高等数学教学课件：v-11-3-2008
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高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
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高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
高数第十一章课件第一节
课件目录
课程简介
课程目标
课程内容
课程安排
课程考核
参考资料
课件简介
主题：高数第十一 章课件第一节
内容：介绍高数第 十一章的基本概念、 定理和公式
目的：帮助学生理 解高数第十一章的 内容，提高学习效 率
适用人群：高数第 十一章的学习者
课件内容
第三章
知识点梳理
极限的四则运算法则
函数极限的定义和性质
高数第十一章课件 第一节
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 课件概览 03 课件内容 04 课件特色
05 课件使用建议
单击添加章节标题
第一章
课件概览
第二章
课件封面
● 课程名称：高数第十一章课件第一节
● 授课教师：XXX
● 授课时间：XXXX年XX月XX日
● 课程内容： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高数3ppt课件
x1, x2 , , xn , 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
(2)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
2
1
x1 x
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
的图上看,
( x1
1 10
x3
•••
(••x• 2n••-1••
(•••
x2n
*•••)•••• •••
)•••x4
1 103
1 102n1
0
1
1
102n
104
x2
1 102
)
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
第二章 极限和连续
本章学习的主要内容：
极限的概念、性质和运算法则 无穷小量的性质
两个重要极限
函数的连续性概念
第二章 极限和连续
第一节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列的极限的定义 三、数列极限的性质
一、数列概念
引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正 6 2n 1边形的面积 An 来逼近圆的面积A. 先作圆的内接正六边形，其面积记作 A1 再作内接正十二边形，其面积记作 A2
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
(2)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
2
1
x1 x
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
的图上看,
( x1
1 10
x3
•••
(••x• 2n••-1••
(•••
x2n
*•••)•••• •••
)•••x4
1 103
1 102n1
0
1
1
102n
104
x2
1 102
)
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
第二章 极限和连续
本章学习的主要内容：
极限的概念、性质和运算法则 无穷小量的性质
两个重要极限
函数的连续性概念
第二章 极限和连续
第一节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列的极限的定义 三、数列极限的性质
一、数列概念
引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正 6 2n 1边形的面积 An 来逼近圆的面积A. 先作圆的内接正六边形，其面积记作 A1 再作内接正十二边形，其面积记作 A2
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
高等数学(第二版)教学课件11-2
所以
2
y2
xyd
dy
1
y2
xydx
D
1 2
2 1
y
y
22
y4
dy
1 2
1 5
y5
1 3
y3
2y2
4
y
2 1
45 8
例2
计算累次积分
1
1
dx sin
0
x
y2 dy
解
由于
1
x
sin
y
2
dy
这个积分的原函数不能表示为
一个初等函数，因此无法直接计算，为此我们需
要交换积分次序。首先确定积分限
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
0 1 2
4 1
x
x
x
22
dx
1 2
1 4
x4
5 3
x3
2x2
4 1
45 8
方法2： 将区域D是水平型区域，D可表示为
D (x, y) | y 2 x y 2, 1 y 2
2
d
a e2 d
0
0
D
D
2 0
1 2
e2
a
0
d
1 2
1 ea2
2
d
0
1 ea2
由于积分 ex2dx 不能用初等函数表示，本题如
果用直角坐标计算，则无法算出结果。
下面我们用上面的结果来计算概率论中常用的反
常积分
＋ e x2 dx.
0
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
《高等数学下教学资料》11-3.0
n
un
0,
则交错级数 (1)n1un收敛且余和的绝对值 n1
rN 电气学(院1学)n习1u部n 资料uN库1 . nN 1
证明: un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) 数列 s2n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1 数列 s2n是有界的 ,
例1. 判断交错级数 (1)n1
1 的敛散性.
n2
ln n
解: 1 单调递减, 且 lim 1 =0,
ln n
n ln n
故由Leibnitz判别法知交错级数 (1)n
1 收敛.
n2
ln n
i
例2. 讨论级数 (1)n1(1 - e n )的敛散性.
