两个零点等价于方程f (x )－mx －2＝0有两个不同的解，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f (x )的图象，如图，根据题意，当直线y ＝mx ＋2与曲线y ＝x ＋1x －1－1＝2x －1相切时，联立方程，消去y 可得，mx ＋2＝2x －1，整理得mx 2＋(2－m )x －4＝0，由Δ＝(2－m )2＋16m ＝0，解得m ＝－6±42，要使y ＝f (x )与y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，结合图象分析可知，实数m 的取值范围是(－6＋42，0)∪(0，＋∞)．二、填空题13．解析：因为幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，所以16＝4a，即a ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 8，T r ＋1＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－r ·x －r 2＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－3r 2，令8－3r 2＝2，解得r ＝4，所以T 4＋1＝(－1)4×24×C 48×x 2＝1 120x 2，即⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为1120. 答案：1 12014.解析：因为点A 到抛物线C 的准线的距离为|AN |＋p 2，点A 到焦点F 的距离为|AB |＋p2，所以|AN |＝|AB |，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°.答案：30°15．解析：因为三棱锥P ABC 为正三棱锥，取AC 的中点N ，连接PN ，BN ，易证AC ⊥平面PBN ，所以PB ⊥AC ，又AM ⊥PB ，AM ∩AC ＝A ，所以PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，易证PA ，PB ，PC 两两垂直，又AB ＝22，所以PA ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P ABC 外接球的半径为R ，则(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：12π16．解析：因为cos 2B ＋12sin 2B ＝1，所以12sin 2B ＝sin 2B ，即sin B cos B ＝sin 2B ，因为sin B ≠0，所以tan B ＝1，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4.因为||＝3，所以||＝3，即b ＝3，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得9＝a 2＋c 2－2ac .由基本不等式可知9＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，即ac ≤92(2＋2)，当且仅当⎩⎨⎧a ＝c ，9＝a 2＋c 2－2ac ，即a 2＝c 2＝9（2＋2）2时等号成立，故16b ac ≥16×39（2＋2）2＝163(2－2)．16（2－2）答案：3。
高三数学二轮复习 课余自主加餐训练“12+4”限时提速
“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－1≤log 2 016x ≤1}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2 016，0] B ．[0，2 016] C ．(2，2 016] D ．(－∞，2 016] 2．“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为( )A ．∀x ∈R ，2x －12x ≥1B ．∀x ∈R ，2x－12x ≤1C ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0＞1D ．∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥13．已知i 是虚数单位，复数z ＝a －i1－i (a ∈R )，若|z |＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，则a ＝( )A ．±1B ．1C ．－1D ．±124.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )A ．20B ．48 3C ．48＋8 3D ．8＋ 35．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6(x ∈R )，把函数f (x )的图象向右平移10π3个单位长度得函数g (x )的图象，则下面结论正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为5πB ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．函数g (x )在区间[π，2π]上是增函数D ．函数g (x )是奇函数6．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤2 015?B ．n ≤2 016?C ．n ＜2 014?D ．n ＜2 016?8．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，＝113，则∠BAD 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π2 D.3π49．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0，则z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．10B ．64C ．1 024D ．2 04810.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B 是双曲线的右顶点，A 是其虚轴的端点，如图所示．若S △ABF 2＝14S △AOB ，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )A.54B.247 C ．－2124 D.25511．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝( )A.32n 2－12nB.32n 2＋12n C ．3n 2－2n D.92n 2－32n12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1－1，x ＞1，2－e x ，x ≤1，若函数h (x )＝f (x )－mx －2有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－6－42，0)∪(0，＋∞)B ．(－6＋42，0)∪(0，＋∞)C ．(－6＋42，0)D ．(－6－42，－6＋42)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为________．14.如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB ＝________．15．在正三棱锥P ABC 中，M 是PC 的中点，且AM ⊥PB ，AB ＝22，则正三棱锥P ABC 的外接球的表面积为________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ＋12sin 2B ＝1，0＜B＜π2，若||＝3，则16bac的最小值为________．答 案一、选择题1．解析：选C 由已知得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12 016≤x ≤2 016，B ＝{y |y ＞2}，所以A ∩B ＝(2，2 016]．2．解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x ∈R ，2x－12x ＜1”的否定为“∃x 0∈R ，2x 0－12x 0≥1”．3．解析：选A 因为|z|＝⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1πd x ，所以|z |＝⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋1πx π0＝1，因为z＝a －i 1－i ＝（a －i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋a 2＋a －12i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＝1，解得a ＝±1.4.