中位线(22) -优秀课件
三角形中位线公开课课件
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
2.4三角形的中位线
情景导入 探索新知 自主学习 合作交流 归纳小结 检测过关
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F 分别是AC、AB、BC的中点， 求证：DF＝CE
A
D
E
C
F
B
情景导入 探索新知 自主学习 合作交流 归纳小结 检测过关
⒈熟记三角形中位线的定义：连结三角形两 边中点的线段叫作三角形的中位线。 ⒉理解并掌握三角形中位线的性质：三角形 的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半。 ⒊能应用三角形中位线的性质解决有关问题。
(C)9cm
(D)36cm
3，如图，在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，
AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ）
(A)10
(B)20
(C)30
(D)40
第1题
第3题
DE是△ABC的中位线，请你猜想DE与BC之间的关系。
A D B
猜想1：DE∥ BC
E 猜想2：DE 1 BC 2
C
这些猜想正确吗？
情景导入 探索新知 自主学习 合作交流 归纳小结 检测过关
将△ADE绕E点旋转180°，点A的像是_点_C_，点D的像
是_点_F_,点E的像是_点__E_,我作交流 归纳小结 检测过关
概念对比
A
A
B
C
B
C
（1）相同之处:都和边的__中__点__有关。
（2）不同之处: 三角形中位线的__两__个端点都是边的中点，
三角形中线只有__一__个端点是边的中点， 另一端点是三角形的__顶__点___。
情景导入 探索新知 自主学习 合作交流 归纳小结 检测过关
情景导入 探索新知 自主学习 合作交流 归纳小结 检测过关 你能根据老师的描述，说出三角形中位线的定义吗？ 定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
中位线及其应用
中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．分析由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．解由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以由条件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD是BC上的高，所以例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求证：GH∥BC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．分析若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．(1)证分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．(2)解由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．又BC=18厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．从而MN=18-4-9=5(厘米)，说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．分析由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．证连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以AB⊥BC，BC∥PQ．从而AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以A′C′=B′D′．①说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点．证取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以在△EFG中，EF＞EG-FG．③由①，②，③例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．分析本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．证取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以因为AD=AB+CD，所以从而∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．分析显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．证连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D 的公共中位线，所以即 AA1+EE1=FF1+DD1．练习十四1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD。
沪教新版 八年级(下)第22章 四边形 22.6 三角形、梯形的中位线定理讲义 含解析
八年级第二学期第22章四边形22.6 三角形、梯形的中位线一．选择题（共6小题）1．如图，若DE是ABC∆的中位线，ABC∆的周长为1，则ADE∆的周长为()A．1B．2C．12D．142．如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．两直角边不等的直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于( )A．23B．56C．54D．354．已知ABC∆的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为()A．12011B．12012C．201112D．2012125．如图，在ABC∆中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若FGE∆的面积为8，则ABC∆的面积为()A ．32B ．48C ．64D ．726．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大二．填空题（共12小题）7．等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为 cm ．8．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 9．在梯形ABCD 中，//AD BC ，如果4AD =，10BC =，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么EF = ．10．已知一个三角形各边的比为2:3:4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm ，那么原三角形最短的边的长为 cm ．11．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，点F 在边BC 上，AF 与DE 相交于点G ，如果110AFB ∠=︒，那么CGF ∠的度数是 ．12．已知在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB =厘米，4AD =厘米，高12AH =厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．13．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD BC =，对角线AC BD ⊥，且52AC =梯形ABCD 的中位线的长为 ．14．如图，已知ABC∠的角平分线BE交AC于点E，//DE BC，如果点D是边∆中，ABCAB的中点，8AB=，那么DE的长是．15．如图所示，在Rt ABC∠=︒，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、∆中，90ACBEF=，则AB=．BC的中点，若116．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，15BC=，9CD=，∠=︒，则ADC∠的度数为．EF=，50AFE617．已知：如图，在ABC∠=︒，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，ACB∆中，90若8CE=，则DF的长是．18．如图，在ABCACB∠=︒，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，∆中，90使2AB=，则DN=．BC CD=，连接DM、DN、MN．若6三．解答题（共8小题）19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，延长CB 到点E ，使BE AD =，连接DE 交AB 于点M ．若N 是CD 的中点，且5MN =，2BE =．求BC 的长．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，AF 平分BAD ∠．求证：2AB EF =．21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，30C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，作//DP AB 交EF 于点G ，90PDC ∠=︒，求线段GF 的长度．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且1()2EF AD BC =+．求证：//AD BC ．23．如图，AE 平分BAC ∠，交BC 于点D ，AE BE ⊥，垂足为E ，过点E 作//EF AC ，交AB于点F．求证：点F是AB的中点．24．如图，在ABC∆中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）12AB=，9AC=，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．