2022年八年级数学上册第十二章分式和分式方程12.4分式方程教案新版冀教版
新冀教版八年级数学上册第12章 分式和分式方程 【创新说课稿】分式方程
分式方程各位老师：大家好（一）教材分析：（冀教版）数学八年级上册第十二章中：《分式方程》第一课时本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。
通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比转化思想。
（二）、教学目标：知识技能：了解分式方程定义，理解解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法。
过程方法：通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意识，渗透转化思想。
情感态度：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心。
（三）教学重点：解分式方程的基本思路和解法。
（四）教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。
（五）学情分析：《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化过程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动过程是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程，即要促进学生发展，也要促进教师成长。
教师作为教学主导，学生是主体作用我们这学生基础知识较扎实，学生喜欢上数学课，学习数学的兴趣较浓，具有一定探索解决问题的能力，采用的学习方法：１、类比学习的方法。
通过与分数的乘除法运算类比得到分式方程的解法。
２、探究合作学习。
学生互助下进行学习。
（六）教学方法：教学方法是我们实现教学目标的催化剂，好的教学方法常常使我们事半功倍。
新课程改革中，老师应成为学生学习的引导者、合作者、促进者，积极探索新的教学方式，引导学生学习方式的转变，使学生成为学习的主人。
冀教版-数学-八年级上册-12.4 分式方程 教学设计
分式方程一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2．教学难点：检验分式方程解的原因.3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．三、教学方法启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．四、教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主．五、教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．2. 在x=0，x=1，x= -1中，那个是方程31x xx-=-的解，为什么？【答案】(1)当x=0时，左边=31x xx--=-1= 0，右边=0，∴左边=右边，这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．(二)新课板书课题：板书：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：下列哪个是分式方程（）A．﹣﹣3x=6 B. ﹣1=0C．﹣3x=5 D．2x2+3x=﹣2【解析】A. ﹣﹣3x=6是整式方程，故本选项错误；B. ﹣1=0是分式方程，故本选项正确；C. ﹣3x=5是整式方程，故本选项错误；D. 2x2+3x=2是整式方程，故本选项错误．【答案】B先由同学讨论如何解这个方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．【答案】两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x2x+2=5+xx=3．如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．检验：把x=3代入原方程左边=右边∴x=3是原方程的解．问题：为什么要检验根？在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）.对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解.验根的方法一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解，像这样的根称为方程的增根.(三) 应用例1 解方程：（1）382291x x -=⨯- （2）382219x x -+=【答案】（1）方程两边同乘x(1-x)，得36x=18(1-x)解这个整式方程，得13x = 经检验，13x =是原分式方程的根. （2）方程两边同乘9x ，得36x+18=9x解这个整式方程，得x=6经检验，x=6是原分式方程的根.例2 解方程：22322x x x --=++【答案】方程两边同乘x+2，得2-（2-x ）=3（x+2）解这个整式方程，得x=-3经检验，x=-3是原分式方程的根.(四)总结解分式方程的一般步骤：1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．2．解这个方程．3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．(五)练习【答案】1. 方程两边同乘x(x-2)，5(x-2)=7x5x-10=7x2x=10x=5．检验：把x=-5代入最简公分母x(x-2)≠0，∴x=-5是原方程的解． 2. 11322x x x -=---先处理好符号方程两边同乘最简公分母(x-2)，1=x-1-3(x-2)． (-3这项不要忘乘) 1=x-1-3x+62x=4x=2．检验：把x=2代入最简公分母(x-2)=0，∴原方程无解．3.解方程【答案】方程两边同乘x （x －3），得2x ＝3x －9解得 x ＝9检验：x ＝9时 x （x －3）≠0，9是原分式方程的解.六、作业教材练习题七、板书设计x 33x 2=－。
2024年冀教版八年级上册第十二章 分式和分式方程第十二章 分式和分式方程
