第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
九年级数学下第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质第3课时二次函数y=a2的图象与性质习题湘教
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
解：由(1)可知抛物线的表达式为 y＝－(x－2)2. 当 y＝0 时，－(x－2)2＝0，解得 x1＝x2＝2， 所以抛物线与 x 轴的交点坐标为(2，0)． 当 x＝0 时，y＝－4，所以抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，－4)．
17．如图，已知直线 l 经过 A(4，0)和 B(0，4)两点，抛物线 y＝ a(x－h)2 的顶点为 P(1，0)，直线 l 与抛物线的交点为 M，连 接 PM.
3．(1)当 a__＞____0 时，抛物线 y＝a(x－h)2 开口向上，若 x＜h(对 称轴左侧)，则函数值 y 随 x 的增大而减小；若 x＞h(对称轴 右侧)，则函数值 y 随 x 的增大而增大．
(2)当 a__＜____0 时，抛物线 y＝a(x－h)2 开口向下，若 x＜h(对称 轴左侧)，则函数值 y 随 x 的增大而增大；若 x＞h(对称轴右 侧)，则函数值 y 随 x 的增大而减小．
【点拨】A.y＝ax＋c 中，a＞0，c＞0，y＝a(x＋c)2 中，a＜0，c ＜0，故 A 错误；B．y＝ax＋c 中，a＜0，c＞0，y＝a(x＋c)2 中， a＜0，c＞0，故 B 正确；C．y＝ax＋c 中，a＞0，c＜0，y＝a(x ＋c)2 中，a＞0，c＞0，故 C 错误；D．y＝ax＋c 中，a＜0，c＞ 0，y＝a(x＋c)2 中，a＞0，c＜0，故 D 错误．
(2)将抛物线 y＝(x－3)2 向上平移 1 个单位，再向左平移 t(t＞0) 个单位得到新抛物线，若新抛物线的顶点 E 在△DAC 内， 求 t 的取值范围； 解：由题意可知：新抛物线的顶点坐标为(3－t，1)， 设直线 AC 的表达式为 y＝kx＋b(k≠0)． 将(1，4)，(3，0)代入 y＝kx＋b 中， 得3kk＋＋b＝ b＝4， 0. 解得kb＝ ＝－6. 2，
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课件
知
识 点
二次函数 y a(x h)2 的图象；
一
三、研读课文
探究 在同一直角坐标系中，画出函
数，y
1x
2
12
，y
1 2
x
12
的图象，并分别指出他们的开口方向、
对称轴和顶点.
三、研读课文 解：（1）列表
-3 -2 -1 1 2 3
-2
1 2
0
1 2
-2
9 2
-8
开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
知识点二 二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2 与抛物线
y 1 x 1，2 y 1 x 212 有什么关系？
2
2
分y 析：1请x2在也知画识上点去一。图上把抛物线 2
知 识
y归（ 1纳）1：抛x 物12 线的形y 状为12 开x 口12向、y
二次函数 y a(x h)2 的图像和性质
一、学习目标 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：苏志朝
1、会画二次函数 y a(x h)2的图象； 2、掌握二次函数 y a(x h)2的性质；
3、比较函数 y ax2 与 y a(x h)2
的联系.
二、新课引入 1、填表：
（2）对称轴是直线 x = h
；
（3）顶点坐标是 ( h , 0 )
.
2、抛物线 y a(x h)2 与 y ax2 形状相同，位置不同，y a(x h)2 是由 y ax2 ____左__右____平移得到的. （填“上下”或“左右”）
1、抛物线 y 2(x 3)2 的开口_向__上__；
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图像
和性质
1D 2A 3B 4C 5C
提示：点击 进入习题
6D 7 见习题 8C 9B 10 D
答案显示
11 D 12 B 13 B 14 h≥1 15 见习题
提示：点击 进入习题
16 见习题
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有 最大值．
8．【易错：混淆左右平移后表达式的特点而致错】将函数y＝x2 的图像向
左平移2个单位长度后，得到的新图像的表达式是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2
C
D．y＝(x－2)2
9．【2020·浙江衢州改编】二次函数y＝x2的图像平移后经过点(2，0)，则下
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC .
解：过点C作CD⊥x轴于D. 将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，即点C的坐标为(－ 3，－4)，∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ ×3×(1＋4)－ ×4×(3－1)－
×1×1＝3.
1
1
1
2
2
2
17．已知抛物线y＝x2如图所示． (1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
解：由题意得，平移后得到的抛物线表 达式为y＝ (x－m)2. 把点A(0，3)的坐标
1 代入上式，得3＝ (0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3. 3 ∵m>0，∴m＝3.
1 3
(2)画出(1)中平移后的图像； 解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在 新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐 标．
二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
解析式
对称轴
顶点坐标 （1，1） （-1，1） （2，1） （-2，1） （3，-2） （-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上 向下 向下 向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
5.2 第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图像和性质
5.2 二次函数的图像和性质（3）一、学习目标：1、能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系；2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。
二、学习重点与难点：对二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。
三、自学质疑：【要点梳理】(活动一)复习二次函数2y ax k =+的图象和性质：当0a >时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最小＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .当0a <时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最大＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .二次函数2()y a x h =-的图象(活动二)在同一平面直角坐标系中，画出221x y -=、()2121--=x y 、()2121+-=x y 的图象，并比较它们的开口方向，对称轴和顶点坐标以及增减性.由图象可知1：抛物线()2121--=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ； 抛物线()2121+-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ；2.把抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121--=x y ，将抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121+-=x y .(活动三)小结：1．二次函数2()y a x h =-的图象与抛物线2y ax =形状相同，只是位置不同，可由抛物线2y ax =左右平移得到：①当0h >时，抛物线2y ax =向左平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象； ②当0h <时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象. 2．抛物线2()y a x h =-的性质：①当0a >时，开口向上，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最小＝0；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＜h 时，y 随x 的增大而减少.②当0a <时，开口向下，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最大＝0；当x ＞例 抛物线y ax =向右平移3个单位后经过点（－1，4），求a 的值和平移后的抛物线解析式.【课堂操练】2．抛物线()253-=x y 可由抛物线()233+=x y 向 平移 个单位而得到.3．抛物线()2121+-=x y 向右平移3个单位得 . 4．将抛物线2y ax =向左平移2个单位后，经过点（－4，－4），求原抛物线的解析式.【课后盘点】1.抛物线21(5)2y x =-+的图象开口向________，对称轴为___________，当x ＝__________时，y 有最_____值，为_______，当x ________时， y 随x 的增大而增大.2.把函数()2121--=x y 的图象沿x 轴对折，得到的图象解析式是____ ____； 把函数()2121--=x y 的图象沿y 轴对折，得到的图象解析式是_____ ___.3.函数()212-=x y 的图象是由()212+=x y 的图象经过________得到的．4.将抛物线y =3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A ． y =3（x ﹣2）2﹣1 B ． y =3（x ﹣2）2+1C ． y =3（x +2）2﹣1D ． y =3（x +2）2+15.顶点坐标为(-3，0)开口方向、形状与函数231x y =的图象相同的抛物线是 ( ) A ．()2331-=x y B ．()2331+=x y C ．()2331--=x y D ．()2331+-=x y6.已知抛物线2()y a x h =-的对称轴为1x =-，与y 轴交于（0，2），求a 和h 的值.7. y=－3(x -1)2的图象（1）向左平移2个单位，（2）向右平移3个单位．写出平移后的解析式.8.抛物线()2h x a y +=的对称轴是直线2-=x ，过点（1，-3），（1）求解析式，（2）求抛物线的顶点坐标，（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？9．一条抛物线的形状、开口方向与221x y =相同，对称轴与抛物线()223-=x y 相同，求其解析式.10．将抛物线()2123-=x y 向右平移3个单位后得抛物线与y 轴交于点A ，求点A 的坐标.11．将抛物线221x y -=向左平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y x =分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），求三角形ABC 的面积.12．二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．13．