解析：选C 因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.5．解析：选C 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋13π6＝sin(15x ＋π6)，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10π3＋π6＝sin(15x －π2)＝－cos 15x ，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π15＝10π，故A 错误；函数g (x )为偶函数，故D 错误；g (x )图象的对称轴为x ＝5k π(k ∈Z )，故函数g (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，B 错误；函数g (x )的单调递增区间为[10k π，10k π＋5π](k ∈Z )，故函数g (x )在区间[π，2π]上为增函数，故选C.6．解析：选D 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cosx (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 7．解析：选B 通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n ≤2 016？”，选B.8．9．解析：选C 因为z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝22x －y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≤2，2x ＋y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令u ＝2x －y ，当直线2x －y ＝0平移到经过点C 时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－6，即C (2，－6)，即u max ＝2×2－(－6)＝10，所以z ＝4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为210＝1 024，选C.10.解析：选B 因为S △ABF 2＝14S △AOB ，所以12(c －a )b ＝14×12ab ，即c ＝54a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝916，即b a ＝34.设双曲线的一条渐近线y ＝34x 与x 轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝34，所以tan 2θ＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为247.选B.11．解析：选A 由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＝k ，所以＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .12．解析：选B 函数h (x )＝f (x )－mx －2有两个零点等价于方程f (x )－mx －2＝0有两个不同的解，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f (x )的图象，如图，根据题意，当直线y ＝mx ＋2与曲线y＝x ＋1x －1－1＝2x －1相切时，联立方程，消去y 可得，mx ＋2＝2x －1，整理得mx 2＋(2－m )x －4＝0，由Δ＝(2－m )2＋16m ＝0，解得m ＝－6±42，要使y ＝f (x )与y ＝mx ＋2的图象有两个不同的交点，结合图象分析可知，实数m 的取值范围是(－6＋42，0)∪(0，＋∞)．二、填空题13．解析：因为幂函数y ＝x a的图象过点(4，16)，所以16＝4a，即a ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 8，T r ＋1＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－r ·x －r 2＝(－1)r ·2r ·C r 8·x 8－3r 2，令8－3r 2＝2，解得r ＝4，所以T 4＋1＝(－1)4×24×C 48×x 2＝1 120x 2，即⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8的展开式中x 2的系数为1120. 答案：1 12014.解析：因为点A 到抛物线C 的准线的距离为|AN |＋p 2，点A 到焦点F 的距离为|AB |＋p2，所以|AN |＝|AB |，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°.答案：30°15．解析：因为三棱锥P ABC 为正三棱锥，取AC 的中点N ，连接PN ，BN ，易证AC ⊥平面PBN ，所以PB ⊥AC ，又AM ⊥PB ，AM ∩AC ＝A ，所以PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，易证PA ，PB ，PC 两两垂直，又AB ＝22，所以PA ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P ABC 外接球的半径为R ，则(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：12π16．解析：因为cos 2B ＋12sin 2B ＝1，所以12sin 2B ＝sin 2B ，即sin B cos B ＝sin 2B ，因为sin B ≠0，所以tan B ＝1，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π4.因为||＝3，所以||＝3，即b ＝3，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得9＝a 2＋c 2－2ac .由基本不等式可知9＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，即ac ≤92(2＋2)，当且仅当⎩⎨⎧a ＝c ，9＝a 2＋c 2－2ac ，即a 2＝c 2＝9（2＋2）2时等号成立，故16b ac ≥16×39（2＋2）2＝163(2－2)．16（2－2）答案：3。
高三数学二轮复习课余自主加餐训练“5选”解答题限时练一理
三、组合练节奏——“5＋2选1〞解答题限时练〔每练习限时80分钟〕“5＋2选1〞解答题限时练(一)1．设△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足2a sin A ＝(2sin B－3sin C)b＋(2sin C－3sin B)c.(1)求角A大小；(2)假设a＝2，b＝23，求△ABC面积．2．某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出假设干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下频率分布表：(2)为了了解数学成绩在120分以上学生心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理教师面谈，令第七组被抽中学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ分布列与数学期望；(3)估计该校本次考试数学平均分．3．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是梯形，且AB ∥DC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，BD ＝2AD ＝4，AB ＝2DC ＝2BC ＝25，＝m，且m >0.(1)求证：平面PAD ⊥平面MBD ； (2)求二面角A PB D 余弦值；(3)试确定m 值，使三棱锥P ABD 体积为三棱锥P MBD 体积3倍．4．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积最大值为 3. (1)求椭圆方程；(2)设椭圆左顶点为A 1，过右焦点F 2直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点， 是否为定值？