一次或二次实系数多项式是不可约多项式
高等代数 第4章多项式 4.5 多项式的因式分解
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
2020/3/2
高等代数
问：如何求 f x 的标准分解式？
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c F.
问题： f xF x, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1： F x 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
2020/3/2
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证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 F x 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域F上可约。
2020/3/2
高等代数
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若 f x p1 x p2 xL pr x, 取 c1c2 L cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 xL cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：F x 中任一个次数大于零的多项式
复系数与实系数多项式因式分解
推论1 f ( x) C[x], 若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x) 在 C
上具有标准分解式
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
证：对 f ( x) 的次数作数学归纳． ① ( f ( x)) 1 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立． 设 ( f ( x)) n，由代数基本定理, f ( x)有一复根 ． 若 为实数, 则 f ( x) ( x ) f1( x)，其中( f1 ) n 1.
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, , ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为 R上的不可约多项式.
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x) 的复根．
证：设 f ( x) an xn an1xn1 a0 , ai R 若 为根，则
n
n
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0 ∴ 也是为 f ( x)复根．
实系数多项式因式分解定理
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
多项式的定义是什么
多项式的定义是什么多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!多项式的定义多项式是代数学中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。
例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。
多项式是整式的一种。
不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。
多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。
多项式数学术语多项式 polynomial不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6，6就是常数项。
比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数为正无穷大。
单项式和多项式统称为整式。
多项式几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
多项式定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。
由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
高等代数第一章答案(多项式)
若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。
证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。
由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。
于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。
因()0≠x r ，故()()x h x p |/。
证明2：用反证法。
若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。
问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。
答：不一定。
例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但()()()()x g x f x h +|。
例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。
例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。
解法1：因()()3=∂x f ，()()2=∂x g ，故商()x q 满足()()1=∂x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
如何判别一个多项式不可约
探索不可约多项式的 应用
除了在数学理论研究中的应用外 ，不可约多项式在实际应用中也 有着广泛的应用前景。例如，在 计算机科学、信息编码等领域中 ，不可约多项式可以用于构造一 些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项 式的方法
目前我们判别不可约多项式的方 法主要适用于有限域上的多项式 ，对于其他情况是否适用还需要 进一步的研究和探索。因此，推 广判别不可约多项式的方法也是 未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其 他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