如图所示，已知直线122y x =-+与抛物线2(2)y a x =+ 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式； （2）若P 为线段AB 上一个动点（A 、B 两端点除外），连接PM ，设线段PM 的长为l ，点P 的横坐标为x ，请求出2l 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在点P ，使以A 、M 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案二次函数y =a (x-h )2的图象（第3课时）【要点梳理】上，y 轴，（0，k ）, k ,增大，减小，下，y 轴，（0，k ）, k , 减小，增大．二次函数2()y a x h =-的图象 (活动二)图象略，下， x =1，（1，0）,＞1，减小，＜，增大． 下，x =－1，（－1，0）,＞－1时，减小，＜－1时，增大． 2.右，1，左，1．例 a =14，()2134y x =-．【课堂操练】2．右，8． 3． ()2122y x =--4． 2y x =-．【课后盘点】1.下，直线x =－5，－5，大，0，＜－5．2. ()2112y x =-，()2112y x =-+．3.向右平移2个单位．4. B5. B6. h =－1，a =2．7. y=－3(x +1)2 ，y=－3(x -4)2.8.⑴y=－13(x +2)2 ，⑵（－2，0），⑶x ＜－2．9． y=21(x －2)2 10．（0，24）11．由题意，得平移后抛物线的解析式为()2142y x =-+，与y x =联立可得A （－8，－8）、B （－2，－2），∴三角形ABC 的面积为21×4×8－21×4×2=12．12．⑴由题意，得C （h ，0），A （0，h ），∴212h h =，∴h =2，0（不合题意，舍去），∴()2122y x =-．13．（1）A 的坐标是（0，2）抛物线线的解析式是21(2)2y x =+（2）如图，P 为线段AB 上任意一点，连接PM ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D设P 的坐标是（x ，122x -+），则在Rt △PDM 中，PM 2＝DM 2+PD 2即 222215(2)(2)2824l x x x x =--+-+=++x 的取值范围是：－5<x <0（3）存在满足条件的点P连接AM，则题意得，AM === ①当PM ＝PA 时，2225128(22)42x x x x ++=+-+- 解得：x ＝－4，此时y ＝4∴点P 1（－4，4）②当PM ＝AM 时，225284x x ++= 解得：128,05x x =-=（舍去），此时1814()2255y =-⨯-+= ∴点P 2（85-，145）③当PA ＝AM 时，2221(22)2x x +-+-=解得：1255x x =-=（舍去）此时110(2255y =-⨯-+=∴点P 3（）综上所述，满足条件的点为P 1（－4，4）、P 2（85-，145）、P 3（）．。
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第3课时y=a(x+h)^2的图像和性质
第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.【过程与方法】使学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象,理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.【教学难点】理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.◇教学过程◇一、情境导入在青青草原上,慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识,只见他把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向平移1个单位长度.然后提出问题:平移后所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何?二、合作探究探究点1二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系典例1抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式.[解析]抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a(x-3)2,.把x=-1,y=4代入,得4=a×(-1-3)2,解得a=14∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=1(x-3)2.4).已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A(-2,-12(1)求这个二次函数的表达式.(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗?(3)你能通过左、右平移函数图象,使它过点B 吗?若能,请写出平移方案.[解析] (1)由已知可得y=a (x+1)2,又∵过点A (-2,-12),∴a=-12, ∴y=-12(x+1)2.(2)当x=2时,y=-12×(2+1)2=-92≠-2, ∴点B (2,-2)不在这个函数图象上.(3)能,因为左、右平移只改变m 的值,∴-2=-12(2+m )2,∴2+m=±2,∴m 1=0,m 2=-4,∴y=-12x 2或y=-12(x-4)2∴方案一:把y=-12(x+1)2向右平移1个单位;方案二:把y=-12(x+1)2向右平移5个单位.探究点2 函数y=a (x+h )2的图象特征典例2 在同一坐标系中画出二次函数y=2x 2,y=2x 2+1和y=2(x+1)2的图象,并回答下列问题:(1)它们的形状相同吗?(2)分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.[解析] 画出函数的图象如图:(1)它们的形状相同;(2)函数y=2x 2的图象开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴是y 轴;函数y=2x 2+1的图象开口向上,顶点坐标为(0,1),对称轴是y 轴;函数y=2(x+1)2的图象开口向上,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.探究点3 函数y=a (x+h )2的增减性典例3 若二次函数y=-(x-m )2,当x>1时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是 .[解析] ∵y=-(x-m )2,∴二次函数对称轴为x=m ,开口向下,∴当x>m 时,y 随x 的增大而减小,∵当x>1时,y 随x 的增大而减小,∴m ≤1.≤1对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是()A.y随x的增大而增大B.当x>0时,y随x的增大而增大C.当x=-1时,y有最小值0D.当x>1时,y随x的增大而增大[答案] D三、板书设计二次函数y=a(x+h)2的图象和性质◇教学反思◇通过本节学习使学生认识到y=a(x+h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x+h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想.。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y＝a(x-h)2的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数图象和性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.教学重点
