2007年暨南大学、华侨大学数学考试试卷

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2007-2008上学期高数I试A卷答案

暨南大学考试试卷一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设)(x y y =是由方程0sin 21=+-y y x 所确定，则=dy dx ycos 22-. 2. 数列的极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim = __1____________________. 3. 函数xxe y =的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式为).(21332x o x x x +++4. 函数xe x y ++=4)1(的凹区间为),(+∞-∞.5. 抛物线22y x x y ==和围成的面积为____1/3________________________.二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 当时, 不为等价无穷小量的是 (D) (A) 22sin x x 和; (B)nx x n和11-+;(C) x x 和)1ln(+; (D) 2cos 1x x 和-.2.设]1,0[上0)(">x f ,则)1()0()0()1(),1('),0('f f f f f f --或几个数的大小顺序为(B)(A) );0()1()0(')1('f f f f ->> (B) );0(')0()1()1('f f f f >-> (C) );0(')1(')0()1(•f f f f >>- (D) ).0(')1()0()1('f f f f >-> 3. 以下函数有可去间断点的是 (B )(A) ⎩⎨⎧>-≤-=;0,3,0,1)(x x x x x f (B) ;39)(2--=x x x f(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=;0,0,0,1sin )(x x xx f (D) .|sin |)(x x x f = 4. 摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (θθθa y a x 的一摆)20(πθ≤≤的长度为 (D)(A) a 2; (B) a 4; (C) a 6; (D) a 8.5. 函数],[)(b a x f 在区间上连续是],[)(b a x f 在可积的 (A) (A) 充分条件; (B) 必要条件;(D) 即不是充分条件也不是必要条件.三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分）1. 求定积分⎰210arcsin xdx ;解: 原式⎰--=21022101|arcsin dx xx x x ----------------------------------4⎰--+=21022)1(112112x d x π----------------------------------5 2102112x -+=π--------------------------------------------6.12312-+=π----------------------------------------------7 2. 求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→;解: 原式)sin 1tan 1()sin 1(tan 1lim3x x x x x x ++++-+=→-------------------------------------------------230sin tan lim21x xx x -=→ )21~cos 1,~sin ,0(cos )cos 1(sin lim 21230x x x x x xx x x x -→-=→时当 --------5.4121lim 21320=⋅=→x x x x -----------------------------------------------------------------73. 设)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin ,cos 所确定，求22dx y d ; 解:)sin (cos t t e dt dx t -=, )cos (sin t t e dtdyt +=,-------------------------------------2,s in c o s c o s s in t t t t dtdx dt dy dx dy -+==-------------------------------------------------------4dx dtt t t t dt d dx dy dx d dx y d ⋅-+==)sin cos cos sin ()(22------------------------------------------------6 )sin (cos 1)sin (cos )cos (sin )cos (sin 222t t e t t t t t t t -⋅-++-=.)s i n (c o s 23t t e t -=--------------------------------------------------------------------74. 求不定积分⎰+x x xdxcos sin cos ;解: 原式⎰+-++=dx x x x x x x cos sin )sin (cos )sin (cos 21-------------- -- ----------------------3⎰⎰+++=x x x x d dx cos sin )cos (sin 2121----------------------------------------------------5C x x x +++=|cos sin |ln 2121.---------------------------------------------------75. 求极限2020222)1(limxdte t x x tx ⎰-→+;解: 原式22222)1(limxdt e t ex t x x ⎰+=-→------------- ---------------------------------------222022)1(limx dt e t x t x ⎰+=→-----------------------------------------------------------4xxe x x x 22)1(lim 440⋅+=→------------------------------------------------------------61)1(lim 440=+=→x x e x .-------------------------------------------------------------76. 求过点)0,23(与曲线21xy =相切的直线方程; 解: 设切点为)1,(20x x , 32'xy -=, 所以切线方程为-----------------------------1 )(21032x x x x y --=-.-----------------------4因)0,23(过切线, 所以)23(210032x x x --=-.-----------------------6 解得.10=x 因此切线方程为 .032=-+x y --------------------------------------7 7. 讨论瑕积分⎰10q x dx(q >0)的收敛性，如果收敛则计算其值.解: 对任意)1,0(∈ε,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=-=-==--⎰.1),1(1111,1,ln |ln 11111q q x q q x x dx q q q εεεεε------------------------------------------3因此⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰+→.1,,1,11lim10q q q x dx qεε--------------------------------------------------------------------6即1≥q 发散,当1<q 时收敛,其值为q-11.----------------------------------------------------------7四、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）h m, 底面半径为r m , 桶内盛满了某种液体. 试问要把桶内的液体全部吸出需要作多少功? 已知这种液体的密度为ρ.解: 建立如图所示的坐标. 在任一小区间上的一薄液体的 O的重力为dx r g 2ρπ(KN)----------------------------------3这薄层液体吸出桶外所做的功(功元素)为 xdx r g dW 2ρπ=----------------------------5所求的功为 hh x r g xdx r g W 02202|21ρπρπ==⎰2221h r g ρπ=(KN).---------------------8 2. 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒, 怎样设计才能使所用的材料最省? 解: 设底面半径为r , 则高为2r Vπ,表面积为 .0,2222222>+=⋅+=r r Vr rV r r S ππππ------------------------------------3令022'2=-=rV r S π得3πV r =,--------------------------------------------------------------------------5 又0|)42(|'333>+===πππV r Vr r V S , 因此当3πV r =时S 取最--------------------------------------7 即当底面半径为3πV,高为3πV时所用的材料最少.--------------------------------------------------8五、证明题（共1小题，每小题5分，共5分）1. 设)(x f 在区间],[b a 上连续,且0)(>x f ,⎰⎰∈+=x bx ab a x t f dtdt t f x F ],[,)()()(. 证明: (1) 2)('≥x F ; (2) 方程0)(=x F 在),(b a 内有且仅有一个根.证明: (1) .2)(1)(2)(1)()('=⋅≥+=x f x f x f x f x F ---------------------------------------------2 (2) )(x F 在],[b a 上连续, 且]d ,[x x x +0)()()()()()()(<-===⋅⎰⎰⎰⎰b a b a baa bdt t f t f dt •dt t f t f dt x F b F a F ,因此由介值定理)(x F 在),(b a 至少有一根, ----------------------------------------------------------4 又0)('>x F , 所以)(x F 在],[b a 上单调增, 因此)(x F 在),(b a 是只有一根.----------------5。