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不可约多项式是整环上的 不可约元，即它不能被其 他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是 不可约元，因此它在整环 中是不可约的。
不可约多项式是素数，即 它没有除了1和自身以外 的因数。
不可约多项式在整环中是 不可约的，因此它在整环 中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域 具有重要研究价值，有助于深入 理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的 判别方法可以用于设计高效的算 法，例如在符号计算、数值分析 等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握 多项式不可约的判别方法有助于 提高数学素养和解题能力。
《高等代数》数分高代定理大全
数分高代定理大全《髙等代数》第一章帶余除法对于P[x]中任意两个多项式/'(兀)与g(x),其中g(x)HO, —定有P[A]中的多项式q(x), r(x)存在，使/(x) = g(x)g(x) + r(x)成立，其中d(r(x)) < d(g(x)) 或者心)=0,并且这样的<?(x),r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x)9g(x),其中g(x)H0,g(x)I/*(x)的充分必要条件是g(x)除/(x)的余式为零.定理2对于P[X]中任意两个多项式/(A), g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f (x), g(x)的一个组合,即有P[x]中多项式M(X),V(A)使d(x) = w(x)/(x) + y(x)g(x).定理3 P[x]中两个多项式/(A-), g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式/心),v(x)使«(x)/(x) + v(x)g(x) = 1 .定理 4 如果(f(x),g(x)) = l,且/(x)I g(x)h(x),那么f(x)I h(x).定理5如果“(X)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式/(x),g(x),由p(x) I f(x)gM一定推出p(x) I f(x)或者p(x)\ g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数XI的多项式/(X)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式f(X)= Pl (x)p2 (x)•- p s (x) = 4 (x)§2 (x) ••q (x),那么必有s = t ,并且适当排列因式的次序后有Pi(x) = c i q i(x),i = 1,2,•••,$,其中Cf(i = 1,2,…,s)是一些非零常数. 定理6如果不可约多项式"(x)是/(X)的k重因式(k>\)，那么它是微商广(x)的—1重因式.定理7 (余数定理)用一次多项式A-6Z去除多项式/(X),所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值/(&).定理8 P［x］中n次多项式(// > 0)在数域P中的根不可能多于〃个，重根按重数计算.定理9如果多项式/(x), g(x)的次数都不超过川，而它们对幵+ 1个不同的数弘冬,•••£+］有相同的值，即/g)= g(e),i = 1,2,•••/1 + 1,那么f(x) = g(x). 代数基本定理每个次数21的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数XI的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10 (高斯(Gauss)引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设/(朗=唧+%的+・•• +如是一个整系数多项式,而二是它的有理S根，其中互素,那么必有s\a n,r\a0.特别地,如果/(x)的首项系数"” =1 , 那么/(x)的有理根是整根，而且是心的因子.I定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f(x) = a…x n + a…_x x n~x + • • •+a0是一个整系数多项式，如果有一个素数"，使得1. p I a n ;2・PI勺_］，%_2昇・・，°0；3・ p 2 / a （）那么/(x)在有理数域上是不可约的.第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个"级排列与排列12・."都可以经过一系列对换互变，并且所作 对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.立:a kA\ + % 人2 + ••• +a kn A m Cl \l A \ j + Cl 2!A 2 丿 + …+ 勺/帀定理4 （克拉默法则）如果线性方程组 a [X x A +a n x 2+-- + a Xn x n =b r“2內 + «22X 2 + ・・・ + a 2n X n = b 2，<°"內+°”2兀2+••• + %"="“ 4如…"J 的系数矩阵A=如如…①”♦ • • ♦ • •.a n\ Cl n2 …%.的行列式〃=国H 0 ,定理3设d =5 ('：2 ,州表示元素®的代数余子式，则下列公式成〃，当《 =二 飞当kHi那么该线性方程组有解， 并且解是唯一的，解可以通过系数表为旦,… d=佥, 其中©是把矩阵A 中第丿•列换成方程组的常数项所成的行列式，即定理5如果齐次线性方程组4內+如七+•••+"],耳=°, 。
不同域上的不可约多项式
论文题目目录1、前言................................................................................................... 错误!未定义书签。
2、因式分解定理及唯一性定理 ..................................................... 错误!未定义书签。
3、复系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。
4、实系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。
5、有理系数多项式 ............................................................................ 错误!未定义书签。
艾森斯坦（Eisenstein）判别法 .................................. 错误!未定义书签。
艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式..................... 错误!未定义书签。
艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理............. 错误!未定义书签。
多项式的复根与其不可约性......................................... 错误!未定义书签。
n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性错误!未定义书签。
6、有限域上的不可约多项式.......................................................... 错误!未定义书签。
如何判别一个多项式不可约
(1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。
单位元，结合律，交换律，逆元，零元， 分配律
同态，同构
2.相容
设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上 的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b， c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与 运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的 相容等价关系。
3.半群，拟群，群
有关定理
4.元素的阶和群的阶
定义,结论
5.子群与陪集 概念,定理,陪集的实质 正规子群 6.商群与群同态基本定理 7.环的基本概念 环的零元,环的单位元,交换环 在环中讨论元素可逆 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) 8.特征数 整环的特征数 9.子环，理想，商环 主理想,主理想环 10.多项式环
定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多 项 式 ， 若 能 找到一个素数p，使得
(1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。
5.本原元与本原多项式 有关定理和结论的证明 GF(pn)的表述,化简 求出所有本原元,本原多项式
已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出 GF(pn)上的所有本原元？
新版西南大学计算数学考研经验考研参考书考研真题
回首过去一年的各种疲惫，困顿，不安，怀疑，期待等等全部都可以告一段落了，我真的是如释重负，终于可以安稳的让自己休息一段时间了。
虽然时间如此之漫长，但是回想起来还是历历在目，这可真是血与泪坚坚实实一步步走来的。
相信所有跟我一样考研的朋友大概都有如此体会。
不过，这切实的果实也是最好的回报。
在我备考之初也是看尽了网上所有相关的资料讯息，如大海捞针一般去找寻对自己有用的资料，所幸的是遇到了几个比较靠谱的战友和前辈，大家共享了资料和经验。
他们这些家底对我来讲还是非常有帮助的。
而现如今，我也终于可以以一个前人的姿态，把自己的经验下下来，供大家翻阅，内心还是比较欣喜的。
首先当你下定决心准备备考的时候，要根据自己的实际情况、知识准备、心理准备、学习习惯做好学习计划，学习计划要细致到每日、每周、每日都要规划好，这样就可以很好的掌握自己的学习进度，稳扎稳打步步为营。
另外，复试备考计划融合在初试复习中。
在进入复习之后，自己也可以根据自己学习情况灵活调整我们的计划。
总之，定好计划之后，一定要坚持下去。
由于篇幅较长，还望各位同学能够耐心看完，在结尾处附上我的学习资料供大家下载。
西南大学计算数学的初试科目为：(101)思想政治理论和(201)英语一(615)数学分析和(819)高等代数参考书目为：1.华东师范大学数学系《数学分析》2.北京大学数学系《高等代数》（第3版）先介绍一下英语现在就可以开始背单词了，识记为主（看着单词能想到其中文章即可，不需要能拼写）从前期复习到考试前每天坚持两到四篇阅读（至少也得一篇）11月到考试前一天背20篇英语范文（能默写的程度）。
那些我不熟悉的单词就整理到单词卡上，这个方法也是我跟网上经验贴学的，共整理了两本，每本50页左右，正面写英语单词，背面写汉语意思。
然后这两本单词卡就陪我度过了接下来的厕所时光，说实话整理完后除了上厕所拿着看看外还真的没专门抽出空来继续专门学单词。
按理说，单词应该一直背到最后，如果到了阅读里的单词都认识，写作基本的词都会写的地步后期可以不用看单词了，当然基础太差的还是自动归档到按理说的类别里吧。
实系数多项式命题
(x a ) | f ( x ) .
即， f ( x ) 在复数域上必有一个一次因式．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即
f ( x ) C [ x ], ( f ( x )) 1, 则 f ( x )可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
2
R上的不可约多项式.
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
解： 1)
1, , ,
2
,
n1
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
f ( x ) C [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在复数域
C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
§1.8 复系数于是系数多项式的因式分解
推论1
f ( x ) C [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在 C
上具有标准分解式
若 为根，则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
高等代数II知识考点整理
