第一节 定积分的引例与概念2013-2-27修改

提问：1.1?dx x=⎰1?dx x=⎰2.d sin cos x x x c =+⎰对吗？3.2d arc 1arctan cot xx c x c x =+=-++⎰ 对吗？4.求导与不定积分什么关系？5.数列n x 与n y 的极限分别为A 与B ,且A B ≠,则数列112233,,,,,,x y x y x y ⋅⋅⋅的极限为( )(A) A ； (B) B ； (C)A B +； (D)不存在6.函数 21sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处是否连续? 是否可导?7.函数1ln y x=的间断点有【 】. (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 8．函数()|1|f x x =- 【 】.(A )在1x =处连续可导 (B )在1x =处不连续 (C )在0x =处连续可导 (D )在0x =处不连续 9．设()(1)(2)(3)f x x x x =---,则方程()0f x '=有【 】个实根.(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 10．设(ln )1f x x '=+,则()f x = 【 】.(A)e xx C ++ (B)e 212xx C ++ (C)21ln (ln )2x x C ++ (D)e e 212xx C ++ .提示：ln (ln )11xf x x e '=+=+11.设()e xf x -=,则d (ln )f x x x'=⎰【 】.(A)1C x -+ (B)1C x+ (C)ln x C -+ (D)ln x C + 12.函数()y f x =与1y x =-的图形关于直线y x =对称,则()f x =【 】.(A) 1(1)x x --≥; (B) 2 1 ()x x +-∞<<+∞; (C) 2 1 (0)x x +≤; (D)2 1 (0)x x +≥.13.若1sin[(1)],(0),ax e x x π--→ 则常数a = . 14.设()sin f x dx x C =+⎰，则2()xf xdx =⎰ .15.在0x x →时，下列说法不正确的是【 】（A ）两个无穷小之积为无穷小量； （B ）两个无穷大之积为无穷大量； （C ）两个无穷小之和为无穷小量； （D ）两个无穷大之和为无穷大量.16.设()sin f x x ''=，则下列选项中【 】是()f x 的原函数.(A)1sin x +；(B)1sin x -；(C)1cos x +；(D)1cos x -.第六章 定积分及其应用§6.1 定积分的引例与概念教学目的：了解定积分的概念；理解定积分的几何意义并能利用定积分的几何意义计算简单图形的面积或由图形的面积计算定积分；了解用定义求定积分的方法.重点：定积分的概念的理解，利用几何意义计算积分. 难点：用定积分定义求定积分的方法.教学过程：一、问题提出（引例） 1、曲边梯形面积例1 计算抛物线 2y x =，直线 1x =和x 轴所围成的曲边三角形 的面积.如图：用点1210,,,,,1n n n n- 把区间[0,1]分成n 个相等的小区间，则小阴影矩形面积的总和为（在左端点做高）22211121110()()()n n S n n n n n n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 22231[12(1)]n n =+++- 31(1)(21)6n n n n --=⋅ 31(1)(21)6n n n n --=⋅111(1)(1)32n n =--. 这个值可以作为曲边三角形0AB 的近似值. 当分点越来越多时近似程度越高， 当n →∞时，极限1111lim lim (1)(1)323n n n S n n →∞→∞=--= 为曲边三角形0AB 的面积.(1)曲边梯形:由连续曲线()y f x =(()0)f x ≥,[,]x a b ∈、x 轴与两条直线x a =、x b =所围成的图形.(2) 计算曲边梯形面积的思路： 用矩形面积近似取代曲边梯形面积.显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积．)(x f y =a xyOAb)(x f y =axyO b A )(x f y =a xyOb A(3) 具体计算曲边梯形面积的步骤 如图：在区间[,]a b 内任意插入 若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=， 把区间[,]a b 分成n 个小区间1[,]i i x x -，长度为1i i i x x x -∆=-, 在每个小区间上任取一点i ξ,以1[,]i i x x -的边为底,()i f ξ为高的小矩形面积为()i i i A f x ξ=∆, 曲边梯形面积的近似值为1()ni i i A f x ξ=≈∆∑,当分割变细即小区间的最大长度12max{,,}0n x x x ∆=∆∆∆→ 时,有1lim ()ni i i A f x ξ∆→==∆∑.2、变速直线运动的路程(1) 路程问题:设某物体作直线运动,已知速度()v v t =是时间间隔12[,]T T 上t 的一个连续函数,且()0v t ≥,求物体在这段时间内所经过的路程s . (2) 计算思路：把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.i s ∆1T 2T 1-i t i t i t ∆)(t v xyO )(x f y =A1x 0x a =2x bx n =1-n x 1-i x ix 1ξ2ξi ξn ξ(3) 计算变速直线运动的路程在区间12[,]T T 内任意插入若干个分点101212n n T t t t t t T -=<<<<<= ，把区间12[,]T T 分成n 个小区间1[,]i i t t -长度为1i i i t t t -∆=-,在每个小区间上任取一时刻i τ,以i τ为时的速度)(i v τ近似代替1[,]i i t t -上的平均速度,得到相应路程的近似值()i i i s v t τ∆≈∆,物体运动路程的近似值为 1()ni i i s v t τ=≈∆∑,当分割变细即小区间的最大长度12max{,,}0n t t t ∆=∆∆∆→ 时,有1lim ()ni i i s v t τ∆→==∆∑.3.