【精品】2007年华侨、港澳、台联考高考数学试卷和解析和答案

2007年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内.1．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x2+x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|x2+x﹣2＜0}B．{x|x2﹣1＜0}C．{x|x2﹣4＜0}D．{x|x2﹣x﹣2＜0} 2．（5分）若π≤α≤2π，且sinαsin3α＜0，则α满足（）A．π＜α＜πB．π＜α＜2πC．π＜α＜π D．π＜α＜π或π＜a＜2π3．（5分）已知平面向量=（﹣2，x）与向量=（﹣3，2）垂直，则x=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣34．（5分）复数z=的虚部为（）A．0 B．﹣i C．i D．﹣15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2．则=（）A．B．C．1 D．26．（5分）若函数y=e x﹣1的图象按向量=（1，1）平移后，与f（x）的反函数图象重合，则函数f（x）=（）A．lnx+1 B．ln（x+1）C．lnx﹣1 D．ln（x﹣1）7．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）圆x2+y2﹣2mx﹣2ny=﹣4与圆x2+y2=1相切，则m2+n2的值为（）A．B．C．4 D．9．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的5位数，其中的奇数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个10．（5分）对于直线m，n和平面α，β，m⊥α的一充分条件是（）A．m⊥n，n⊥β，β⊥αB．m⊥β，n⊥β，n⊥αC．m⊥n，n∥αD．m∥β，β⊥α11．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，B为左顶点，A，C 为短轴端点，已知CF⊥AB，则椭圆的圆心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是R上的可导函数，下列陈述中正确的是（）A．若f′（x）是偶函数则f（x）是偶函数B．若f′（x）是偶函数则f（x）是奇函数C．若f′（x）是奇函数则f（x）是奇函数D．若f′（x）是奇函数则f（x）是偶函数二、填空题：本大题共8小题：每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上. 13．（4分）二项式（+）6展开式中的常数项是．14．（4分）空间向量=（a，b，c），若||=1，则a+b+c的最大值是．15．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若原点到平面3x﹣2y+az=1的距离等于，则a的值为．16．（4分）设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0），若以原点为极点，以x轴正向为极轴，则l的极坐标方程为ρ=．17．（4分）等比数列{a n）的前n项和为S n，已知a1+a2=18，a3+a4=2，则S=．18．（4分）函数y=x3+3ax2+3bx在区间[﹣1，1]单调减少，且a＞0，则2a+b的最大值为．19．（4分）若以x2﹣5x+6除多项式f（x）得余式2x﹣5，则f（3）=．20．（4分）若△ABC的内角A，B所对的边分别为a，b，已知bcosA+acosB=2，a ﹣b=1，且∠C=60°，则a=．三、解答题：在第21、22、23题三个题目中任选两题作答.在第24、25、26、27这四个题目中按考生报考专业的类别完成两题.21．（14分）设函数f（x）=x3+3x2+ax+b，实数a，b是常数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）的任意切线的斜率都不小于﹣2，则a、b的取值范围如何？（Ⅱ）证明曲线y=f（x）是中心对称图形；并求出对称中心的坐标．22．（14分）设f（x）=x（0＜x＜）），证明f（x）≤f（）．23．如图，在四面体ABCD中，已知AB=CD=8．AD=BC=10，AC=BD=12．E、F、G、H分别是AB，CD，AC，BD的中点．（Ⅰ）求EF的长；（Ⅱ）证明EF，GH互相垂直平分．文史类考生不做24．（15分）对某种产品的抽检规则如下：从每批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品，（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率不低于50%，其中次品最多有几件？25．（15分）设抛物线y2=2px与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A）B（x B，y B）两点，且p＞0，y A＜0．（Ⅰ）用p和k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．理工农医类考生不做26．对某种产品的抽检规则如下：从一批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品．（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率为，其中次品有几件？27．设抛物线y2=4x与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A），B（x B，y B）两点，且y A＜0．（Ⅰ）用k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．2007年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内.1．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x2+x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{x|x2+x﹣2＜0}B．{x|x2﹣1＜0}C．{x|x2﹣4＜0}D．{x|x2﹣x﹣2＜0}【解答】解：∵M={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣2＜x＜1}={x|﹣1＜x＜1}={x|x2﹣1＜0}．故选：B．2．（5分）若π≤α≤2π，且sinαsin3α＜0，则α满足（）A．π＜α＜πB．π＜α＜2πC．π＜α＜π D．π＜α＜π或π＜a＜2π【解答】解：∵π≤α≤2π，且sinαsin3α＜0，∴sinαsin（α+2α）＜0，∴sin2α（4cos2α﹣1）＜0，∴cos2α＜，∴﹣＜cosα＜，∵π≤α≤2π，∴．故选：C．3．（5分）已知平面向量=（﹣2，x）与向量=（﹣3，2）垂直，则x=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵平面向量=（﹣2，x）与向量=（﹣3，2）垂直，∴=6+2x=0，解得x=﹣3．故选：D．4．（5分）复数z=的虚部为（）A．0 B．﹣i C．i D．﹣1【解答】解：∵z===﹣1，∴复数z=的虚部为0．故选：A．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2．则=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为2，可得a n=a1+2（n﹣1），S n=na1+n（n﹣1）×2=n2+（a1﹣1）n，则===，故选：A．6．（5分）若函数y=e x﹣1的图象按向量=（1，1）平移后，与f（x）的反函数图象重合，则函数f（x）=（）A．lnx+1 B．ln（x+1）C．lnx﹣1 D．ln（x﹣1）【解答】解：y=e x﹣1的图象按=（1，1）平移，x以x﹣1代替，y以y﹣1代替，得到y﹣1=e x﹣1﹣1，所得图象的函数：y=e x﹣1，∴x﹣1=lny，即x=lny+1，x，y互换得f（x）=lnx+1．故选：A．7．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：x，y满足约束条件表示的区域是如下图示的三角形，4个顶点是（3，0），（0，0），（0，2），（2，2），目标函数z=x+y在（2，2）取最大值4．故选：B．8．（5分）圆x2+y2﹣2mx﹣2ny=﹣4与圆x2+y2=1相切，则m2+n2的值为（）A．B．C．4 D．【解答】解：圆x2+y2﹣2mx﹣2ny=﹣4化为标准形式是（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2﹣4，与圆x2+y2=1相切，则两圆的圆心距d=R±r，=|±1|，又m2+n2＞4，结合选项知m2+n2=．故选：D．9．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的5位数，其中的奇数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个【解答】解：根据题意，分3步分析：①，要求五位数为奇数，则其个位数字必须为1或3，有2种情况，②，五位数的首位数字不能为0，需要在除0之外的3个数字中任选1个，有3种情况，③，将剩下的3个数字全排列，安排在中间的三个数位，有A33=6种情况，则一共有2×3×6=36种情况，即可以组成36个没有重复数字的五位奇数，故选：C．10．（5分）对于直线m，n和平面α，β，m⊥α的一充分条件是（）A．m⊥n，n⊥β，β⊥αB．m⊥β，n⊥β，n⊥αC．m⊥n，n∥αD．m∥β，β⊥α【解答】解：A、“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确．B、根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，故B正确；C、“m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故C不正确；D、“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故D不正确；故选：B．