图连通性算法及应用
图的连通性判断算法的时间复杂度
图的连通性判断算法的时间复杂度图是数学中一种常见的数据结构，在计算机科学中也有广泛的应用。
图由节点（顶点）和边组成，表示了不同元素之间的关系。
在图中，如果每个节点都可以通过路径相互到达，则该图被称为连通图，否则被称为非连通图。
图的连通性判断算法指的是判断给定的图是否是连通图的问题。
常见的图的连通性判断算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法。
接下来，将分别介绍这两种算法，并分析它们的时间复杂度。
一、深度优先搜索（DFS）算法深度优先搜索算法是一种递归的算法，通过访问节点的方式来遍历整个图。
DFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后通过递归地访问与该节点相邻的节点，直到没有未访问过的节点。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
DFS算法的时间复杂度取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么DFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每个节点都需要遍历它的所有相邻节点。
二、广度优先搜索（BFS）算法广度优先搜索算法是一种迭代的算法，通过按层级的方式遍历整个图。
BFS算法首先选择一个节点作为起始节点，然后按照从起始节点开始的顺序，依次访问每个节点的所有相邻节点。
通过不断扩展搜索的范围，直到所有节点都被访问过。
如果所有的节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是非连通的。
BFS算法的时间复杂度也取决于图的大小和结构。
假设图有n个节点和m条边，那么BFS算法的时间复杂度为O(n + m)。
在最坏的情况下，每个节点都需要被访问一次，并且每次访问时都需要遍历其所有相邻节点。
总结：图的连通性判断算法的时间复杂度分别为O(n + m)的DFS算法和BFS算法。
其中，n表示图的节点数，m表示图的边数。
这两种算法在连通性判断问题上表现良好，并且可以在较短的时间内找到问题的解答。
需要注意的是，虽然DFS和BFS可以用于判断图的连通性，但它们在处理大规模图时可能存在效率问题。
图的连通性问题
G
H
图1 有向图G
A C
B D
F
G H
E
图2 逆置图G’
Step3：根据步骤1得到的遍历序列，按照结点结束访问时间递减 排序后的结果 EFGHACBD 下面，按照该结点序列顺序对逆置图G’所深度优先遍历，得到 的深度优先遍历森林如图3所示。森林中共有4棵树，其中(a)和(d) 只有一个结点，这里认为单结点也是一个强联通分量（在实际应 用中可以根据实际需要将这种情况过滤掉）。 A C E B D 图2 逆置图G’ F G A B D F G H
二、Kosaraju算法求解过程实 例
下面结合实例说明Kosaraju算法的基 本策略。图1给出了一个有向图G。
A
C
B
D
图1 有向图G
F
E
G H
Step1：假设从DFS在遍历时按照字母顺序进行，根据 Kosaraju算法，在步骤1中我们得到的遍历顺序可以表达为 [A,[C,[B,[D,D],B],C],A][E,[F,[G,[H,H],G],F],E] 越后出栈的点先访问 第一步所得到的顺序即为：EFGHACBD Step2：根据算法第2步，将图G逆置，得到对应的反向图G’ 如图2所示。 A C B D F E
有向图和它的转置的 强连通分量相同
所有SCC构成一个 DAG
求强连通分量使用 Kosaraju算法
一、Kosaraju算法步骤： Step1、对有向图G做dfs（深度优先遍历），记录每个结点结束访 问的时间(即节点出栈顺序，后出栈的点第二次先扫描) Step2、将图G逆置，即将G中所有弧反向。 Step3、按Step1中记录的结点结束访问时间从大到小对逆置后的 图做dfs Step4、得到的遍历森林中每棵树对应一个强连通分量。
离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。
其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。
图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。
在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。
下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。
该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。
与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。
然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。
接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
3. 并查集并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。
在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。
首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。