假设是，求出此定值；假设不是，请说明理由．5．直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 图象相切，且f ′(1)＝e. (1)求实数a ，b 值；(2)假设存在x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，使得2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，求nm取值范围． 6．[二选一](选修4－4)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝2，曲线C 2极坐标方程为ρ＝22a cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－3π4(a >0)． (1)求直线l 与曲线C 1交点极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π); (2)假设直线l 与C 2相切，求a 值． (选修4－5)设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R . (1)假设a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|值域为A ，假设A ⊆[－1，3]，求a 取值范围．答 案1．解：(1)由及正弦定理可得 2a 2＝(2b －3c )b ＋(2c －3b )c ，整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，所以cos A ＝32.又A ∈(0，π)，故A ＝π6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，a ＝2，b ＝23，A ＝π6，得sin B＝32.又B ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5π6，故B ＝π3或2π3.假设B ＝π3，那么C ＝π2，于是S △ABC ＝12ab ＝23；假设B ＝2π3，那么C ＝π6，于是S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3.2．解：(1)因为频率与为1，所以b ，又因为频率＝频数样本容量，所以c ＝100，a ＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，那么每个学生被抽中概率均为15.所以从第七组中抽取样本数为15×10＝2.所以随机变量ξ可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25；P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815；P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.随机变量ξ分布列为所以E (ξ)＝0×25＋1×15＋2×15＝3.(3)根据频率分布表估计该校本次考试数学平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.3．解：(1)证明：在△ABD 中，由于AD ＝2，BD ＝4，AB ＝25，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，故AD ⊥BD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)如图建立空间直角坐标系D xyz ，那么D (0，0，0)，A (2，0，0)，P (1，0，3)，B (0，4，0)，＝(1，－4，3)，＝(－2，4，0)，＝(0，4，0)．设平面PAB 法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4y 1＝0，x 1－4y 1＋3z 1＝0，令y 1＝1，那么x 1＝2，z 1＝233，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，1，233. 设平面PBD 法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝0，x 2－4y 2＋3z 2＝0，令x 2＝－3，那么z 2＝1，m ＝(－3，0，1)，cos<n ，m>＝|n·m ||n |·|m |＝21919，∴二面角A PB D 余弦值为21919.(3)∵V P MBD ＝V M PBD ＝m m ＋1V C PBD ＝mm ＋1V P BCD，∴V P ABD V P MBD ＝m ＋1m ·V P ABD V P BCD ＝m ＋1m ·S △ABD S △BCD ＝m ＋1m·2＝3，解得m ＝2.4．解：(1)椭圆离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，那么b ＝3t ，其中t >0，当△F 1PF 2面积取最大值3时，点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，那么椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，那么y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，直线AA 1方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，那么R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，6y 2x 2＋2， ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，6y 1x 1＋2，＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，6y 2x 2＋2， 那么＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m 〔y 1＋y 2〕＋9＋9＝0，即为定值0.5．解：(1)设直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 图象切点为(x 0，f (x 0))．由f (x )＝a e x ＋b 可得f ′(x )＝a e x .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a e x 0＝1，x 0＋1＝a e x 0＋b ，a e ＝e ，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝e x ，那么存在x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，使2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，等价于存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，使2m e x －1＋n e x ＝mx 成立． ∴n m ＝x －2e x －1e x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32. 设g (x )＝x －2e x －1e x，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，那么g ′(x )＝1－x e x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，1)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32时，g ′(x )<0，g (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32上单调递减． ∴g (x )max ＝－1e ，g (0)＝－2e ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝32e 32－2e ，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝－32e 32<0.∴n m 取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤－2e ，－1e . 6．[二选一](选修4－4)解：(1)曲线C 1普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]，直线l 直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4(舍去)，故直线l 与曲线C 1交点直角坐标为(1，1)，其极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π4.(2)曲线C 2直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.(选修4－5)解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1，x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)解集为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2;当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x <a ，2－a ，x ≥a ，g (x )值域A ＝[2－a ，a－2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 取值范围为[1，3]．。