11．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，B为左顶点，A，C 为短轴端点，已知CF⊥AB，则椭圆的圆心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵A（0，b），B（﹣a，0），C（0，﹣b），F（﹣c，0），∴直线CF的斜率为k1=，直线AB的斜率为k2=，由CF⊥AB得k1k2==﹣1，即b2=ac=a2﹣c2，∴，可解得e=．故选：C．12．（5分）已知f（x）是R上的可导函数，下列陈述中正确的是（）A．若f′（x）是偶函数则f（x）是偶函数B．若f′（x）是偶函数则f（x）是奇函数C．若f′（x）是奇函数则f（x）是奇函数D．若f′（x）是奇函数则f（x）是偶函数【解答】解：举例：f（x）=x3+1，则f′（x）=3x2，此时f′（x）是偶函数，但是f（x）既不是偶函数也不是奇函数，所以A、B选项错误；f（x）=x2+1，则f′（x）=2x，此时f′（x）是奇函数，f（x）是偶函数，所以C选项错误，D选项正确．故选：D．二、填空题：本大题共8小题：每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上.13．（4分）二项式（+）6展开式中的常数项是．【解答】解：二项式（+）6展开式的通项公式为T r+1=••=••，令6﹣=0，解得r=4，∴展开式中的常数项是•=．故答案为：．14．（4分）空间向量=（a，b，c），若||=1，则a+b+c的最大值是．【解答】解：由||=1可得a2+b2+c2=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3（a2+b2+c2）=3，∴．故答案为：．15．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若原点到平面3x﹣2y+az=1的距离等于，则a的值为±6．【解答】解：∵平面3x﹣2y+az=1的法向量=（3，﹣2，a），原点到平面3x﹣2y+az=1的距离等于，∴d==，解得a=±6．故答案为：±6．16．（4分）设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0），若以原点为极点，以x轴正向为极轴，则l的极坐标方程为ρ=．【解答】解：∵直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b（b≠0），∴直线l的方程为y=kx+b，∴l的极坐标方程为ρsinθ=k•ρcosθ+b，即ρ=．故答案为：．17．（4分）等比数列{a n）的前n项和为S n，已知a1+a2=18，a3+a4=2，则S n=．【解答】解：设穷等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=18，a3+a4=2，得∴a3+a4=（a1+a2）q2=2，∴q2=，∴q=，q=﹣，当q=，a1=，当q=﹣时，a1=27，①当q=，a 1=，S n==（1﹣），∴S n=，②q=﹣时，a1=27，S n==（1﹣）=，∴S n=，综上所述S n=，故答案为：18．（4分）函数y=x3+3ax2+3bx在区间[﹣1，1]单调减少，且a＞0，则2a+b的最大值为﹣1．【解答】由函数y=x3+3ax2+3bx在区间[﹣1，1]单调减少，可得f'（x）=3x2+6ax+3b≤0在[﹣1，1]上恒成立，即，即，又a＞0，得到，做出可行域如右图，由图可知，当直线z=2a+b，即b=﹣2a+z平移和直线2a+b+1=0平行时，2a+b取到最大值，最大值为﹣1．本题容易受a＞0的影响，即点（0，﹣1）不在可行域内，但可以在直线2a+b+1=0上另外取一点如（1，﹣3）代入求值也能得到2a+b取到最大值为﹣1．19．（4分）若以x2﹣5x+6除多项式f（x）得余式2x﹣5，则f（3）=1．【解答】解：x2﹣5x+6除多项式f（x）得余式2x﹣5，可设f（x）=（x2﹣5x+6）g（x）+2x﹣5，则f（3）=（9﹣15+6）g（3）+6﹣5=0+1=1，故答案为：1．20．（4分）若△ABC的内角A，B所对的边分别为a，b，已知bcosA+acosB=2，a﹣b=1，且∠C=60°，则a=．【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b•+a•=2，整理可得：c=2，∵a﹣b=1，且∠C=60°，∴由余弦定理cosC=，可得：=，可得：a2﹣a﹣3=0，∴解得：a=．（负值舍去）故答案为：．三、解答题：在第21、22、23题三个题目中任选两题作答.在第24、25、26、27这四个题目中按考生报考专业的类别完成两题.21．（14分）设函数f（x）=x3+3x2+ax+b，实数a，b是常数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）的任意切线的斜率都不小于﹣2，则a、b的取值范围如何？（Ⅱ）证明曲线y=f（x）是中心对称图形；并求出对称中心的坐标．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2+6x+a=3（x+1）2+a﹣3，所以对任意x∈R，f′（x）≥﹣2等价于a﹣3≥﹣2，即a的取值范围是a≥1；由于b与y=f（x）的切线斜率无关，故b的取值范围是整个实数集R．（Ⅱ）证明：f（x）=x3+3x2+ax+b=x3+3x2+3x+1+（a﹣3）x+b﹣1，=（x+1）3+（a﹣3）（x+1）+2﹣a+b，将f（x）的图象向右平移1个单位，向下（上）平移|2﹣a+b|个单位，可得g（x）=x3+（a﹣3）x，因为g（x）关于原点对称，则曲线y=f（x）是中心对称图形；得到对称中心坐标为（﹣1，2﹣a+b）．22．（14分）设f（x）=x（0＜x＜）），证明f（x）≤f（）．【解答】证明：f（x）=x（0＜x＜），要证f（x）≤f（），即为x≤，两边平方可得x2（1﹣2x）≤x2（）2，即证1﹣2x≤，即为x2+6x﹣3≤0，即为（x+3）2﹣12≤0，由0＜x＜可得（x+3）2∈（9，），显然（x+3）2﹣12≤0成立，则原不等式f（x）≤f（）成立．23．如图，在四面体ABCD中，已知AB=CD=8．AD=BC=10，AC=BD=12．E、F、G、H分别是AB，CD，AC，BD的中点．（Ⅰ）求EF的长；（Ⅱ）证明EF，GH互相垂直平分．【解答】解：（Ⅰ）如图，作过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c的长方体，使其侧面对角线分别为AB=CD=8，BC=DA=10，AC=BD=12，则，解得a=，b=3，c=3．∴EF的长为b=3．证明：（Ⅱ）如图，∵E、F、G、H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴GH∥AD，EH∥AD，EH=GH=AD，∴四边形EHFG为平行四边形，∴EF，GH互相垂直平分，文史类考生不做24．（15分）对某种产品的抽检规则如下：从每批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品，（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率不低于50%，其中次品最多有几件？【解答】解：（Ⅰ）从每批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品，其中有1件次品，基本事件总数n==45，该批产品通过抽检包含的基本事件个数m==36，∴该批产品通过抽检过抽检的概率p===．（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率不低于50%，设其中次品最多有a件，则，解得10﹣a≥8，∴a≤2．∴该批产品通过抽检的概率不低于50%，其中次品最多有2件．25．（15分）设抛物线y2=2px与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A）B（x B，y B）两点，且p＞0，y A＜0．（Ⅰ）用p和k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．【解答】解：（Ⅰ）物线y2=2px的焦点F（，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣），联立抛物线的方程可得k2x2﹣（pk2+2p）x+k2=0，可得x A+x B=p+，x A x B=，则|AB|=x A+x B+p=2p+，O到直线AB的距离为d=，则△AOB的面积为S=d•|AB|=•（2p+）=•；（Ⅱ）证明：由题意可得k2==，k1==可得tan∠BOA===2p•=﹣2p•=﹣•|k|=﹣．理工农医类考生不做26．对某种产品的抽检规则如下：从一批10件产品中随机抽取2件，逐一检查，如果未发现次品，则该批产品抽检通过，现有一批10件产品．（Ⅰ）若其中有1件次品，求该批产品通过抽检的概率；（Ⅱ）若该批产品通过抽检的概率为，其中次品有几件？【解答】解：（Ⅰ）现有一批10件产品，其中有1件次品，从k 随机抽取2件，逐一检查，基本事件总数n==45，该批产品通过抽检包含的基本事件个数m==36，∴该批产品通过抽检的概率p===．（Ⅱ）该批产品通过抽检的概率为，设其中次品有a件，则=，解得a=4．∴该批产品通过抽检的概率为，其中次品有4件．27．设抛物线y2=4x与过焦点F、斜率为k的直线交于A（x A，y A），B（x B，y B）两点，且y A＜0．（Ⅰ）用k表示△AOB的面积；（Ⅱ）证明tan∠BOA=﹣．【解答】解：（Ⅰ）物线y2=4x的焦点F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立抛物线的方程可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，可得x A+x B=2+，x A x B=1，则|AB|=x A+x B+p=2++2=4+，O到直线AB的距离为d=，则△AOB的面积为S=d•|AB|=•（4+）=；（Ⅱ）证明：由题意可得k2==，k1==，可得tan∠BOA===4•=﹣4•=﹣|k|=﹣．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2007数学考研真题二