最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
4. 最小生成树最小生成树是一种保留了图连通性的树结构。
在连通性判定中，可以通过构建最小生成树来判断图的连通性。
首先，选择一个节点作为起始节点。
然后，从所有与当前树相连的边中选择权值最小的边，并将连接的节点加入树中。
重复该过程，直到树中包含了图中的所有节点。
如果最后构建的树包含图中的所有节点，则图是连通的。
离散数学图的连通性判定算法
离散数学图的连通性判定算法离散数学中，图是研究事物之间关系的一种可视化表示方式。
而图的连通性判定算法是判断图中各个节点之间是否存在连通路径的一种方法。
本文将介绍常用的离散数学图的连通性判定算法，并对其进行详细说明。
一、深度优先搜索算法深度优先搜索算法（Depth First Search，简称DFS）是一种用于遍历图或树的搜索算法。
在图的连通性判定中，DFS算法可以用于检测一个图是否是连通图。
算法步骤如下：1. 选择一个起始节点作为当前节点，并将其标记为已访问；2. 从当前节点出发，沿着一条未访问的边到达相邻节点；3. 若相邻节点未被访问，则将其标记为已访问，并将其设为当前节点，重复步骤2；4. 若当前节点的所有相邻节点都已被访问，则回溯到上一个节点，重复步骤3，直到回溯到起始节点。
通过DFS算法，我们可以遍历图中的所有节点，并判断图的连通性。
若在遍历过程中，所有节点都被访问到，则图是连通的；否则，图是非连通的。
二、广度优先搜索算法广度优先搜索算法（Breadth First Search，简称BFS）也是一种用于遍历图或树的搜索算法。
在图的连通性判定中，BFS算法同样可以用于判断图是否为连通图。
算法步骤如下：1. 选择一个起始节点作为当前节点，并将其标记为已访问；2. 将当前节点的所有相邻节点加入一个队列；3. 从队列中取出一个节点作为当前节点，并将其标记为已访问；4. 将当前节点的所有未访问的相邻节点加入队列；5. 重复步骤3和步骤4，直到队列为空。
通过BFS算法，我们可以逐层遍历图中的节点，并判断图的连通性。
若在遍历过程中，所有节点都被访问到，则图是连通的；否则，图是非连通的。
三、并查集算法并查集算法（Disjoint Set Union，简称DSU）是一种用于处理一些不相交集合的数据结构。
在图的连通性判定中，并查集算法可以用于判断图的连通性。
算法步骤如下：1. 初始化并查集，将每个节点设为一个单独的集合；2. 对于图中的每一条边(u, v)，判断节点u和节点v是否属于同一个集合；3. 若节点u和节点v属于不同的集合，则将它们合并为一个集合；4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有边。
数据结构与算法 图的遍历与连通性
数据结构与算法图的遍历与连通性数据结构与算法：图的遍历与连通性在计算机科学中，数据结构和算法是解决各种问题的基石。
其中，图作为一种重要的数据结构，其遍历和连通性的研究具有至关重要的意义。
让我们先来理解一下什么是图。
简单来说，图是由顶点（也称为节点）和边组成的结构。
顶点代表了事物或者对象，而边则表示顶点之间的关系。
例如，在一个社交网络中，人可以被视为顶点，而人与人之间的好友关系就是边。
图的遍历是指按照一定的规则访问图中的所有顶点。
常见的图遍历算法有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历就像是一个勇敢的探险家，一头扎进未知的领域，勇往直前，直到走投无路，然后回溯。
它的基本思想是先访问一个顶点，然后沿着一条未访问过的边递归地访问下一个顶点，直到没有可访问的边，再回溯到之前的顶点，继续探索其他未访问的边。
想象一下你在一个迷宫中，选择一条路一直走到底，直到遇到死胡同或者已经没有新的路可走，然后再返回之前的岔路口，选择另一条路继续前进。
广度优先遍历则像是一个谨慎的旅行者，逐层探索。
它先访问起始顶点，然后依次访问其所有相邻的顶点，再依次访问这些相邻顶点的相邻顶点，以此类推。
这就好比你在散播消息，先告诉离你最近的人，然后他们再告诉他们附近的人，一层一层地传播出去。
那么，为什么我们要进行图的遍历呢？这是因为通过遍历图，我们可以获取图的各种信息，比如顶点之间的关系、图的结构特点等。
在实际应用中，图的遍历有着广泛的用途。
例如，在搜索引擎中，通过遍历网页之间的链接关系来抓取和索引网页；在社交网络分析中，遍历用户之间的关系来发现社区结构等。
接下来，我们谈谈图的连通性。
连通性是指图中顶点之间是否存在路径相连。
如果从图中的任意一个顶点都可以到达其他任意一个顶点，那么这个图就是连通图；否则，就是非连通图。
判断图的连通性是一个重要的问题。
一种常见的方法是从某个顶点开始进行遍历，如果能够访问到所有的顶点，那么图就是连通的；否则，图是非连通的。
dfs通用步骤-概述说明以及解释
dfs通用步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述DFS（深度优先搜索）是一种常用的图遍历算法，它通过深度优先的策略来遍历图中的所有节点。
在DFS中，从起始节点开始，一直向下访问直到无法继续为止，然后返回到上一个未完成的节点，继续访问它的下一个未被访问的邻居节点。
这个过程不断重复，直到图中所有的节点都被访问为止。
DFS算法的核心思想是沿着一条路径尽可能深入地搜索，直到无法继续为止。
在搜索过程中，DFS会使用一个栈来保存待访问的节点，以及记录已经访问过的节点。
当访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其所有未访问的邻居节点加入到栈中。
然后从栈中取出下一个节点进行访问，重复这个过程直到栈为空。
