2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市番禺区高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
所以 ，
利用三角函数的定义，解得 ，
故cos2α＝1﹣2sin2α＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6．f（x）＝3ax+1﹣2a在区间[﹣1，1]上存在x0，使f（x0）＝0（x0≠±1），则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知cos（α+ ）＝ ，则sin2α的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足 ， ，则点集 所表示的区域的面积是．（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数g（x）的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到的，若函数g（x）在区间 上单调递增，则a的最大值为（ ）
（1）求函数g（x）的值域；
（2）若函数y＝|cos（ωx+ ）|•f（sin（ωx+ ））（ω＞0）在区间[ ，π]上为增函数，求实数ω的取值范围．
2019-2020学年广东省广州市番禺区高一上学期期末考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．cos（﹣2370°）＝（ ）
A． B． C．3πD．
12．已知函数f（x）＝ ，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|＝（ ）
A． B．4C．2eD．6
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．函数 的一条对称轴方程是 ，则φ的值为．
14．计算 ＝．
15．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若 ＝λ +μ ，则λ+μ＝．
2020-2021学年广东省广州市高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若扇形的弧长为2cm ，半径为1cm ，则其圆心角的大小为（ ） A.2π B.4π C.2 D.42. 设集合A ={x ∈N|−2≤x ≤4}，B ={x|y =ln (x 2−3x)}，则集合A ∩B 中元素的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.43. 已知向量a →=(sin θ,−2)，b →=(1,cos θ)，且a →⊥b →，则sin 2θ+cos 2θ的值为( ) A.1 B.2C.12D.34. 周期为π的函数y =cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=（ ）A.−π3B.2π3C.π6D.5π65. 已知函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x =1对称，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c6. 研究表明，当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n ∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了，则n 的最小值是（ ） A.9 B.10 C.11 D.127. 已知向量a →=(m −3,n ) ，b →=(2,−1)（其中m >0,n >0） ，若a →与b →共线，则4m+12n的最小值为（ ）A.94B.3C.4615D.98. 已知函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（ ）A.(12,23)∪[89,76] B.(12,1724]∪[1718,2924] C.[59,23]∪[89,1112]D.[1118,1724]∪[1718,2324]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）若0<a <1，则（ ）A.log a (1−a)<log a (1+a)B.log a (1+a)<0C.(1−a)13<(1−a)12D.a 1−a <1将函数f(x)=2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是（ ） A.函数g(x)在区间[0,2π3]增函数B.将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.点(−π6，0)是函数g(x)图象的一个对称中心 D.函数g(x)在[π, 2π]上的最大值为1设a →，b →是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A.若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ使得a →=λb →B.若a →⊥b →，则|a →+b →|=|a →|−|b →| C.若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →=b →D.若a →与b →的方向相反，则|a →+b →|=|a →|−|b →|已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是（ ） A.函数f(sin x)是奇函数，且在(−12，12)上是减函数 B.函数sin （f(x)）是奇函数，且在(−12，12)上是增函数 C.函数f(cos x)是偶函数，且在(0, 1)上是减函数 D.函数cos （f(x)）是偶函数，且在(−1, 0)上是增函数 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）已知向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0)，则|a →+3b →|=________.若函数f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为________．已知命题p ：(x −m)2<9，命题q:log 4(x +3)<1，若p 是q 的必要不充分条件．则实数m 的取值范围是________．设函数f (x )={|ln x|,0<x <2，f (4−x ),2<x <4，方程f(x)=m 有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 12+x 22+x 32+x 42的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 解答.(1)计算：(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92)； (2)求cos 17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3)的值．已知函数已知函数f (x )=sin ωx +√3cos ωx (ω>0) f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2 (1)求ω的值；(2)若f (α)=23，求sin (5π6−4α)的值．已知向量a →=(cos x, sin x)，b →=(sin x, sin x),x ∈[0,π4].(1)若x =π6，向量c →=(−1,1)，求c →在a →上投影；(2)若函数f (x )=λ(a →⋅b →−12)的最大值为12，求实数λ的值．已知函数f(x)=m ⋅2x +2⋅3x ，m ∈R ．(1)当m =−9时，求满足f(x +1)>f(x)的实数x 的范围；(2)若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3.(1)若函数在区间[−1, 1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．已知函数f(x)=ln(√1+x2+x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；(3)当a≥1时，关于x的方程f[√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a]=0在区间[0,π]上有唯一实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，解得α=2．故选C.2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|−2≤x≤4}={0, 1, 2, 3, 4}，B＝{x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，∴A∩B={4}，则集合A∩B中元素的个数为1．故选A.3.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值数量积判断两个平面向量的垂直关系二倍角的正弦公式【解析】由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcosθ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．【解答】解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，故选A．4.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y=cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象，可得A＝1．再根据它的周期为π=2πω，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6.故选C.5.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1, 3]上递增且f(−）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(−12)=f(52)，又由函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，则f(x)在[1, 3]上递增， 则有f(2)<f(52)=f(−12)<f(3)，即b <a <c .故选D . 6.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论． 【解答】解：根据题意，(12)n <11000， 即2n>1000，n ∈N ； 所以n 的最小值是10． 故选B ． 7.【答案】 B【考点】基本不等式及其应用平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平面向量共线的坐标表示求出m +2n ＝3，再利用基本不等式求出的最小值． 【解答】解：由a →， b →共线得： 2n +m −3=0， ∴ m +2n =3，4m +12n =13(4m +12n )(m +2n ) =13(5+8n m +m 2n) ≥1×(5+2√4) =3. 当且仅当8n m=m 2n即m =4n 时“=”成立．故选B ． 8.【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 正弦函数的图象 【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+≤3ωπ−，且 kπ+π+≥4ωπ−，分类讨论k ，求得ω的具体范围． 【解答】解：AB ．函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12 ，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间 (3π,4π)，则12⋅2πω≥4π−3π, 12<ω≤1, ，故AB 错误；CD ．由f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，可得kπ+π2≤3ωπ−π6,且kπ+π+π2≥4ωπ−π6,k ∈Z ，解得3k+29≤ω≤3k+512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512，不符合12<ω≤1，当k =1时，59≤ω≤23，符合题意， 当k =2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k=3时，119≤ω≤149，不符合12<ω≤1，故C正确，D错误．故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）【答案】B,D【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若0<a<1，则1+a>1−a>0，loga (1−a)>loga (1+a)，故A错误；若0<a<1，则1+a>1，则loga(1+a)<0，故B正确；若0<a<1，则1>1−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；若0<a<1，a1−a<a0＝1，故D正确.故选BD.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f(x)=2sin x的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6)）的图象，对于A：由于x∈[0,2π3]，所以12x+π6∈[π6,π2]，故函数g(x)在区间[0,2π3]是增函数，故A正确；对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6)）向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x−π6)的图象，故该图象关于y轴不对称，故B错误；对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；对于D：由于x∈[π, 2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=√3，故D错误．故选BCD.【答案】A,B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的概念与向量的模命题的真假判断与应用【解析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．