数学物理方程第五章 贝塞尔函数的应用

（20141113）第五章 贝塞尔函数的应用

一、定义

形如

222''()'()()()0x f x xf x x v f x ++-=

的二阶微分方程称为v 阶贝塞尔方程。且

()()v f x J x =

是方程的一个解。此外，当v 不是整数时，

()()v f x J x -=

是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为

12()()()v v f x C J x C J x -=+

当v 是整数时，

()()v f x Y x =

是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为

12()()()v v f x C J x C Y x =+

二、问题

1、考虑极坐标下的二维波动方程

212()tt rr r u c u r u r u θθ--=++

(,,)0, (,,0)(,), (,,0)0t u b t u r f r u r θθθθ===

根据变量分离法，首先假设

(,,)()()()u r t R r T t θθ=Θ

代入原微分方程后可得

212()()''()''()()()'()()()()''()()R r T t c R r T t r R r T t r R r T t θθθθ--⎡⎤Θ=Θ+Θ+Θ⎣⎦

移项整理可得

1222''()''()()'()()()''()0()()()

T t R r r R r r R r c T t R r θθθμθ--Θ+Θ+Θ==-<Θ 因此

22''()()0T t c T t μ+=

同时

1222''()'()''()0()()

R r r R r r v R r θμθ--+Θ+=-=>Θ 因此

2''()()0v θθΘ+Θ=

2222''()'()()()0r R r rR r r v R r μ++-=

分别求解上述三个微分方程

对于方程2''()()0v θθΘ+Θ=，由于题目中没有给定θ的范围，因此

(,,)(,2,)u r t u r t θθπ=+

即

()(2)θθπΘ=Θ+

由于其通解为

012()(cos sin )e C v C v θθθΘ=+