《复变函数》练习题一

《复变函数》练习题一

练习题第一套

一、填空题

1．设x 、y 为实数，称形如（x ,y ）的 有序数对 为复数。

2．设z =x +iy ，则称z e = )sin (cos y i y e x + 为指数函数，其中“e ”为自然对数的底。

3．若存在某个N (a ,δ)，使得 f (z )在N (a ,δ)内处处可导 ，则称点a 为函数f (z )的解析点。

4．将函数z

z f -=

11)(在点z =1展成罗朗级数，即在 0<|z -1|<+∞ 内展成罗朗级数。

若映射w =f (z )在区域G 内是 单叶且保角的 的，则称此映射为区域G 内的保形映射。

二、单项选择题

1．设z =x +iy ，则x 可用z 表示为（ B ）。

(A) 2z z - (B) 2z z + (C) i z z 2- (D) i

z z 2+ 2．若z =x +iy ，则上半平面可表示为（ C ）。

(A) Im z <0 (B) Im z ≤0 (C) Im z >0 (D) Im z ≥0

3．⎰=-=-2||1a z dz a z （ D ）。 (A) 0 (B) 1 (C) -2πi (D) 2πi

4．函数z e z f =)(在复平面上可表示为（ B ）。

(A) ∑∞=2!n n n z (B) ∑∞=0!n n n z (C) ∑∞=1!n n n z (D) ∑∞

=2n n n z 5．设f (z )=sin z ，则z =kπ（k =0,±1, ±2,…）为f (z )的（ A ）。

(A) 一级零点 (B) 二级零点 (C) 三级零点 (D) 四级零点

三、计算题

1．设z =x +iy ，求)1Re(z

。

1．解：因

2

2))((11y x y i x y i x y i x y i x y i x z +-=-+-=+= 所以

2

2)1Re(y x x z += 设2

2)4()1()(+-=z z z z f ，试求f (z )的有限奇点，并指出其类别。 2．解：因使

0)4(22=+z z

的点为z =0与z =±2i ，故它们为f (z )的孤立奇点

又因点z=0为)

(1z f 的一级零点，所以z=0为f(z)的一级极点。 而点z =2i 与z =-2i 均为)

(1z f 的二级零点，所以，点z =2i 与z =-2i 均为f (z )的二级极点。 设233xy x u -=，试求解析函数f (z )=u +iv ，使得233xy x u -=，且满足f (i )=0。

3．解：由C -R 条件有

)(3333222x y y x v v y x u y x ϕ+-=⇒=-=

()c x x xy xy u y =⇒'+-=-=)()(66ϕϕ

所以，

)3()3()(3223c y y x i xy x z f +-+-=

由f (i )=0得以c =1 （10分）

故 )13()3()(3223+-+-=y y x i xy x z f

经验证，

)13()3()(3223+-+-=y y x i xy x z f 或i z z f +=3)(即为所求。

设2

1)(+=z z f ，试将f (z )在点z =1展成幂级数。 4．解：f(z)在｜z -1｜<3内可展成幂级数，有 3

)1(121)(+-=+=z z z f )1(3131-+=

z )](1[3131---=

z ∑∞=+--=0

13)1()1(n n n

n z ，3|1|<-z 计算积分dx x x ⎰+∞∞-+-21

2

5．解

)271,21(Re 22122i z z s i dx x x ++-⋅=+-⎰+∞

∞-π 而 i z z i z i z z s i z 7121)271(lim )271,21(

Re 22712=+-⋅+-=++-+→ 故 772712212ππ=⋅=+-⎰+∞

∞-i i dx x x 四、证明题

1．试证：)Re(2211221z z z z z z =+。

1．证：令

bi a z +=1，di c z +=2

因

)(21221bd ac z z z z +=⋅+⋅

)()(21ad bc i bd ac z z -++=⋅

所以

)Re(2211221z z z z z z =⋅+⋅

2．设f (z )在区域G 内为解析函数，试证：若对某个点G z ∈0，有0)(0)(=z f n ，n =1,2…，则f (z )在G 内为常数。

2．证：因f (z )在G 内解析，所以一定存在),(0R z N （其内部及边界全含于G 内），使得 ∑∞=-=000)()(!

)()(n n n z z n z f z f ，R z z <-||0 而0)(0)(=z f n （n=1,2,…），所以有

)()(0z f z f = 又因),(0R z N 在G 内，由惟一性定理得)()(0z f z f =在G 内成立，即证得函数)(z f 在G 内为常数。