高等代数II知识考点整理●线性映射●线性映射●定义V,U是\mathbb{K}上的线性空间，\varphi : V\rightarrow U●\varphi(\alpha +\beta )=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)●\varphi(k\alpha )=k\varphi(\alpha)●双射\varphi : V\rightarrow U,单射且满射●单射\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)\Rightarrow \alpha=\beta●满射/映上的映射任意\beta \in U，存在\alpha \in V,使得\varphi(\alpha)=\beta●逆映射●双射存在逆映射●同构●定义●两个空间存在线性双射，则为同构●映射到自身的双射为自同构●命题●gf=1_A,fg=1_B，则f是双射且g是f的逆射f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow A●线性映射\varphi : V\rightarrow U●\varphi(0)=0●\varphi(k\alpha +l\beta )=k\varphi(\alpha)+l\varphi(\beta)线性映射等价命题●若\varphi同构，逆映射也是同构●线性映射运算●运算●加法●(\varphi+\psi)(\alpha)=\varphi(\alpha)+\psi(\alpha)●数乘●(k\varphi)(\alpha)=k\varphi(\alpha)●线性映射空间●定义●\mathcal{L}(V,U)：V到U的线性映射全体●共轭空间●V\rightarrow \mathbb{K}的线性函数空间●有限维时称为对偶空间●命题●线性映射空间是线性空间●共轭空间是线性空间●代数●定义●是线性空间●乘法封闭并满足●乘法结合律●存在单位元●分配律●数乘相容●命题●\mathcal{L}(V)是\mathbb{K}上的代数●线性映射复合一般不满足交换●线性映射与矩阵●相似●定义n阶方阵A,B●存在n阶非异阵P，B=P^{-1}AP●则A \approx B●命题●相似是一种等价关系●表示矩阵E=(e_1,e_2,\cdots,e_n)是V的基，F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)是U的基●\varphi:V\rightarrow U●\varphi(E)=FA●A为表示矩阵●定理●线性映射\varphi=\psi\Leftrightarrow\psi(e_i)=\varphi(e_i),i=1,2,\cdots,nV\rightarrow U,\{e_i\}为V的一组基●\{B_i\}\subset U,有且仅有一个线性映射,满足\varphi(e_i)=\beta_i,i=1,2,\cdots,n●\mathcal{L}(V,U)到M_{m\times n}(\mathbb{K})存在一个线性同构T●存在交换图●保持乘法：T(\varphi\psi)=T(\varphi)T(\psi)●T的性质●T(I_V)=I_n●\varphi为自同构\Leftrightarrow T(\varphi)可逆●T(\varphi^{-1})=T(\varphi)^{-1}●表示矩阵和过渡矩阵\varphi \in \mathcal{L}(V)，基\{e_i\}到\{f_i\}过渡矩阵为P●B=P^{-1}APA是\varphi在\{e_i\}的表示矩阵，B是在\{f_i\}的表示矩阵●像与核●定义线性映射\varphi:V\rightarrow U●像Im\varphi=\varphi(V)\subset U●映射的秩像的秩●dim\varphi=dim Im\varphi●核Ker\varphi=\{v\in V|\varphi(v)=0\}\subset V●零度核的秩●限制子空间V'\subset V,U'\subset U●\varphi':V'\rightarrow U'映射法则与\varphi相同●命题●像与核都是子空间●线性映射为满射\Leftrightarrowdim\varphi=dimU●线性映射为单射\Leftrightarrow零度为0●线性映射为单射，则限制映射也是单射●dim\varphi=rank(A),dim Ker\varphi=n-rank(A)A为表示矩阵，dimV=n，dimU=m●线性映射维数公式：dim Ker\varphi+dim Im\varphi=dimV●线性映射可逆\Leftrightarrow为单射或是满射●不变子空间●定义●子空间U经变换后的空间仍在U内\varphi(U)\subseteq U●可把映射限制在U上，记为\varphi|_U●命题●像与核是不变子空间●将r维不变子空间的基扩充为n维空间的基，表示矩阵形状如下●\left[\begin{matrix} A_{(r)} & B\\ O& D_{(n-r)} \end{matrix}\right]●逆命题成立表示矩阵形状为分块上三角阵，则左上角的矩阵的基生成不变子空间●子空间的直和表示矩阵为分块对角阵V=V_1\oplus V_2●多项式●次数deg●定理●deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)●无零因子f(x)\neq 0,g(x)\neq 0\Rightarrow f(x)g(x)\neq 0●消去律f(x)\neq 0,f(x)g(x)=f(x)h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)●常数倍不改变次数deg(cf(x))=degf(x),c\in \mathbb{K}/\{0\}●多项式的和的次数小于其中最大的次数deg(f(x)+g(x))\leqmax\{deg f(x),deg g(x)\}●整除●命题●f(x)|g(x)\Rightarrow cf(x)|g(x)●f(x)|f(x)●f(x)|g(x),g(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●f(x)|g(x),f(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x)●f(x)|g(x),g(x)|f(x)\Rightarrow f(x)=cg(x)●定理●f(x)=g(x)q(x)+r(x)确定f(x),g(x)，得到唯一分解deg r(x)<deg g(x)●g(x)|f(x)\Leftrightarrow g(x)除f(x)后余式为0●最大公因式●定义●d(x)=(f(x),g(x))●d(x)|f(x),d(x)|g(x)●任一公因式h(x)|d(x)●最小公倍式●定义●m(x)=[f(x),g(x)]●f(x)|m(x),g(x)|m(x)●任一公倍式m(x)|l(x)●定理●辗转相除法d(x)=(f(x),g(x))，存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)●gck.