解:
i
由于e n
n1
cos
1
i sin
1
,故
级数
1
发散,由比较判别法知级数
1 发散,
n1 n
n1 ln n
所以
in
也发散.
n1 ln n
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另一方面,
in
(1)k
1
i (1)k
1,
n1 ln n k 1
ln(2k ) k0
ln(2k 1)
而
1 和 1 关于k单调减少,
ln(2k) ln(2k 1)
lim 1 0, lim 1 =0,
1 n
in
(1) sin , (2)
n1 n
2
n1 n
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二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意
un
0,
则交错级数 (1)n1un收敛且余和的绝对值 n1
rN 电气学(院1学)n习1u部n 资料uN库1 . nN 1
证明: un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) 数列 s2n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1 数列 s2n是有界的 ,
例1. 判断交错级数 (1)n1
1 的敛散性.
n2
ln n
解: 1 单调递减, 且 lim 1 =0,
ln n
n ln n
故由Leibnitz判别法知交错级数 (1)n
1 收敛.
n2
ln n
i
例2. 讨论级数 (1)n1(1 - e n )的敛散性.
解:
i
由于e n
n1
cos
1
i sin
1
,故
级数
1
发散,由比较判别法知级数
1 发散,
n1 n
n1 ln n
所以
in
也发散.
n1 ln n
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另一方面,
in
(1)k
1
i (1)k
1,
n1 ln n k 1
ln(2k ) k0
ln(2k 1)
而
1 和 1 关于k单调减少,
ln(2k) ln(2k 1)
lim 1 0, lim 1 =0,
1 n
in
(1) sin , (2)
n1 n
2
n1 n
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二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意
高等数学武大社课件第三章导数与微分
ห้องสมุดไป่ตู้
定义2 设函数y=f(x)在点x0的某左（右）邻域内有定义，若
存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在,记作f′-(x0)(f′+(x0)). 函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数.
显然，当函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论：
f′(x0)
f′-(x0)和右导数f′+(x0)存在并且相等.
第一节 导数的概念
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抛开这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
一、导数概念的两个引例 为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论以下两 个问题：速度问题和切线问题. 1. 变速直线运动的瞬时速度 我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何 时刻的速度可由公式
v=s/t
第一节 导数的概念
来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀 速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1 ］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即 时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我 们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均 速度记作v，得
高等数学
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第三章 导数与微分
• 第一节 导数的概念 • 第二节 函数的求导法则 • 第三节 高阶导数 • 第四节 相关变化率 • 第五节 函数的微分
定义2 设函数y=f(x)在点x0的某左（右）邻域内有定义，若
存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在,记作f′-(x0)(f′+(x0)). 函数的左(右)导数，又称函数的单侧导数.
显然，当函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论：
f′(x0)
f′-(x0)和右导数f′+(x0)存在并且相等.
第一节 导数的概念
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抛开这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
一、导数概念的两个引例 为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论以下两 个问题：速度问题和切线问题. 1. 变速直线运动的瞬时速度 我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何 时刻的速度可由公式
v=s/t
第一节 导数的概念
来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀 速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1 ］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即 时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我 们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均 速度记作v，得
高等数学
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第三章 导数与微分
• 第一节 导数的概念 • 第二节 函数的求导法则 • 第三节 高阶导数 • 第四节 相关变化率 • 第五节 函数的微分
高等数学《极限与连续-绪论》课件
2 x 2
. x0
3.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则 运算和有限次复合所构成的可用一个式
子表示的函数,称为初等函数.
4.双曲函数与反双曲函数（自学）
内容小结
1. 预备知识
2. 函数的定义
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 复合函数、初等函数
作业: P1 1.1 课后作业: 书上习题1.1
1 x sin
(1) y e 1x (2) y (arctan sin3 x )3 解 (1)由y eu , u sinv, v w , w 1 x 复合而成
1 x
(2) y u3 , u arctan v, v w , w t 3 , t sin x
复合而成.