【解答】解：|a→+b→|=|a→|−|b→|，两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2|a→||b→|+|b→|2所以a→⋅b→=−|a→||b→|，而a→⋅b→=|a→||b→|cos⟨a→,b→⟩所以−|a→||b→|=|a→||b→|cos⟨a→，b→⟩，所以cos⟨a→,b→⟩=−1，所以⟨a→,b→⟩=180∘所以a→=b→共线且反向，所以λ<0时，a→=λb→，故A正确；因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，⇒a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2⇒|a→+b→|2=|a→−b→|2⇒|a→+b→|=|a→−b→|，故B正确；对|a →+b →|=|a →|+|b →|两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2+2|a →||b →|+|b →|2 所以cos ⟨a →,b →⟩=1，即<a →,b →>=0∘所以a →=b →同向，但a →不一定等于b ，故C 错误； 由A 选项可知，只有当λ<0，|a →|≥|b →|时，才有|a →+b →|=|a →|−|b →|，故D 不正确． 故选AB ． 【答案】 B,C,D 【考点】函数单调性的性质与判断 复合函数的单调性 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：f (−x )=−x|−x|=−x|x|=−f (x )，∴ f (x )是奇函数， y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，∴ f (sin x )和sin (f (x ))是奇函数，f (cos x )和cos (f (x ))是偶函数， f (x )=x|x|={x 2,x ≥0，−x 2,x <0，∴ f (x )在R 上是增函数，∴ y =sin x 在(−12,12)上是增函数，y =cos x 在(0,1)上是减函数， ∴ f (sin x )在(−12,12)上是增函数，f (cos x )在(0,1)上是减函数，故A 错误；C 正确； 当x ∈(−12,12)时，f (x )∈(−14,14)， ．y =sin x 在（ −14,14) 上单调速增，∴ sin (f (x ))在（ −12,12）上单调递增，故B 正确； 当x ∈(−1,0)时，f (x )∈(−1,0)， y =cos x 在(−1,0)上单调递增，∴ cos (f (x ))在(−1,0)上单调递增，故D 正确．故选BCD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 【答案】√7【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可． 【解答】解：向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0) 则a →+3b →=(−2,√3)， 所以(a →+3b →)2=4+3=7， 所以|a →+3b →|=√7.故答案为：√7. 【答案】 2【考点】三角函数的周期性 【解析】利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值． 【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)， ∴ f(x)=cos ωx ⋅sin ωx =12sin 2ωx ，∴ 最小正周期T =2π2ω=π2，∴ 解得ω=2． 故答案为：2. 【答案】 (−2, 0) 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p 、q 的范围，然后根据p 是q 的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．【解答】解：因为命题p ：(x −m)2<9，所以m −3<x <m +3，因为命题q:log 4(x +3)<1=log 44，所以0<x +3<4，即−3<x <1， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以{m −3<−3,m +3>1,解得−2<m <0，所以实数m 的取值范围是(−2, 0)． 故答案为：(−2, 0)． 【答案】 (20, 20.5) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】不防令x 1<x 2<x 3<x 4，由题意f(x)的图象是关于x ＝2对称的，可得x 1+x 4＝x 2+x 3＝4．助于|ln x|的图象可以得到x 1，x 2之间的关系，最终将x 12+x 22+x 32+x 42表示成x 2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【解答】解：函数f(x)={|ln x|，0<x ≤2，f(4−x)，2<x <4，的图象如图所示：由题意得x 1x 2=1, x 1+x 4=x 2+x 3=4， ∴ x 1+x 2+x 3+x 4=8, x 1=1x 2.则x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+(4−x 1)2+x 22+(4−x 2)2 =2(x 1+x 2)2−8(x 1+x 2)2+28=2(x 1+x 2−2)2+20=2(x 2+1x 2−2)2+20.∵ x 2+1x 2在(1, 2)上单调递增，∴x 12+x 22+x 32+x 42∈(20, 412).故答案为：(20,20.5).四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 【答案】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π+sin (−16π)−tan (−4π) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3.【考点】对数的运算性质 【解析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解． （2）利用诱导公式直接求解． 【解答】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3. 【答案】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T 2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可． （2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可． 【解答】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【答案】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)，因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4] 又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【考点】平面向量数量积的性质及其运算 向量的投影三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）求出当时，的坐标，然后求出的模，利用向量投影的定义求解即可；（2）利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x 的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．【解答】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)， 因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4]又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【答案】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ， 可得m ≤(32)2x −2(32)x ， 令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]． 【考点】函数恒成立问题 函数单调性的性质【解析】（1）由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1+>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0， 即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值， 由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]．【答案】解：(1)∵ 二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴是x =8， ∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0． 即(1+16+q +3)⋅(1−16+q +3)≤0， 解得−20≤q ≤12．∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q 的取值范围是[−20, 12]. (2)当{t <8,8−t ≥10−8,t ≥0时，即0≤t ≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【考点】二次函数的性质函数的零点【解析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1, 1]上为单调函数，要使函数在区间[−1, 1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t<8，最大值是f(t)；t<8，最大值是f(10)；8≤t<10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：(1)∵二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，解得−20≤q≤12．∴使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].(2)当{t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【答案】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√1+x12>√1+x22，所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，只要证明f(−x)+f(x)＝0即可判断函数为奇函数，（2）先设x1>x2≥0，然后比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）y由已知结合函数的单调性进行转化得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2＝0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．【解答】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√112>√1+x22所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．。
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．不等式x2﹣1＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∴或，解不等式组得x＞1或x＜﹣1，故选：D．4．设f（x）＝则f（17）＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（17）＝f（9）＝f（1）＝21＝2；故选：A．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。
广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题08(new)
上学期高一数学期末模拟试题08满分150分,时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1、0600sin 的值是 （ ）A 21B 23C 23-D 21-2、化简=--+CD AC BD AB （ ） A AD B DA C BC D 03、已知角α的终边过点)0(),3,4(≠-m m m P ,则=+ααcos sin 2 （ )A 或1-B 52或 52-C 或 52-D 1-或 524、若一个扇形的圆心角为060，弧长为4，则扇形的面积是 ( ) Aπ24Bπ12C π12D π245、 若2||,2||==b a ；且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是 （ )A6π B 4π C 3πD 125π6、函数1)32sin(4++=πx y 的相邻两条对称轴之间的距离为 ( ）A 2π B π C π2 D π4第1页7、为得到)63sin(2π+=x y 的图象，只需把函数x y sin 2=的图象上所有的点 ( ）A 向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B 向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C 向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变）8、在]2,0[π内,使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A )45,()2,4(ππππ⋃B ),4(ππC )45,4(ππD ),4(ππ)23,45(ππ⋃9、要得到函数x y sin =的图象,只需将函数)3cos(π-=x y 的图象A 向右平移6π个单位B 向右平移3π个单位C 向左平移3π个单位D 向左平移6π个单位10、把函数)42sin(π-=x y 的图象向右平移8π，所得的图象对应的函数为A 奇函数B 偶函数C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数11、若)7,4(),3,2(-==b a ,则a 在b 方向上的投影为 A 3 B513C 65D 56512、等边三角形ABC 的边长为，a BC =，b CA =，c AB =，则=•+•+•a c c b b a ( ）A 3B 3-C 23D 23-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共8小题,每小题5分，共40分。
广东省广州市普通高中高一数学上学期期末考试试题06(new)
8．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三条交线的距离分别为2、 、 ，则│OP│长为( )
A。 B。 C. D.
9.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,
俯视图是一个圆 ，那么这个几何体的侧面积为
A. B。
C。 D.
10直线5x—2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b，则（ ）
根据倾斜度的不同，有下列命题：(1）水的部分始终呈棱柱形；
（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；（3）棱A1D1始终
与水面EFGH平行；（4)当容器倾斜如图所示时，BE·BF
是定值，其中所有正确命题的序号是.