收益问题：设某商品的价格是P 是销售量x 的函数()P P x =，则当销售量从a 变到b 时的收益计算类似于上述计算方法，先通过分割表示出每个销售量段上的收益近似值，再累加后求极限。

上述两个问题不同，但解决的方法是相同的.都归结为同一结构的分割、近似替代、求和、取极限四个环节.还有很多问题也可归结为这类极限问题，这就是本章要研究的定积分问题.二、定积分概念与性质1．定积分的定义【定义6.1】 若函数()f x 是定义在[,]a b 上的有界 函数，用点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=将[,]a b 任意分割成n 个小区间1[,]i i i x x -∆=（1,2,,.i n = ），其长度1i i i x x x -∆=-（1,2,,.i n = ），在每个小区间1[,]i i i x x -∆=上任取一点i i ξ∈∆,（1,2,,.i n = ）作乘积（积分元素）()i i f x ξ∆（1,2,,.i n = ），总和1()nn iii S f x ξ==∆∑称为积分和．)(x f y =xyO 1x 0x a =2x b x n=1-n x 1-i x i x 1ξ2ξi ξnξ若n →∞时，最大小区间的长度111max{}max{}0i i i i ni nx x x -≤≤≤≤∆=∆=-→，此时若有 ||||0||||01lim lim()nn iii S f xJ ξ∆→∆→==∆=∑存在，且此极限与[,]a b 的分法以及点i ξ的取法无关，则称()f x 在[,]a b 上可积，此极限称为()f x 在[,]a b 上的定积分,记作()baf x dx ⎰,即1()lim ()nbi ai f x dx f x ξ∆→==∆∑⎰.其中：① ()f x 称为被积函数；② ()f x dx 称为被积表达式. ③ x 称为积分变量,④ ,b a 称为积分上、下限； ⑤ [,]a b 称为积分区间.注意：(1)定义中的极限必须是与区间[,]a b 的分法以及小区间i ∆中的介点i ξ选取无关的一个确定值．例如:狄利克雷函数1,()0,\x QD x x R Q ∈⎧=⎨∈⎩在[0,1]上不可积.因为：i ξ选有理点时()1i f ξ=,选无理点i ξ时, ()0i f ξ=.注意：无界函数不可积分.(因为适当选点可以使极限不存在) (2)定积分只与积分区间以及被积函数有关，与积分变量无关.变量x 也可以换成其他字母如t 、u 等等,即 ()()bbaaf x dx f t dt =⎰⎰.(3)规定 ①()0aaf x dx =⎰；②()()abbaf x dx f x dx =-⎰⎰, a b <.(4)积分定义采用了：“分割—近似替代—求积分和—取极限”四步2.定积分的几何意义：由连续曲线()y f x =(()0)f x ≥，其中[,]x a b ∈、 直线x a =、x b =及0y = (x 轴) 围成的曲边梯形的面积就是()baf x dx ⎰.提问：若函数在x 轴的下方，由连续曲线()y f x =(()0)f x <，其中[,]x a b ∈、直线x a =、x b =及0y = (x 轴)围成的曲边梯形的面积是什么？ 如图面积如何求？3.定积分存在定理(1)【定理】设()f x 在[,]a b 上有界,且最多只有有限个间断点时,则()[,]f x R a b ∈.(证明略,可参看华东师范大学《数学分析》)(有界是函数可积的必要条件)(2)【推论】① ()[,]f x C a b ∈⇒()[,]f x R a b ∈. ② ()[,]f x C a b ∈⇒|()|[,]f x R a b ∈. 结论：无界函数是不可积的，即函数()f x 有界是可积的必要条件.三、定积分定义的应用 例1 计算12x dx ⎰.解：(1) 令2()[0,1]f x x C =∈,因此()[0,1]f x R ∈.(2) 取∆为[0,1]的n 等分. 此时有11[,][,]i i i i ix x n n--∆==, 1i x n ∆=∆=,1,2,,.i n = (3) 取i i i ix nξ==∈∆（1,2,i n = ）于是22311111[,]()()n nn i i i i i i S f x i nn n ξξ===∆=∆==∑∑∑3211(1)(21)(1)(21)66n n n n n n n ++=⋅++=(4)12||||0lim [,]x dx S ξ∆→=∆⎰2(1)(21)21lim663n n n n →∞++===.其中：22212n +++= 1(1)(21)6n n n ++.33312n +++ 2221(12)(1)4n n n =+++=+ .例2 计算21xdx -⎰.解:令()[1,2]f x x C =∈-,因此()[1,2]f x R ∈-. 将[1,2]-n 等分.