运算可交换((f(x),g(x)),h(x))=(f(x),(g(x),h(x)))=(f(x),g(x),h(x))●同乘t(x),公因子也乘t(x)(f(x),g(x))=d(x)\Rightarrow (t(x)f(x),t(x)g(x))=t(x)d(x)●多项式乘积分解为最小公倍式与最大公因式f(x)g(x)=(f(x),g(x))[f(x),g(x)]●互素定理●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow存在u(x),v(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1●除以公因子后两式互素(f(x),g(x))=d(x),f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x)\Rightarrow(f_1(x),g_1(x))=1●与g(x)互质的多项式乘积也与g(x)互质(f_1(x),g(x))=(f_2(x)|g(x))=1\Rightarrow (f_1(x)f_2(x),g(x))=1●互素因子乘积也是因子f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x),(f_1(x),f_2(x))=1\Rightarrow f_1(x)f_2(x)|g(x)●(f(x),g(x))=1,f(x)|g(x)h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●中国剩余定理●设 \left\{f_{i}(x) \mid i=1, \cdots, n\right\} 是两两互素的多项式, a_{1}(x),\cdots, a_{n}(x) 是 n 个多项式, 则存在多项式 g(x), q_{i}(x)(i=1, \cdots,n) , 使得 g(x)=f_{i}(x) q_{i}(x)+a_{i}(x) 对一切 i 成立.●因式分解●可约多项式●定义●可分解为次数更小的两个多项式的乘积●定理●不可约多项式一定是其他多项式的因子或者互素●不可约多项式具有素性p(x)|f(x)g(x)\Rightarrow p(x)|f(x)或p(x)|g(x)●不可约多项式可整除某多项式乘积，必可整除其中一个因子●f(x)一定能分解为数域上有限个不开约多项式之积，且分解因子在相伴意义上唯一●f(x)=c p_{1}(x)^{e_{1}}p_{2}(x)^{e_{2}}\cdot\cdot\cdot p_{m}(x)^{e_{m}}p_i(x)为首一不可约多项式●f(x)没有重因式\Leftrightarrow (f(x),f'(x))=1●f(x)/d(x)没有重因式且不可约因式与f(x)相同（不计重数）d(x)=(f(x),f'(x))●多项式函数●定理●一定存在分解f(x)=(x-b)g(x)+f(b)b\in \mathbb{K},f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x]●不可约多项式次数大于1则没有根●n次多项式最多只有n个根●不超过n次的多项式f(x)和g(x)，若有n+1个点相等，则f(x)=g(x)●复系数多项式●代数基本定理●复数域上次数大于零的多项式至少有一个复数根●推论●复数域上一元n次多项式一定有n个复根（包括重根）●复数域上不可约多项式都是一次多项式●复数域上多项式一定可分解为一次因式乘积●Vieta定理●数域上若有n个根x_i,i=1,2,\cdots,n●\sum_{i=1}^{n} x_{i}=-\frac{a_{1}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j \leq n}^{n} x_{i} x_{j}=\frac{a_{2}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j<k \leq n}^{n} x_{i} x_{j} x_{k}=-\frac{a_{3}}{a_{0}}●\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots●x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{n}}{a_{0}}●实系数多项式●定理●虚部不为0的复根成对出现●推论●实数域上的不可约多项式为一次或二次多项式●实数域上的多项式可分解为有限个一次或不可约二次因式乘积●有理系数多项式●定理●整系数多项式根为\frac{q}{p}的必要条件为q\mid a_0,p\mid a_np,q互素●整系数多项式在有理数域上可约，则可分解为两个次数较低的的整数多项式之积●Eisenstein 判别法●整系数多项式f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}● a_{n} \neq 0, n \geq 1, p 是一个素数.●若 p \mid a_{i}(i=0,1, \cdots, n-1) , 但 p \nmid a_{n} 且 p^{2}\nmid a_{0},●则 f(x) 在有理数域上不可约.●本原多项式●定义●各系数最大公约数为1●Gauss 引理●本原多项式之积仍是本原多项式●多元多项式●字典排列法元下标；元次数●定理●乘积首项为因子首项乘积●无零因子●消去律●非零多项式不恒为零●多元多项式相等等价于作为函数相等●对称多项式●定义●互换任意两个元位置多项式不变●初等对称多项式●\begin{aligned}&\sigma{}_{1}={{x}}_{1}+{{x}}_{2}+\cdots{{x}}_{n}=\sum_{i=1}^{n}{x}_{i},\\&\sigma_{2} =x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots+x_{n-1}x_{n}=\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}, \\& \cdots \: \cdots\\&\sigma_{n}=x_1x_2\cdots x_n. \\&\end{aligned}●定理●对称多项式基本定理对称多项式被以初等对称多项式为元的多元多项式唯一表示●Newton公式●引理●\begin{aligned}f\left(x\right)& =\quad(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=\quad x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_n,\end{aligned}●记 s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k(k\geq1);s_0=n●则 x^{k+1}f'(x)=(s_0x^k+s_1x^{k-1}+\cdots+s_k)f(x)+g(x)degg(x)<n●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\cdots+(-1)^{k-1}s_1\sigma_{k-1}+(-1)^kk\sigma_k=0k\le n-1●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\dots+(-1)^ns_{k-n}\sigma_n=0k\ge n●结式与判别式●公因式不为1(有公共根)的充要条件d(x)=(f(x),g(x))\neq 1\Leftrightarrow 存在f(x)u(x)=g(x)v(x)且满足deg u(x)<degg(x),deg v(x)<deg f(x)●结式/ Sylvester 