优点是DFS算法实现起来比较简单，而且在解决一些问题时具有较好的效果。
同时，DFS算法可以用来解决一些经典的问题，比如寻找图中的连通分量、判断图中是否存在环、图的拓扑排序等。
然而，DFS算法也存在一些缺点。
首先，DFS算法不保证找到最优解，有可能陷入局部最优解而无法找到全局最优解。
另外，如果图非常庞大且存在大量的无效节点，DFS可能会陷入无限循环或者无法找到解。
综上所述，DFS是一种常用的图遍历算法，可以用来解决一些问题，但需要注意其局限性和缺点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的搜索策略。
在下一部分中，我们将详细介绍DFS算法的通用步骤和要点，以便读者更好地理解和应用该算法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下所示：文章结构：在本文中，将按照以下顺序介绍DFS（深度优先搜索）通用步骤。
首先，引言部分将概述DFS的基本概念和应用场景。
其次，正文部分将详细解释DFS通用步骤的两个要点。
最后，结论部分将总结本文的主要内容并展望未来DFS的发展趋势。
通过这样的结构安排，读者可以清晰地了解到DFS算法的基本原理和它在实际问题中的应用。
接下来，让我们开始正文的介绍。
1.3 目的目的部分的内容可以包括对DFS（Depth First Search，深度优先搜索）的应用和重要性进行介绍。
大数据分析中的社交网络分析算法
大数据分析中的社交网络分析算法在大数据时代，社交网络分析（Social Network Analysis，SNA）算法在大数据分析中扮演着重要的角色。
社交网络分析算法通过对社交网络中的关系、连接和交互进行挖掘和分析，帮助我们理解个体之间的关系、网络结构以及信息传播等现象。
本文将介绍几种常用的社交网络分析算法，并探讨其在大数据分析中的应用。
一、节点中心性算法节点中心性算法用于衡量社交网络中的节点在整个网络中的重要性程度。
其中比较常用的算法有度中心性、接近中心性、特征向量中心性等。
1. 度中心性算法：度中心性是指节点在网络中的连接数量，即节点的度。
度中心性算法可以通过计算节点的度来衡量节点的重要性，度越高则节点越重要。
在大数据分析中，通过计算整个社交网络中每个节点的度中心性，可以找出网络中最重要的节点。
2. 接近中心性算法：接近中心性是指节点与其他节点之间的距离，距离越近则节点的接近中心性越高。
接近中心性算法可以通过计算节点与其他节点之间的距离来衡量节点的重要性，距离越小则节点越重要。
在大数据分析中，通过计算整个社交网络中每个节点的接近中心性，可以找出网络中最关键的节点。
3. 特征向量中心性算法：特征向量中心性是指节点在网络中的重要性和它在网络中相连节点的重要性之间的关系。
特征向量中心性算法可以通过计算节点和相邻节点之间的关系来衡量节点的重要性。
在大数据分析中，通过计算整个社交网络中每个节点的特征向量中心性，可以找出网络中最核心的节点。
二、连通性算法连通性算法用于研究社交网络中的群组结构和信息传播现象。
其中比较常用的算法有最大连通子图算法、最长路径算法、聚类系数算法等。
1. 最大连通子图算法：最大连通子图是指网络中具有最多节点连通的子图。
最大连通子图算法可以通过在网络中找到具有最多节点的子图来研究网络的连通性。
在大数据分析中，可以通过最大连通子图算法来发现社交网络中具有高度相互关联的节点群组。
2. 最长路径算法：最长路径是指网络中两个节点之间最长的连接路径。
数据结构-图的连通性
③数据结构的动态分析 (closedge[5].adjvex，G.vexs[5])
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
3
6
4
2
4 v 5
6
v6
5
G.vexs:
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6}
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6} ②取边(v1,v3),则：U={v1,v3} V-U={v2,v4,v5,v6}
一、最小生成树
3.算法的实现：
③数据结构的动态分析 G.arcs如下：
0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
0
v1 5 1
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
④取边(v6,v4),则：U={v1,v3, v6,v4} V-U={v2,v5} ⑤取边(v3,v2),则：U={v1,v3, v6,v4,v2} ⑥取边(v2,v5),则：U={v1,v3, v6,v4,v2,v5}
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题
离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题图论是离散数学中的一个重要分支，研究对象是图。
图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
在图论中，连通性和欧拉路径问题是两个基本概念，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
一、连通性在图论中，连通性是指图中任意两个顶点之间存在一条路径。
如果一个图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图；如果一个图不是连通图，那么它可以被分解为多个连通的子图，这些子图称为连通分量。