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”和“方程与不等式”主题中的“分式和分式方程”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,学生将认识负数、无理数,学习它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.本章学生将学习分式和分式过程,了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算,能解可化为一元一次方程的分式方程,能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.分式和分式方程的教学要通过探索分式方程的解法,体会化归思想;通过探究增根产生的过程,培养逻辑分析能力;用列方程解决实际问题,体会模型思想,建立符号意识,感受生活数学化过程,增强学生学数学、用数学意识;通过课堂活动,培养合作意识和探究精神,形成数学思维,实现数学核心素养要求.2.本单元教学内容分析冀教版教材八年级上册第十二章“分式和分式方程”,本章包括五个小节:12.1分式;12.2分式的乘除;12.3分式的加减;12.4分式方程;12.5分式方程的应用.义务教育阶段的数学学习,学生要能:(1)获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本生活经验.(2)体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,在探索真实情境所蕴含的关系中,发现问题和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题.(3)对数学具有好奇心和求知欲,了解数学价值,欣赏数学美,提高学习数学的兴趣,建立学好数学的信心,养成良好的学习习惯形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神.本章与分数的相关知识类似,重点在于探索分式的有关概念和运算法则,对分式的概念、分式的基本性质及分式的运算的学习,都要注意通过与分数的有关知识进行类比,让学生真正的去探索,去发现知识之间的内在联系,加深对基础知识的理解,使基本技能的训练更加扎实,对数学思想的认识更加充实,有效地积累基本活动经验.同时经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题和解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用数学意识,进一步引导学生借助分式方程来解决实际问题,了解现实世界中事物的相互联系.通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识、逻辑思维能力和计算能力,在活动中培养学生乐于自主探究,合作交流的学习习惯,体会数学源于实际、用于实际的学科价值与文化价值.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十二章“分式和分式方程”,在小学学生已学习了“分数”,初步了解了分数的基本性质和定义,在此基础上,类比分数的基本性质,探索分式的概念和基本性质,可以加深学生的理解和应用,学生小学学习的关于分数的加、减、乘、除以及通分、约分等知识,都可以作为学习分式的基础.在学习了整式方程即“一元一次方程”“二元一次方程组”后,学生对整式方程的解法和基本思路(使方程逐步化为x=a的形式)已经比较熟悉,而分式方程的未知数在分母,解法步骤稍显复杂,但化为整式方程后的解法体现了解方程的统一性.在后续“二元一次方程”的学习中,会感受到方程求解的一般路径,这也是方程思想有益积累和传承.八年级学生独立思考和探索交流的能力有所提高,并能在探索的过程中形成自己的观点,能在交流中倾听别人的意见,丰富自己的想法观点,具有一定的思维独立性和批判性.但由于年龄特征,数学思维不够完善,方程运算能力和方程建模能力尚在发展中,需要教师引导其从感性认知向理性认知发展.四、单元学习目标1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步培养符号意识.2.经历由观察、类比、猜想获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式恒等变形能力,积累类比的活动经验.3.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的根的合理性,发展运算能力.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力,增强应用意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和建模思想.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
冀教版数学八上12.4《分式方程》word教学设计
（1）从实际问题出发，引导学生认识分式方程，并总结分式方程的定义。
（2）通过具体例题，讲解分式方程的解法，强调去分母、去括号、移项、合并同类项等基本步骤。
（3）针对难点，设计具有梯度的问题，帮助学生逐步突破。
3.课堂练习：
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。同时，鼓励学生分享解题思路，提高课堂互动性。
（一）教学重难点
1.重点：分式方程的定义、解法及其在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）分母为零的情况，如何判断分式方程的解是否存在。
（2）将实际问题抽象为分式方程，建立数学模型。
（3）分式方程求解过程中，去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的熟练运用。
（二）教学设想
1.引入环节：
通过生活中的实际例子，如购物打折、物品分配等，引导学生发现分式方程的实际意义，激发学生的学习兴趣。
8.教学策略：
（1）采用启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维能力。
（2）关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能得到提高。
（3）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.从生活中的实际问题出发，如“小华和他的朋友去购物，遇到了打折活动。原价为200元的商品，打8折后，小华和朋友各买了一样，他们一共花了多少钱？”引导学生思考如何用数学方法解决这类问题。
1.学生对分式方程的认知程度，了解他们在哪些方面可能存在困难，以便进行针对性教学。
2.学生在小组合作、讨论交流中的参与度，关注学生的合作意识和团队精神。
3.学生在解决实际问题生的学习兴趣和动机，激发学生的学习积极性，提高课堂教学效果。
冀教版-数学-八年级上册- 第十二章分式和分式方程复习 教案
第十二章分式和分式方程复习教案教学目标：使学生掌握分式的概念、性质教学重点：分式的基本性质。
教学难点：分式的基本性质的应用。
教案设计：章末复习第一课时教学过程：一、知识回顾：1、 分式的定义：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。
如果除式B 中含有 字母，那么称BA 为分式，其中A 称为分式的分子，B 为分式的分母。
对于任意一个分式，分母都不能为零。