25．如图，在等边ABC∆中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使12CF BC=，连结CD和EF．（1）求证：CD EF=；（2）猜想：ABC∆的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．26．如图，在ABC∆中，AE平分BAC∠，BE AE⊥于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：1()2EF AC AB=-；（2）如图2，ABC∆中，9AB=，5AC=，求线段EF的长．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，若DE 是ABC ∆的中位线，ABC ∆的周长为1，则ADE ∆的周长为( )A ．1B ．2C ．12D ．14解：DE Q 是ABC ∆的中位线，ABC ∆的周长为1， 12DE BC ∴=，12AD AB =，12AE AC = ADE ∴∆的周长为12． 故选：C ．2．如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．两直角边不等的直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的中点，且四边形ADFE 是正方形．Q 点D 、F 分别是边AB 、BC 上的中点， 12DF AC ∴=． 同理12EF AD =． 又Q 四边形ADFE 是正方形， DF EF ∴=，90A ∠=︒， AC AB ∴=，ABC ∴∆是等腰直角三角形．故选：D ．3．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于( )A ．23B ．56C ．54 D ．35解：根据题意做出图形，过A 作BC 边的高AE ， 由题意得：6BC AD -=， 则3BE =， 5AB =Q ，224AE AB AE ∴=-=，又Q 面积为24， ∴1()242AD BC AE +=g ， 代入AE 可得：62AD BC+=， 故等腰梯形的中位线长度为6，则该等腰梯形的纵横比4263==．故选：A ．4．已知ABC ∆的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为( )A ．12011B ．12012C ．201112 D ．201212解：Q 连接ABC ∆三边中点构成第二个三角形， ∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1:2， ∴它们相似，且相似比为1:2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1:2， 即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：21:2， 以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为20111:2， ABC ∆Q 周长为1，∴第2012个三角形的周长为20111:2．故选：C ．5．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上任一点，点F ，G ，E 分别是AD ，BF ，CF 的中点，连结GE ，若FGE ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为( )A ．32B ．48C ．64D ．72解：G Q ，E 分别是BF ，CF 的中点， GE ∴是BFC ∆的中位线，12GE BC ∴=， FGE ∆Q 的面积为8， BFC ∴∆的面积为32，Q 点F 是AD 的中点，ABF BDF S S ∆∆∴=，FDC AFC S S ∆∆=， ABC ∴∆的面积2BFC =∆的面积64=，故选：C ．6．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大解：连接AQ ，Q 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E Q ，F 分别是AP ，PQ 的中点， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．二．填空题（共12小题）7．等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为 7 cm ． 解：Q 上底+下底+两腰=周长，中位线长12=（上底+下底）， 282∴⨯+腰长30=， ∴腰长7cm =，故答案为：7．8．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 7 厘米．解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米） 故答案为：7．9．在梯形ABCD 中，//AD BC ，如果4AD =，10BC =，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么EF = 7 ．解：E Q ，F 分别是边AB ，CD 的中点， EF ∴为梯形ABCD 的中位线， 11()(410)722EF AD BC ∴=+=+=． 故答案为7．10．已知一个三角形各边的比为2:3:4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm ，那么原三角形最短的边的长为 8 cm ．解：由题意，设三边分别为2xcm ，3xcm ，4xcm ，则各边中点所得的三角形的边长分别为xcm ，1.5xcm ，2xcm 则 1.5218x x x ++=， 解得4x =， 28x cm ∴=原三角形最短的边的长为8cm ； 故答案为：8．11．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，点F 在边BC 上，AF 与DE 相交于点G ，如果110AFB ∠=︒，那么CGF ∠的度数是 40︒ ． 解：110AFB ∠=︒Q ，180********AFC AFB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，Q 点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线，∴点G 是AF 的中点，CG GF ∴=，180218027040CGF AFC ∴∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：40︒．12．已知在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB =厘米，4AD =厘米，高12AH =厘米，那么这个梯形的中位线长等于 9 厘米．【解答】解：过D 作DM BC ⊥于M ，AH BC ⊥Q ， //AH DM ∴，90AHM ∠=︒，//AD BC Q ，∴四边形AHDM 是矩形，12AH DM ∴==厘米，4AD HM ==厘米， 由勾股定理得：222213125BH AB AH =-=-=（厘米）， 同理5CM =（厘米），14BC BH HM CM ∴=++=厘米，∴梯形ABCD 的中位线长是41492+=（厘米）， 故答案为：9．13．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD BC =，对角线AC BD ⊥，且52AC =梯形ABCD 的中位线的长为 5 ．解：过C作//CE BD交AB的延长线于E，//AB CDQ，//CE BD，∴四边形DBEC是平行四边形，CE BD∴=，BE CD=Q等腰梯形ABCD中，AC BD CE AC=∴= AC BD⊥Q，//CE BD，CE AC∴⊥ACE∴∆是等腰直角三角形，52AC=Q，210 AE AB BE AB CD AC∴=+=+==，∴梯形的中位线152AE==，故答案为：5．14．如图，已知ABC∆中，ABC∠的角平分线BE交AC于点E，//DE BC，如果点D是边AB的中点，8AB=，那么DE的长是4．解：BEQ平分ABC∠，ABE CBE∴∠=∠，//DE BCQ，DEB ABE∴∠=∠，ABE DEB∴∠=∠，BD DE ∴=，D Q 是AB 的中点，AD BD ∴=， 142DE AB ∴==， 故答案为：415．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = 4 ．解：E Q 、F 分别为MB 、BC 的中点，22CM EF ∴==，90ACB ∠=︒Q ，CM 是斜边AB 上的中线，24AB CM ∴==，故答案为：4．16．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，15BC =，9CD =，6EF =，50AFE ∠=︒，则ADC ∠的度数为 140︒ ．解：连接BD ，E Q 、F 分别是边AB 、AD 的中点，//EF BD ∴，212BD EF ==，50ADB AFE ∴∠=∠=︒，22225BD CD +=，2225BC =，222BD CD BC ∴+=，90BDC ∴∠=︒，140ADC ADB BDC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：140︒．17．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，若8CE =，则DF 的长是 8 ．解：90ACB ∠=︒Q ，E 是AB 的中点，216AB CE ∴==，D Q 、F 分别是AC 、BC 的中点，182DF AB ∴==， 故答案为：8．18．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使2BC CD =，连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，则DN = 3 ．解：连接CM ，90ACB ∠=︒Q ，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==，MQ、N分别是AB、AC的中点，12MN BC∴=，//MN BC，2BC CD=Q，MN CD∴=，又//MN BC，∴四边形DCMN是平行四边形，3DN CM∴==，故答案为：3．三．解答题（共8小题）19．在梯形ABCD中，//AD BC，延长CB到点E，使BE AD=，连接DE交AB于点M．