2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当0x +→(A)1-(B)ln .(C)1.(D)1-.[B ]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -=利用排除法知应选(B).(2)函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =(A)0.(B)1.(C)2π-.(D)2π.[A ]【分析】本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。

【详解】f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2π±又11110()tan tan lim lim 1(1)1()xxx x xx e e x x e exx e e e e --→→++=⋅=⋅-=---，11110()tan tan lim lim 111()x xx x xx e e x x e exx e e e e++→→++=⋅=⋅=--，可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--.(B)5(3)(2)4F F =.(C))2(43)3(F F =-.(D))2(45)3(--=-F F .[C ]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

暨南大学2005—2007年真题(高等代数)

暨南大学2005——2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数） 2005年1、（20’）设m 是大于1的整数，12()...1m m f x xx --=+++，证明：()f x 整除()mf x c +的充要条件是c=-m2、 (20’)设n 阶行列式2cos 100012cos 100012cos 000002cos 102cos n D βββββ=1，（1）当2k βπ=时，k 为整数，计算n D （2）当k βπ≠时，k 为整数，证明sin(1)sin n n D ββ+=3、 (15’)下列线性方程组的系数行列式0D =，D 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，11112212112222112200(1)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证明：这个方程组的解都可以写成12(,,,)i i in kA kA kA 的形式，k 为任意数.4、(20’)设A ，B 是两个n 级方阵，证明：AB 与BA 有相同的特征多项式5、(20’)将下列二次型化为标准形，并写出所用的满秩的线性替换.222123123121323(,,)235448f x x x x x x x x x x x x =+++--.6、(15’)设123(,,)L ααα表示向量1(1,0,2,0)α=,2(0,2,0,3)α=,3(2,6,4,9)α=生成的实向量空间4R 的子空间，把123(,,)L ααα的一个基底扩充成4R 的一个基.7、(20’)设σ是实向量空间3R 的线性变换，对任意向量(,,)x y z α=,()(,,)(2,23,3)x y z y z x z x y σασ==+-+--.求σ的特征根与特征向量.8、(20’)设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ的值域与σ的核重合，证明：（1）n 是偶数；（2）如何选取V 的基，才能使σ在这个基下的矩阵是若尔当（Jordon ）标准形，并写出这个标准形.2006年一、选择题(每小题5分)1、用多项式2()31g x x x =-+除多项式42()2456f x x x x =+-+所得的余式()r x =（）2.4914.4914.14.491.a x b x c x d x e ----前面的答案均不对2、如果()g x 是一个非零多项式，且'(1)(1)0g g ==,'(2)(2)0g g ==,则()g x 一定有因子：（）22.7..16.(1)(2).a x b x c x d x x e ----前面的答案均不对3、如果行列式0112013aD x-=-的第一行第一列元素a 的代数余子式114A =，则x =（）..7.3.2.6.a b c d e 前面的答案均不对4、由行列式定义的x 的多项式212111()321111xx x f x xx-=的最高项系数是（）..7.2.8.6.a b c d e 前面的答案均不对5、如果齐次线性方程组1112131412122232423132333434142434440000a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦只有零解，则（）. 11121314121222324231323334341424344413.57a a a a x a aa a x a a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组无解； 11121314121222324231323334341424344410.90a a a a x a aa a xb a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有无穷解； 11121314121222324231323334341424344413.88a a a a x a a a a x c a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有唯一一组解；11121314121222324231323334341424344401.01a a a a x a a a a x d a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有两组不同的解； .e 前面的答案均不对6、如果向量组{}123,,ααα是线性无关组，则（）也是线性无关组.{}{}{}1223311221122331.,,.,,.,,a b c αααααααααααααααα+++-++-{}122331.,,.d e αααααα---前面的答案均不对7、一个矩阵的对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵，则（）. .a 任意两个同阶下三角方阵的乘积不再是下三角矩阵； .b 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定是对角矩阵； .c 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定不可逆； .d 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定可逆； .e 前面的答案均不对. 8、设{}12,,,n ααα和{}12,,,n βββ均是实数域R 上的同一个向量空间V 的基，从基{}12,,,n ααα到{}12,,,n βββ的过渡矩阵为A ，即1122n n A βαβαβα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量空间V 中的向量γ关于基{}12,,,n βββ的坐标为12,,,n y y y （），即[]1212,,,n n y y y ββγβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则向量γ关于基{}12,,,n ααα的坐标为（）1''12121212.,,,.,,,.,,,.,,,n n n n a y y y A b y y y A c y y y A d A y y y -（）（）（）（）.e 前面的答案均不对9、三元二次型222123111222333121213132323(,,)222f x x x a x a x a x a x x a x x a x x =+++++可能的规范型是：（）{}{}{}222222222222222222123123123123123123..,.,,a y y y b y y y y y y c y y y y y y y y y +++++-+++---{}222222222123123121.,,0.d y y y y y y y y y e +±±--±±±，，前面的答案均不对10、当（）时，二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+正定.44444.(,0).(,0)(0,1).(,0)(0,).(,0)(1,2)55555a tb tc td t ∈-∈-∈-∈-.e 前面的答案均不对11、( )是实数域上次数不超过3次的多项式作成的向量空间的一组基.{}{}{}{}333.1,,,.1,2,,.1,,(1),(1)(2).1,2,9,a x x x b x x x c x x x x x x d x x x -+----+-+.e 前面的答案均不对12、若尔当矩阵1000010000000001000n nA λλλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足0nA =的充要条件是（）. .0.0.0.0.a b c d e λλλλ><≠=前面的答案均不对13、区间[]0,1上所有实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上一个向量空间，该空间是（）......a b c d e 无限维向量空间有限维向量空间分数维向量空间三维向量空间前面的答案均不对14、如果A 是n 阶实矩阵，()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则（）..()0.()0.().1().a f A b f A c f A d f A e ≠=可逆是对特征值前面的答案均不对15、区间[]0,1上所有可微实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上的一个向量空间，由2211sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos 22x x x xx x e x e x xe x xe x x e x x e x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭生成的子空间关于微分变换D 是（）......a b c d e 其核空间其象空间不变子空间其核空间的正交补空间前面的答案均不对16、矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的初等因子是（）. {}{}{}{}32323(1)..1,(1).1,(1).1,(1),(1).a b c d e λλλλλλλλ--------前面的答案均不对17、设12,(,,)n u u u u =，12,(,,)n v v v v =都是n 维(2)n ≥欧氏空间n R 中给定的非零行向量，E 是n 阶单位矩阵.令[]121,,,,1,2,,;0nn i i i i V x x x x R i n u x =⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑，则矩阵'A E v u =-（）.'.1.1.v u a b c ⊥有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V'.v u .d e ⊥有特征值且其特征子空间为V 前面的答案均不对18、如果λ是实正交矩阵Q 的实特征值，则（）.1.1.{1,1}.cos sin .a b c d i e λλλλθθ==-∈-=+前面的答案均不对19实数域上两个有限维向量空间同构的充要条件是（）......a b c d e 它们有相同的维数它们有不同的维数它们有相同的基它们为相同的向量空间前面的答案均不对 20、如果{}12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组标准正交基,则（）是1{}W k k V α=∈的正交补空间W ⊥的一组基。

07级高等数学数(上)试卷b补考卷参考解答

华侨大学考试时间：2008.1.18高等数学（上册）期末考试试题【B 卷】参考答案与评分标准一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1.x y 2-=； 2. )1 ,0 ,1(21-±； 3. ,23- 1； 4. 4； 5. !n .二. 试解下列各题【共6小题，每小题8分，共48分】1.解：2222tan(12)sec (12)4y x x x '=++2228tan(12)sec (12)x x x =++................【7】 dx x x x dy )21(sec )21tan(8222++=. (8)2.解：dy dydxdt dtdx = (1)2111t t+==……………..…....…【4】 22()d y d dy dx dt dx dt dx =…….….…【5】 222311(1)t t t t t -+-+=⋅=……………………….…【8】 3.解：令,ln x t =则dt e dx e x t t ==,…………..…...……………………………….…【1】原式=dt t e t ⎰10 sin .... (2)=dt t e t e t t⎰-110cos sin (4)=dt t e t e e t t⎰--110sin cos 1sin ….…【6】 =dt t e e e t ⎰-+-1sin 11cos 1sin (7)移项整理得: 原式)11cos 1sin (21+-=e e .…….……………………….…【8】 4.解：原式=)cos 1(cos sin 2)sin 1ln(lim 20x x xx x x -⋅++→ (3)=22021sin 2sin lim x x x x x ⋅⋅+→……….【6】 =330212lim x x x +→..............【7】 =4.. (8)5.解：曲线x y ln =分别与直线0=y ,2=x 交于点)0 ,1(及)2ln ,2(……【2】 (法一)：所求体积⎰=21ln 2xdx x V π……【５】=]ln [21212⎰-xdx x x π ……【７】＝)232ln 4(-π……【８】(法二)：所求体积 ln22212 02ln 2()y V V V e dy ππ=-=⋅⋅-⎰……【５】=]212ln 4[2ln 02ye -π ……【７】＝)232ln 4(-π……【８】6.解：令,1-=x t 则原式dt t f ⎰-=11)(…【１】dt t f dt t f ⎰⎰+=-11 )()(⎰⎰-+++=01 1 0 11tdt e dtt ……【３】 ⎰-+++=01 10)1()1ln(t tt e e dte t …【５】 01)]1ln([2ln -+-+=t e t …【７】 )1ln(11-++=e ……...…【８】三.【１０分】证：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，……【1】则11ln 21ln )(-+=-++='x x x x x x f ………【３】 0111)(22>-=-=''xx x x x f ，)1(>x …【５】)(x f '⇒在) ,1[∞+上单调增加， ()(1)0, f x f ''⇒>=)1(>x …【７】 )(x f ⇒在) ,1[∞+上也单调增加， 0)1()(=>⇒f x f ，)1(>x ……【９】所以)1(2ln )1(->+x x x ，)1(>x . ………………【１０】四.【10分】解：由题意知，当20π<<a 时，该图形分为两部分，其面积为：dx a x dx x a S S a S aa⎰⎰-+-=+=221)sin (sin )sin (sin )(π1sin 2cos 2sin 2--+=a a a a π……【４】令0cos )22(cos 2sin 2cos 2sin 2)(=-=--+='a a a a a a a a S ππ，得驻点4π=a ，... …………【６】此时，12)4(-=πS ；.... ………【７】又0=a 时，该图形的面积为⎰==21sin )0(πxdx S ；…【８】2π=a 时，该图形的面积为2 0()(1sin )122S x dx πππ=-=-⎰，…【９】所以当4π=a 时，该图形面积最小． (10)五．【６分】证：右式＝⎰⎰⎰+-+x x dt t f dt t f dt t f 01)(ln )(ln )1(ln ，……………【１】又令1u t =+，得 ⎰⎰+=+1 1)(ln )1(ln x xdu u f dt t f ，……………………………………【２】从而，右式⎰⎰⎰⎰++=+-=1111)(ln )(ln )(ln )(ln x xxx du u f du u f du u f du u f ，………【４】令t x v +=，则⎰⎰+=+11 0)(ln )(ln x xdv v f dt t x f ，所以，左式＝右式…………【６】六．【６分】证：因为)(x f 在[]b a ,上连续，在) ,(b a 内可导，由拉格朗日中值定理，存在) ,(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ…………….……..…..【２】令2)(x x g =，又0a b <<，易知()f x 、()g x 在[]b a ,上满足柯西中值定理的条件，故存在) ,(b a ∈η，使得a b f ab a f b f f +'=--=')()()(2)(22ξηη………………【５】，下面是赠送的团队管理名言学习，不需要的朋友可以编辑删除！！！谢谢！！！1、沟通是管理的浓缩。

