初三二次函数的图像与性质

初三二次函数的图像与性质

二次函数是初中数学中的一个重要概念。在数学学习的过程中，我

们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。本

文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。

一、二次函数的定义及一般式

二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。当$a>0$时，

抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。

二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。其中，

$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，

$c$影响抛物线和$y$轴的交点。

【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图

像和性质。

解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，

$c=1$。由于$a>0$，所以抛物线开口向上。

考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-

\frac{b}{2a}$。代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-

3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。

接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。顶点坐标可以通过将对

称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。将$x=\frac{3}{4}$代入

$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-

3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。因此，顶点

坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二

次函数的图像。它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。

既然我们已经知道了二次函数的图像，接下来我们来了解它的性质。

二、二次函数的性质

1. 零点和交点：二次函数可能有零，也可能没有。当二次函数有零

点时，这些点就是函数图像与$x$轴的交点。零点可以通过解方程

$ax^2+bx+c=0$求得。若该方程有两个根，说明二次函数与$x$轴有两

个交点；若该方程有一个根，说明二次函数与$x$轴有一个交点；若该

方程没有实根，说明二次函数与$x$轴没有交点。

【例题2】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数与

$x$轴的交点。

解：我们已经知道了这个二次函数的方程为$y=2x^2-3x+1$。要求

它与$x$轴的交点，我们需要解方程$2x^2-3x+1=0$。

通过使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以求

出该方程的根。代入$a=2$，$b=-3$，$c=1$，我们得到$x=\frac{-(-

3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times2\times1}}{2\times2}=\frac{3\pm\sqrt{1}}{4}$。

化简后得到$x=\frac{3\pm1}{4}$，即$x=\frac{1}{2}$和$x=1$。因此，该二次函数与$x$轴的交点为$(\frac{1}{2}, 0)$和$(1, 0)$。

2. 单调性：二次函数在对称轴两侧具有不同的单调性。当$a>0$时，对称轴上的函数值最小，函数图像开口向上，所以函数在对称轴两侧

递增；当$a<0$时，对称轴上的函数值最大，函数图像开口向下，所以

函数在对称轴两侧递减。

3. 极值点：二次函数的顶点是它的极值点。当$a>0$时，函数的顶

点为最小值点；当$a<0$时，函数的顶点为最大值点。

通过以上性质，我们可以更好地理解和分析二次函数的图像。

【例题3】如果一个二次函数的顶点坐标为$(3, 4)$，且开口向上，

求该二次函数的方程。

解：已知顶点坐标为$(3, 4)$，开口向上。根据顶点的坐标，我们可

以得到对称轴的方程为$x=3$。

由于开口向上，所以$a>0$。代入到一般式$y=ax^2+bx+c$，我们得

到$y=a(x-3)^2+4$。

至此，我们可以得到该二次函数的方程为$y=a(x-3)^2+4$，其中$a>0$。

通过以上的例题和解析，我们对初三二次函数的图像与性质有了较为深入的了解。掌握了二次函数的图像特点和性质，我们可以更好地解题和应用二次函数。

综上所述，初三二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由$a$的正负决定。初三二次函数的性质包括零点和交点、单调性以及极值点等。理解并掌握这些概念，可以帮助我们更好地应对与二次函数相关的问题和题目。初三同学们在学习二次函数时，可通过总结归纳了解二次函数的图像与性质，并灵活应用于解题过程中。希望本文所述能为初三同学的数学学习提供一定的帮助。