15．若2x1+3y1=4，2x2+3y2=4，则过点A（x1，y1），B(x2，y2）的直线方程是
20 1） 由已知DE= ,CE= ，DC=2, ∴DE EC又DE BC，∴DE 平面EBC,DE 平面EDB， ∴ 平面EDB 平面EBC ---—-——-—---—-——-----—-（6分）
2)连接AC，交ＤＢ于O点,取 的中点F，连接OF，则OF BD1， 为异面直线A1C1和BD1所成的角,—--- 8分
2020-2021学年广东省高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x 2−4=0}，则A∩B=()．A. {−2}B. {2}C. {−2,2}D.2.设函数f(x)={2−x,x≤0x12,x>0，则f(−2)+f(1)=()A. 1B. 2C. 4D. 53.一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为()A. 4B. 2C. 3D. 14.在y=2x，y=log2x，y=x2，这三个函数中，当x2>x1>1时，使f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立的函数的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.在内与终边相同的角是()A. B. C. D.6.在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为()A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数f(x)=√3sinwx+coswx(w>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z B. [kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈ZC. [kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z D. [kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z8.如图是某果园的平面图，实线部分DE、DF、EF游客观赏道路，其中曲线部分EF是以AB为直径的半圆上的一段弧，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x(0<x <π4)，若游客在路线DE 、DF 上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y 是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y 与x 的函数关系的是( )A.B.C.D.9. 已知角α的终边经过点P(4,−3)，则sinα+cosα的值是( )A. 15B. −15C. 75D. −7510. 某企业为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=(x >0).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F(x)(万元)，则F(40)等于( )A. 80B. 60C.D. 4011. 已知a ，b 是实数，关于x 的方程x 2+ax =b|x|−1有4个不同的实数根，则|a|+b 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−2,2)C. (2,6)D. (−∞,2)12. 已知函数f(x)=3x−1+3−x+1−2cos(x −1)，则( )A. f(log 29)>f(log 312)>f(0.5−0.5) B. f(0.5−0.5)>f(log 29)>f(log 312) C. f(0.5−0.5)>f(log 312)>f(log 29)D. f(log 29)>f(0.5−0.5)>f(log 312)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在△ABC 中，D 为线段AB 上的点，且AB =3AD ，AC =AD ，CB =3CD ，则sin2BsinA = ______ ．14. 若函数f(x)=|x −1|+m|x −2|+6|x −3|在x =2时取得最小值，则实数m 的取值范围是______．15. log 78 ______ log 89(填“>”或者“<”)．16. 设函数f(x)={21−x ,x ≤0f(x −1),x >0，方程f(x)=x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)设集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|x −a >0}，若A ∩B =A ，求a 的范围； (2)设集合M ={x ∈R|ax 2−3x −1=0}，若集合M 中至多有一个元素，求a 的范围． 18. 当时，求证：sin α< α<tan α．19. 已知函数f(x)=2cos(x +π3)[sin(x +π3)−√3cos(x +π3)]． (1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程f(x)=m 在x ∈[0,π6]内有解，求实数m 的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax 2−x +12，函数g(x)=a +12−|x −a|，其中实数a >0． (1)当0<a <1时，log a f(x)≥0对x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设F(x)=max{f(x),g(x)}，若不等式F(x)≤14在x ∈R 上有解，求实数a 的取值范围．21. (1)计算tan(−510°)cos(−210°)cos120°tan(−600°)⋅sin(−330°)．(2)已知sinα=1213，α∈(π2,π).求cos(π6−α)的值．22. 已知函数f(x)=2x +2x −alnx ，a ∈R ．(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．(2)记函数g(x)=x2[f ′(x)+2x−2]，若g(x)的最小值是−6，求a的值．参考答案及解析1.答案：A解析：由题意可得，A={−2}，B={−2,2}，∴A∩B={−2}.故选A．2.答案：D解析：解：∵函数f(x)={2−x,x≤0 x12,x>0，∴f(−2)=2−(−2)=4，f(1)=112=1，∴f(−2)+f(1)=4+1=5．故选：D．由函数性质先分别求出f(−2)，f(1)，由此能求出f(−2)+f(1)的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3.答案：B解析：解：∵一个扇形的弧长与面积的数值都是4，∴{l=αR=4S=12αR2=4，解得R=2，∴这个扇形的中心角的弧度数α=lR =42=2．故选：B．利用弧长公式直接求解．本题考查扇形圆心角的求法，是基础题，解题时要注意弧长公式的合理运用．4.答案：B解析：本题考查根据函数的图象判断不等式，指数函数，对数函数，幂函数的图象，属于基础题．画出图象，数形结合可得答案．解：y=log2x的图象如下：f(x1)+f(x2)2表示的是梯形中位线的长度，f(x1+x22)表示的是中点处的函数值，由图像可知y=log2x满足f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2恒成立，同理可以验证y=2x，y=x2不符合题意．故选B．5.答案：B解析：试题分析：因为，那么对于与终边相同的角的集合为，故可知答案为，选B．考点：终边相同的角的表示点评：解决的关键是根据终边相同的角的集合的表示来得到，属于基础题。
2020-2021高一数学上期末试卷及答案(6)
2020-2021高一数学上期末试卷及答案(6)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．2．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2786．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1} B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5} 11．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.14．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.15．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．16．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 20．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()10()mf x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）23．已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围. 24．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 25．已知函数()()sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x取得最大值2，当23x π=时，()f x取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.26．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
2020-2021高一数学上期末试卷带答案
2020-2021高一数学上期末试卷带答案一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
广东省广州市2020-2021学年高一上学期期末数学模拟试卷(无答案)
广东省广州市2020-2021学年度高一数学期末模拟卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知x=ln π，y =log 52，z =e −0.5，则（ ）.A .x <y <zB .z <x <yC .z <y<x D.y<z<x2.已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0. 则方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数为（ ）. A.804 B.805 C.806 D.8073.已知函数f (x )={−x²+2x,x ≥0x²−2x,x <0 ，若关于x 的不等式[f （x ）]²+af （x ）−b ²<0恰好有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）.A.2B.3C.5D.64.设函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数M >0,使|f （x ）|≤M |x |对一切实数x 均成立，则称f （x ）为“倍约束函数”，现给出下列函数：①f （x ）=2x ；②f （x ）=x ²+1；③f （x ）=sinx+cosx ；④f （x ）=x x ²−x+3；⑤f (x )是定义在实数集R 上奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)−f （x 2）|≤|x 1−x 2|，其中是“倍约束函数”的有（ ）.A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个5.关于x 的方程x+lg x=3，x+10x =3的根分别为α，β，则α+β等于（ ）. A.3 B.4 C.5 D.66. 设x >0,y >0,x +2y =5,则√xy的最小值为（ ）.A.2√3B.4√3C.5D.67.已知函数f （x ）=sin （ωx −π6）（ω>0）在(0，4π3]上单调递增，在(4π3，2π]上单调递减，当x ∈[π，2π]时，不等式m −3≤f （x ）≤m +3恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）. A ．[ 12，1] B.(−∞，−2) C. [− 52，4] D. [−2 ，72]8．若A 、B 、C 为△ABC 三个内角，则sin A+si nB+sin C 的最大值为（ ）. A 、2√33B.3√32C.3D.6二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021广州市高中必修一数学上期末模拟试卷(附答案)
2020-2021广州市高中必修一数学上期末模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－16．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>7．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 8．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12 C ．13 D ．－1212．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值 二、填空题13．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．14．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.16．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 17．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 18．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.19．若函数()242x xf x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.22．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围． 23．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值． 24．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213U B x x p x p 或=-+ð． （1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．26．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-． （1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0x t t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．7．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.8．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象，图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =，()log a g x x =图象如下图：由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log xa a x =根的个数为2.