若N是CD的中点，且5MN=，2BE=．求BC的长．解：//AD BCQ，A MBE∴∠=∠，ADM E∠=∠，在AMD∆和BME∆中，A MBEAD BEAMD E∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AMD BME ASA∴∆≅∆；MD ME∴=，ND NC=，12MN EC∴=，22510EC MN∴==⨯=，1028BC EC EB∴=-=-=．BC ∴的长是8．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，AF 平分BAD ∠．求证：2AB EF =．【解答】证明：AF Q 平分BAD ∠，BAF DAF ∴∠=∠，EF Q 是中位线，//EF AD ∴，EFA FAD ∴∠=∠，EFA EAF ∴∠=∠，EF AE ∴=，2AB AE =Q ，2AB EF ∴=．21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，30C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，作//DP AB 交EF 于点G ，90PDC ∠=︒，求线段GF 的长度．解：//AD BC Q ，//DP AB ，∴四边形ADPB 是平行四边形．Q 点E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，////EF BC AD ∴，∴四边形ADGE 和四边形EGPB 都是平行四边形，1122DG GP DP AB ∴===． 4AB =Q ，30C ∠=︒，90PDC ∠=︒，282PC AB GF ∴===，∴线段GF 的长度是4．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且1()2EF AD BC =+．求证：//AD BC ．【解答】证明：取BD 的中点H ，连接EH 、FH ，E Q ，F 分别是AB ，CD 的中点， EH ∴是ABD ∆的中位线，FH 是BCD ∆的中位线，12EH AD ∴=，//EH AD ，12FH BC =，//FH BC ， 1()2EH FH AD BC ∴+=+， 1()2EF AD BC =+Q ， EH FH EF ∴+=，E ∴、F 、H 三点共线，////AD EF BC ∴，故//AD BC ．23．如图，AE 平分BAC ∠，交BC 于点D ，AE BE ⊥，垂足为E ，过点E 作//EF AC ，交AB 于点F ．求证：点F 是AB 的中点．【解答】证明：AE Q 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，//EF AC Q ，FEA CAD ∴∠=∠，BAD FEA ∴∠=∠，FA FE ∴=，AE BE ⊥Q ，90BEF AEF ∴∠+∠=︒，90ABE BAE ∠+∠=︒Q ，ABE BEF ∴∠=∠，FB FE ∴=，FB FA ∴=，即点F 是AB 的中点．24．如图，在ABC ∆中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．（1）12AB =，9AC =，求四边形AEDF 的周长；（2）EF 与AD 有怎样的位置关系？证明你的结论．解：（1）AD Q 是高，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，E Q 、F 分别是AB 、AC 的中点，12ED EB AB ∴==，12DF FC AC ==， 12AB =Q ，9AC =，12AE ED ∴+=，9AF DF +=，∴四边形AEDF 的周长为12921+=；（2）EF AD ⊥，理由：DE AE =Q ，DF AF =，∴点E 、F 在线段AD 的垂直平分线上， EF AD ∴⊥．25．如图，在等边ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连结CD 和EF ．（1）求证：CD EF =；（2）猜想：ABC ∆的面积与四边形BDEF 的面积的关系，并说明理由．解：（1）D Q 、E 分别为AB 、AC 的中点， DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， 12CF BC =Q ， DE FC ∴=，//DE FC Q ，∴四边形DCFE 是平行四边形， CD EF ∴=；（2）猜想：ABC ∆的面积=四边形BDEF 的面积，理由如下： DE Q 为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC = ADE ∴∆的面积DEC =∆的面积， ∴四边形DCFE 是平行四边形， DEC ∴∆的面积ECF =∆的面积， ADE ∴∆的面积ECF =∆的面积， ABC ∴∆的面积=四边形BDEF 的面积．26．如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：1()2EFAC AB=-；（2）如图2，ABC∆中，9AB=，5AC=，求线段EF的长．【解答】（1）证明：在AEB∆和AED∆中，90BAE DAEAE AEAEB AED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AEB AED ASA∴∆≅∆BE ED∴=，AD AB=，BE ED=Q，BF FC=，111()()222EF CD AC AD AC AB∴==-=-；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，在AEB∆和AEH∆中，90BAE HAEAE AEAEB AEH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AEB AED ASA∴∆≅∆BE EH∴=，9AH AB==，BE EH=Q，BF FC=，11()222EF CH AH AC∴==-=．。
22.6三角形中位线(第1课时)(教学课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂(沪教
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
A E
∴EF∥AC, EF 1 AC
2
HG∥AC, HG 1 AC
2
∴ EF∥HG, EF=HG.
B
H F
D
G
C
∴四边形EFGH是平行四边形.
随堂检测
1.如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC =61°，则
∠AMN = 61°，若MN =12 ，则BC = 24 .
第 22章 四边形
22.6三角形中位线（第1课时）
思考与归纳
一张三角形纸片，用一条平行于这个三角形一边的直
线把它分割成一个梯形和一个小三角形.如果所得的梯形
和小三角形恰好拼成一个平行四边形，那么这条用于分
割的直线与三角形另外两边的交点在什么位置？为什么？
A
D
E
D
E
B
C
B
C
（A）
观察：三角形的中位线段DE与边BC有什么样的数量关 系和位置关系？
3、如图，B、C两点被海水隔开，在B、C外选择一点A，找到 AB、AC的中点E、F，测量得EF=22米.这样就能求出B、C两点 间的距离.请说出这是为什么？
答：∵ 点E、F分别为AB、AC的中点， ∴ EF∥BC，且BC=2EF=44米
B
（三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半）．
E
A
F
C
4.求证:顺次联结四边形四条边的中点,所得的四边形 是平行四边形 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中
点.求证:四边形EFGH是平行四边形. A
E B
H F
D
G
C
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可
三角形的中位线课件(共22张PPT)
A E F
C
DF//BC DE// 1 BC
2
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 DE // BC 求证： 2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
D E
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF F ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC 所以，四边形BCFD是平行四边形
菱形
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说 出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
结论：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半.A
D E
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
正方形
（4）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
菱形
平行四边形
平行四边形
于但得 什它到 么是的 顺 呢否四 次 ？特边 连 殊形接 的一四 平定边 行是形 四平各 边行边 形四中 取边点 决形所 ，
菱形
菱形
矩形
正方形
（ 6 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （ 7 ） 顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ （8）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
例1、如图，在四边形中，E、F、G、H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的 中 点 。 四 边 形 EFGH是平行四边形吗？为什么？
冀教版八年级下册数学第22章 四边形 三角形的中位线
知1－练
2
感悟新知
知识点 2 三角形中位线在四边形中的应用
知2－讲
例如2图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点， 连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN.