-二次函数y＝a(x-h)2的标准形式及其图象特点，包括顶点坐标（h，k）、对称轴x=h、开口方向与a的关系。
-二次函数y＝a(x-h)2的性质，如最小值（当a>0时）或最大值（当a<0时）的存在，以及函数的单调性。
-二次函数图象的平移、拉伸和压缩规律，以及这些变换对函数表达式的影响。
-应用二次函数解决实际问题，如最小值、最大值问题的求解。
-掌握二次函数图象的顶点坐标与对称轴的关系，以及如何通过顶点式直接写出函数表达式。
-理解二次函数在顶点两侧的单调性，以及如何利用这一点来分析实际问题。
-应用图象变换规律来构建新的二次函数表达式。
举例解释：
-难点在于让学生理解，尽管a的绝对值不同会导致图象的拉伸或压缩，但开口方向只由a的正负决定。
-对于顶点坐标与对称轴的关系，学生可能难以理解为何对称轴是x=h，需要通过图象直观展示和数学证明来加深理解。
《二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教学目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(+h)2的图象。
2．让学生经历二次函数y＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－12x2，y＝－12x2－1的图象，并答复：(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗这两个函数的图象之间有什么关系二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能答复前面提出的问题吗2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗三、做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗教学要点1．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。
二次函数的图像和性质 第三课时-九年级数学下册课件(冀教版)
解：(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝ 1 ×2×4＝4.
2
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
y
2
1(x 2
1)2 与 y
1 ( x 1)2 2
的图像的形状和位置有什么关系?
2
形状相同，位置不同.
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A )
A．y＝(x＋2)2
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质
区别不清
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶 点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次 函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶 点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次 函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因
x_>__5时，y 随x 的增大而减小.
导引：
y =－1 (x－5)2的图象与抛物线y =－1 x 2的形状相
4
同，但位置不同，y
=－1
4
(x－5)2的图象由抛物线
y
=－1
x
4 2向右平移5个单位得到.
4
1 把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这
2015开学北师大版九年级数学下26.2 (第3-1课时 二次函数y=a(x-h)2 的图像与性质)
3 2 y ( x 1) 4
倍 速 课 时 学 练
3 2 y ( x 3) 4
3 2 y ( x 5) 4
不画图直接填空
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2
倍 速 课 时 学 练
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 )
1 y
即:
倍 速 课 时 学 练
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
2
2
一般地,抛物线y=a(x－h)2 有如下 特点:
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开 口 向上 ，对称轴是直线x= -5 ，当x= -5 时，y有最 小 值， 是 0 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 4 是直线x= ，当 x= 4 时，y有最 大 值，是 0 . 倍 速 课 时 学 练
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
第3课时二次函数y=a(xh)2的图象与性质课件北师大版数学九年级下册
1
20
1 2
−2
···
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线 开口方向 对称轴
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
直线 x = -1
直线 x = 0 直线 x = 1
顶点坐标 (-1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0 )
做一做 根据图象回答下列问题:
典例精析 例1 在函数 y＝(x－5)2 中，当 x＞5 时，y 随 x 的增大 而__增__大____(填“增大”或“减小”)．
例1变式 在二次函数 y＝－(x－m)2 (m 为常数)中， 当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大，则 m＝ 3 .
2 二次函数y=ax2的图象与 y=a(x-h)2 的图象的关系
直线 x = 2 直线 x = 1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
4.
若（-
13 4
，y1）（-
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系
为____y_1 _＞__y_2 _＞__y_3__.
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x-2)2
的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图. 函数 y= 2(x-2)2的图象由
y
y = 2x2
函数 y= 2x2 的图象向右平
移 2 个单位得到.