连通性在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在社交网络中，连通性可以用来判断两个人之间是否存在关系链；在计算机网络中，连通性可以用来判断网络中的主机之间是否可以进行通信。
二、欧拉路径问题欧拉路径问题是图论中的一个经典问题，它要求找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
如果存在这样的路径，则称图具有欧拉路径。
欧拉路径问题有两种情况：1. 欧拉回路：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后回到起点，则称该图具有欧拉回路。
2. 半欧拉路径：如果存在一条路径，从起点出发，经过图中每条边恰好一次后到达终点，但不回到起点，则称该图具有半欧拉路径。
欧拉路径问题的解决方法有欧拉定理和深度优先搜索算法。
欧拉定理指出，一个连通图具有欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数；一个连通图具有半欧拉路径的充分必要条件是除了起点和终点外，其它顶点的度数都是偶数。
深度优先搜索算法（DFS）是一种用来遍历图或树的算法，它可以用来解决欧拉路径问题。
DFS从起点开始遍历图，当遍历到某个顶点时，选择一个未访问过的邻接顶点进行继续遍历，直到无法继续遍历为止。
通过DFS算法，可以找到图中的欧拉路径。
三、总结离散数学中的图的连通性与欧拉路径问题是图论中的两个基本概念。
连通性用来描述图中顶点之间的连接情况，欧拉路径问题则是要找出一条路径，经过图中每条边一次且仅一次。
这两个概念在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和解决图相关的问题具有重要意义。
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
THANKS
感谢观看
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
图的基本概念(连通性)汇总
V=vertex E=edge
有向图： 图G中的每条边都是有方向的； 无向图： 图G中的每条边都是无方向的；
若 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 称为无向完全图 若 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 称为有向完全图
例：判断下列4种图形各属什么类型？
无向完全图
无向图(树)
有向图
图的基本概念遍历以及拓扑排序算法
2009年7月15日
什么是图？
什么是图?可用一句话概括，即：图是用点 和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以 某种方式相联系的数学模型.因为它显得太 抽象，不便于理解，所以有必要给出另外的 回答.
1 图的基本术语
图：记为 G＝( V, E ) 其中：V 是G的顶点集合，是有穷非空集； E 是G的边集合，是有穷集。
路径： 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
连通图：
在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称 顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点 都是连通的, 则称此图是连通图。 非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
强连通图： 在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从
0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
1 2 3 4 5
例2 ：有向图的邻接矩阵
v1 v2 v4
A
v3
顶点表： 邻 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 v1 v2 v3 v4
A.Edge =
注：在有向图的邻接矩阵中， 第i行含义：以结点vi为起点的边(即出边）； 第i列含义：以结点vi为终点的弧(即入边）。
特别讨论 ：网（即有权图）的邻接矩阵
图的连通性
有向图中，极大强连通子图=强连通分量
G1的两个强连通分量 G1
V’是连通图G的一个顶点子集。在G中删去V’及与V’ 相关联的边后图不连通，则称V’是G的割顶集。 最小割顶集中顶点的个数，记成K(G)，叫做G的连通度。
规定： K(完全图)＝顶点数-1 K(不连通图)＝K(平凡图)＝0
K(G)＝l时，割顶集中的那个顶点叫做割顶。 没有割顶的图叫做块，G中成块的极大子图叫做G的块。
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改 的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产 生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当 它有不止一个儿子 点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
LOW(U)是U或U的后代所能追溯到的最早 （序号小）的祖先结点序号。
顶点U<>r作为图的割顶当且仅当U有一个儿子， 使得LOW(S)>=dfn(U),即S和S的后代不会追溯 到比U更早的祖先点。