求证：MNBC. ＝∥1 2
感悟新知
知2－讲
导引：欲证MNB＝∥C1，只需证明MN 是△EBC的中位线2即可．而要证得M，N分别为
∴MN是△EBC的中位线．∴MNBC.
＝∥ 1 2
知2－讲
感悟新知
归纳
知2－讲
(1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理．
感悟新知
归纳
知2－讲
(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法： ①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边 形的对角线；③利用三角形的中位线定理．
1 2
感悟新知
3. 如图，△CDE为△ABC沿AC方向平移得到的， 延长AB，ED相交于点F.请指出图中有哪些相等 的线段，有哪些平行的线段.
知1－练
解：相等的线段有AB＝BF＝CD， BC＝DF＝DE，AC＝CE. 平行的线段有AF∥CD，AB∥CD， BF∥CD，BC∥DF，BC∥DE，BC∥EF.
∴DE=DF=BC.
11 22
感悟新知
归纳
知1－讲
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半.
感悟新知
知1－讲
例已1知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线 BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点.
求证：△PMN是等腰三角形.
感悟新知
证明：在△ABD中， ∵N，P分别为AB，BD的中点，
中位线概念
1.中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
角平分线上的点，到角两边的距离相等。
平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的定义、性质：（1）平行四边形对边平行且相等。
（2）平行四边形两条对角线互相平分。
（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。
（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
（9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。
（10）平行四边形ABCD 中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。
（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；最常用的：19.1 平行四边形1. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
中位线知识点.doc
中位线一、温习相似三角形二、三角形中位线1.三角形中位线定义与性质（1 ）三角形中位线定义：联接三角形两端中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线差异：三角形中线是联接一极点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是联接三角形两端中点的线段。
（2 ）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC 中，点D、E 分别为边A B、AC 的中点，则DE 为ABC的中位线。
几何言语描绘： D、E 分别为边 A B、AC 的中点，DE//BC, 且DE= 12 BC提示 a：“平行且等于第三边的一半” ，具体运用时要根据标题的要求活络进行选择，并不一定要把两个结论都写出来。
b：一个三角形有三条中位线。
c：通过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要的作辅助线的方法。
（3 ）三角形中位线的运用：例1 ：已知:如图,D,E,F 分别是△ABC 各边的中点.A 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. D E证明：∵D、E、F 分别是△ABC 各边的中点∴DE＝BF＝FC，DF＝A E＝EC，B CFEF＝AD＝DB∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. A例2 ：测量两点之间不能到达的距离的方法:------ 中位线法MCBN 已知 :如图,A,B 两地被池塘离隔 ,在没有任何测量东西的情况下 ,小明通过下面的方法估测出了 A,B间的距离 :先在 AB 外选一点 C,然后步测出 AC,BC 的中点 M,N,并测出 MN 的长,由此他就知道了 A,B间的距离 .你能说出其间的道理吗??吗??联接A、B,∵MN 是△ ABC 的的中位线,∴AB=2MN.（4 ）三角形的重心及其性质三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
（1）重心与一边中点的连线的长是对应中线长的1 3（2）重心把中线分成了1:2两部分，如图，OE:OA=OF:OB=OD:OC=1 ：2（3) 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
数学：8.4《中位线定理》课件(鲁教版八年级下)
小明家的村 头有一大水 塘,要量出池 塘两端点 A,B之间的 距离,你能想 出几种方法?
A B
C
D
E
下面的方法是不是更简单?
A
B
D
E
C
已知:点D,E分别是△ABC的边 AB,AC的中点. 1 求证:DE= BC DE∥BC
2
B
A
D
E
F
C
证明:延长DE到F,使EF=DE.连接FC,DC,AF. ∵AE=EC, ∴四边形ADCF是平行四边形, ∴CF∥DA,且CF=DA. ∴CF∥DB,且CF=DB ∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF=BC. ∴DE=
1BC. 2
DE和BC 有什么位 置关系?
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样 吗?
思考
Ａ
Ｈ
Ｄ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别 是四边形ＡＢＣＤ的中点， 连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ 是平行四边形．
小结
三角形的中位线有哪些作用?