O2 x
y轴（直线 x = 0）
顶点坐标
（0，c）
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
1、画出下列函数图象，并说出抛物 线的开口方向、对称轴、顶点，最大 值或最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2
y= −2（x+3）2
y= −2（x-2）2 y= 3（x+1）2
2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h;
y
x
(2)顶点是(h,0).
（3）抛物线y=a(x－h)2可 以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到.
h>0，向右平移; h<0，向左平移
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
h>0
h<0
h>0
h<0
开口向上
开口向下
-8
-9 -10
y 1 x2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
y
1
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第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
知识要点基础练
知识点1二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
1.抛物线y=(x+2)2的顶点坐标是(C)
A.(2,1)
B.(2,-1)
C.(-2,0)
D.(-2,-1)
2.抛物线y=-(x+1)2的开口向下,顶点坐标是(-1,0),对称轴是直线x=-1.
3.(淄博中考)已知抛物线y=-(x+1)2.
(1)写出抛物线的对称轴;
(2)完成下表;
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象.
解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-1.
(2)填表如下.
(3)描点作图如下.
知识点2二次函数y=a(x+h)2的图象的平移
规律
4.把抛物线y=-(x-5)2平移得到y=-x2,下列平移方法正确的是(A)
A.沿x轴向左平移5个单位长度
B.沿x轴向右平移5个单位长度
C.沿y轴向上平移5个单位长度
D.沿y轴向下平移5个单位长度
5.把抛物线y=2x2向左平移1个单位,则平移后抛物线的顶点坐标是(-1,0).
6.在同一个坐标系中,画出函数y1=2x2,y2=2(x-2)2与y3=2(x+2)2的图象,并说明y2,y3的图象与y1=2x2的图象的关系.
解:图略.
y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到;
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到.
综合能力提升练
7.关于二次函数y=-3(x-2)2的图象,下列说法正确的是(D)
A.顶点坐标是(-2,0)
B.开口向上
C.对称轴是直线x=-2
D.最高点是(2,0)
8.顶点为(-6,0),开口向下,形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是(D)
A.y=(x-6)2
B.y=(x+6)2
C.y=-(x-6)2
D.y=-(x+6)2
9.平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-2)2的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标为(C)
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(5,2)
D.(-1,4)
10.如图,二次函数y=(x+a)2与一次函数y=ax-a的图象可能是(D)
11.二次函数y=-3(x-4)2的图象是由抛物线y=-3x2向右平移4个单位得到,开口向下,对称轴是直线x=4,当x=4时,y有最大值,是0.
12.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是y2>y1>y3.
13.二次函数y=(x+h)2的图象如图所示,已知OA=OC,试求该抛物线的表达式.
解:∵y=(x+h)2,
∴当x=0时,y=h2,则C,
又A(-h,0),OA=OC,
∴-h=h2,解得h=0(舍去)或h=-2,
∴该抛物线的解析式为y=(x-2)2.
14.已知抛物线y=a(x+m)2的对称轴是直线x=2,抛物线与y轴的交点是(0,8),求a,m的值.解:∵抛物线y=a(x+m)2,且抛物线的对称轴是直线x=2,
∴m=-2,∴抛物线解析式为y=a(x-2)2,
∵抛物线与y轴的交点是(0,8),
∴8=a(0-2)2,解得a=2.
15.已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y=-8x2都相同,并且它的顶点在抛物线
y=2的顶点上.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的表达式;
(3)若(2)中所示抛物线的顶点不动,将抛物线的开口反向,求反向后的抛物线的表达式.
解:(1)y=-8.
(2)y=-8.
(3)y=8.
拓展探究突破练
16.如图所示,二次函数y1=a(x-b)2的图象与直线y2=kx-b交于A(0,-1),B(1,0)两点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点C(2,-4)在二次函数y1的图象上吗?若不在,你能否通过平移二次函数图象,使它经过点C? 解:(1)由图象可得y1=a(x-b)2的顶点坐标为B(1,0),所以y1=a(x-1)2,
又点A(0,-1)在y1的图象上,所以a=-1,
所以y1=-(x-1)2.
(2)当x=2时,y1=-1≠-4,所以点C(2,-4)不在y1的图象上.
把y1向左平移1个单位或向下平移3个单位,即可经过点C.。