高考数学二轮复习小题限时训练5理
高考数学二轮复习小题限时训练5理一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．[2021·安徽马鞍山模拟]集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x |x ＝3－2a ，a ∈A }，那么A ∩B ＝( )A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{1}D ．∅2．[2021·银川一中第二次模拟考试]双数1－i 2i＝( ) A ．－2＋2i B ．2C ．－2D ．2－2i3．[2021·莆田一中月考]«九章算术»是我国现代数学名著，也是现代西方数学的代表作．书中有如下效果：〝今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？〞其意思为：〝直角三角形两直角边长区分为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形边长为多少步？〞现向此三角形内投一粒豆子，那么豆子落在这个内接正方形内的概率是( )A.90289B.120289C.180289D.2402894．[2021·河南六市联考]以下命题中错误的选项是( )A ．假定命题p 为真命题，命题q 为假命题，那么命题〝p ∨(綈q )〞为真命题B ．命题〝假定a ＋b ≠7，那么a ≠2或b ≠5”为假命题C ．命题〝假定x 2－x ＝0，那么x ＝0或x ＝1”的否命题为〝假定x 2－x ＝0，那么x ≠0且x ≠1”D ．命题p ：∃x >0，sin x >2x －1，那么綈p 为∀x >0，sin x ≤2x －15．假定函数f (x )＝|x |，那么函数y ＝f (x )－log 12|x |的零点的个数是( ) A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个6．[2021·黑龙江齐齐哈尔八中阶段测试]平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( )A ．3B ．4C ．5D ．67．[2021·陕西吴起期中]MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD (n ，m )，其结果为n 除以m 的余数，例如MOD (8,3)＝2.下面是一个算法的顺序框图，当输入的值为25时，那么输入的结果为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．[2021·云南昆明月考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边区分为a ，b ，c ，假定b ＝2a ，sin 2B ＝2sin A sin C ，那么cos B ＝( )A.18B.14C.12D ．1 9．[2021·江西新余全真模拟]双曲线mx 2＋ny 2＝1与抛物线y 2＝8x 有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，那么双曲线的方程为( )A.x 23－y 2＝1 B ．x 2－y 23＝1 C.x 25－y 2＝1 D ．x 2－y 25＝1 10．[2021·舒城中学高三仿真试题]某几何体的三视图如下图，其中正视图和仰望图是腰长为2的等腰直角三角形，那么该几何体的体积为( )A.23B.43C.83D ．4 11．[2021·重庆八中月考]假定在△ABC 中，BC ＝1，其外接圆圆心O 满足3AO →＝AB →＋AC →，那么AB →·AC →＝( )A.12B.22C.32 D ．1 12．[2021·遂宁高中三诊]假定关于x 的不等式m e xx≥6－4x 在(0，＋∞)上恒成立，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e 12B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e －12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e －12，＋∞ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2021·江苏省东台高三监测]设a 为实数，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，且f (2a －3)＝f (a )，那么满足条件的a 构成的集合为________．14．[2021·高考原创押题预测卷]函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)的局部图象如下图，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根，那么实数a 的取值范围是________．15．[2021·江苏省徐州市高三质量检测]某地域教育主管部门为了对该地域模拟考试效果停止剖析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名先生的效果，并依据这1 000名先生的效果画出样本的频率散布直方图(如图)，那么效果在[250,400)内的先生共有________人．16．[2021·内蒙古赤峰二中最后一模]函数f (x )＝a ·2x ＋b 的图象过点(2,9)和点(4,45)，假定数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 2a n 3的前n 项和为T n ，那么使得T n ≥55成立的最小正整数n ＝________.。
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“12＋4”限时提速练(五)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知如图，全集I＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＜3} D．{x|x＞0}2．若复数z＝i－2i2＋3i3，则|z|＝( )A．6 B．2 2 C．4 D．23．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若m a－n b与2a＋b共线(其中m，n∈R且n≠0)，则mn＝( )A．－2 B．2 C．－12D.124．等比数列{a n}的前n项和为S n，若公比q＝4，S3＝21，则( )A．4a n＝1－3S n B．4S n＝3a n－1C．4S n＝3a n＋1 D．4a n＝3S n＋15．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则f(0)＝( )A．－ 3 B．－32C．－1 D．－126．下列说法正确的是( )A．命题“0，f(x)2＝1，则x＝1”的否命题为“0，f(x)2＝1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2－2x－1＞0，则命题綈p：∀x∈R，x2－2x－1＜0C．命题“若α＞β，则2α＞2β”的逆否命题为真命题D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件7．函数y＝lg x－sin x在(0，＋∞)上的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．48．执行如图所示的程序框图，如果输入的变量t∈[0，3]，则输出的S∈()A．[0，7] B．[0，4] C．[1，7] D．[1，4]9.已知棱长为2的正四面体(各面均为正三角形)的俯视图如图所示，则该四面体的正视图的面积为( )A ．2 3 B. 3 C.263 D.6310．