2007年高考.广东卷.文科数学试题及详细解答

绝密★启用前试卷类型：A2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题。

满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。

答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题号（或题组号），对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V =31Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y n xn x yx n y x b ni i ni i i-=-∑-∑===,2121一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|10}M x x =+>,1{|0}1N x x=>-,则M N =A ．{x|-1≤x ＜1}B ．{x |x>1}C ．{x|-1＜x ＜1}D ．{x |x ≥-1} 【解析】(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故M N (1,1)=-,选(C).2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b=A ．-2B ．12-C. 12D ．2 【解析】(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++,依题意202b b -=⇒=, 选(D).3.若函数f(x)=x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是 A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D ．单涮递增的奇函数【解析】函数3()y f x x =-=-单调递减且为奇函数,选(B).4．若向量,a b 满足||||1a b ==,a 与b 的夹角为60︒,则a a a b ⋅+⋅= A ．12 B ．32C.12+ D ．2【解析】23||||||cos602a a ab a a b ⋅+⋅=+⋅︒=,选(B).5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地。

07-08数学分析答案

07-08数学分析答案暨南⼤学考试试卷⼀、单选题（每⼩题2分, 共8分）1. 设{}n a 为⼀数列, 且lim 0.n n a →∞=以下结论中不成⽴的是（ b ）.(a) 存在正数,M 使对⼀切正整数n 有||n a M ≤;(b) 若存在正整数0,N 使当0n N >时有0,n a < 则lim 0n n a →∞<;(c) 任取{}n a 的⼦列{},k n a 则lim 0k n k a →∞=;(d) lim ||0n n a →∞=.2. 设变量α是当0x x →时的⽆穷⼩量, 则下列结论（ c ）成⽴.(a) α是⼀个很⼩的数; (b) α可取任意⼩数;(c) 当0x x →时, sin αα为α的⾼阶⽆穷⼩量; (d) sin αα与α是当0x x →时的等价⽆穷⼩.3. 设11,1(),1x x x f x e x --≤?=?>?, 则1x =是f 的（ c ）.(a) 连续点; (b) 可去间断点; (c) 跳跃间断点; (d) 第⼆类间断点. 4. 设()||f x x =, 则对曲线()y f x =成⽴以下结论（ d ）.⼆、填空题（每空1.5分, 共15分）1. 设(1){1|1,2,}2nn S n -=+=, 则 inf S = 1/2 , sup S = 5/4 .2. sin limx xx→∞= 0 .3. 令1(),1f x x=+ 则f 在1x =处带有佩亚诺型余项的泰勒公式为 2231111 1(1)(1)(1)(1)(1)((1))2222n nnn f x x xo x+=--+-++--+- 4. 设2()1(3),(3)xf x x x =+>-+ 则函数f 的严格递增区间为（-3,3） ,极值点为x = 3 , 最⼤值为 13/12 , 其对应的曲线的渐近线为1 3.y x ==-⽔平渐近线和竖直渐近线5. 函数y 的严格凹区间为 (0,) +∞, 其对应的曲线的拐点为(0,0)三、判断题（若正确的命题请给予证明,错误的命题请举出反例并作必要的说明）（每⼩题6分, 共12分）设12,[,]x x a b ∈，则2212121212121212()()()2(),f x f x x x x x x x x x x x a b x x -=-=+?-≤+?-≤+- 所以，对任给的0,ε>取,2()a b εδ=+则当12,[,]x x a b ∈且12x x δ-<时，就有12()()f x f x ε-<,故()f x 在[,]a b 上⼀致连续.2. 设函数f 在0x 点可导, 则f ⼀定在0x 的某邻域内可导. 解：此命题是错误的.举⼀个反例如下: 2()(),f x x D x =其中()D x 为狄利克雷函数.因为()(0)()0, ( 0) 0f x f xD x x x -=→→-故f 在0x =可导.取01ε=,对0x =的任意δ邻域(不论正数δ多⼩),任取0(0,),x U δ∈00,x ≠存在有理数列{}n x 和⽆理数列{}n x '，满⾜0();n x x n →→∞0()n x x n '→→∞，但220(),()()0n n n f x x x n f x =→→∞'=200x ≠，故f 在0x =的任意δ邻域均不连续，所以f 不可导.四、计算题（每⼩题5分, 共45分）（1）设21ln(1),2y xarctgx x 2=-+ 求y '.解: y '=21()(ln(1)2xarctgx x 2''-+=22222111()(1)1()21arctgx x x x x x2''+??-?+++222111221()21arctgx x x x x x 2=+?-++2=+-++（2）设22()(1)u x y x =+（其中()u u x =为可微函数），求dy .解：222222()()ln(1)()ln(1)22((1))()(()ln(1))u x u x x u x x dy d x d e ed u x x ++=+==+22()2222(1)[()(l n (1))l n (1)(())]u x x u x d x x d u x =++++ 22()2222(1)[()l n (1)()()].1u x x x u x x u x u x dx x'=++++（3）设函数()y y x =是由参数⽅程33cos sin x ty t==所确定, 求dy dx 及24t d y π=. 解：32 32(sin )3sin cos sin tan (cos )3cos (sin )cos dy dy t t t tdt t dx dx t t t tdt'?====-=-'?-； 222324(tan )sec 1所以224t d y dx π==（4）设21,0(),xx x x f x e x ?++≥?=?解：当0x >时，()()21,()2,()0(3);k f x x f x f x k '''=+=≡≥当0x <时，()()(1).k x f x e k ≡≥ 当0x =时，由左右导数定义可求得(0)(0)(0)1,f f f +-'''===⽽当2k ≥时,()(0)k f 不存在,整理后得21, >0,()1, =0,, <0,x x x f x x e x ?+?'=2, >0, (), =0,, <0,x x f x x e x ??''=不存在当3n ≥时,()()()()0(0),()(0),(0)k k x k f x x f x e x f =>=<不存在.2. 求极限（1）222lim()21222n nnnn n n n→∞++++++;解:因为22222222222212222121n n n n nlim lim 222n n n n n n n n →∞→∞==++, 所以由迫敛性,得2221lim().212222n nnn n n n n →∞+++=+++（2）20ln(1)cos lim 1x x x xe tgx →+++;解:因为函数在0x =连续,故2200ln(1)cos ln(10)cos001lim 1.11010x x x x e tgx e tg →+++++===+++（3）011lim()1x x x e →--;解:这是⼀个∞-∞型不定式极限,通分后化为0型的极限,即000011111lim()lim lim lim .1122x x x x x x x x x x x x x e x e e x e xe x e xe e xe →→→→----====--+-+（4）12sin 0lim(1)xx x →+;解:这是⼀个1∞型不定式极限.作恒等变形211ln(1)2sin sin (1)x xx其指数部分的极限201limln(1)sin x x x →+是00型不定式极限,可先求得220012101lim ln(1)lim 0,sin cos 1x x x x x x x →→?++===从⽽得到120sin 0lim(1)1.xx x e →+==（5）2221lim()1n n n n →∞-+.解:先求函数极限22222221(1)1lim()lim ,11(1)x x x x x x x x x→∞→∞--=++ 由于2222111lim(1)lim 1(1)x x x xx e x→∞→∞--==-且221lim(1)x x e x →∞+=,故 2222222211lim(1)11lim()11lim(1)x x x x x x x x e x e e x→∞→∞→∞--===++,由归结原则,可得222211lim()1n n n n e →∞-=+.五、证明题（第1、2⼩题每题6分, 第3⼩题8分,共20分）1. ⽤N ε-定义证明222312222231515621n n n n n n n n n n n n ++++-=≤=----，所以，任给0,ε>取6[]1,N ε=+则当n N >时，有222312,n n n nε++-<-故22231lim 2.n n n n n →∞++=-2. 设2()1xf x x =+, ⽤εδ-定义证明函数f 连续. 解:易见函数定义域为,R 任取0,x R ∈不妨设01,x x -<0000222200()(1)()()11(1)(1)x x xx x xf x f x x x x x ---=-=++++001x x xx ≤-?-00000(1)(1(1))x x x x x x x x ≤-+?<-++?200(1),x x x ≤-+ 故对任给0,ε>取20min{1,},(1)x εδ=+则当0x x δ-<时,0()(),f x f x ε-<即()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, f 在R 上连续.3. 设函数g 在闭区间[,](0)a b a b <<上连续, 在开区间(,)a b 内可导, ()0,g a <()0,g b <且存在(,)c a b ∈使()0.g c > 证明: ⾄少存在⼀点(,)a b ξ∈使()()0.g g ξξξ'+=证明:因为函数g 在闭区间[,][,](0)a c a b a b ?<<上连续,且()0,g a <()0,g c > 由零点定理知,存在1(,),a c η∈使得1()0.g η=同理, 因为函数g 在闭区间[,][,](0)c b a b a b ?<<上连续,且()0,g c >()0,g b <由零点定理知,存在2(,),c b η∈使得2()0.g η=构造12[,]ηη上的辅助函数()()G x xg x =,易见()G x 在闭区间12[,]ηη上连续,在开区间12(,)(,)a b ηη?上可导,且111222()()0,()()0,G g G g ηηηηηη====由罗尔定理,可得⾄少存在⼀点12(,)(,),a b ξηη∈?使得()0G ξ'=,即。