2、分式的性质：（1）)0(≠=m B A Bn Am （2）已知分式b a ， 分式的值为正：a 与b 同号； 分式的值为负：a 与b 异号；分式的值为零：a=0且b ≠0; 分式有意义：b ≠0。
二、谁做得快：1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？2a 2+b ， 34-y ， 522b a ， a 21， πx 2， 23+x 2、x 为何值时，下列分式有意义？（1）11222-+-x x x （2）2322--+x x x （3）422+-x x x 3、x 为何值时，下列分式的值0?无意义？ （1）22+-x x （2）22322--+-x x x x （3）2212+-x x4、x 为何值时，下列分式的值为正、为负？（1）22x x + （2）32232+--x x x （3）2)1(12+-x x （4）xx -12 5、化简下列分式：（1）112+-m m ； （2）2xxy ； （3）22112x x x -+-6、分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。
（1）2)2(3)(22+=+m m n ； （2）)(22b a b ab b ab +=++ 7、不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数是正数，并把分子和分母中的多项式按x 的降幂排列。
（1）x x x 23122---+； （2）22213xx x -+-- 三、小 结：由学生总结以上运用的知识点四、合作探究：1、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》教学设计
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》是学生在掌握了分式运算、分式性质的基础上，进一步学习解决实际问题中的方程。
本节课通过分析分式方程的定义、解法及其应用，使学生能够解决一些简单的实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本运算和性质，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但部分学生对分式方程的理解和应用还不够熟练，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.理解分式方程的定义及其解法；2.能够解决一些简单的实际问题，提高数学应用能力；3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及其解法；2.如何将实际问题转化为分式方程，并解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组讨论法，引导学生主动探究、合作交流，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例；2.准备分式方程的解法步骤提示；3.准备教学PPT。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何解决实际问题。
2.呈现（10分钟）教师展示分式方程的定义及其解法，让学生了解分式方程的基本概念和解决方法。
3.操练（10分钟）教师给出一些简单的分式方程实例，引导学生分组讨论、共同解决问题，巩固分式方程的解法。
4.巩固（10分钟）教师设计一些练习题，让学生独立完成，检查学生对分式方程解法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考如何将实际问题转化为分式方程，并解决问题。
学生分组讨论，分享解题过程和心得。
6.小结（5分钟）教师对本节课的主要内容进行总结，强调分式方程的解法和实际应用。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关分式方程的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上板书本节课的重点内容，方便学生复习和记忆。
新冀教版八年级数学上册第12章 分式和分式方程 【创新教案】 分式方程的应用
分式方程的应用
教学目标：
1：进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程
2：使学生能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题
教学重点、难点：
重点：让学生学习审明题意、设未知数、列分式方程。
难点：在不同的实际问题中设未知数列分式方程
教学过程：
一：情境引入
1：解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简（2）方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程（3）解整式方程（4)验根
2：列方程解应用题的步骤是什么？
（1）审（2）设（3)列（4）解（5) 答
3：由学生讨论我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型的基本公式是什么？
二：探求新知
例1 两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
分析：解答略（1）教师提出问题（2）学生审题、思考、小组讨论、寻求解决问题的方法
例2 从2004年5月起某列列车平均提速v千米／小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析解答略
在活动中教师要关注：（1）学生是否能将实际问题化为数学问题（2)大部分学生能否将这个问题很好的分析出，能否列出方程（3）基础较差的学生对于该题的理解是有困难的怎样适当的加以个别引导
三问题解决巩固练习
四归纳总结
本节课学习了哪些知识，对自己在本节课的学习情况进行反思和评价，你有哪些收获？
五布置作业
教材习题。
冀教版初中数学八年级上册 第十二章 分式复习 教学案
分式复习一、知识梳理分式和分式方程1、分式（1）用A ，B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，式子A B 就叫做分式。
对分式的概念要注意以下两点：①分母中应含有字母；②分母的值不能为零，若为零，则该分式就没有意义。
下列各式中，24,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。