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=
威廉王迷宫
前向边（实线部分） 后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点 称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成 为割顶当且仅当 存在U的某一个儿 子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖 先点之间不存在 后向边
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。 在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径， 则称V和V’是强连通的。 如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。
图的连通性和矩阵表示及计算幻灯片PPT
dj=min［dj, dk+lkj］
式中，lkj是从点k到j的直接连接距离。 3) 选取下一个点。从所有未标记的结点中，选取dj 中最
小的一个i：
di=min［dj, 所有未标记的点j］
点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。 4) 找到点i的前一点。从已标记的点中找到直接连接到点i
1.Dijkstra求最短路径算法的根本思想 利用Dijkstra算法可以求解从某个源点到其他各结点间的最短路 径. 把结点分成两组,第一组是已确定最短路径的结点的集合,第二组 是尚未确定最短路径的结点的集合,按路径长度递增的次序逐个 把第二组的结点放到第一组中.设求从u0到其他各结点间的最短 路径,那么在任意时刻,从u0到第一组各结点间的最短路径都不 大于从u0到第二组各结点间的最短路径. 求无向网洛最短路径的Dijkstra算法可以推广到有向网洛最短路 径. 2.Dijkstra算法 假定图G中边的权均为正的.假设某条边的权为0,那么可使其端 点重合.假设(u,v) E(G),那么规定w(u,v)=+∞.实际计算时,可 以用一个足够大的数来代替+∞.
的点j*，作为前一点,设置：
i=j*
5) 标记点i。如果所有点已标记，那么算法完全推出，否 那么，记k=i，转到2) 再继续。
谢谢大家
见例5
规定:完全图Kn的点连通度为n,n≥1. 非连通图的点连通度为0. 假设k(G)≥k,那么称G为k-连通图. 显然,点连通度k(G)是产生一个不连通图所需要删除的点的最少 数目. 见例6
是G的一个边割集.假设某个边构成一个边割集,那么称 该边为割边(或桥). 见例7
规定:非连通图的边连通度为0. 假设λ(G)≥k,那么称G为k边-连通图. 显然,边连通度λ(G)是产生一个不连通图所需要删除的 边的最少数目.
CHAP 7 图的连通性
20
不可分图的必要条件
• 引理7.2.2：设G(p,q)是p3的图，若G是不可分图， 则G的任意两个顶点间至少有两条内不交的通路。 • 证明： … …
归纳步骤：假设对d(u,v)<k，结论成立。 现对d(u,v)=k2时，考虑一条长为k的(u,v)–通路 R。设R=u…wv，则d(u,w)=k – 1，由归纳假设， G中至少有两条内不交的(u,w) ––通路P和Q。G 是2––连通的， G –w仍连通。于是 G –w中存在 (u,v)––通路P’。 P’与P、Q的关系可分为以下两 种情况：
离 散 数 学
4
割边
• 边割：设G是个连通图，E E(G) 。如果 G –E不连通，则称E为G的一个边割。 • 特别，当E = {e}时，称e为G的割边。 • 实际上，边割是若删去它们就会使图不连 通的边的集合，而割边是若删去这一边就 会使图不连通的边。 • 边割中的边都是战略要道，而割边就更是 要命的瓶颈。
离 散 数 学
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不可分图的必要条件
• 引理7.2.2：设G(p,q)是p3的图，若G是不可分图， 则G的任意两个顶点间至少有两条内不交的通路。 • 证明：若G是不可分图，任取u、v∈V(G)。以下对 顶点u与v的距离d(u,v)作归纳证明：G中至少存在 两条内不交的(u,v) –通路。 • 归纳基础：当d(u,v)=1时，即e=uv∈E(G)，由G的 假设知，e不是割边(否则G有割点)，于是G – e仍 连通，从而， G – e中(当然也是G中)的(u,v)–通路 与通路e=uv构成G中两条内不交的(u,v) –通路。
• 若图G是不可分的，则G中无割点，所以 (G) ≥2，G是2—连通图。反之依然。 • 注意2—边连通图不一定是不可分的。如图 G2是边2—连通图，但却存在割点，因而是 可分的。
图论课件第三章 图的连通性
(Gv)(G)
证明：“必要性” 设v是G的割点。则E(G)可划分为两个非空边子集E1与 E2,使G[E1],G[E2]恰好以v为公共点。由于G没有环，所
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以，G[E1],G[E2]分别至少包含异于v的G的点，这样，Gv的分支数比G的分支数至少多1，所以：
(Gv)(G)
“充分性” 由割点定义结论显然。 定理7 v是树T的顶点，则v是割点，当且仅当v是树的 分支点。
定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。
证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v.