暨南大学高等数学期末考试题

一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1．已知()y x y x f 23,+=，.则2(,)f xy x 2 32 xy x =+.2．因为0)(=C d ，所以⎰dx 0= C ．3．设z=z(x,y) 是由方程0ze xyz-=所确定的隐函数，则xz∂∂=z yz e xy-4．若函数22(,)f x y x y =+则在点（0，0）取得极值，5．2()3sin f x dx x C =+⎰, 则()f x =2 6cos x x6．计算广义积分21ln edx x x+∞=⎰1 7．函数x ye =的差分=∆x y (1) x e e -8．微分方程 43()59y y xy '''''++=的阶数是 2 阶。

9.函数)1ln(42222-+--=y x y x z 定义域为： {}22 (,)|14 D x y x y =<+≤10．已知z xy =当2,1,0.02,0.01x y x y ==-∆=∆=-时，则dz = 0.04 -二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）1．的原函数是（ D ）。

A 1； B 2x ； C221x ； D C x +2212．已知边际成本为 ()0.42C x x '=+，且固定成本为20，则成本函数是（ A ）A. 20.2220x x ++ B. 20.420x + C. 20.42x x +D. 20.4220x x ++3．若⎰=2sin )(x tdt x f ，则)('x f =( A )。

A ．2sin 2x x ， B.2sin x x C.22cos x x D. 2sin x4．设积分区域D:221,0,0x y y x +≤≥≥，则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x f )(22= ( D ) 。

A. 1202()d f r dr πθ⎰⎰ B. 1202()d f r rdr πθ⎰⎰C.120()d f r dr πθ⎰⎰ D. 120()d f r rdr πθ⎰⎰5．微分方程2y x '=的通解是（ B ）A. 2y x c =+B. 2y x c =+ C. 21y x =+D. 2y x =三、计算题（共6小题，每小题5分，共30分）1．计算不定积分cos xe xdx ⎰.解：cos x e xdx ⎰cos x xde =⎰cos sin x x e x e xdx =+⎰ cos sin x x e x xde =+⎰cos sin cos x x x e x e x e xdx =+-⎰移项2cos cos sin x x x e xdx e x e x =+⎰于是1cos [cos sin ]2x x x e xdx e x e x c =++⎰2．计算定积分dx x xe⎰+1ln 1。

2007年港澳台全国联考数学真题[1]

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（12）已知
() 是
R上的可导函数，下列陈述中正确的是
fx
(A)若
'( ) 是偶函数则
x
B
, B
(( y) 两点，且
p
>
0, yA
<
0.专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班北京博飞教育中心

（I）用
p和
k表示
ΔAOB的面积；
（II）证明Biblioteka tan ∠BOA =.
34 1+
k
12
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xx+.<{|xxxx..<
【】
≤≤πasin 3
（2）若πa
2, 且
sin a<0, 则
a满足
（A）πa4 （B）
5 πa
<<π<<2π
33
(C) 4 πa5 (D) <<4 π或
5 πa2
<<ππa<<π
33 33
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【】

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得分
评卷人
（26）（本题满分
15分，理工农医类考生不做）
对某种产品的抽检规则如下：从一批
10件产品中随机抽取
2件，逐一检查，如果未发现

2007—数二真题、标准答案及解析

在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的
是：（C）
.
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
A. 若存在，则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
（5）曲线渐近线的条数为
（D）
0
12
3
(6)设函数在上具有二阶导数，且,
令=
则下列结论正确的是
(D)
A.若，则必收敛 B. 若，则必发散
则原式可化为：等式两边同时求导得：
（18）（本题满分11分）设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值. 【详解】：
得故即是唯一驻点，也是最小值点，最小值（19）求微分方程满足初始条件的特解. 【详解】：设，则代入得：
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于（）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A）（B）
（C）（D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，
（）
(A) 合同，且相似
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（c）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于（B）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A）（B）
（C）（D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，

暨南大学、华侨大学两校联考模拟数学试题

1年暨南大学、华侨大学联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题数学7满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知I 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x y x =-<==-，则)(N C M I ⋂= ( )A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅2．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A) 2π(B) π (C) 2π (D) 4π3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)32(C)22 (D)3224．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( )(A) 12- (B)0 (C)12 (D) 15．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -=（）A ．1B ．14C ．1-D ．114-6．函数234x x y x--+=的定义域为( )A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．D ．[4,0)(0,1]-7．已知直线24ax y +=的倾斜角为0135，则a =（）A 2-B 1-C 1D 28．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( )(A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}611．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么( )(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 12．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)113．函数211(0)y x x =++<的反函数是( )（A ）22(0)y x x x =-< （B ）22(0)y x x x =--<（C ）22(2)y x x x =-> （D ）22(2)y x x x =-->14．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 ( )（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-=二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 16．3log (21)1,________x x +==已知则17．已知双曲线2214x y -=，则其渐近线方程为______________,离心率为_____________18．设数列{}n a 为公比1q >的等比数列，若45,a a 是方程24830x x -+=的两根，则267a a +=_________.19．62()x x-展开式中，常数项是__________20. 在ABC ∆中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =︒，75C =︒，8a =，则边b 的长等于21．若正四棱柱的对角线长为3，则其侧面积的最大值是 _____ 三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 22. （12分）（2）23．（12分）在ABC ∆中，已知1tan 3,cos ,363B C AC ===，求ABC ∆的面积24．（14分）在正项等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，355a a +=且3a 和5a 的等比中项是2． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 若212221(log log log )n n b a a a n=+++，判断数列{}n b 的前n 项和n S 是否存在最大值，若存在，求出使n S 最大时n 的值；若不存在，请说明理由。

2007—数一真题、标准答案及解析

2007年考研数学一真题40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要A. 1 e XB.ln 1 x1X[0 , 2]的图形分别是直径为 2的上、下半圆周，设F(x)= 0 f(t)dt .则下列结论正确的是且f"(x) o ,令u n =f( n)=1,2,…..n,则下列结论正确的是 ()A.若U 1 U 2，则｛U n ｝必收敛B.若U 1 U 2，则｛U n ｝必发散C.若U 1U 2，则｛ U n ｝必收敛 D.若U 1U 2，则｛ U n ｝必发散⑹设曲线L : f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数)，过第H 象限内的点 M 和第W 象限内的点 N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是()A. r (x, y)dxB. r f (x,y)dyC. r f(x,y)dsD.」'x (x,y)dx f 'y (x,y)dy(1)当 x 0时，与-X 等价的无穷小量是⑵曲线y=1ln(1e x ),渐近线的条数为xA.0 (3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3 , -2], [2 , 3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2 , 0],B.1C.2D.3 (A) 12,23,31(B )1 2,2 3,31(C )12 2, 22 3,3 2 1( D )12 2, 2 2 3,3 212 1 1 1 0 0(8) 设矩阵 A= 1 2 1 ,B= 0 1 0 ，则 A 于 B()1 1 20 0 0(A) 合同,且相似(B)合同，但不相似(C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(7)设向量组 1 , 2 , 3线形无关，则下列向量组线形相关的是：()(9 )某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为一、选择题(本题共10小题，每小题4分，满分求，把所选项前的字母填在题后括号内)D. 1 COS i X3 _ .A. F(3)= F( 2) 4⑷设函数f (x )在x=0处连续，下列命题错误的是A.若lim 丄凶存在，则f (0) =0Xx C.若 lim f (x)存在，则 f (0) =0Xx5 3 B. F(3)= - F (2) C. F(3)= -F(2) 4 4()B.若lim f(x) f( x) Xxf (x) f ( x)D.若00「」D. F(3)=存在，则存在，则扣(2)4f (0) =0 f (0) =0⑸设函数f (x)在(0, +)上具有二阶导数, p 0 p 1，则此人第4次射击恰好第2 2(A) 3p(1 p) (B)6p(1 p) 2 2 2 2(C) 3p (1 p) (D) 6p (1 p)(10)设随即变量(X ，丫)服从二维正态分布，且 X 与Y 不相关，f x (x) , f Y (y)分别表示X , Y 的概率密度，则在Y = y 的条件下，X 的条件概率密度f x IY (X | y)为填空题：11 - 16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(12) ______________________________________________________ 设 f (u, v)为二元可微函数，z f (x y , y x )，则一Z = ____________________________________________ .x(13) 二阶常系数非齐次线性方程 y 4y' 3y 2e 2x 的通解为y = __________________(14)设曲面：|x| | y | |z| 1，贝V(x | y|)ds = ____________0 10 0 0 0 10 3(15) 设矩阵A =，则A 的秩为0 0 0 1 ---------------------------------- 0 0 0 01(16)在区间(0, 1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于一的概率为2三•解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上 •解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•(17) (本题满分 11 分)求函数 f(x, y) x 2 2y 2 x 2y 2在区域 D {(x, y) x 2 y 24,y 0}上的最大值和最小值。

