基本不等式常见题型训练

必修5 基本不等式基本题型训练

一、选择题

1. [2013·常州质检]已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )

A. 最大值为0

B. 最小值为0

C. 最大值为－4

D. 最小值为－4

答案：C

解析：∵x <0，∴－x >0，

∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1

－x －2＝－4，

当且仅当－x ＝1

－x ，即x ＝－1时，等号成立．

2. [2013·长沙质检]若0

) A. 13 B. 1

2

C. 3

4 D. 2

3

答案：D

解析：∵0

∴f (x )＝x (4－3x )＝1

3·3x (4－3x )

≤1

3×(3x ＋4－3x

2)2＝4

3，

当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2

3时，取得“＝”，故选D.

3. 函数y ＝x 2＋2x ＋2

x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标为( )

A. (1,2)

B. (1，－2)

C. (1,1)

D. (0,2)

答案：D

解析：y ＝(x ＋1)2

＋1x ＋1＝x ＋1＋1

x ＋1≥2， 当x ＋1＝1

x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项．

4. 已知m ＝a ＋1a －2

(a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A. m >n

B. m

C. m ＝n

D. m ≤n

答案：A

解析：∵a >2，x <0，

∴m ＝(a －2)＋1a －2

＋2 ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A.

5. [2013·商丘模拟]若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A. 12

B. 2 3

C. 32

D. 6 答案：D

解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D.

6. 已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y

)>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A. [4，＋∞)

B. (－∞，1]

C. (－∞，4]

D. (－∞，4) 答案：D

解析：因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x

＝bx y

时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D. 二、填空题

7. [2013·金版原创]规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若

1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x

的最小值为________． 答案：1 3

解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，

即k ＋k －2＝0，