当 时，分式11+x 有意义． 当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义； （2）分式的值为0的条件：分式A B 中，A=0且B ≠0 已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ． 1± 当x 时，分式24+2x x -的值为零（3）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示是,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷（其中M 是不等于零的整式）。
这一性质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础。
下列各式与x y x y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y -+ 约分（1） 21+2441x x x ++， （2） 2222363x y x xy y -++，（4）最简分式:分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。
、在分式443y x +，a b 424+，1142--x x ，222b ab ab a --中，最简分式有 。
2、分式的运算（1）乘除法:a c ac b d bd •=a c a d adb d bc bc ÷=•=化简：x －1x ÷(x －1x). （2）加减法：①同分母分式的加减“分母相同不改变，去把分子相加减； 因式分解不出错，便于约分化最简”②异分母分式的加减“分母不同先通分，再把分子相加减；因式分解仍要做，以便约分化最简”（1） 212293m m --- （2）2222222x y x xy y x y x y-++⋅+- （3）222412()2144x x x x x x x ---⋅-+-+3、 分式方程 解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程。
2024年冀教版八年级上册第十二章 分式和分式方程分式方程
课时目标1.经历从实际问题中建立分式方程的过程,进一步体会模型思想,培养符号意识.2.了解分式方程、分式方程的解和增根的概念.3.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个),会检验根的合理性.学习重点理解分式方程、分式方程的解、分式方程的增根的概念.学习难点会解分式方程,会检验根的合理性.课时活动设计情境引入小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.一起探究:1.上述问题中有哪些等量关系?2.根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.让学生尝试解决问题,教师可给予点拨和引导.解:1.问题中的等量关系为(1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红上学路上的时间;(2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度.2.如果设小红步行的速度为x km/h,那么公共汽车的速度为9x km/h,根据等量关系(1),可得到方程38−29+2=1.如果设小红步行的时间为x h,那么她乘公共汽车的时间为(1-x)h,根据等量关系(2),可得到方程38−21−=9×2.设计意图:通过一个行程问题,引导学生从分析入手,找到题中的等量关系,培养学生的逻辑推理能力.列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.探究新知探究1分式方程的概念大家谈谈:上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同?这两个方程有哪些共同特点?学生合作交流,并且尝试总结分式方程的概念.解:我们以前学习的方程都是整式方程,它们的未知数不在分母中;共同点:(1)方程中含有分母38−29+2=1.(2)这些方程的分母中含有未知数.结论:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.(1)分式方程的两个特点:①方程中含有分母;②分母中含有未知数.(2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别,是区分分式方程和整式方程的依据.(3)分式方程的分母中含有未知数,而不是一般的字母参数.探究2解分式方程教师活动:教师引导学生分析.解方程:9030+=6030−.解分式方程的步骤:①转化为整式方程——去分母,等式两边同乘最简公分母⇨一化;②得到整式方程,解方程——90(30-v)=60(30+v),v=6⇨二解;③检验所得结果是否正确——将结果代入分式方程后,等号两边是否相等⇨三检验.解:方程两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v).整理,得150v=900.解得v=6.检验:将v=6代入原分式方程中,左边=52=右边,因此v=6是原分式方程的解.在这里使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.设计意图:1.通过学生合作交流,总结归纳出分式方程的概念,培养学生抽象概括能力.2.让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,化归到已经解决或比较容易解决的问题中去,提高学生分析问题、解决问题的能力.典例精讲例解方程:(1)38−21−=9×2;(2)38−29+2=1.解:(1)方程两边同乘x(1-x),得36x=18(1-x).解这个整式方程,得x=13.经检验,x=13是原分式方程的解.(2)方程两边同乘9x,得36+18=9x.解这个整式方程,得x=6.经检验,x=6是原分式方程的解.注意:(1)解分式方程的基本思想是“化整”,即“化分式方程为整式方程”,而“化整”的关键是找最简公分母;(2)解分式方程一定要注意验根,验根是解分式方程必不可少的步骤;(3)在去分母时,方程两边同乘最简公分母,必须每一项都要乘,不能认为有分母的就要乘,没有分母的就不用乘,而是有几项就要乘几项,不能漏乘.设计意图:通过例题,加强学生对解分式方程方法及易错点的掌握.探究新知r1t1=t31−+1的过程:方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1).解这个整式方程,得x=1.你认为x=1r1t1=t31−+1的解吗?为什么?学生思考,小组合作交流.解:不是,因为当x=1时,x-1=0,即这个分式方程的分母为0,方程中的分式无意义,所以x=1不是这个分式方程的解.归纳:在解分式方程时,首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,然后要将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.分式方程的增根:①是整式方程的根;②使分式方程的分母(或公分母)为0.设计意图:引导学生思考为什么这样求出的方程的根不一定是分式方程的根,使学生进一步理解分式方程增根产生的原因和验根的方法.