暨南大学经管类内招《高等数学》(II)期末考试题及练习题

经，管学院内招生《高等数学》（Ⅱ）练习题一．填空题1．要使广义积分11(1)k dx x +∞++⎰收敛，必须k ；2．差分2(2)x x ∆+= 3．若在(1,1)-上1()(1)nn x f x n n ∞==+∑，则在(1,1)-上()f x '= ；4．若连续函数()f x 在[,]a a -上满足()()f x f x -=-，则()aaf x dx -⎰= ；5．211dx x +⎰= ；6．2314dx x +∞-⎰ = ；7．20sin x d t dt dx⎰= 8．(,)5f x y xy x y =+-+的驻点 ;9．若()f x=dt ⎰，则 ()f x '= ；10。

二重积分220dxdy ⎰⎰=11．已知函数 (,)f x y = 22x y + ，则 d f = ； 12．已知函数 (,)f x y = x ye ，则 (,)xf x y '= , (1,2)x f '= ；13．10x e dx -⎰= ；19．微分方程 0xdx y dy += 的通解是；14．函数2x 的全体原函数是；15．函数22ln(1)z x y =--的定义域为16．球心在(1,2,3)-半径为2的球面方程是。

17. 差分方程 122x x y y -∆=+是阶的差分方程. 二．计算下列不定积分或定积分1．321(3cos )xx x dx x++⎰ ; 2． 22(arc )1x tgx dx x -+⎰； 3．101ln(1)2x dx +⎰4．120311x dx x -+⎰ ; 5．403x -⎰dx ; 6．52⎰dx ; 7．94dx ⎰； 8．51(5sin xx x dx x +-+⎰ ； 9．； 10．32220()a x a x dx -⎰11．设221()x x f x dx ec -=+⎰，求1()dx f x ⎰； 12。

暨南大学、华侨大学招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

暨南大学、华侨大学招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学模拟试题一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若多项式c x x +-23有因式1-x ，则=c （）（A ）-3（B ）-1（C ）1（D ）3（2）设i z 2222--=，则=z （）（A ）22（B ）1（C ）2（D ）22 （3）斜率为)0(>k k 的直线沿x 轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则=k （）（A ）35（B ）34（C ）43（D ）53 （4）设32)(2--=x x x f 在()+∞,a 上为增函数，则a 的取值范围为（）（A ）[)+∞,1（B ）(]3,∞-（C ）[)+∞-,1（D ）(]3,-∞-（5）已知12tan 2-=a a x ，其中常数()1,0∈a ，且()π,0∈x ，则=x cos （）（A ）122+-a a （B ）122+a a （C ）1122+-a a （D ）1122++-a a （6）3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同的排法共有：（）（A ）48种（B ）36种（C ）24种（D ）18种（7）已知向量OA ，OB 不共线，31=，则向量OM 为() （A ）→→-OB OA 3431（B ）→→+OB OA 3132 （C ）→→-OB OA 3231（D ）→→+OB OA 3231 （8）焦点为()0,2，准线为1-=x 的抛物线方程为（）（A ）362+-=x y （B ）362+=x y（C ）362--=x y （D ）362-=x y（9）等比数列的前n 项和c ab S n n +=其中c b a ,,为常数，则：（）（A ）0=+b a （B ）0=+c b （C ）0=+c a （D ）0=++c b a（10）3种颜色的卡片个5张，从中随机抽取3张，则3张卡片颜色相同的概率为：（）（A ）916（B ）9112（C ）2738（D ）27316 （11）设函数()x x f sin cos )(=，则下列结论正确的是（）（A ）)(x f 的定义域是[]1,1-（B ）)(x f 的值域是[]1,1-（C ）)(x f 是奇函数（D ）)(x f 是周期为π的函数（12）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以D C B A ,,,为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（）（A ）ο30（B ）ο45（C ）ο60（D ）ο90二、填空题：本大题共6小题；每小题5分。

暨南大学高等数学期末考试题

一、填空题(共10小题，每小题2分,共20分）1．已知，。

则.2．因为，所以=C．3．设z=z(x,y) 是由方程所确定的隐函数，则=4．若函数则在点(0,0）取得极值，5．，则6．计算广义积分 17．函数的差分8．微分方程的阶数是 2 阶.9。

函数定义域为：二、选择题(共5小题，每小题2分，共10分）1．的原函数是（D)。

A 1；B ；C ； D2．已知边际成本为，且固定成本为20，则成本函数是（A）A。

B。

C。

D。

3．若,则=（ A ）。

A．， B. C. D.4．设积分区域D：,则二重积分= （ D ) 。

A。

B。

C. D.5．微分方程的通解是( B )A。

B.D。

三、计算题（共6小题,每小题5分,共30分)．计算不定积分。

解：移项于是2．计算定积分。

解：3．若，求。

解：4求函数的全微分及。

解:5．求微分方程的通解。

解:由6．设而,求解方法二:将，代入得：判别级数是否收敛：解：= ==,五、计算题（共1小题，每小题5分，共5分）所围成的图形的面积A解：两曲线的交点为(0,0），（1,1）,于是积分区间为［0,1]所求面积为分分六、计算题（共1设D 是平面上由曲线，直线及所围成的区域,试求。

解：依题意作积分区域如图,选择先积此时积分区域为七．计算题（共1设,函数具有二阶连续偏导数。

试求。

解：+方法二记：则八、计算题（共1小题,每小题6,共6分).解:由得∵当时级数为发散（）四、判断题（共1小题，每小题5，共5)当时级数为发散（）∴幂级数的收敛区间为(-1，1）设和函数为两端关于求积分得:两端求导数得：九、应用题（共1小题，每小题8分，共8分).根据统计资料,销售收入与报纸广告费用(百万元)和电视广告费用（百万元）之间有如下关系：若可供使用的广告费为150万元,求相应的最佳广告策略解：已知报纸广告费用为(百万元），电视广告费用为（百万元）．如果限定广告支出为150万元即1。

5百万元，则问题转化为求函数在条件即限制下的条件极值问题构造拉格朗日函数求偏导数，建立方程组得解之得答:根据该问题的实际意义知,此时将广告费全部用于电视广告,可使得该公司获十、证明题（共1题,每小题5分，共5)证明证：由左边设则，当时，当时于是左边= 右边即＊＊***＊＊***＊＊＊＊＊＊＊＊*＊＊＊*＊**＊＊＊**2007 - 2008 学年度第二学期一、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。