考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。
对任意 x, y V(G-e) 由于G连通，所以存在x ---y路
Q.若Q不含e，则x与y在G-e里连通；若Q含有e，则可选 择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以,若 边e在G的某圈中，则G-e连通。
定义6 设G是连通图，T是G的一棵生成树。如果G的 一个割集S恰好包含T的一条树枝，称S是G的对于T的一 个基本割集。
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第14页，本讲稿共29页
例如：在图G中
f a
bc
e
d
图G
G的相对于T的基本割集为： ｛a , e｝, ｛f , c｝, ｛f, b , e｝, ｛d｝.
关于基本割集，有如下重要结论：
证明：(必要性）设G是块。因G没有割点，所以，它 不能有环。对任意u, v ∈V(G),下面证明u, v位于某一圈上 。
对d (u, v) 作数学归纳法证明。 当d (u, v) =1时，由于G是至少3个点的块，所以，边 uv不能为割边，否则，u或v为割点，矛盾。由割边性质 ，uv必然在某圈中。 设当d (u, v) <k时结论成立。
像素点的连通的计算方法
像素点的连通的计算方法像素点的连通是计算机图形学中的重要概念之一，它描述了图像中相邻像素点之间的关系。
在图像处理和计算机视觉领域，像素点的连通性被广泛应用于对象分割、边缘检测、图像识别等任务中。
本文将介绍像素点连通的计算方法及其在图像处理中的应用。
一、像素点连通的定义像素点连通是指在图像中，可以通过一系列相邻的像素点从一个像素点到达另一个像素点。
这里的相邻指的是像素点的位置关系，通常是指在图像中相邻的上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向。
二、像素点连通的计算方法1. 四邻域连通四邻域连通是指在图像中，一个像素点与其上、下、左、右四个相邻像素点连通。
在计算机中，我们可以通过扫描图像的每个像素点，判断其与相邻像素点之间是否连通，从而确定像素点的连通区域。
2. 八邻域连通八邻域连通是指在图像中，一个像素点与其上、下、左、右四个相邻像素点以及左上、左下、右上、右下四个斜对角方向的像素点连通。
与四邻域连通相比，八邻域连通更加严格，可以更准确地描述像素点的连通性。
三、像素点连通的应用1. 对象分割像素点连通可以用于对象分割，即将图像中的不同对象或区域分离出来。
通过计算像素点的连通性，可以将图像划分为不同的连通区域，并对每个区域进行标记，从而实现对象的分割。
2. 边缘检测像素点连通可以用于边缘检测，即找出图像中物体的边界。
通过计算像素点的连通性，可以确定像素点是否位于边界上，从而实现边缘检测的目的。
3. 图像识别像素点连通可以用于图像识别和模式匹配，即识别图像中的特定对象或模式。
通过计算像素点的连通性，可以将图像中的目标对象与背景分离出来，并进行特征提取和匹配，从而实现图像识别的任务。
四、总结像素点连通是计算机图形学中的重要概念，它描述了图像中相邻像素点之间的关系。
通过计算像素点的连通性，可以实现对象分割、边缘检测、图像识别等图像处理任务。
在实际应用中，根据具体需求选择合适的连通计算方法，如四邻域连通或八邻域连通，并结合其他图像处理算法进行综合应用。
社交网络分析中的图算法研究与应用
社交网络分析中的图算法研究与应用在当前信息时代，社交网络已经成为人们日常生活中重要的一部分。
社交网络中包含了大量的社交关系和用户行为数据，对于这些数据的分析成为了一项热门的研究领域。
图算法作为一种重要的分析工具，在社交网络分析中发挥了重要的作用。
本文将从社交网络分析的需求背景出发，介绍图算法的基本概念和常用算法，并探讨图算法在社交网络研究中的应用。
第一章：社交网络分析需求背景社交网络的兴起给人们的生活带来了巨大的改变，人们可以通过社交网络与朋友、家人以及陌生人进行交流和互动。
与此同时，社交网络也带来了海量数据。
社交网络中的用户行为、社交关系、信息传播等数据可以通过分析揭示人们之间的联系和行为模式，对于社交网络平台的优化和用户群体的研究具有重要意义。
第二章：图算法的基本概念图算法是一种研究图数据结构的算法，它在社交网络分析中具有重要的地位。
图由节点和边组成，节点表示网络中的实体，边表示实体之间的关系。
在图中，节点和边可以帮助我们理解社交网络中的用户和用户之间的关系。
图算法主要包括图的遍历算法、最短路径算法、连通性算法等。
这些算法可以帮助我们理解社交网络中用户的行为模式，分析用户之间的联系和信息传播过程。
第三章：常用图算法在社交网络分析中的应用(1) 图的遍历算法在社交网络中的应用图的遍历算法可以用于搜索网络中的节点，探索节点之间的关系和路径。
在社交网络中，我们可以利用图的遍历算法找到与某个用户相关联的其他用户，帮助我们了解用户的社交圈子。
(2) 最短路径算法在社交网络中的应用最短路径算法可以帮助我们找到网络中的最短路径，即两个节点之间最短的关系路径。
在社交网络中，最短路径算法可以帮助我们找到两个用户之间的最短路径，揭示用户之间的联系强弱。
(3) 连通性算法在社交网络中的应用连通性算法可以帮助我们判断网络中的节点是否相互连通。
在社交网络中，连通性算法可以帮助我们判断用户之间是否存在直接或间接的联系，寻找潜在的社交圈子。
图的连通性判断算法
图的连通性判断算法图是离散数学中一个重要的概念，它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。
在图理论中，连通性是一个基本的性质，它描述了图中是否存在一条路径将所有的顶点连接起来。
本文将介绍一些常用的图的连通性判断算法。
1. 深度优先搜索算法（DFS）深度优先搜索算法是一种经典的图遍历算法，也可以用于判断图的连通性。
该算法从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地搜索图，直到无法再继续下去。
然后回溯到上一个未访问的顶点，重复上述过程，直到所有的顶点都被访问过。