行列式●定义●\begin{array}{l}f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}\\g(x)=b_{0}x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m} \end{array}●R(f, g)=\left|\begin{array}{ccccccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots &\cdots & a_{n} & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_{0} & a_{1} & \cdots & \cdots &a_{n-1} & a_{n} & \cdots & 0 \\0 & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots & a_{n-2}& a_{n-1} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots &\cdots & a_{n} \\b_{0} & b_{1} & b_{2} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m}& \cdots & 0 \\0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m-1} &b_{m} & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots& \cdots & b_{m}\end{array}\right|●R(f,g)为f(x),g(x)的结式或称 Sylvester 行列式●定理●复数域上有公根\Leftrightarrow R(f,g)=0●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow R(f,g)=0●R(f(x),g(x)(x-\lambda))=(-1)^nf(\lambda)R(f,g),R(f(x),x-\lambda)=(-1)^nf(\lambda)●R(f,g)=a_0^m b_0^n\prod\limits_{i=1}^m\prod\limits_{i=1}^n(x_i-y_j).结式的根表示，f(x)的根为x_1,x_2,\cdots,x_n,g(x)的根为y_1,y_2,\cdots,y_m●判别式●定义●判别式：\Delta(f)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}a_0^{-1}R(f,f')f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\quad●定理●\Delta(f)=a_0^{2n-2}\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)^2判别式的根表示●重根\Leftrightarrow \Delta(f)=0●特征值与特征向量●定义●映射●\varphi(x)=\lambda x●\lambda是线性变换\varphi的一个特征值●x是\varphi关于特征值\lambda的特征向量●矩阵●A\alpha=\lambda\alpha\Leftrightarrow (\lambda I_n-A)\alpha =0●\lambda是表示矩阵A的一个特征值●x的坐标\alpha是A关于特征值\lambda的特征向量●特征子空间V_\lambda为对应特征值的特征向量形成的不变子空间●特征多项式|\lambda I_n-A|●定理●相似矩阵有相同特征多项式●tr|A|=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n●|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n●任一复方阵相似于一上三角阵●f为多项式,f(A)的特征值为f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)●g为多项式,g(A)=O\Rightarrow任一特征值满足g(\lambda)=0●A^{-1}的特征值为\lambda_1^{-1},\lambda^{-1}_2,\cdots,\lambda^{-1}_n●对角化●定理●n阶A相似于对角阵\Leftrightarrow A有n个线性无关的特征向量●n维线性空间V上的线性变换\varphi●\varphi存在对角阵的表示矩阵(可对角化)\Leftrightarrow \varphi有n个线性无关的特征向量●\varphi的k个不同特征值对应的特征子空间为直和V_1+ V_2+\cdots+ V_k=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●\varphi有n个不同的特征值(特征多项式没有重根)\Rightarrow可对角化●\varphi可对角化\Leftrightarrow V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●度数与重数●一个特征值的度数小于等于重数●可对角化\Leftrightarrow 有完全的特征向量系任一特征值度数等于重数●极小多项式●定义●适合矩阵A的最小次数的非零首一多项式●定理●极小多项式可整除适合A的多项式●极小多项式唯一●相似矩阵极小多项式相同●分块对角阵的极小多项式等于各块极小多项式的最小公倍式●(x-\lambda)可整除极小多项式●极小多项式和特征多项式有相同的根(不计重数)●Cayley-Hamilton 定理●f是n阶矩阵A的特征多项式●f(A)=O●特征值估计●戈式圆盘第一定理●R_i=\sum\limits_{i\neq j}|a_{ij}|复平面上，第i行去对角元的模的和●|z-a_{ii}|\leqslant R_i表示复平面上一个圆盘，每个圆盘内有一个特征值。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
一复系数多项式
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
解： 1)
1, , ,
2
,
n1
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x pi x qi 为
2
2
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
x n 1 ( x 1)[ x 2 ( n1 ) x n1 ]
[ x 2 (
2
)x
]
2 n1 2 ( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
当n为偶数时
x 1 ( x 1)( x 1)[ x (
n 2 n1
) x
]
n1
]
[ x 2 (
n 2 2
2
n 2 2
)x
n 2 2
n 2 2
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
n
)
在实数域范围内
k
27复数域和实数域上的多项式
定理2.14说明，实系数多项式的虚根（非 实复数根）成对.