华侨大学07级高等数学(上)期中试题答案

华侨大学2007年高等数学（上册）期中考试参考答案与评分标准考试时间：2007年12月2日上午 9：00-11：00一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）1、32、10y ex --=3、14、211dx x -+5、[-1,1]6、7a =-, 6b =二、解答题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）1、解：（1）原式=lim x.[2] lim x =...[4] 1=…..[6] （2）原式=20tan (1cos )lim (1)x x x x x e -→--…..[2] 330/2lim x x x →=-....[5] 12=- .. (6)（3）原式ln 1lim 1ln x x x x e x x →-=-+….[1] 11(l n 1)l i m 1x x x x x x →-+=⋅- (2)211(ln 1)lim 1x x x x x x -→++=…[5] =2…...[6].2、解：(1) 222()x x dy e f e dx '=…..[3]； 2224224()4()x x x x d ye f e e f e dx '''=+ (6)（2）dx dy (1sin )cos 1sin cos (1cos )sin 1sin cos t t t t e t e t t tdy dx dt dt e t e t t t -----+++-===-+-++ (2)221sin cos ()1sin cos t d yd dy dtt tdxt t dt dx dt dx dx +-⎛⎫'=⋅= ⎪++⎝⎭ (4)32(1sin )(1sin cos )t e t t t +=-++ (6)三、（本题满分12分）解：由于00()(0)1(0)lim lim sin 00x x f x f f x x x +++→→-'===-， (3)00()(0)(0)lim lim 0(0)0x x f x f f x f x ---+→→-''====-， .. ...... .. (6)所以()f x 在0x =处可导，且(0)0f '=. ...... .. (7)又当0x >时，2111()(sin )2sin cos f x x x x x x ''==-， ... (9)当0x <时， 2()()2f x x x ''==. ....... .. (11)从而所求的导函数为 112sin cos ,0()2,0x x f x x xx x ⎧->⎪'=⎨⎪≤⎩. (12)四、（本题满分10分）证：令 ()(1)l n (1)a r c t f x x x x =++-， (3)则 2221()ln(1)1ln(1)11x f x x x x x '=++-=++++ . ..............[5] 当0x >时， ()0f x '>，从而()f x 在[0,)+∞上是单调增加的，... (8)故当0x ≥时，有()(0)0f x f ≥=，即arctan ln(1)1x x x+≥+. … ...[10] 五、（本题满分10分）解：在平面直角坐标系中，设顶点(0,2)B a ，(,0)A a -及(,0)C a ，点P 的坐标为(0,)y ，则点P到三顶点的距离和为()2s y a y =-，02y a ≤≤. …..….…….[3] ds dy =，令0ds dy =得唯一驻点y =. …………………..….…….[7] 又222223/220()d s a dy a y =>+，故当y =时s最小，从而所求的点为P . ….[10] 六、（本题满分8分）解：,0;()1,0;1/,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪<⎩当时当时当时. (3)由初等函数的连续性知()f x 在(0,)+∞与(,0)-∞内处处连续. (5)另外，00lim ()lim ()0x x f x x ++→→=-=，001lim ()lim x x f x x--→→==-∞. .... ................[7] 所以0x =为()f x 的第二类间断点. . (8)七、（本题满分6分）证明：由条件知)(x f 在],[b a 上连续且()()0f a f b ⋅<，则由零点定理，(,)a b η∃∈，使得()0f η=. ... . (2)再根据假设()f x 在(,)a b 内二阶可导，由泰勒中值定理有2()()()()()()2!f f f c f c c c ξηηη'''=+-+-，（ξ在c 与η之间）. …..…….[5] 由于()0f c >，()0f η=与()0f c '=，故由上式有22()()0()f c f c ξη''=-<-. 显然，ξ(,)a b ∈，故ξ为所求. .... . (6)。

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2007年暨南大學、華僑大學
招收港澳、台灣、華僑、華人及其他外籍學生入學考試題目
數學(A)
一. 選擇題:本大題共15小題,每小題4分,共60分,每小題所列四個選項中只有
一個是正確的,把你的選擇按題號填入答案紙。

1. 若集合R = {a, b, c, d}, {b, e, f}{c, f, g}則集合{⋃}⋂N = [ ]
A. {a, b, c }
B. {b, c, f}
C. {c, f}
D. {c, f, g}
2.己知不等式022>+-a x x 的解集為實數集R, 則實數a 的取值範圍是 [ ] A. 1≥a
B. 1>a
C. 1≤a
D. 1<a
3.函數
x x y 2cos sin 32+=的最小正週期為 [ ] A.2π
B.π
C. π2
D. 3π
45)
1)(2(i i i +-
[ ] A. 2
B. 1
C. 1+3i
D. 1-3i
5. 在
12
5)1(x x +的展開式中常數項是 [ ] A. -50
B. 66
C. 60
D. 65
6. 若函數)(x f 满足x x
f 2lo
g )11(=+,則)3(f 的值是 [ ] A. 3log 2 B. 21- C. 21 D. 3log 2-
7. 要得到函數)32sin(3π-
=x y 的圖像,只需將函數3 2x 的圖像 [ ] A.向左平移
3π個單位 B.向右平移3π個單位 C.向左平移6π個單位 D.向右平移6π個單位
8.函數1-=x e y 的反函數)(1x f -= [ ]
A. )0(1ln ≥+x x
B. )0(1ln >-x
C. )1)(1ln(-≥+x x
D. )1)(1ln(->+x x
9.已知數列4,,,121--a a 成等差數列,4,,,,1321--b b b 成等比數列,則212b a a -的值是 [ ] A.21
B. 21-
C. 21或21-
D. 41
10.已知平面α內有060=∠XOY , 是過平面α的斜線,且3, ∠∠450,則A 到平面α的
距離是 [ ]
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 已知過點),1(m A -和)5,(m B 的直
與直0123=+-y x 垂直, 則m 的值為[ ] A. 10
B. 13
C. 17
D. 19 12. 已知圓
1222=+-y my x (m 為常數)上有兩個不同的點關於直1+=x y 對稱, 則m 的值為 [ ]
A. 1
B. 4
C. 8
D. 12
13.有5根木條,長度分別為1、3、5、7、9取其中3根,可以構成三角形的概率[ ]
A. 0.3
B. 0.5
C. 0.7
D. 0.8
14.定義在實數集R 上的偶函數)(x f 满足)()2(x f x f =+,且)(x f 在[-32]上
是減函數,又α、β是銳角三角形的兩個內角,則 [ ]
A.)(sin )(sin βαf f >
B.)(cos )(cos βαf f <
C.)(cos )(sin βαf f >
D.)(cos )(sin βαf f <
15.已知3個同一品牌的飲料空瓶可以換得一瓶該品牌的飲料喝,現有10個該品牌的飲料空瓶,若不交錢,最多可以喝瓶這種飲料. [ ]
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二. 填充題:本大題共8小題,每小題4分,共32分,把答案按題號填入答案紙。

16. 設a 10, b 6, a ．b =330,則向量a 與b 的夾角θ為.
17. 設ABC ∆的三個內角分別為C B A ,,且
21cos -=A ,則____)tan(=-+A C B
18.有5個男生和3個女生,從中選出5人去參加某公益活動,要求有女生參加,但人數必須少於男生,則一共有種選法(用數字作答)
19. 在4)2(x x +的展開式中3x 項的係數是
20. 圓柱的側面展開圖是長為12πcm ,寛為8矩形,且該圓柱的底面半徑大於
3,則該圓柱的體積為
21. 不等式0)4
1(21<--x x 的解集為
22. 與雙曲線116
92
2=-y x 有共同的漸近線,且經過點)24,3(-的雙曲線方程為
23. 設,)1(log 2)(log 2)(222b x a x x f ++=已知當2
1=x 時,)(x f 取得最小值為-8,則a - b
三. 解答題:本大題滿分58分。

在第24、25、26題中任選兩題作答,若解答超過兩題,按所答前兩題計分。

選考歷史或地理的考生做27、28題,選考物理、化學或生物的考生做29、30題。

把解答過程寫入答案紙,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

24. (本小題满分14分)
解關於x 的方程: o x x =-⋅-++1323
132
25. (本小題满分14分)
三棱錐中,,a BC SA BC SA ==⊥與的距離為b,求這個三棱錐的體積.
26. (本小題满分14分)
己知αα是關於x 的方程0)12(52522=+++-t t x t x 的兩根且α為銳角,求t 的值.
27. (選考歷史或地理的考生必做) (本小題滿分15分)
直線l 截圓0222=-+y y x 所得弦的中點是)2
3,21(-,求直線l 的方程
28. (選考歷史或地理的考生必做) (本小題滿分15分)
某巿的一家報刊攤點從報社買進<<某巿晚報>>的價格是每份0.12元,賣出的價格是
每份0.20元,賣不掉的報還可以以每份0.04元的價格退回報社,在一個月(以30天計算)裡,有20天每天可賣出400份,其餘10天每天只能賣出250份,但每天從報社買進的份數必須相同,他應該天從報社買進多少份,才能使每月所獲得的利潤最大?并計算他一個月最多可賺得多少元?
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. D
5. B
6. B
7. D
8. D
9. A 10. A 11. C 12. A 13. A 14. C 15. C
16. 17. 18. 45 19. 24 20. 21.
22. 23. 4
24. 1 25. 26. 3
27. 2 28. 每天買進400份才有最大利潤720元。