2022年八年级数学上册第十二章分式和分式方程12.4分式方程教案新版冀教版

12.4分式方程

教学目标

【知识与能力】

1.理解分式方程的概念及意义.

2.了解解分式方程的基本思路和解法.

3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.

【过程与方法】

1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.

2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.

【情感态度价值观】

通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.

教学重难点

【教学重点】

可化为一元一次方程的分式方程的解法.

【教学难点】

理解解分式方程时可能无解的原因.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件1】小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.

教师提出问题:

(1)上述问题中有哪些等量关系?

(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.

(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?

在活动中教师要关注:

(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;

(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?

(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?

[设计意图]先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.

导入二:

【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?

三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x +x x+3=1;猪八戒:2x +2x+3=1;沙和尚:2

1x +1x+3+x -2

x+3=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗? 同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?

[设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.

二、新知构建：

探究一:分式方程及其解法

思路一

1.分式方程

【课件3】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?

教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程. 〔解析〕 设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v )千米/时,逆流航行的速度为(30-v )千米/时,顺流航行90千米所用的时间为

9030+v 小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v 小时.可列方程9030+v =6030-v .

教师提问:刚才我们所接触的方程38-2

1-x =9×2x ,38-29x +2x =1,9030+v =60

30-v 与以前所学的整式方程有

何不同?

学生思考,议论后在全班交流.

归纳:该类方程分母含有未知数.

教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

[知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.

2.分式方程的解法

【课件4】

如何解分式方程38-21-x =9×2x 和38-2

9x +2

x =1呢? 在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.

引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.

说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.

在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;

(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;

(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.

归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.

[设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.

思路二

1.分式方程

38-2

1-x =9×2x ,38-29x +2x =1有什么特点? 学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.

教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).

提问:你还能举出一个分式方程吗?

【课件5】 判断下列各式哪个是分式方程.

(1)x +y =5; (2)x+25=2y -z 3; (3)1x ; (4)y x+5; (5)1x +2x =5. 根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.

2.分式方程的解法

学生自主探索,并尝试选分式方程求解

【课件6】

解方程1+x 5+x =12.

解:两边同乘最简公分母2(x +5)得:

2(x +1)=5+x ,

2x +2=5+x ,

x =3.

检验:把x =3代入原方程左边=1+3

5+3=12,右边=1

2,左边=右边.所以x =3是原分式方程的解. 学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.

结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.

【课件7】 如何解课件3中所列出的分式方程?

解:方程的两边同乘(30+v )(30-v ),得90(30-v )=60(30+v ),解得v =6.

检验:将v =6代入分式方程中,左边=52,右边=5

2,左边=右边,因此v =6是原分式方程的解. 师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.