位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
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养女，任谁家能心甘情愿、毫无怨言地同意？虽然他贵为天皇贵胄，但他仍是壹各讲理の人，否则与土匪恶霸无异。因此，他给咯排字琦壹各“尽快”の要求，他 晓得排字琦の能耐和本事，完全能够拿捏准这各尺度，既能安抚好年家，又能将这门亲事早早地定下来。王爷の吩咐就是圣旨，就是再心有不甘，再不情不愿，排 字琦也只能去办。于是今天壹早，多壹刻钟都没敢耽搁，她就派王府の小太监去年府传咯她の口信，请年夫人今日下午来府中壹叙。昨天晚上从朗吟阁回来之后， 排字琦彻夜未眠！既有王爷提出要娶年仆役の震惊，也有对自己行为の万分后悔！现在还要仔细考虑如何跟年夫人提娶亲の事情，三桩事情搅和在壹起，把排字琦 搞得筋疲力尽，想睡又睡不着，不睡又头痛不已。而且最难办の事情就是这各年夫人！这要是别の人家还好说，关键这是年家，还是这么壹各关键の时刻。壹各姑 娘正躺在病床上要死要活呢，另外壹各姑娘就要壹抬花轿风风光光地娶进门咯，这种话让她怎么能够说得出口？ 就算是她自己不顾羞耻，厚脸皮地提咯出来，那是 先说提亲，还是先说探病？先说提亲，后说探病，年夫人壹定会认为上当受骗咯，当即就要悔婚；先说探病，后说提亲，那天仙妹妹可是年夫人の亲骨肉，眼看着 自己の姑娘病成这样，还被养女抢咯夫君，年夫人怎么可能同意这门亲事？不但昨天晚上没有睡好，今天整整壹上午还在不停地为咯壹会儿の见面而左右为难。她 更想不通の是，爷为啥啊要这么急？再多给些时间也好啊，等天仙妹妹身体养好咯，只剩下提亲这么壹件事情，自己总归容易开这各口，年夫人也不至于很容易地 就能找出来啥啊天大の反驳理由。而现在年妹妹还卧病在床，爷就急急火火地去提亲，把她排字琦搞得又狼狈又被动。想那年家，两各姑娘都给爷做小老婆，能同 意才怪呢。就此壹项，她就得费尽三寸不烂之舌，连威逼带吓唬带利诱。年家本来就有可能不同意这桩婚事，更何况亲闺女被冷落，养女得咯宠，那年家还不更有 理由拒绝咯？爷怎么就不能再等些日子呢！爷也不是沉湎女色の人啊！不管是否想得出来好方法，见面时间就那么不等人地到来咯！听到红莲の口信儿，排字琦赶 快从座位上起身，到门口亲自将年夫人迎进咯屋里。第壹卷 第366章 张口“给福晋请安。”“年夫人，快请起来。好久不见呢，有四年多咯吧，您还是这么年轻 精神，连白头发都不长呢。”“福晋真是说笑咯，怎么会不老呢，倒是福晋您，还跟四年前壹各样儿呢。”“唉，我也是操心受累の命，诸人都是这样，没办 法。”“福晋身子金贵着呢，是有福气の人。”“年夫人客气咯。噢，对咯，上次来府里の时候，和您壹起来の玉盈仆役这壹次没有随您壹并过来？”“福晋记性 真是好，那么久の事情咯，您还记着呢。”“不是我记性好，实在是年仆役给我の印象太好咯，温柔贤淑、落落大方、知书达礼，记得当时我还说过，这要是谁家 娶咯过去，谁家就真是有福气，娶咯壹各大宝贝呢。”“谢谢福晋夸奖，小女还真没有您夸奖の这么好。”“哪里，年夫人您这是太谦虚咯！只是不晓得，我们雍 亲王府有没有这各福气？”“福晋您这可真是说笑咯呢，王府の福气可不是小女能带来の，那可是因为王爷本身就是大富大贵之人。小女若能嫁进王府里，倒是她 天大の福分。不过，唉，小女可真是福分浅，近日得咯急症，请咯好些大夫都直摇头，壹家人愁得都不行咯。”“啊？年夫人，是这样啊！有道是：吉人自有天象。 年仆役壹定会早日康复の，您也别太着急咯！今天既然来咯，壹并也去看看侧福晋吧，她也病咯些日子呢。”“啊？怎么，侧福晋病咯？”“是啊！这次请您过来， 主要还是请您看看侧福晋，她前些日子精神壹直不好，后来就连带着又发咯些热，总是好好坏坏，坏坏好好，请太医看咯好些日子，也是不见好利落。王爷也是惦 记着她の病，可是爷随圣驾出京咯，临出门前，特意嘱咐咯我，请年家の人过来看看她。”“多谢王爷和福晋の大恩大德，侧福晋从小身子壹直都很弱，现在给府 里添咯很多麻烦，真是过意不去。”“哎，年夫人，这话就说得不对咯，怎么是给府里添麻烦呢。侧福晋嫁进王府来，既是侧福晋の福分，也是她与王爷の缘分， 这可是拜观音、求菩萨都拜求不来の呢。”“那老妇就谢过王爷和福晋の恩典。福晋整天要操劳の事情那么多，再多打扰，老妇实在是过意不去，要不，老妇这就 告退吧。”“也好，您先去侧福晋那里看看，有啥啊事情、想法，您就尽管说，千万别客气。”“好，老妇再次谢过福晋。”“红莲，送年夫人去怡然居。”出咯 霞光苑，年夫人几乎要淌下壹身の汗。对于排字琦拐弯抹角の提亲，她壹点儿都没有惊讶，当时收到王府小太监传来の约见口信时，年夫人早就意料到会是这各结 果，才会刚刚与排字琦进行面不改色心不跳の壹番虚情假意の唇枪舌剑。年夫人被震惊の是水清，她和年老爷都没有料到，凝儿病咯。但是现在想来，水清怎么可 能不病倒呢？壹定就是被玉盈那各丫头气得病倒咯！第壹卷 第367章 认错那壹天被苏培盛送回年府后，玉盈直接去咯年夫人の房里，年夫人正在和她の贴身丫环 倚红两人聊闲天呢。见到玉盈进来，由于已经从年峰那里晓得她去咯王府，因此急于晓得水清近况の她还不等玉盈开口就直接问道：“你怎么这么快就回来咯？看 到凝儿咯？走之前也不跟娘说壹声，娘
中点辅助线.中位线(2014-2015)-教师版
2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：×××上课时间：2014.××.××知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
秘籍三：构造三线合一自检自查必考点构造中位线解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
他位置的也要能看出一、构造三角形中位线☞考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．CEDBA C FE D BA【答案】取AC 的中点F ，连结DF ，易得12DF AB =∥，ADF BAD ADF ==∠∠∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，得AE AF =．【练1】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．E D CB A【答案】如右下图，则取AC 边中点F ，连结EF 、DF ．由中位线可得，12EF AB =且B CEF ∠=∠．DF 为Rt ADC ∆斜边上的中线，∴DF CF =． ∴CDF C ∠=∠，又∵DFE FDE CEF ∠+∠=∠，即2C DFE C ∠+∠=∠，∴DFE EDF ∠=∠，∴12DE EF AB ==，∴2AB DE =． 中考满分必做题FAB DEC【练2】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：12DE AC =． C E DB A M CN E D B A【考点】三角形的中位线，30°所对的直角边等于斜边的一半【答案】取AB 、BC 的中点，连结MN ，∵60B =︒∠，∴30BAE BCD ==︒∠∠．从而得12BE BM AB ==，12BD BN BC ==，BDE BNM △≌△，MN DE =．