如果在搜索过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法也是一种常用的图遍历算法，可以用于判断图的连通性。
该算法从一个起始顶点开始，按照广度优先的顺序逐层遍历与当前节点相邻的顶点。
如果在遍历过程中，所有的顶点都被访问到，则图是连通的；否则，图是不连通的。
3. 并查集算法并查集是一种用于解决"动态连通性"问题的数据结构，也可以用于判断图的连通性。
并查集通过维护一个森林（或称为集合）来表示各个顶点之间的关系，其中每个集合表示一个连通分量。
并查集提供了合并集合和查找集合的操作，通过这些操作可以判断图的连通性。
4. 可连通性矩阵可连通性矩阵是一种基于矩阵的图表示方法，用于判断图的连通性。
对于一个有n个顶点的图，可连通性矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j之间是否存在一条路径。
如果对于所有的顶点对(i,j)，可连通性矩阵中的元素都为1，则图是连通的；否则，图是不连通的。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是用于求解连通图的一种常用算法，它通过选取图中的一些边来构建一棵树，该树包含图中的所有顶点，并且总权值最小。
如果最小生成树的边数等于顶点数减1，则原图是连通的；否则，原图是不连通的。
总结：本文介绍了几种常用的图的连通性判断算法，包括深度优先搜索算法、广度优先搜索算法、并查集算法、可连通性矩阵和最小生成树算法。
图的连通性判断（并查集+Bfs+Dfs+Floyd）
图的连通性判断（并查集+Bfs+Dfs+Floyd）有向图的连通性检查共4种⽅法,并查集性能最⾼，代码也短，优先推荐：⼀、并查集#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量/**共提供两组数据，样例1为不连通⽤例，样例2为连通⽤例样例1：不连通，5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2：连通，不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*/int n; //n个⼈int m; //m个亲戚int p; //询问p对亲戚关系int x, y; //输⼊两个⼈之间的关系int fa[N]; //并查集数组//要深⼊理解这个递归并压缩的过程int find(int x) {if (fa[x] != x)//如果x不是族长,递归找⽗亲,副产品就是找回的结果更新掉⾃⼰的家族信息。
fa[x] = find(fa[x]);//⾮常经典的更新,路径压缩⼤法！//返回族长是谁return fa[x];}//加⼊家族集合中void join(int c1, int c2) {int f1 = find(c1), f2 = find(c2);if (f1 != f2)fa[f1] = f2;//各⾃找家长，如果家长不⼀样，就把C1的族长，认C2的族长为爸爸,C1的族长强烈表⽰不满意}int cnt;int main() {//n个⼈员，m个关系cin >> n >> m;//并查集初始化for (int i = 1; i <= n; i++)fa[i] = i; //⾃⼰是⾃⼰的⽼⼤//录⼊m种关系,使⽤并查集来判断图的连通性for (int i = 1; i <= m; i++) {cin >> x >> y;//加⼊并查集join(x, y);}//图已经搭好了，接下来看它们根节点是否相同，如只有⼀个相同的根节点，则说明是⼀个连通图for (int i = 1; i <= n; i++) if (fa[i] == i)cnt++;if (cnt == 1)printf("图是连通的\n");else printf("图不是连通的\n");return 0;}⼆、dfs#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量struct Edge { //记录边的终点，边权的结构体int to; //终点int value; //边权};int n, m; //表⽰图中有n个点，m条边vector<Edge> p[N]; //使⽤vector的邻接表/**共提供两组数据，样例1为不连通⽤例，样例2为连通⽤例样例1：不连通，5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2：连通，不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*/bool st[N];int cnt;//深度遍历void dfs(int u) {st[u] = true;cnt++;//多⾛了⼀个结点for (int i = 0; i < p[u].size(); i++) {int x = p[u][i].to;if (!st[x]) dfs(x);}}int main() {//采⽤邻接表建图cin >> n >> m;//m条边for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;p[u].push_back({v, 1});//因本题不需要权值，默认权值为1 }//利⽤dfs进⾏检查是不是强连通的dfs(1);if (cnt == n) printf("图是连通的\n");else printf("图不是连通的\n");return 0;}三、bfs#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量struct Edge { //记录边的终点，边权的结构体int to; //终点int value; //边权};int n, m; //表⽰图中有n个点，m条边vector<Edge> p[N]; //使⽤vector的邻接表/**共提供两组数据，样例1为不连通⽤例，样例2为连通⽤例样例1：不连通，5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2：连通，不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*/bool st[N];int cnt;int main() {//采⽤邻接表建图cin >> n >> m;//m条边for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;p[u].push_back({v, 1});//因本题不需要权值，默认权值为1 }//利⽤bfs进⾏检查是不是强连通的//把1号结点放⼊队列queue<int> q;q.push(1);while (!