巩固训练解方程:2r2-2−2+=3.解:方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2).解这个整式方程,得x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解.设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结本节课我们主要学习了哪些内容?与同学交流你的想法.1.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤:一化;二解;三检验.3.分式方程的增根:(1)分式方程有增根时的应用:①最简公分母为0,求增根;②将增根代入整式方程求其他参数.(2)分式方程无解:①分式方程有增根;②化为的整式方程无解.设计意图:通过小结,帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.课堂8分钟.1.教材第20页习题A组第1,2题,习题B组.2.七彩作业.教学反思。
2022秋八年级数学上册第十二章分式和分式方程12.4分式方程学案新版冀教版
分式方程学习目标：1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点）2.理解分式方程无解及出现增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点） 学习重点：解分式方程.学习难点：分式方程无解和增根的情况.知识链接1. 下列方程哪些是一元一次方程?(1)353;x -=(2)25;x y +=2(3)5;x x -=1(4) 1.23x x +-=一元一次方程的特征是什么？答：___________________________________________________________________. 二、新知预习3.完成下面解题过程：小红家到学校的路程为18km.小红从家去学校总是先乘坐公共汽车，下车后再步行1km ，才能到学校，路途所用时间是1h ，已知公共汽车是速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.上述问题中有哪些等量关系？答：①_____________________+_______________________=小红上学路上的时间； ②公共汽车的速度=_______________________________.如果设小红步行的速度为x km/h ，那么公共汽车的速度为_____ km/h,根据等量关系①，可以得到方程：_______________________________.如果设小红步行的时间为x h ，那么她乘坐公共汽车的时间为______h ，根据等量关系②，可以得到方程：_______________________________. 在（2）（3）中得到的方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？答：___________________________________________________________________. 像这样，分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）. 试着解下列分式方程：382291x x-=⨯-； 自主学习解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母） ___________________.解这个整式方程，得____________. 解整式方程经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义）13111x x x x+-=+--. 解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母） ___________________.解这个整式方程，得____________. 解整式方程经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义） 像这样，解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.NOTE ：分式方程可能无解.解分式方程一定要注意验根. 自学自测1.下列各式中，分式方程是 （ ）A.65x x = B.1051x x =- C.2341x x =+ D.()1033x xa a =-≠ 2.解分式方程2211x x x++--＝3时，去分母后变形为 （ ） A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1) C ．2－(x ＋2)＝3(1－x) ． D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)3.若分式x －1x ＋2的值为零，则x 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－2 4.如果关于x 的方程2－x x －5＝m5－x 无解，那么m 的值为( )A ．－2B ．5C ．2D ．－3 5.解方程：(1)x －2x ＋2－1＝3x 2－4；(2)2x 2x －3－12x ＋3＝1.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________要点探究探究点1：分式方程的相关概念合作探究问题： 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )A.3＋x 2＝2＋x 5B.2x －17＝x 2C.x π＋1＝2－x 3D.12＋x ＝1－2x【归纳总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 【针对训练】下列各式中，分式方程是 （ ） A ．511y -+ B ．324x x -=C ．232y y -=+ D ．156x x =- 探究点2：分式方程的解法 问题1： 解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3.【归纳总结】解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验． 【针对训练】 解方程： (1)2112x x =--；(2)2313162x x -=--.问题2：关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．【归纳总结】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 【针对训练】当m 为何值时，关于x 的方程m x 2－x －2＝x x ＋1－x －1x －2的解是正数．