又因12MN AC =，故12DE AC =．【练3】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【答案】过E 作EF BC ∥交BD 于F135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=︒ ∵45DFE DBC ∠=∠=︒∴135EFB ∠=︒又∵EF BC ∥，12EF BC =，12AC BC =∴EF AC =，CE FB =∴EFB ACE ∆∆≌ ∴CEA DBE ∠=∠ 又∵90DBE DEB ∠+∠=︒ ∴90DEB CEA ∠+∠=︒ 故90AEB ∠=︒∴AE EB ⊥且AE BE =．F ABCED【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A【答案】设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得12GE BD =∥，12GF AC =∥， 从而GF GE =，GEF GFE =∠∠， 所以 AMN BNM =∠∠．【练1】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A【答案】取AB 中点H ，连接EH FH 、．∵AE =ED AH =BH ，∴12EH BD EH =BD ∥，,∴GNM HEF ∠=∠ ∵AH =BH BF =CF ，∴12FH AC FH =AC ∥，∴GMN HFE ∠=∠ ∵AC <BD ∴FH <EH∴<HEF HFE ∠∠ ∴GMN GNM ∠>∠【练2】已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．HGNMFE DCBACM FEGND B AMN AB EF DC(N )M F EDCBA【答案】取AC 的中点H ，连结HE 、HF∵F 是DC 的中点，H 是AC 的中点 ∴HF AD ∥，12HF AD = ∴AMF HFE ∠=∠同理，HE CB ∥，12HE CB =∴ENB HEF ∠=∠∵AD BC = ∴HF HE =， ∴HEF HFE ∠=∠ ∴ENB AMF ∠=∠【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【答案】取AC 中点M ，AD 中点N ．连结MF 、NF 、MB 、NE ，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有12MF AD NE ==，12NF AC MB ==，MF AD ∥，NF AC ∥，NMEDF CBA∴DNF CAD CMF ∠=∠=∠，∵BM AM =，∴MBA CAB ∠=∠．∴2BMC MBA CAB CAB ∠=∠+∠=∠．同理可证2DNE DAE ∠=∠． ∵BAC EAD ∠=∠，∴BMC END ∠=∠． ∴BMC CMF FND DNE ∠+∠=∠+∠，即BMF ENF ∠=∠，∴MBF NFE ∆∆≌，∴BF EF =．HAB ECDMN F【练1】 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．NMPFEDCBA【答案】（1）如图所示，根据题意可知DM BN ∥且DM BN =，DN AM ∥且DN AM =，所以AMD APB DNB ∠=∠=∠．而M 、N 分别是直角三角形AEP ∆、BFP ∆的斜边的中点， 所以EM AM DN ==，FN BN DM ==， 又已知DE DF =，从而DEM FDN ∆∆≌．（2）由(1)可知EMD DNF ∠=∠，则由AMD DNB ∠=∠可得AME BNF ∠=∠． 而AME ∆、BNF ∆均为等腰三角形， 所以PAE PBF ∠=∠．【练2】 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PN MCBA【答案】取AB 中点Q AC ，中点R连结PQ PR MQ NR ，，，NMPFE DCBAA12PQ AC PQ AC NR ==∥， PR AB PR MQ ∥，＝PQM PRN ∠∠＝ (两边分别垂直)∴PQM NRP PM PN ∆∆≌， ＝【练3】 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBA【答案】（1）如图所示，延长BM 交CE 于N ．因为DM EM =，CE BD ∥， 故DBM ENM ∆∆≌， 则BM NM =， 从而12MC BN MB ==．（2）结论是肯定的．取AD 、AE 的中点F 、G ， 连接FB 、FM 、MG 、GC ．由BF 、CG 是Rt ABD ∆、Rt ACE ∆斜边上的中线 可得12BF AD =，12CG AE =， 从而MF CG =，MG BF =．又因为22CGE CAE BAD BFD ∠=∠=∠=∠， MFD DAE MGE ∠=∠=∠，故BFM MGC ∠=∠， 从而BFM MGC ∆∆≌， 故MB MC =．【练4】 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；NEMDCBA MGFEDCBA（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．EDMBCAEDMBCAMBCA2014年门头沟二模 【答案】（1）MD ME = （2）如图，作DF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G 、．因为DF EG 、分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE 斜边上的高，所以F G 、分别是AB AC 、的中点． 又∵M 是BC 的中点，所以MF MG 、是ABC 的中位线． ∴12MF AC =，12MG AB =，////MF AC MG AB ，． BFM BAC MGC BAC ∴∠∠∠∠＝，＝．BFM MGC DFM MGE ∴∠∠∠∠＝．所以＝．EDMBCADF EG 、分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线，∴12EG AC =，12DF AB =． MF EG DF NG ∴＝，＝．DFM MGE ∴≌． DM ME FMD GEM ∴∠=∠＝． F M G G M E G E M M G C G∠+∠=∠+∠+∠ 图24-1图24-2图24-390EG AC EGC ⊥∴∠=︒018090GEM MGC GME EGC DME ∠+∠+∠+∠=∴∠=︒（3）作图正确得一分 等腰直角三角形．【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NM EDCBA【答案】（1）AM DE ⊥，12AM DE =; （2）结论仍然成立。
梯形中位线
定义
定理
面积
问题
建湖县建阳中学
数学是思维的体操! 勇于尝试,我们就能成就 更多，学到更多!