例3 设 x2
若M2 , x X , 有 f ( x) M2成立, 则称f ( x)在X上有下界
可以证明（课后完成） f (x) 在 X上有界 f (x) 在 X上既有上界又有下界
如: y sin x 在 ,内有界.
例1: 试证
y 1 在1,2内有界,在0,1内无界.
x
证: (1) x 1, 2, 1 1 y 1 在1, 2内有界.
预习：数列的极限 、函数的极限
U(a, ) a ,a x x a
{x a x a }
a
a
a x
去心邻域: U 0 (a, ) x 0 x a , 0
3. 极坐标系
P
O称为极点, Ox称为极轴,
M
MM点点的的直极角坐坐标标记记为为MM((,x,y)或) (r, )
是射线OP上由O到M的距离
y tan x
余切函数
y cot x
高等数学精品课程说课-PPT课件
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二、高等数学的教学目标
（1）知识培养目标：通过本课程学习，使学生掌握高等数学的基本概念、 基本理论和基本运算。 （2）能力培养目标：通过本课程学习，培养学生比较熟练的运算能力、 综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，培养具有一定理论知 识和较强实践能力，面向基层、面向生产、服务和管理第一线职业岗 位的实用型、技能型人才。 （3）情感培养目标：通过本课程学习，培养学生坚强的意志、踏实的工 作精神、办事认真的态度、团结协作精神，提高数学文化素养。
背景来源——面积的计算
矩形的面积定义为两直角边长度的乘积！ 闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这 些“边角余料”无外乎是下图所示的 “典型图形”（必要时可旋转）
一般图形的面积是什么？
我们把这样的“典型图形”称为 “曲边多边形”
“曲边多边形”面积的计算问题就产生了定积分
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教学方法
• 教学方法是教师为教学任务所采用的手段，对实现教学目的有重要意义 是受教学目的、教学内容所制约的。 根据高等数学的教学内容及教学目的我们在教学中常采用的教学方法有;讲 授法、谈话法、演示法、读书指导法、练习法、多媒体教学等方法。 基本概念、基本定义、教学重点、教学难点常采用讲授法。在教学中有时采 用引进实际例子，分析和解决实际问题的方法抽象或建立数学模型即数 学概念或定义（函数、导数、定积分）。并应用他们及其性质去解决实 际问题以提高学生学习数学的兴趣，培养学生抽象思维的能力。基本概 念、基本定义、性质的应用常采用谈话法和练习法。在作习题时要强调 不仅要知道“其然”而且要知道其“所以然”，提高学生分析问题和解 决问题的能力。 还要用到一种其它学科不常用的教学方法“数型相结合”的教学方法。使学 生看到数学作为一种工具的魅力。定积分在几何上的应用（用代数方法 解决几何问题）
二、高等数学的教学目标
（1）知识培养目标：通过本课程学习，使学生掌握高等数学的基本概念、 基本理论和基本运算。 （2）能力培养目标：通过本课程学习，培养学生比较熟练的运算能力、 综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，培养具有一定理论知 识和较强实践能力，面向基层、面向生产、服务和管理第一线职业岗 位的实用型、技能型人才。 （3）情感培养目标：通过本课程学习，培养学生坚强的意志、踏实的工 作精神、办事认真的态度、团结协作精神，提高数学文化素养。
背景来源——面积的计算
矩形的面积定义为两直角边长度的乘积！ 闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这 些“边角余料”无外乎是下图所示的 “典型图形”（必要时可旋转）
一般图形的面积是什么？
我们把这样的“典型图形”称为 “曲边多边形”
“曲边多边形”面积的计算问题就产生了定积分
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教学方法
• 教学方法是教师为教学任务所采用的手段，对实现教学目的有重要意义 是受教学目的、教学内容所制约的。 根据高等数学的教学内容及教学目的我们在教学中常采用的教学方法有;讲 授法、谈话法、演示法、读书指导法、练习法、多媒体教学等方法。 基本概念、基本定义、教学重点、教学难点常采用讲授法。在教学中有时采 用引进实际例子，分析和解决实际问题的方法抽象或建立数学模型即数 学概念或定义（函数、导数、定积分）。并应用他们及其性质去解决实 际问题以提高学生学习数学的兴趣，培养学生抽象思维的能力。基本概 念、基本定义、性质的应用常采用谈话法和练习法。在作习题时要强调 不仅要知道“其然”而且要知道其“所以然”，提高学生分析问题和解 决问题的能力。 还要用到一种其它学科不常用的教学方法“数型相结合”的教学方法。使学 生看到数学作为一种工具的魅力。定积分在几何上的应用（用代数方法 解决几何问题）