则13(1)3[1,1[,]]i i i i ix n n x ---+-+∆==，3i x n∆=, （1,2,i n = ） 取31i i i ix nξ==-+∈∆,于是有 21113339()(1)()n n ni i i i i i if x n n n n ξ===∆=-+=-+∑∑∑ 21xdx-⎰2213993lim ()lim[3(12)]2nn n i i n n n n →∞→∞==-+=-++++=∑ .例3 计算1x e dx ⎰.解:令()[0,1]xf x e C =∈,因此()[0,1]f x R ∈.将[0,1]进行n 等分.11[,][,]i i i i ix x n n --∆==，1i x n ∆=,1,2,,.i n =取i i i ix nξ==∈∆, 于是有11111[1]1()1n i nnn nni i i i ne ef x en ne ξ==-∆==⋅-∑∑ 1x e dx ⎰1111(1)[1]1limlim 11n nnn n n ne e e n ne e →∞→∞-⋅-=⋅=--1001(1)lim(1)lim11t nttt t te e e e e =→→=-=-=---罗必达法则. 例4 用定积分计算下列极限 （2012.2.4-10）22222111lim ()12n n n n n n →∞+++=+++ .提示：原式222222221lim()12n n n n n n n n n →∞=++++++2221111lim 121()1()1()n n nn n n →∞⎛⎫=+++ ⎪+++ ⎪⎝⎭ 120114dx x π==+⎰.即12222110111lim lim 11nnn n i i ndx n i n xi n →∞→∞===⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑⎰ 10arctan |4x π==.(2) 11111lim lim 1nnn n i i i n i n n→∞→∞===⋅++∑∑ 11001ln 1|ln 21dx x x ==+=+⎰. (3) 122201211lim()lim n n n i n i n n n n n -→∞→∞=-+++=⋅∑ 1xdx =⎰21011|22x ==. (4) 12(1)lim [sin sinsin ]n n n n n nπππ→∞-+++ 1(1)1lim sin nn i i n n π→∞=-=⋅∑ 110012sin cos |xdx x ππππ==-=⎰.例5 利用定积分的几何意义计算下列积分(画出图形) (1)121xdx =⎰(2)12014x dx π-=⎰(3)sin 0xdx ππ-=⎰(4)222cos 2cos 2xdx xdx πππ-==⎰⎰例6(98.1.6') 求极限 2sinsinsin lim()1112n n n n n n nπππ→∞++++++解:因为2sin sin sin ()1112n n n n n n πππ++++++ 1sin 1n k k n n nπ==+∑ 又因为111sin11sin sin 111n nn k k k k n k n k n n n n n nn n n nπππ===⋅≤≤⋅+++∑∑∑ 且lim lim 111n n n n n n n→∞→∞==++, 11012lim sin sin nn k k xdx n n πππ→∞=⋅==∑⎰ 故 由夹逼原理知2sinsinsin lim()1112n n n n n n n πππ→∞++++++ =1sin 2lim 1nn k k n n nππ→∞==+∑. 小结：1. 采用了：“分割—近似替代—求积分和—取极限”四步曲 求定积分时极限必须是与区间],[b a 的分法以及小区间i ∆中的介点i ξ选取无关的一个确定值．2. ],[)(b a C x f ∈或()f x 在[,]a b 上有界且只有有限个间断 点时⇒],[)(b a R x f ∈.3. 定积分只与积分区间以及被积函数有关，与积分无关.4.⎰⎰=baba dt t f dx x f )()(,0)( =⎰aadx x f ,⎰⎰-=baa bdx x f dx x f )()(5. 定积分(),(()0)aaf x dx f x ≥⎰的几何意义：由曲线)(x f y =、直线a x =、b x =及0=y 围成的曲边梯形的面积.6. (1)利用定积分定义计算定积分较麻烦,是否有简便方法? 大家可思考；(2)利用定积分的几何意义可以简化某些定积分 计算；(3) 某些极限的计算可以转化为定积分计算．课后记：利用定义求定积分关键是小区间上点i ξ的取法；数列和的极限有时可以转化为定积分的计算；利用几何意义计算定积分是一个很好的方法，关键要知道所给定积分表示的是什么图形的面积．存在问题是定义理解不到位，用定义不知如何下手计算． 1-3节补充练习1、利用定积分的几何意义,计算下列各式的值： (1)1210 =⎰xdx ； (2)4112π=-⎰dx x ；(3)0sin =⎰-ππxdx ；(4)⎰⎰=-222cos 2cos πππxdx xdx .2、用定积分表示下列极限：(1) ∑=∞→+ni n i n n 122lim ; (2) ∑=∞→+ni n i n 11lim : 3、估计下列积分的值： (1) ⎰-412)1(dx x ；(2) ⎰+4542)cos 1(ππdx x ；(3)⎰331 arctan xdx x ；(4) ⎰-022dx e xx.4、比较下列各题中的两个积分的大小： (1) ⎰=10 21dx x I ,⎰=142dx x I ；(2) ⎰=43 1ln xdx I ,⎰=4332)(ln dx x I ；(3) ⎰=11dx e I x ,⎰+=12)1(dx x I .。