故选：B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数；(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题. 11．B解析：B【解析】y＝1 1x-在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B.12．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x的图像，如图（实线部分），由()1152y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A．故()f x有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f xg x的值域，然后利用函数()f x的值域是函数()g x值域的子集，列出不等式，求得结果.详解：由条件可知函数()f x的值域是函数()g x值域的子集，当11,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a∈-++，当[]21,2x∈-时，()[]1,3g x∈-，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得01a ≤≤，故填：[]0,1. 点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.14．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即210,a a a --==（舍去），或a = 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．17．【解析】因为所以所以故填【解析】因为35mnk ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg152k ==k =18．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解， 整理得：20x x a a t -+=， 令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.19．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】 【分析】 将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤Q ,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.20．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 三、解答题21．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x xf x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】 【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．23．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m =【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值. 【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m≥，解得2m ≥， 综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去； 当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意． 综上所述，1m =． 【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型. 24．（1）见解析（2）51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解. 【详解】（1）由101xx ->+可得1010x x ->⎧⎨+>⎩或1010x x -<⎧⎨+<⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，设1211x x -<<<，则()()()211212122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12121111x x x x -->++， ①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1atf t t-=+； ②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且()()111log log 11a a x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于()()234f x f x -≥-，即有2341211431x x x x -≤-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得513x <<，所以x 的取值范围是51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. 25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p -或． 【解析】 【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+,（1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围.【详解】因为{}213U B x x p x p =-+，或ð， 所以(){}213UUB B x p x p ==-≤≤+痧,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩ 解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤.综上，实数p 的取值范围342p p -或． 【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．（1）{}23x x <<（2）()2,+∞ 【解析】 【分析】（1）先化简集合B ，再根据集合的交并补运算求解即可；（2）函数()lg(2)f x x a =+定义域对应集合可化简为2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，又A C ⊆，故由包含关系建立不等式即可求解； 【详解】（1）由题知，{}2B x x =≤，{}2U C B x x ∴=>{}13A x x =-≤<Q(){}23UA CB x x ∴⋂=<<（2）函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，A C ⊆Q ，12a∴-<-， 2a ∴>.故实数a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题。
广东省广州市番禹区仲元中学高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角α为（）A．B． C．D．2．不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A．{x|x＞2或x＜1} B．{x|x≥2或x≤1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x＜2}3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5x4．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α∥β，l∥α，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．已知两直线l1：x+mx+4=0，l2：（m﹣1）x+3my+2m=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．4 B．0或4 C．﹣1或D．6．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤7．函数的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．在空间直角坐标系中，给定点M（2，﹣1，3），若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=（）A．2 B．4 C． D．9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．10．点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交11．若，则P，Q，R的大小关系是（）A．Q＜P＜R B．P＜Q＜R C．Q＜R＜P D．P＜R＜Q12．设函数，对于给定的正数K，定义函数f g （x）=，若对于函数定义域内的任意x，恒有f g（x）=f（x），则（）A．K的最小值为1 B．K的最大值为1C．K的最小值为 D．K的最大值为二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为．14．已知直线y=kx﹣2k+1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3相交于M，N两点，则|MN|等于．15．若函数f（x）=log a（x﹣1）+m（a＞0，且a≠1）恒过定点（n，2），则m+n的值为．16．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣4（a为常数），则f（﹣1）的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分共70分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.17．设函数的定义域为集合A，已知集合B={x|1＜x＜3}，C={x|x≥m}，全集为R．（1）求（∁R A）∩B；（2）若（A∪B）∩C≠∅，求实数m的取值范围．18．直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．19．如图所示，已知AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点，BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD．20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三棱锥C﹣BED的体积．21．已知圆O：x2+y2=4，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．（1）若点P（1，），求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．22．函数f（x）=log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x ﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y=﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角α为（）A．B． C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．【解答】解：直线x+y﹣1=0 即 y=﹣x+，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，则0≤α＜π，且tanα=﹣，故α=，故选D．2．不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A．{x|x＞2或x＜1} B．{x|x≥2或x≤1}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式﹣x2+3x﹣2≥0化为x2﹣3x+2≤0，因式分解为（x﹣1）（x﹣2）≤0，即可解出．【解答】解：不等式﹣x2+3x﹣2≥0化为x2﹣3x+2≤0，因式分解为（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得1≤x≤2．∴原不等式的解集为{x|1≤x≤2}，故选：C．3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：对于A，函数y=在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意；对于B，函数y=（x﹣1）2在区间（﹣∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函数，不满足题意；对于C，函数y=2﹣x在定义域R上为单调减函数，不满足题意；对于D，函数y=log0.5x在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意．故选：A．4．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α∥β，l∥α，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】借助于长方体中的线面关系直观判断，恰当选取长方体中的线与面来表示题目中涉及到的线、面，然后进行判断．【解答】解：对于A项，在长方体中，任何一条棱都有和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不对；对于B项，若α、β分别是长方体的上下底面，在下底面所在平面中任选一条直线l，都有l∥α，但l⊂β，所以B不对；对于D项，在长方体中，令下底面为β，左边侧面为α，此时α⊥β，在右边侧面中取一条对角线l，则l∥α，但l与β不垂直，故D不对；对于C项，设平面γ∩β=m，且l⊂γ，∵l∥β，所以l∥m，又∵l⊥α，所以m⊥α，由γ∩β=m得m⊂β，∴α⊥β．故选C5．已知两直线l1：x+mx+4=0，l2：（m﹣1）x+3my+2m=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．4 B．0或4 C．﹣1或D．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：①当m=0时，两条直线分别化为：x+4=0，﹣x=0，此时两条直线相互平行，因此m=0．②当m≠0时，两条直线分别化为：y=﹣x﹣，y=﹣x﹣，由于两条直线相互平行可得： =﹣，，解得m=4．综上可得：m=0或4．故选：B．6．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，解得m＜，故选A．7．函数的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．【解答】解：函数，可得：f（﹣1）=5＞0，f（0）=3＞0，f（1）=＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．故选：D．8．在空间直角坐标系中，给定点M（2，﹣1，3），若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=（）A．2 B．4 C．D．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】先根据点的对称求得A和B的坐标，进而利用两点的间的距离公式求得|AB|．【解答】解：∵点M（2，﹣1，3）关于平面xoy对称点A它的横坐标与纵坐标不变，竖坐标相反，所以A（2，﹣1，﹣3）；M（2，﹣1，3）关于x轴的对称点分别为B，它的横坐标不变，纵坐标相反，竖坐标相反，有B（2，1，﹣3），∴|AB|==2，故选A．