《高等数学教学课件》第十章.10.1-10.253页PPT
, 1 2
(sigma(西格玛) 小写σ 大写Σ) n
分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线
平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体．当这些小闭区域的直径很小时，
这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体．在每个
i(i1,2, ,n) 中各任取一点 p(i ,i )
以f(i ,i ) 为高,底为 i 小平顶柱体体积为:
第一节 二重积分的概念与性质
• 二重积分的引入 • 二重积分的概念 • 二重积分的性质
一、问题的提出 1．平顶柱体的体积 =底面积× 高 特点：平顶.
2．曲顶柱体的体积 =？ 特点：曲顶.
z
二、二重积分的概念
1．什么是曲顶柱体？
o
y
x
的边以界x曲oy线平C面作的准有线界而闭母区线域平D行为于底轴、z 的侧柱面面是，以D
答I： 1与 I2之间关I系 14为 I2 ：
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
k (x f,y)d kf(x,y)d .
D
D
性质２
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x,y)dg (x,y)d.
D
D
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
D 1x
xy1
从而 (xy)2(xy)3
(xy)2d(xy)3d
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
m f(x,y)dM
高等数学A第2章11-3(高阶导数隐函数求导法则)精品PPT课件
(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导 数, 即 a(t)ddvtdd22tys(t).
二、简单函数高阶导数的习例 例1.设f(x)xn,求各阶导. 函数 例 2 .设 yax,求 y(n ). 例 3 .设 f(x ) cx o ,求 s f(n )(x ). 例 4 . 设 y f (x l ) 且 n , f ( u ) 可 ,求 y .导 例5.由ddxyy1,求dd2yx2.
叫y做 f(x)的二.阶导数 记 :y为 或 f(x )或 d d 22 yx 或 d2 d f(2 x x ).
即 f(x )lim f(x x )f(x ).
x 0
x
记号与求导过程: d d22 yxd dxd dx yd d(dx)y dd dx 22 yx.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为 f(x),y,dd3x3y.
内容小结
课堂思考与练习
一、 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
设sf(t), 则瞬时速 v(t)度 f(为 t) 加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
定义: 若 yf(x)的导 yf数 (x)在 x处可 ,这导 个
解：设 uco x,v sx2,则
u (k)co x sk 2 (k1, 2 ,2 , 0)
v 2 x ,v 2 ,v ( k ) 0( k 3 ,4 , ,2 )0
y ( 2 ) 0 u ( 2 ) v 0 C 2 1 u ( 1 0 ) v 9 C 2 2 u ( 1 0 ) v 8
f(x)sinx2 c ox s 2 2 c ox s2 2
f(x)sinx22cosx32
二、简单函数高阶导数的习例 例1.设f(x)xn,求各阶导. 函数 例 2 .设 yax,求 y(n ). 例 3 .设 f(x ) cx o ,求 s f(n )(x ). 例 4 . 设 y f (x l ) 且 n , f ( u ) 可 ,求 y .导 例5.由ddxyy1,求dd2yx2.
叫y做 f(x)的二.阶导数 记 :y为 或 f(x )或 d d 22 yx 或 d2 d f(2 x x ).
即 f(x )lim f(x x )f(x ).
x 0
x
记号与求导过程: d d22 yxd dxd dx yd d(dx)y dd dx 22 yx.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为 f(x),y,dd3x3y.