——与同学们共勉
建湖县建阳中学
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AD
MN
B
GC
变式
建湖县建阳中学
A
智力大冲浪
E
F
A
D
E
F
B
EF∥BC,
EF
1C BC
2
AD
B
C
EF∥BC, EF AD BC
D
A
E
F
EF
B
EF∥BC,
EF
1
C
( AD
B
EF∥BC, EF BC )
1 2
C
(BC
AD)
2
建湖县建阳中学
★ 知道了梯形的中位线的定义 ★ 会用转化的思想来证明梯形中位线定理 ★ 梯形的第二种面积公式 ★ 利用梯形中位线定理来解决一些数学问题
演示1
建湖县建阳中学
EF∥BC EF= 1(AD+BC)
2
①准备好梯形硬纸片,折出梯形的中位线. A
D
②用剪刀对梯形剪下一块,再拼成一 个三角形,并且使梯形的中位线成为 E
F
三角形的中位线.
B
C
演示2
建湖县建阳中学
梯形
梯形的中位线平行于两底，并且等
中位线定理 于两底和的一半
已知:梯形ABCD中,AD∥BC, A D
梯形的中位线平行于两底，并且等
中位线定理 于两底和的一半
已定知理:的梯符形号AB语C言D中：,AD∥BC, A D
三角形中位线定理
24
cm
A
C
【例题】求证：顺次连结四边形四条边的中点， 所得的四边形是平行四边形。 证明： 连结AC D H A
∵AH=HD，CG=GD
E B F
G
∴HG//AC，HG=1/2AC
C
（三角形中位线定理） 同理：
EF//AC，EF= 1/2AC 已知：在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点。求证：四边形EFGH是 ∴ EF//HG， 且EF=HG 平行四边形。
A
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
D。
。E
则∠B=
60
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
B 图1 C
4 则DE= ______ cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别
B D。 。F 5 3 。 图2 E 4
是各边中点， EF=3cm，DF=4cm， DE=5cm，
A E
B
D
C
2013年4月22日
A、B两地被池塘隔开，现在要测量出A、B两地间的距离 但又无法直接去测量，怎么办？这堂课，我们将一起探究 一种看似不能完成却可以完成的测量的方法。
如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的 中点D、E，如果能测量出DE的长度，那么就能知道AB的距离吗？。 A
D E
DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
B
C
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半 已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC A 证明：延 长DE 到 F，使EF=DE ,连 结CF. D E
空间立体图形的中位线与高
空间立体图形的中位线与高一、空间立体图形的中位线1.定义：在空间立体图形中，连接任意两个对边中点的线段称为中位线。
（1）中位线平行于原对边。
（2）中位线等于原对边的一半。
（3）中位线将原对边平分。
（1）在棱柱中，连接上下底面对边中点的线段是棱柱的对角线。
（2）在棱锥中，连接顶点与底面对边中点的线段是棱锥的高。
二、空间立体图形的高1.定义：在空间立体图形中，从顶点垂直于底面的线段称为高。
（1）直高：垂直于底面的直线段。
（2）斜高：不垂直于底面的直线段。
（1）在棱柱中，所有的高都相等。
（2）在棱锥中，所有的高都相等。
（3）在正多面体中，所有的高都相等。
（1）求棱柱、棱锥的体积。
（2）求多面体的表面积。
（3）解决几何度量问题。
三、中位线与高的关系1.在棱柱中，中位线和高互相垂直。
2.在棱锥中，中位线和高互相垂直。
3.在正多面体中，中位线和高互相垂直。
通过以上知识点的学习，我们可以更好地理解和解决空间立体图形的相关问题。
习题及方法：一、习题1：已知正方体的棱长为a，求正方体的对角线长。
1.画出正方体的直观图。
2.连接对角线AC’。
3.由于AC’是正方体的对角线，所以AC’等于棱长的根号3倍。
4.因此，正方体的对角线长为a√3。
二、习题2：已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求长方体的对角线长。
1.画出长方体的直观图。
2.连接对角线AC’。
3.利用勾股定理，得到AC’的长度为√(a²+b²+c²)。
4.因此，长方体的对角线长为√(a²+b²+c²)。
三、习题3：已知棱柱的底面是一个等边三角形，边长为a，求棱柱的对角线长。
1.画出棱柱的直观图。
2.连接对角线AC’。
3.由于AC’是棱柱的对角线，所以AC’等于底面边长的根号3倍。
4.因此，棱柱的对角线长为a√3。
四、习题4：已知棱锥的底面是一个等边三角形，边长为a，求棱锥的高。
1.画出棱锥的直观图。
云南中考数学 22_第22讲 三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
实战预测 1.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6 cm,BC=8 cm,则EF的长为1 cm.
类型二 直角三角形斜边上的中线性质
例2如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中点,F为CD上的一点,
且CF= 1 CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,则BE的长为A.
定义:三角形两边中点之间的线段叫做三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的中位线
性质
图形语言
文字语言
符号语言
三角形的中位线平行并且等于第 ∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥B
三边的一半
1
C,DE= 2 BC
即学即练 1.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于 点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为 ( A )
精讲案·学易
类型一 三角形中位线的性质
例1(2018曲靖)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D、E分别是AB、BC的中
点,连接DE、CD,如果DE= 52 ,那么△ACD的周长是18.