某日，甲、乙二人随机选择早上6：00～7：00的某一时刻到达黔灵山公园晨练，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )A.23B.13C.79D.2911．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝5a4上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为( )A.58B.104C.34D.3212．已知函数f (x )＝mx －m 2－4(m ＞0，x ∈R )，若a 2＋b 2＝8，则f （b ）f （a ）的取值范围是( ) A ．[3－2，3＋2] B ．[2－3，2＋ 3 ] C ．[0，2＋ 3 ] D ．[0，2－ 3 ] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3，则z ＝3x －5y 的最小值为________．15．等差数列{a n }中，a 1＝20，若仅当n ＝8时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则该等差数列的公差d 的取值范围为________．16．定义平面向量的一种运算：a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则下列命题：①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ；③(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )；④若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|.其中真命题的序号是________．答 案一、选择题1．解析：选B 由Venn 图可知，阴影部分表示的是集合A ∪B ＝{x |0＜x ＜3}，故选B. 2．解析：选B 因为z ＝i ＋2－3i ＝2－2i ，所以|z |＝|2－2i|＝22，故选B.3．解析：选A 因为m a －n b ＝(m ＋2n ，2m －3n )，2a ＋b ＝(0，7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即m n＝－2，故选A.4．解析：选D 因为S 3＝21＝a 1（1－43）1－4，所以a 1＝1，所以S n ＝a 1－qa n 1－q ＝1－4a n1－4，即4a n＝3S n ＋1，故选D.5．解析：选A 因为T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，所以5π6＋φ＝π2＋ 2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .因为φ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以φ＝－π3，所以f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，故选A.6．解析：选C A 中的否命题应为“0，f (x )2≠1，则x ≠1”；B 中命题綈p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1≤0；D 中“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故选C.7．解析：选C 画出函数y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.8．解析：选B 由程序框图及t ≥0可知，此程序执行的是输出二次函数S ＝(t －1)2，t ∈[0，3]的值域，因此S ∈[0，4]，故选B.9.解析：选C 由俯视图可知，正四面体的正视图是一个等腰三角形，其中底边长为2，高为正四面体的高h ＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2×32×232＝263，所以正视图的面积S ＝12×2×263＝263，故选C.10．解析：选D 设甲、乙二人到达的时刻分别是6点x 分和6点y 分，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤60，0≤y ≤60，y －x ＞20，如图所示，则所求概率P ＝S △ABC S 四边形DECO ＝12×40×4060×60＝29，故选D.11．解析：选A 设直线x ＝5a 4交x 轴于点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 4，0，因为△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，所以∠PF 2F 1＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝2|F 2M |，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 4－c ＝2c ，解得a＝8c 5，所以e ＝58，故选A.12．解析：选B 因为f （b ）f （a ）＝mb －m 2－4ma －m 2－4＝b －⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4m a －⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4m ，所以其表示的是点A (a ，b )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4m，m ＋4m 连线的斜率．因为m ＋4m ≥2m ×4m＝4(当且仅当m ＝2时取等号)，a 2＋b 2＝8，所以B 是射线y ＝x (x ≥4)上的动点，A 是圆x 2＋y 2＝8上的动点．显然，斜率的最值是过射线端点P (4，4)的圆的两条切线的斜率．设过点P 的切线的方程为y ＝k (x －4)＋4，所以|4k －4|k 2＋1＝8，即k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2±3，所以f （b ）f （a ）∈[]2－3，2＋3，故选B.二、填空题13．解析：依题意得，x ＝15×(197＋198＋201＋204＋205)＝201，y ＝15(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5.因为回归直线必经过样本点的中心，所以17＋m5＝0.8×201－155，解得m ＝12.答案：1214．解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，在可行域内平移直线3x －5y ＝0，当其经过y ＝x ＋1与5x ＋3y ＝15的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z ＝3x －5y 在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值，故z min ＝92－252＝－8.答案：－815．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧S 8＞S 7，S 8＞S 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＞0，a 1＋8d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧20＋7d ＞0，20＋8d ＜0，所以－207＜d＜－52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－207，－5216．解析：由定义可知b ⊗a ＝|b |·|a |sin 〈a ，b 〉＝a ⊗b ，所以①是真命题．②当λ<0时，〈λa ，b 〉＝π－〈a ，b 〉，所以(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈λa ，b 〉＝－λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，而λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，所以②是假命题．③因为|a ＋b |不一定等于|a |＋|b |，sin 〈a ，c 〉＋sin 〈b ，c 〉与sin 〈(a ＋b )，c 〉也不一定相等，所以③是假命题．④sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a ||b |2＝|x 1y 2－x 2y 1||a ||b |，所以a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|，所以④是真命题，所以真命题的序号是①④.答案：①④。