9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A． B． C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．10．点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得+＞a2，圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为 d，根据d 小于半径，可得直线和圆相交．【解答】解：∵点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，∴ +＞a2．圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为 d=＜=a（半径），故直线和圆相交，故选B．11．若，则P，Q，R的大小关系是（）A．Q＜P＜R B．P＜Q＜R C．Q＜R＜P D．P＜R＜Q【考点】对数值大小的比较．【分析】5＜x＜6，可得P=＜1．利用几何画板可得：y=log2x，y=的图象．可知：4＜x＜16时，2＜＜log2x．即可得出．【解答】解：∵5＜x＜6，∵P=＜1．利用几何画板可得：y=log2x，y=的图象．可知：当x=4时， =log2x=2．当x=16时， =log2x=4．当4＜x＜16时，2＜＜log2x．综上可得：P＜R＜Q．故选：D．12．设函数，对于给定的正数K，定义函数f g （x）=，若对于函数定义域内的任意x，恒有f g（x）=f（x），则（）A．K的最小值为1 B．K的最大值为1C．K的最小值为 D．K的最大值为【考点】函数恒成立问题．【分析】若对于函数定义域内的任意x，恒有f g（x）=f（x），则f（x）≥K恒成立，求出f（x）的最小值，即为K的最大值．【解答】解：若对于函数定义域内的任意x，恒有f g（x）=f（x），则f（x）≥K恒成立，∵≥20=1，故K≤1，即K的最大值为1，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，用2加上半径1，即为所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为2+1=3，故答案为：3．14．已知直线y=kx﹣2k+1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3相交于M，N两点，则|MN|等于．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据已知可得直线恒过圆心，则|MN|即为直径．【解答】解：直线y=kx﹣2k+1恒过（2，1）点，即直线y=kx﹣2k+1恒过圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3的圆心，故|MN|=2R=；故答案为：15．若函数f（x）=log a（x﹣1）+m（a＞0，且a≠1）恒过定点（n，2），则m+n的值为 4 ．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由条件利用log a（n﹣1）+m=2 为定值，可得n﹣1=1，求得n的值，可得m的值，从而求得m+n的值．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x﹣1）+m（a＞0，且a≠1）的图象经过定点A（n，2），可得log a（n﹣1）+m=2为定值，可得n﹣1=1，n=2，故m=2，m+n=4，故答案为：4．16．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣4（a为常数），则f（﹣1）的值为﹣12 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣4（a为常数），∴f（0）=0，即f（x）=a﹣4=0，则a=4，则当x≥0时，f（x）=4x+1﹣4，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（42﹣4）=﹣12，故答案为：﹣12三、解答题：本大题共6小题，满分共70分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 17．设函数的定义域为集合A，已知集合B={x|1＜x＜3}，C={x|x≥m}，全集为R．（1）求（∁R A）∩B；（2）若（A∪B）∩C≠∅，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）求出集合A从而求出A的补集，进而求出其和B的交集；（2）根据集合A、B的范围，求出A和B的并集，结合（A∪B）∩C≠ϕ，求出m的范围即可．【解答】解：（1）因0＜a＜1，由log a（x﹣2）≥0得0＜x﹣2≤1，所以A={x|2＜x≤3}，…C R A={x|x≤2或x＞3}，…（C R A）∩B={x|x≤2或x＞3}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}，…（2）由（1）知A={x|2＜x≤3}，因B={x|1＜x＜3}，所以A∪B={x|1＜x≤3}，…又C={x|x≥m}，（A∪B）∩C≠ϕ，所以m≤3，…18．直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．【考点】直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．【分析】先画出图象可得到直线l的斜率k存在，然后根据直线的点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离可得到，再由Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，得到可求出k的值，进而可得到最后答案．【解答】解：如图易知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y﹣5=k（x﹣5）圆C：x2+y2=25的圆心为（0，0）半径r=5，圆心到直线l的距离在Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，∴2k2﹣5k+2=0，∴k=2或l的方程为2x﹣y﹣5=0或x﹣2y+5=0．19．如图所示，已知AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点，BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由中位线的定理可得MN∥CD，故而MN∥平面BCD；（2）由AB⊥平面BCD可得AB⊥CD，又BC⊥CD，故而CD⊥平面ABC，于是平面ABC⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN∥CD，又∵MN⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD．（2）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD．20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三棱锥C﹣BED的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由六面体ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BC⊥侧面CDD1C1，得到DE⊥BC，在△CDE 中，由勾股定理证得DE⊥EC，再由线面垂直的判定得答案；（2）把三棱锥C﹣BED的体积转化为三棱锥D﹣BCE的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，又DE⊂侧面CDD1C1，∴DE⊥BC，在△CDE中，由已知得，则有CD2=CE2+DE2，∴∠DEC=90°，即DE⊥EC，又∵BC∩EC=C，∴DE⊥平面BCE；（2）∵BC⊥侧面CDD1C1且CE⊂侧面CDD1C1，∴CE⊥BC，则，又∵DE⊥平面BCE，∴DE就是三棱锥D﹣BCE的高，则．21．已知圆O：x2+y2=4，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．（1）若点P（1，），求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程．【分析】（1）先确定直线AP的方程为，求得F（2，），确定直线AE的方程为y=（x+2），求得C（2，），由此可得圆的方程；（2）设P（x0，y0），则E（x0，），求得直线AE的方程，进而可确定直线PC的斜率，由此即可证得直线PC与圆O相切．【解答】（1）证明：由P（1，），A（﹣2，0）∴直线AP的方程为．令x=2，得F（2，）．由E（1，），A（﹣2，0），则直线AE的方程为y=（x+2），令x=2，得C（2，）．∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心，半径等于．∴圆的方程为，且P在圆上；（2）证明：设P（x0，y0），则E（x0，），则直线AE的方程为在此方程中令x=2，得C（2，）直线PC的斜率为=﹣=﹣若x0=0，则此时PC与y轴垂直，即PC⊥OP；若x0≠0，则此时直线OP的斜率为，∵×（﹣）=﹣1∴PC⊥OP∴直线PC与圆O相切．22．函数f（x）=log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x ﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为．（1）求m、n以及r的值；（2）设点P（2，﹣1），探究在直线y=﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）由题意和对数函数过定点可得m=5，n=﹣1，由圆的弦长公式可得r的方程，解方程可得；（2）假设在直线y=﹣1上存在一点B（异于点P）满足题意，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，若点T在S和Q时，则有，解得，然后由距离公式证明在直线y=﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．【解答】解：（1）在函数f（x）=log a（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）中，当x=5时，y=﹣1，∴必经过的定点为点（5，﹣1），即m=5，n=﹣1，由于直线AP被圆C所截得的弦长为，圆C半径为r，设圆心到直线AP的距离为d，由于圆心（5，﹣1）到直线的距离为，∴，代入d值解方程可得r=5；（2）假设在直线y=﹣1上存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．圆与直线y=﹣1的交点为S（0，﹣1），Q（10，﹣1），设B（m，﹣1）（m≠2），而若点T在S 和Q时，则有，即，解得，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，则：，=，∴在直线y=﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．。
高一数学上学期期末考试试题_2 24
第二师范学院番禺附属中学2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题考试时间是是：120分钟 考前须知：1．本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
答卷前，所有考生必须将本人的姓名和考生号、试室号、座位号填写上在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．答复第一卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在套本套试卷上无效。
3．答复第二卷时，将答案写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
4．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
第一卷〔一共60分〕一、选择题：本小题一共12题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，2，4}，集合B ={2，5}，那么〔∁U A 〕∩B 等于 A ．{3}B ．{3，5}C ．{3，4，5}D ．{5}2．函数()ln(1)f x x =++()f x 的定义域为 〔 〕 A ．(]1,1-B ．(1,1)-C ．[)1,1-D ．[]1,1-3．假设角α的终边经过点),2(m P -且53sin =α，那么m 的值是〔 〕 A ．23-B. 23C. 23±D. 49±4．以下函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是〔 〕 A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ． sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+5．假设点〔a ， 9〕在函数y =3x 的图象上，那么tan6a π的值是〔 〕 A. 0B.C. 1D.6、函数32log )(5.0+-=x x x f 的零点所在的区间是〔 〕A ．)21,0( B. )1,21( C. )23,1( D. )2,23(7. 函数⎩⎨⎧-+=,2,1)(2x x x f 0>≤x x ，假设)(x f 10=，那么=x 〔 〕A. 5-B. 3- C ．3±D ．53-±及8. 函数2ln y x x =+的图象大致为〔 〕A ．B ．C ．D ．9.将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象的函数解析式为〔 〕 A ．2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 42y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．函数()3sin 21f x x x =+-．假设()6f m =，那么()f m -= 〔 〕 A ．6-B ．8-C ．6D ．811．3sin()35x π-=，那么7cos()6x π+等于( ) A ．35B ．45C ．35D ．45-12．函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，以下说法正确的选项是〔 〕 A ．()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 C．将函数2cos 2y x x =- 的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象D ．假设方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是(2,- 第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，一共4题20分〕13．扇形AOB 的面积为43π，圆心角AOB 为120，那么该扇形半径为__________． 14. tan 2α=，那么sin 4cos 2sin cos αααα-=+ ； 15．()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞-上单调递减，那么a 的取值范围是______．16．函数()21,0,log ,0.x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩假设方程()f x a =恰有4个不同的实根，那么实数a 的的取值范围为__________．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。
2022-2023学年广东省广州市仲元中学高一上数学期末学业质量监测试题含解析
（1）求 的对称中心的坐标；
（2）若 ， ，求 的值.