内容小结
课堂思考与练习
一、 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
设sf(t), 则瞬时速 v(t)度 f(为 t) 加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
定义: 若 yf(x)的导 yf数 (x)在 x处可 ,这导 个
解：设 uco x,v sx2,则
u (k)co x sk 2 (k1, 2 ,2 , 0)
v 2 x ,v 2 ,v ( k ) 0( k 3 ,4 , ,2 )0
y ( 2 ) 0 u ( 2 ) v 0 C 2 1 u ( 1 0 ) v 9 C 2 2 u ( 1 0 ) v 8
f(x)sinx2 c ox s 2 2 c ox s2 2
f(x)sinx22cosx32
-高等数学-课件完整版
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2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
最新新人教a版高中数学(必修11.3《函数的基本性质》(第1课时说课课件教学讲义ppt
在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时， 进一步引导学生解决问题3，向学生提出问题，对于任 意的t1、t2∈[4，18]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)<f(t2) 呢?
将学生分成四人一组通过观察图象、正反对比，发现数量关系， 由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数 概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。为了获得单 调增函数概念，从不同的小组中抽取学生的进行表述，然后由老师 进行分析、归类，引导学生得出单调增函数概念，并向学生指出关
（四）回顾总结及作业布置 通过师生互动，回顾本节课的概念、方法。 1、函数的单调性的定义． 2、判断、证明函数的单调性方法． 3、证明函数单调性的步骤：取值→作差→变
键词“区间内”、“任意”、“当x1＜x2时，都有f(x1 )＜
f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”， 之后由老师与学生一起给出单调增函数概念的数学表述．然后请学 生们类比单调增函数概念，给出单调减函数的概念。
最后由老师完成单调性和单调区间概念的整体表述
【设计意图】数学概念的形成来自解决实
3、在鼓励学生主体参与的同时， 不可忽视教师的主导作用．具体体现 在设问、讲评和规范书写等方面，要 教会学生清晰的思维、严谨的推理， 并成功地完成书面表达．
4、采用投影仪、多媒体等现代教 学手励自主交流与 合作学习，让学生从问题中质疑、尝试、归纳、 总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解 决问题的能力．
课堂练习：
1、教材P58练习第1、2题 2、y=x2-2x+1在区间(1,+ ∞)上是单调增函数还 是单调减函数
思考：二次函数的单调性有没有什么规律？
【设计意图】通过课堂练习加深学生对概念的
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1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱 尔（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯坦纳建 议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂 志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、 无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。
所有发散点的全体称为发散域.
高等数学
§11-3 幂级数
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x),
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
(1) 当 1 1, 1 x
即 1 x 1,
于是 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛.
高等数学
§11-3 幂级数
(2) 当 1 1, 即 1 x 1, 1 x
于是 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 级数 (1)n 收敛;
定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
规定 (1) 幂级数只在x 0处收敛, R 0, 收敛区间x 0;
(2) 幂级数对一切 x都收敛,
R , 收敛区间(,).
问题: 如何求幂级数的收敛半径?
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
高等数学
§11-3 幂级数
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点, 否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
高等数学
§11-3 幂级数
非凡的数学家——阿贝尔 阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829） 挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛， 1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂 安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的 六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲 还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所 中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡 （Bernt Michael Holmbo 1795-1850）发现了阿贝尔的数 学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚 的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。
n1 n
当 x 2时, 级数 1
n1 n
发散;
故级数的收敛域为(,2) [0,).高等数学二、Fra bibliotek级数及其收敛性
§11-3 幂级数
1.定义: 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时, an xn , 其中an 为幂级数系数.
n0
2.收敛性: 例如级数 xn 1 x x2 , n0 当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
n0
n0
高等数学
§11-3 幂级数
(2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
• • •• • • ••• • •
发散区域 R o
x R 发散区域
问题: 是否一定存在一个划分收敛与发散的分界数?