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();st[u] = true;cnt++;for (int i = 0; i < p[u].size(); i++) {int x = p[u][i].to;if (!st[x]) q.push(x);}}if (cnt == n) printf("图是连通的\n");else printf("图不是连通的\n");return 0;}四、floyd#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010; //图的最⼤点数量int n, m;/**共提供两组数据，样例1为不连通⽤例，样例2为连通⽤例样例1：不连通，5号结点为独⽴的5 41 22 33 41 4样例2：连通，不存在独⽴结点5 41 22 33 41 5检测各种算法是否能准确获取结果*///⽤floyd来判断起点是否可以达到终点int dis[N][N]; //邻接矩阵void floyd() {for (int k = 1; k <= n; k++)for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)dis[i][j] = dis[i][j] || (dis[i][k] && dis[k][j]);}int main() {//采⽤邻接矩阵建图cin >> n >> m;//m条边for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;//双向建边dis[u][v] = 1;dis[v][u] = 1;}//调⽤floydfloyd();for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)if (!dis[i][j]) {printf("图不是连通的\n");cout << i << " " << j << endl;exit(0);}printf("图是连通的\n");return 0;}。
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图连通性算法及应用
图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶
点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计
的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类
在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；
弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无
向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理
1. 深度优先搜索（DFS）
深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深
度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否
连通。
2. 广度优先搜索（BFS）
广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点
开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然
后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完
所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层
次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用
1. 社交网络分析
在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否
存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们
可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社
会关系。
2. 网络路由优化
在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现
快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割
在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连
通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，
从而实现目标检测和图像识别等应用。
4. 运输规划
在城市交通和物流规划中，连通性算法可以用来判断不同地点之间的连通性。
通过分析道路网络的连通性，我们可以优化运输路径和规划交通流量，提高交通运输的效率。
四、总结
图连通性算法是图论中的重要内容，通过深度优先搜索和广度优先搜索等算法，我们可以判断图的连通性，并且应用于社交网络分析、网络路由优化、图像分割和运输规划等实际应用中。
随着计算机科学的发展和图算法的改进，图连通性算法继续在各个领域中发挥着重要的作用，对于解决复杂问题具有重要意义。