20．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为 万元，并且每生产 百台的生产成本为 万元（总成本 固定成本 生产成本）．销售收入 （万元）满足 ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
【详解】作出函数 与函数 的图象，
则可知实数m的取值范围为 ，
由题可知， ，
∵ ，
∴ ，即 ，又 ， ，
∴ ，又函数 在 上单调递增，
∴ ，即 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛；本题的关键是数形结合，结合对数函数的性质及正弦函数的性质可得 ，再利用二次函数的性质即解.
14、4
【解析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积
8、D
【解析】探讨函数 性质，求出 最大值，再借助关于a 函数单调性列式计算作答.
【详解】依题意， ，则 是 上的奇函数，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
由奇函数性质知，函数 在 上的最大值是 ，
依题意，存在 ， ，令 ，显然 是一次型函数，
因此， 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D
9、C
【解析】根据相似三角形 性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；
反之：由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立，
所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.
广东省仲元中学2022年高一数学第一学期期末监测试题含解析
故选:D
考点：函数的奇偶性和单调性；函数的周期性.
7、D
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数 的奇偶性，分析函数解析式的结构可得出函数 的单调性.
【详解】函数 的定义域为 ， ，所以函数 为奇函数.
而 ，可知函数 为定义域 上 减函数，
因此，函数 为奇函数，且是 上的减函数.
故选：D.
8、B
对于④， 偶函数，且值域为 ，
所以符合题意的有①④
故选：C.
11、A
【解析】作出图形，由向量加法的三角形法则得出 可得出答案.
【详解】如下图所示：
由题意可得 ，
由向量加法的三角形法则可得 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
【详解】
，（其中 ， ），
将 图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，得到
，
∴ ， ，解得 ，故选D.
4、C
【解析】由 求出 的值，再由诱导公式可求出答案
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
5、D
【解析】设 ， ，由 ， 互为反函数，其图象关于直线 对称，作直线 ，分别交 ， 的图象为A，B两点， 点为A，B的中点，
故选D．
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．利用y=sinx的对称中心为 求解，令 ，求得x.
10、C
【解析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.
【详解】对于①， 是偶函数，且值域为 ；
对于②， 是奇函数，值域为 ；
对于③， 是偶函数，值域为 ；
【解析】 时，直线分别化为： ，此时两条直线不垂直. 时，利用两条直线垂直可得： ，解得 .联立方程解出即可得出.
2021年广东省广州市广东中学(高中部)高一数学理期末试题含解析
2021年广东省广州市广东中学(高中部)高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M={x|﹣2x+1＞0}，N={x|x＜a}，若M?N，则a的范围是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合M，利用数轴求解．【解答】解：M={x|﹣2x+1＞0}={x|x＜}，∵M?N，由数轴得∴a≥．故选：D．2. 平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若.则=( )A. B. 2 C. D.参考答案：A【分析】先求出,再根据得到解方程组即得解. 【详解】由题意得，又因为，所以, 由题意得，所以解得所以，故选:A．【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3. 已知二次函数，且函数在区间内的图像与轴恰有一个交点，则不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：C略4. 等于（）A．B．C．D．参考答案：B 解析：5. 某城市房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（）A．-1 B．+1 C．50% D．600元参考答案：A6. 奇函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式是f（x）=x（1+x），则f（x）在（0，+∞）上有（）A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值参考答案：B【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】利用二次函数的最值，以及函数的奇偶性判断求解即可．【解答】解：f（x）在（﹣∞，0）上的解析式是f（x）=x（1+x），可知函数的对称轴为：x=，最小值为：，奇函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，为：．故选：B．7. 设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若，则O为△ABC的（）A.内心B.外心C.重心D. 垂心参考答案：B若=，可得===0，可得===0，即有，则，故O为△ABC的外心，故答案为：B8. 已知，，且，则=（）A． B．－3 C． 0 D．参考答案：B9. 奇函数f(x)在(－∞,0)上单调递增,若f(－1)＝0,则不等式f(x)＜0的解集是( )A. (－∞,－1)∪(0,1)B. (－∞,－1)∪(1,＋∞)C. (－1,0)∪(0,1)D. (－1,0)∪(1,＋∞)参考答案：A10. 已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1参考答案：D【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则f[f （10）]= ．参考答案：2【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用． 【分析】利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：，则f[f （10）]=f （lg10）=f （1）=12+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．12. 若满足则的最大值为A. 1B.3C.5D.9参考答案：D13. 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝_______.参考答案：3.2 略14. （5分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m ﹣2）x+（m+2）y ﹣3=0互相垂直，则m 的值为．．参考答案：或﹣2考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．分析： 由垂直关系可得（m+2）（m ﹣2）+3m （m+2）=0，解方程可得．解答： ∵直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m ﹣2）x+（m+2）y ﹣3=0互相垂直， ∴（m+2）（m ﹣2）+3m （m+2）=0，即（m+2）（m ﹣2+3m ）=0，解得m=或﹣2故答案为： 或﹣2点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属基础题．15. 已知函数的定义域为，则该函数值域为 ．参考答案：[0，3]【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】由对数函数的单调性得log 2x∈[﹣2，3]，从而求值域． 【解答】解：∵x∈，∴log 2x∈[﹣2，3]，∴|log 2x|∈[0，3]， 故函数的值域为：[0，3]； 故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了对数函数的单调性的应用及函数的值域的求法． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=2，c=2，且C=，则△ABC 的面积为 ．参考答案：【考点】HP ：正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB ，结合B 的范围，利用特殊角的三角函数值可求B ，利用三角形内角和定理可求A ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由正弦定理，又c＞b，且B∈（0，π），所以，所以，所以．故答案为：．17. 设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x2﹣4x+a=0，a为常数}，若B?A，则实数a的取值范围是：．参考答案：a≥4【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A中的元素，结合集合A和B的关系，通过讨论B中的元素得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，集合B={x|x2﹣4x+a=0，a为常数}，若B?A，则B是?时：△=16﹣4a＜0，解得：a＞4，B={1}时：则1﹣4+a=0，解得：a=3，a=3时：解得B={1，3}，不合题意，B={2}时：则4﹣8+a=0，解得：a=4，综上：实数a的取值范围是：a≥4故答案为：a≥4．【点评】本题考查了集合之间的关系，考查二次函数问题，分类讨论，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.155.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）8.（单选题，5分）对于a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b={a2−ab，a≤bb2−ab，a＞b，设f（x）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A. (5−√34，1)B. (1，5+√34)C. (12，1)D.（1，2）9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥211.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.13.（填空题，5分）cos225°=___ ．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23 +lg5+lg2-log216-e0；（2）已知tanα= 34，求2sin(π−α)+3cos(−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个6条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π)的图像平移得到；4．③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．)−1．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2（1）求函数f（x）的最小正周期；)上的值域；（2）求f（x）在(0，π2得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）（3）将f（x）的图象向右平移π8)上是否存在零点．在(1，π221.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．f(x)=22+x2（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．2020-2021学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若集合A={x|x＞1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A.