证明 (1)
an x0n收敛,
lim
n
an
x0
n
0,
n0
高等数学
§11-3 幂级数
M , 使得 an x0n M (n 0,1,2,)
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
当 x
1时,
等比级数
M
n
x 收敛,
x0
n0 x0
an xn 收敛, 即级数 an xn收敛;
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注: 函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是 数项级数的收敛问题.
高等数学
§11-3 幂级数
例1
求级数
(1)n (
1
)n 的收敛域.
n1 n 1 x
解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n ) un ( x) n 1 1 x 1 x
高等数学
§11-3 幂级数
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛法 三、幂级数的运算 四、小 结
高等数学
§11-3 幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在I R 上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
收敛域(1,1); 发散域(,1] [1,).
高等数学
§11-3 幂级数
定理 1 (Abel 定理)
如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x 处绝对收敛;
如果级数 an x n 在 x x0 处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切 x 处发散.
高等数学
§11-3 幂级数
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在 x 0一点收敛,
n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全
确定的正数 R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
高等数学
§11-3 幂级数
高等数学
§11-3 幂级数
丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen 1766-1825） 看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹， 当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给 阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难 解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析 学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的 题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转 向对椭圆函数的研究。
高等数学
§11-3 幂级数
阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加 贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里 斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是 关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是 对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。 1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问 题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信 都未开封。
所有发散点的全体称为发散域.
高等数学
§11-3 幂级数
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x),
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
(1) 当 1 1, 1 x
即 1 x 1,
于是 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛.
高等数学
§11-3 幂级数
(2) 当 1 1, 即 1 x 1, 1 x
于是 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 级数 (1)n 收敛;
定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
规定 (1) 幂级数只在x 0处收敛, R 0, 收敛区间x 0;
(2) 幂级数对一切 x都收敛,
R , 收敛区间(,).
问题: 如何求幂级数的收敛半径?
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
高等数学
§11-3 幂级数
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点, 否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
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§11-3 幂级数
非凡的数学家——阿贝尔 阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829） 挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛， 1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂 安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的 六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲 还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所 中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡 （Bernt Michael Holmbo 1795-1850）发现了阿贝尔的数 学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚 的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。
n1 n
当 x 2时, 级数 1
n1 n
发散;
故级数的收敛域为(,2) [0,).高等数学二、Fra bibliotek级数及其收敛性
§11-3 幂级数
1.定义: 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时, an xn , 其中an 为幂级数系数.
n0
2.收敛性: 例如级数 xn 1 x x2 , n0 当 x 1时, 收敛; 当 x 1时, 发散;
n0
n0
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§11-3 幂级数
(2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
• • •• • • ••• • •
发散区域 R o
x R 发散区域
问题: 是否一定存在一个划分收敛与发散的分界数?
证明 (1)
an x0n收敛,
lim
n
an
x0
n
0,
n0
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§11-3 幂级数
M , 使得 an x0n M (n 0,1,2,)
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
当 x
1时,
等比级数
M
n
x 收敛,
x0
n0 x0
an xn 收敛, 即级数 an xn收敛;
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注: 函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是 数项级数的收敛问题.
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§11-3 幂级数
例1
求级数
(1)n (
1
)n 的收敛域.
n1 n 1 x
解 由达朗贝尔判别法
un1( x) n 1 1 (n ) un ( x) n 1 1 x 1 x
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§11-3 幂级数
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛法 三、幂级数的运算 四、小 结
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§11-3 幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在I R 上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
收敛域(1,1); 发散域(,1] [1,).
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§11-3 幂级数
定理 1 (Abel 定理)
如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x 处绝对收敛;
如果级数 an x n 在 x x0 处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切 x 处发散.
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§11-3 幂级数
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在 x 0一点收敛,
n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全
确定的正数 R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
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§11-3 幂级数
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§11-3 幂级数
丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen 1766-1825） 看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹， 当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给 阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难 解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析 学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的 题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转 向对椭圆函数的研究。
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§11-3 幂级数
阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加 贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里 斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是 关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是 对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。 1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问 题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信 都未开封。