例2.13 已知i ( i 2 =-1)是 f ( x) x6 3 x2 2 的一个二重根，求f ( x )在 中的全部根.
定理2.15： 上的不可约多项式只有一次多 项式和含有一对非实共轭复数根的二次多项式.
推论2.15 每个次数大于零的实系数多项式 都可唯一地分解成实系数的一次或二次不可约 因式的乘积.
利用根与系数的关系可以构造一个n次多项式使其恰以事先给定的n个数例212使它以5和2为单根以3为二重根
2.7.1 复数域C上的多项式
对于 一般的数域F上的多项式 f x ，它在F中 未必有根. 那么，它在复数域（这个最大的数域上）
是否有根？ 定理2.13（代数基本定理） 每个次数… 大于零的 复系数多项式在复数域内至少有一个根. 推论2.13.1 每个n（n>0）次复系数多项式在 复数域内恰有n个根（k重根按k个计）.
xn c1
xn1
cn .
1i j n
ci c j xn2
比较系数， 得到根与系数的关系为：
a2 c1c2 c1c3
a1 c1 c2
cn ,
cn1cn ,
cn2cn1cn ,
并且l1 ls 2k1 2kr n.
, r).
注：四次及四次以下的方程可用根号解（公 式解），五次和五次以上的方程不能用根号解.
, cn 为根.
例 2.12 求一个最高次项系数为1的4次多项式， 使它以5和-2为单根，以3为二重根.
2.7.2
定理2.14
实数域R上的多项式
设f ( x ) [ x ], 是一个非实复数.
可约多项式
可约多项式可约多项式是数学中非常重要的概念和技术，它主要用来研究多项式元素之间的相互关系，以及多项式的系数和阶。
它也可以用来确定多项式的根的数量和位置。
本文将探讨可约多项式的定义、性质和求解方法。
首先，可约多项式是一个非常基本的数学概念，它定义为在某些位置，多项式以更低阶有效替代原有多项式。
也就是说，原来的多项式由高次项开始，每一项有自己的系数，但在可约多项式中，低次项将会被替代，相应的系数也将发生变化。
有些可约多项式不止一次可约，而是可一次可多次可约。
其次，可约多项式的求解方法通常有三种：第一种是按降阶的方法，即从原多项式的高次项出发，逐次降低系数，不断改变原有多项式的次数，直至可以可约为一想多项式结束。
第二种是分离指数的方法，其中分解的系数乘以等比的项，使之可约，直至降到最低阶。
第三种是中国剩余定理的应用，即利用中国剩余定理将多项式分解为多个小多项式，从而可以进行字典排序和累加求和，从而可以将原有多项式分解成多项式和常数，从而可以进行可约。
第三，可约多项式的性质不仅仅取决于多项式本身，还取决于多项式的技术等级。
可约多项式的一般性质一般指其可约性，它可以衡量多项式可约的程度。
另外，可约多项式的根的数量和位置也可以由可约多项式的技术等级确定。
此外，由于多项式系数可能变化，因此多项式的值也会发生变化。
最后，可约多项式是数学中一个重要的概念，它对于深入研究多项式的阶、系数和根的数量与位置都有着重要的影响。
通过按降阶、分解指数和中国剩余定理的应用，可以将多项式分解为多个单项式和常数，从而可以达到可约的目的。
此外，可约多项式的技术等级也将决定其可约性、根的数量和位置的变化，这是决定可约多项式的重要性质。
因此，可约多项式是数学研究中必不可少的概念和技术，应受到重视和深入研究。
0是代数式吗
0是代数式吗一、0是代数式由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
通俗一点，代数式就是一个式子，可以由数字和字母组成，但是不能有等于号。
单独的数字也叫代数式。
所以0是代数式。
二、代数式分为有理式和根式1.有理式包括整式（除数中没有字母的有理式）和分式（除数中有字母且除数不为0的有理式）。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。
整式有包括单项式（数字或字母的乘积，或者是单独的一个数字或字母）和多项式（若干个单项式的和）。
（1）单项式没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的数字系数，简称系数。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
（2）多项式几个单项式的代数和叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项。
不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
齐次多项式：各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式：次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式，复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式：在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项：多项式中含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
2.我们把含有字母的根式、字母的非整数次乘方，或者是带有非代数运算的式子叫做无理式。
无理式包括根式和超越式。
我们把可以化为被开方式为有理式，根指数不带字母的代数式称为根式。