（1，3]B.[1，3]C.[-1，1）D.[-1，+∞）【正确答案】：A【解析】：可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞1}，B={x|-1≤x≤3}，∴A∩B=（1，3]．故选：A．【点评】：本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）函数f（x）= √1−x +log2（3x-1）的定义域为（）A. (13，1]B. (0，13)C. (−∞，13)D.（0，1]【正确答案】：A【解析】：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】：解：由题意可知{1−x≥03x−1＞0，解得13＜x≤1，∴函数f（x）的定义域为（13，1]，【点评】：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．3.（单选题，5分）已知命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，则p是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：B【解析】：直接利用不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】：解：命题p：-1＜x＜2，q：|x|＜1，整理得：-1＜x＜1，则p是q成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：必要条件和充分条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.（单选题，5分）设x，y为正数，则（x+y）（1x + 4y）的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【正确答案】：B【解析】：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】：解：x，y为正数，（x+y）（1x +4y）= 1+4+yx+4xy≥1+4+2 √yx×4xy=9当且仅当yx =4xy时取得“=”∴最小值为9【点评】：利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”5.（单选题，5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A.f（x）=3sin（x+ π3）B.f（x）=3sin（2x+ π3）C.f（x）=3sin（2x- π3）D.f（x）=3sin（2x+ π6）【正确答案】：B【解析】：根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】：解：由图象知A=3，函数的周期T= 5π6 -（- π6）=π，即2πω=π，即ω=2，则f（x）=3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（- π6）+φ=0，即φ= π3，则f（x）=3sin（2x+ π3），故选：B．【点评】：本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．6.（单选题，5分）三个数a=log30.3，b=log32，c=12的大小顺序是（）B.c＜a＜bC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：C【解析】：结合指数与对数函数的单调性确定各数范围，即可比较大小．【解答】：解：因为a=log30.3＜0，b=log32∈（12，1），c= 12，所以b＞c＞a．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.（单选题，5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A.（-2，2）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-∞，-2）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）【正确答案】：B【解析】：由题意可知f（x）在[0，+∞）上是减函数，再根据对称性和f（2）=0得出f（x）在各个区间的函数值符号，从而得出答案．【解答】：解：∵ f(x2)−f(x1)x2−x1＜0在∈[0，+∞）上恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又f（2）=0，∴当x＞2时，f（x）＜0，当0≤x＜2时，f（x）＞0，又f（x）是偶函数，∴当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜0时，f（x）＞0，∴xf（x）＜0的解为（-2，0）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与奇偶性的性质，属于中档题．8.（单选题，5分）对于a ，b∈R ，定义运算“⊗”： a ⊗b ={a 2−ab ，a ≤b b 2−ab ，a ＞b，设f （x ）=（2x-1）⊗（x-1），且关于x 的方程f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ） A. (5−√34，1) B. (1，5+√34) C. (12，1) D.（1，2） 【正确答案】：A【解析】：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m 的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之和，并判断出函数的单调性，求出函数的值域，得到结果．【解答】：解：∵2x -1≤x -1时，有x≤0， ∴根据题意得f （x ）= {(2x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ≤0(x −1)2−(2x −1)(x −1)，x ＞0，即f （x ）= {2x 2−x ，x ≤0−x 2+x ，x ＞0 ，画出函数的图象，如下图所示：从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）=t （t∈R ）恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是（0， 14 ），当-x2+x=t时，有x1+x2=1，当2x2-x=t时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3= 1−√1+8t4，∴x1+x2+x3=1+ 1−√1+8t4 = 5−√1+8t4，t∈（0，14），令y= 5−√1+8t4，t∈（0，14），则函数是减函数，又由t=0时，y=1，t= 14时，y= 5−√34，故x1+x2+x3的取值范围是(5−√34，1)，故选：A．【点评】：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，难度中档．9.（多选题，5分）下面选项中正确的有（）A.集合{1，2，3}的子集个数为7个B.“xy＞0”是“x＞0，y＞0”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”D.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立【正确答案】：CD【解析】：选项A，元素个数为n个的集合的子集个数为2n；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，再根据充分必要条件的概念可得解；选项C，根据存在命题的否定形式，即可得解；选项D，由两角和的正弦公式推出cosβ=1，cosα=1，显然存在α，β满足．【解答】：解：选项A，元素个数为3个的集合有23=8个子集，即A错误；选项B，若xy＞0，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以应是“必要不充分条件”，即B错误；选项C，命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，即C正确；选项D，因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，若sin（α+β）=sinα+sinβ成立，则cosβ=1，cosα=1，所以β=2k1π（k1∈Z），α=2k2π（k2∈Z），即D正确．故选：CD．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要包含子集个数，充分必要条件，命题的否定，两角和的正弦公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若a2+b2=1，则a+b≤√2C.若a＞b，c＞d，则a-d＞b-cD.若a＞0，则a+1a≥2【正确答案】：BD【解析】：直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：当a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd，故A错误；对于B：由于若a2+b2=1，则（a+b）2≤2a2+2b2=2，所以a+b≤√2，故B正确；对于C：若a＞b，c＞d，则a-d＞b-c，故C错误；对于D：由于a＞0，所以a+1a≥2，当且仅当a=1时，等号成立．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，则（）A.函数f（x+ π12）为奇函数B.函数f（x）在[ π12，π3]上单调递增C.若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象【正确答案】：AC【解析】：使用代入法先求出φ的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断．【解答】：解：∵函数f（x）=sin（3x+φ）（- π2＜φ＜π2）的图象关于直线x= π4对称，∴3× π4+φ= π2+kπ，k∈Z；∵- π2＜φ＜π2，∴φ=- π4；∴f（x）=sin（3x- π4）；对于A，函数f（x+ π12）=sin[3（x+ π12）- π4]=sin（3x），根据正弦函数的奇偶性，所以f（-x）=-f（x）因此函数f（x）是奇函数，故A正确．对于B，由于x∈[ π12，π3]，3x- π4∈[0，3π4]，函数f（x）=sin（3x- π4）在[ π12，π3]上不单调，故B错误；对于C，因为f（x）max=1，f（x）min=-1又因为|f（x1）-f（x2）|=2，f（x）=sin（3x- π4）的周期为T= 2π3，所以则|x1-x2|的最小值为π3，C正确；对于D，函数f（x）的图象向右平移π4个单位长度得到函数f（x- π4）=sin[3（x- π4）- π4]=-sin3x，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于基础题．12.（多选题，5分）函数f（x）= xx2+a的图象可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：ABC【解析】：分类讨论，根据函数的单调性即可判断．【解答】：解：当a=0时，f（x）= 1x，则选项C符合；当a＞0，f（0）=0，故排除D；当x＞0时，f（x）= 1x+ax ≤2√ax= √a时取等号，则函数f（x）在（-∞，√a）上为减函数，在（√a，+∞）为增函数，故选项B符合；当a＜0时，函数的定义域为{x|x≠± √−a }，当x＞0，f（x）= 1x+ax ，由于y=x+ ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为增函数，则f（x）= 1x+ax在（0，√−a），（√−a，+∞）为减函数，故A符合，故选：ABC．【点评】：本题考查了函数图象的识别和应用，关键掌握函数的单调性，属于基础题．13.（填空题，5分）cos225°=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用诱导公式把cos225°化为-cos45°，从而求得结果．【解答】：解：cos225°=cos（180°+45°）=-cos45°=- √22，故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14.（填空题，5分）设函数f（x）= {4x−1，x≤0log2x，x＞0，则f（f（12））=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（12）的值，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x）= {4x−1，x≤0 log2x，x＞0，则f（12）=log212=-1，则f（f（12））=f（-1）=4-1-1= 14-1=- 34；故答案为：- 34．