命题思路 本题主要考查三角形的中位线的性质、勾股定理的逆定理、直 角三角形斜边上的中线的性质. 失分警示 判断△ABC是直角三角形是本题的解题关键.
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶1
命题点二 直角三角形斜边上的中线性质
3.(2014昆明)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10 cm,点D为AC的中点,则
BD=5cm.
探疑难·知易
易错题如图所示,锐角△ABC中,BE,CF均为高,点M,N分别为BC,EF的中点.求 证:MN⊥EF.
解 (1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点, ∴ED是Rt△ABC的中位线,∴ED∥FC,∴BC=2DE, 又EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形. (2)由(1)可知DC=EF,DE=CF, ∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴AB=2DC,∴四边形DCFE的周长=AB+BC, ∵四边形DCFE的周长为25 cm,AC的长为5 cm, ∴BC=25-AB, ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13 cm.
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2：如图，任意四边形ABCD，E、F分别是对
边AD、BC的中点，求证：EF ≤（1AC+BD）
2
3：已知，在四边形ABCD中，E,F是AB、CD的中点，
延长AD和BC分别与EF的延长线交于点M、N，且 ∠AME=∠BNE。求证 ：AD=BC
五 拓展延伸
1：如图，在四边形ABCD中，AC与BD 相交于点E，BD=AC，M、N分别是AD、 BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G， 求证：EF=EG
在△ABF和△ECF中
∠BAF＝∠CEF AB＝CE ∠ABF＝∠ECF
∴BF＝CF
∵OA＝OC ∴OF是△ABC的中位线
∴AB＝2OF
例1：方法2
证明：连接BE
∵四边形ABCD是平行四边形
A
D
∴AB//CD,AB=CD,OA＝OC ∵CE＝DC
O G
∴AB＝CE
B
∴四边形ABEC是平行四边形
F
C
C
H
DE G
N
MF
A
B
2.如图,点P是四边形ABCD的对角线BD的中点,E,F分
别是AB,CD的中点,AD=BC,∠CBD=45°，∠ADB=105°,
PF=4，求EF的值。
解：连接PE
∵P、E分别为BD、AB的中点
∴PE∥AD，且PE＝1/2AD ∴∠ADP＋∠EPD＝180°
G
∴∠EPD＝75°
四 活学活用
1. △ABC中，点D为AB的中点，连DC，过AC的中点E作 EF//CD，交BC的延长线于点F，若EF＝CD。 求证：BC＝2CF 证明：连接DE
∵点D为AB的中点，点E为AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线 ∴BC＝2DE ∴四边形DCFE为平行四边形 ∴DE＝CF
∴BC＝2CF
连接两边中点构造三角形中位线
∴PG＝1/2PF=2
4 3
1.三角形的中位线定义.
2.三角形的中位线定理.
3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三 边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角 形中给出一边的中点时，通常要转化为中位线.
4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.
∵F、P为CD、BD中点
∴PF∥BC，且PF＝1/2BC，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°
FG PF2 PG2
∵AD＝BC
42 22
∴PF＝PE，且∠EPF＝75°＋45°＝120° ∴∠PEF＝∠PFE=(180°-∠EPF）＝30°
2
3
过P作PG⊥EF于点G，则EF＝2FG
EF 2 2 3
∴BF＝CF
∵OA＝OC
E
∴OF是△ABC的中位线
∴AB＝2OF
三角形的中位线定理不仅给出了 中位线与第三边的位置关系，而 且给出了他们的数量关系，在三 角形中给出一边的中点时，通常 要转化为中位线来解决问题.
例2.如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线。
求证：AD、EF互相平分。
A
且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结
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AC交BD于O，连结OF。求证：AB=2OF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,OA＝OC ∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF ∵CE＝DC
A
D
GO
BF
C
在□ABCD中，CD＝AB
∴AB＝CE
E ∴△ABF≌△ECF（ASA）
∴EH、FG分别是⊿ABD 和⊿CBD的中位线。 ∴EH∥BD， EH 1 BD
2
FG∥BD，FG 1 BD
2
∴EH∥FG， EH FG
A E
B
F
H
C
G
D
∴四边形EFGH为平行四边形
归纳
任意四边形四边中点连线所得的四 边形一定是平行四边形。
三 典型例题
例1.已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，
第十八章 平行四边形
三角形的中位线（二）
情境 新知 典型 活学 拓展 引入 探究 例题 活用 延伸
学习目标 1. 能够运用中位线进行有关的证明和计算。 2. 进一步提高几何推理能力。
一 情境引入 三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
1 ∴ DE∥BC， DE= 2 BC. E 现在若已知中点，你 会想到什么呢？
B
A D C
二 新知探究 如图四边形ABCD中，E、F、G、H分别
是四边的中点。试判断四边形EFGH的形状，并说明理由。
分析：见中点，构造中位线。 解：四边形EFGH是平行四边形
证明：连接BD ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点
证明：连接DE、DF
∵EF是中位线，AD为中线，
∴E、D、F分别为AB、BC、AC的中点 E
F
∴ED、FD是△ABC的中位线
∴DE∥AF，DF∥AE ∴四边形AEDF为平行四边形
B
∴AD与EF互相平分
DC
例题3.在⊿ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，直线
BE交AC于F。求证：AF= 1FC
2
A
证明：取BF的中点G，连接DG
∵D是BC的中点 ∴DG是△BCF的中位线
∴DG＝1/2CF DG∥AC
E
F
G
∴∠GDE＝∠FAE
B
C
∵E是AD的中点
D
∴AE＝DE
在△AEF和△DEG中
∠GDE＝∠FAE
AE＝DE ∠AEF＝∠DEG
∴△AEF≌△DEG（ASA）
∴AF=DG
∴AF＝1/2CF
小结：已知条件中有中点，常取 某一边中点，构造三角形中位线， 运用三角形中位线性质定理证明 某些线段相等或角相等。