探究点3：分式方程的增根问题1：若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增根，则增根可能为( )A ．0B ．2C ．0或2D ．1 【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解． 【针对训练】若关于x 的方程222xx x+--＝2有增根，则增根是_____． 问题2：如果关于x 的分式方程2x －3＝1－mx －3有增根，则m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．3【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解． 【针对训练】当m 为何值时，方程m x －2＋3＝1－x2－x 会产生增根．问题3：若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值．【归纳总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 【针对训练】 若关于x 的方程311x a x x--=-无解，求a 的值.二、课堂小结内容易错提醒分式方程的相关概念 分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.(1)用分式方程中的最简公分母同乘方程两边，注意不要漏乘没有分母的项，另外得出解后，要注意检验；(2)分式方程无解的两种情况：①将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是类似“0x＝1”的形式，即整式方程无解；②整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0. 分式方程的解法(1)去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程；(2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项； (3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解(使最简公分母为零的根是原方程的增根).分式方程的增根 解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.下列各式中是关于x 的分式方程的是_____________________. ①223x x -=;②437x y +=;③132x x =-;④11x x -=-,⑤32x xπ-=;⑥2a b a b x a++=-;⑦2x b x b a a -+=+;⑧2x n x mx m x n -++=+-;⑨2121x x -=+; ⑩121x x->+ 2.解分式方程232x x x-++＝1时，去分母后可得到 ( ) A ．x(2＋x)－2(3＋x)＝1 B ．x(2＋x)－2＝2＋x C ．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x) D ．x －2(3＋x)＝3＋x3．分式方程212x x--＝0的根是 ( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为 ( )A ．－1，5B ．1C ．－1.5或2D ．－0.5或－1.55.若关于x 的方程1x 2－1－m x ＋1＝1－2mx －1不会产生增根，则m 为( )A ．m≠0B ．m≠14C ．m≠0且m≠－12D ．m≠14且m≠－126.解方程：(1)12211xx x +=-+;(2)22222222x x x x x x x ++--=--.当堂检测7.关于x 的方程23321x k x x x x x--=++，当k 为何值时，会产生增根？当堂检测参考答案： ②③④⑥⑧⑨ C D D D(1)x ＝3;(2)x ＝－12.x ＝－1时k ＝3 .。
2022秋八年级数学上册第十二章分式和分式方程12.4分式方程教学设计新版冀教版
分式方程题目分式方程总课时 4教材分析教材是以一元一次方程的解法为基础解可化为一元一次方程的分式方程，只是需把分式方程化成整式方程，注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法。
至于解分式方程时产生增根的原因只让学生了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法.要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边统称最简公分母.学情分析使学生能够由简入深，逐步掌握列分式方程解决实际问题，增强学习兴趣。
适应素质教育的要求，培养探究式的学习方法，在课堂上为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要地分析、解决实际问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.教学目标知识目标：经历分式方程概念、分式方程的解法过程，会解可化为一元一次方程的分式方程的解法，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.能力目标: 在学生掌握基本概念、基本方法的基本上将知识融会贯通，通过反思、反馈、的方法进一步提高运算能力。
培养学生的分析和归纳能力。
情感与态度：培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力，提高学生的运算能力，培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取。
进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题．重点会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.难点会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.课前准备课前充分预习一元一次方程的解法,注重新旧知识的联系.教学流程分课时环节与时间教师活动学生活动△设计意图◇资源准备□评价○反思第一课时一、情景引入5分二、例题讲解：15分三、练习16分四、小结2′五、布置作业2分1．回忆一元一次方程的解法2．引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程vv-=+206020100.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程，引出出课题。
新冀教版八年级数学上册第12章 分式和分式方程 【创新教案】分式及其基本性质
在本节课的学习过程中，你有什么体会？
2.如果分式 无意义，则x= .