【点评】：本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.（填空题，5分）已知sin（α−π12）= 13，则cos（α+17π12）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接由已知利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】：解：由sin（α−π12）= 13，得cos（α+17π12）=cos（α+3π2−π12）=sin（α−π12）= 13，故答案为：13．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≥f（x1）成立，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[3，+∞）【解析】：依题意得g（x2）max≥f（x1）max，x∈[0，2]，可求出f（x）=-x2+2x+1的最大值，分a＞0和a＜0两种情况，由函数的单调性可求解g（x）的最大值，列式求解即可．【解答】：解：因为f（x）=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，x∈[0，2]，所以f（x）的最大值为f（1）=2，①又函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，当a＞0时，g（x）在[-1，1]上单调递增，所以g（x）max=g（1）=a-1；②当a ＜0时，g （x ）在[-1，1]上单调递减， 所以g （x ）max =g （-1）=-a-1； ③因为对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）≥f （x 1）成立， 则g （x 2）max ≥f （x 1）max ，所以，当a ＞0时，a-1≥2，解得a≥3； 当a ＜0时，-a-1≥2，解得a≤-3；综上所述，实数a 的取值范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）． 故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，10分）（1）计算：8 23+lg5+lg2-log 216-e 0； （2）已知tanα= 34，求 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据指数和对数的性质或运算法则，即可得解；（2）先利用诱导公式化简所求式子，再根据“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】：解：（1）原式= (23)23 +lg （5×2）- log 224 -1=22+lg10-4-1=0；（2） 2sin (π−α)+3cos (−α)3cos(π2−α)+sin(π2+α)= 2sinα+3cosα3sinα+cosα = 2tanα+33tanα+1 = 2×34+33×34+1 = 1813 ．【点评】：本题考查指数和对数的化简与求值，诱导公式的应用，同角三角函数商数关系的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x +1x ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）先求函数的定义域，然后利用奇偶性进行判断；（2）利用函数单调性的定义判断．【解答】：解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：因为函数f(x)=x+1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=-x- 1x =-（x+ 1x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（1x1 - 1x2）=（x1-x2）+ x2−x1x1x2= (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-1＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：① 函数f（x）的最大值为2；② 函数f（x）的图像可由y=√2sin(x−π4)的图像平移得到；③ 函数f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）≥1的解集．【正确答案】：【解析】：（1）分别根据三个条件求出A和ω的值，得到矛盾，从而可判断出所选条件；然后根据所选条件即可求出函数的解析式；（2）结合正弦函数的图象即可求解三角不等式．【解答】：解：函数 f（x）满足的条件为① ③ ，理由如下：若满足条件① ，则 A=2；若满足条件② ，则 A=2，ω=1，所以① ② 相互矛盾；若满足条件③ ，则T=π，所以ω=2，所以② ③ 也相互矛盾，所以函数 f（x）满足的两个条件只能为① ③ ，此时f(x)=2sin(2x+π6)．（2）由f(x)=2sin(2x+π6)≥1，得sin(2x+π6)≥12，所以π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2kπ，k∈Z，即kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，所以不等式 f（x）≥1 的解集为{x|kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查三角函数的解析式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，12分）已知函数f(x)=2cos2x−cos(2x+π2)−1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在(0，π2)上的值域；（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，若h（x）=g（x）-lnx，探究h（x）在(1，π2)上是否存在零点．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式进行化简，利用周期公式进行计算即可．（2）求出角的范围，根据值域进行求解即可．（3）求出g（x）和h（x）的解析式，根据函数定理判断条件进行判断即可．【解答】：解：（1）f（x）=cos2x+sin2x= √2 sin（2x+ π4），则最小正周期T= 2π2=π．（2）当x∈ (0，π2)时，2x∈（0，π），2x+ π4∈（π4，5π4），即2x+ π4 = 5π4时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）= √2 sin 5π4= √2×(−√22) =-1，当2x+ π4 = π2时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）= √2 sin π2= √2，即函数的值域为（-1，√2 ]．（3）将f（x）的图象向右平移π8得到函数g（x）的图象，则g（x）= √2 sin[2（x- π8）+ π4]= √2 sin2x，则h（x）=g（x）-lnx= √2 sin2x-lnx，h（1）= √2 sin2＞0，h（π2）= √2sinπ-ln π2=-ln π2＜0，则h（1）h（π2）＜0，由根的存在性定理知h（x）在(1，π2)上存在零点．【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用x单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数f(x)=22+x2．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）（i）根据已知条件，将x=0，x=1，分别代入函数f（x），即可求解．（ii）结合已知条件，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，即可求解．（2）根据已知条件，分别求出两种情况残留的污渍量，再结合作差法，即可求解．【解答】：解：（1）（i）f（0）=1，表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变，f（1）= 23，表示用一个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的13．（ii）函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（0，1]，在（0，+∞）上单调递减．（2）设清洗前衣服上的污渍为1，用a单位量的水清洗后，残留的污渍为W1，则W1=1×f(a)=22+a2，用a2单位的水清洗1次，残留的污渍为1×f(a2)=88+a2，W2=f2(a2)=64(8+a2)2，∵W1-W2= 22+a2−64(8+a2)2= 2a2(a2−16)(2+a2)(8+a2)2，∴W1-W2的符号由a2-16 决定，当a＞4时，W1＞W2，则把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的污渍较少，当a=4时，W1=W2，则两种清洗方法效果相同，当a＜4时，W1＜W2，则用a单位的水清洗一次，残留的污渍较少．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=12，求f（2）的值；（2）当a=12时，若方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，求实数p的取值范围；（3）若f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，求实数a的值范围．【正确答案】：【解析】：（1）代入化简f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32），从而求得；（2）代入a= 12化简得f（x）= log12（x-1）（x- 32），将方程转化为（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，构造函数g（x）=x2- 32x+ 32，从而利用函数的单调性求得；（3）先确定函数的定义域，再化简f（x）=log a（x2-5ax+6a2），结合题意知函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，再利用复合函数的单调性分类讨论函数的最值，并将恒成立问题转化为最值问题即可．【解答】：解：（1）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32），故f（2）= log12（2-1）+ log12（2- 32）= log12 1+ log1212=1；（2）当a= 12时，f（x）= log12（x-1）+ log12（x- 32）= log12（x-1）（x- 32），∵方程f(x)=log12(p−x)在（3，4）上有解，∴ log12（x-1）（x- 32）= log12（p-x）在（3，4）上有解，即（x-1）（x- 32）=p-x在（3，4）上有解，即x2- 32 x+ 32=p在（3，4）上有解，令g（x）=x2- 32 x+ 32，则g（x）在（3，4）上单调递增，故g（3）＜g（x）＜g（4），即6＜g（x）＜232，即6＜p＜232，故实数p的取值范围为（6，232）；（3）函数f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），f（x）=log a（x-2a）+log a（x-3a）=log a（x-2a）（x-3a）=log a（x2-5ax+6a2），∵f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立，∴a+3＞3a，即a＜32，故函数y=x2-5ax+6a2在[a+3，a+4]上是增函数，① 当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是减函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+3）≤1，即log a（2a2-9a+9）≤1，即2a2-9a+9≥a，解得，a≥ 5+√72或a≤ 5−√72，故0＜a＜1；② 当1＜a＜32时，由复合函数的单调性可得，f（x）在[a+3，a+4]上是增函数，故f（x）≤1在[a+3，a+4]上恒成立可化为f（a+4）≤1，即log a（2a2-12a+16）≤1，即2a2-12a+16≤a，解得，13−√414≤a≤ 13+√414，∵ 13−√414＞32，故无解；综上所述，实数a的值范围为（0，1）．【点评】：本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，利用了分类讨论的思想及转化思想，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于中档题．。