3.下面等式成立吗？为什么？
① = ② = ③ =
二、合作探究、展示交流
1.下列式子：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
其中是分式的有：
（提示：要按照分式的特征来判断）
2.当x时,分式 有意义.
当x时,分式 没有意义.
当x 时,分式 的值为零.
.思考:使分式有意义的条件是什么?
使分式值为零的条件呢?
提示：要注意运用分式的基本性质啊！
三、巩固练习
1.某车间计划在x天内加工200个零件，而实际加工时比原计划少用2天完成了任务，实际每天加工多少个零件？（用含有x的代数式表示）
8.在分式 中，字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（Leabharlann .A.扩大为原来的2倍B.不变
C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
2.某超市为了促销，把售价为1 5元/千克的甲种糖果m千克和售价为20元/千克的乙种糖果n千克混合销售（混合均匀），混合后糖果的定价应定为多少？
3.如果在一条公路上，车辆的车头与紧跟在它后面的车的车头之间的平均距离为d（米/辆），车辆的平均速度为v（m/s）,那么v/d（辆/秒）叫做这条公路的车流量.求v =20 m/s,d=10米/辆时的车流量.
6.填表(后面两格中的X可任意取自己喜欢的数值)
X=1
X=2
X=3
X=4
6
3
2
通过观察，你认为 ， ， 这三个分式相等吗？由此，你发现分式具有怎样的性质了吗？
文字语言表述：分式的分子分母都乘（）同一个的整式，分式的值.
数学符号表示： ， （M是不等于0的整式）
7.你说分式 与 相等对吗？为什么？那分式 等于 呢？
河北省八年级数学上册12分式和分式方程12.4分式方程导学案无答案新版冀教版
12.4 分式方程【学习目标】1．了解分式方程、分式方程的解和增根的概念.2．会解分式方程，会检验根的合理性.【学习重点】解分式方程的基本思想和解法.【学习难点】解分式方程的基本思想和解法.【学习过程】导入新课【预习自测】一．知识链接自学课本相应内容二．自主学习【合作探究】探究活动一（一）分式方程的定义；（二）分式方程的解法：1．解分式方程的基本思想：−→−−−−转化2．解分式方程的基本方法——去分母法.即：在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程.但要注意，可能会产生增根.所以，必须验根.探究活动二产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等．．于零．．的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原分式方程的解.检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原分式方程进行检验，看方程左右两边是否相等；（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果公分母不等于0，就是原分式方程的根；如果公分母等于0，就是原分式方程的增根．．，必须舍去. 注意：增根是所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，增根使原分式方程的最简公分母为0.3.用去分母法解分式方程的一般步骤：(1)去分母，将分式方程转化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)验根.例题（1）90606x x =- （2）22122=-+-x x x x（3）01432222=---++x x x x x (4) x x x 38741836---=-【解难答疑】 1.若3x 与61x -互为相反数，则x 的值为（ ）. A.13 B.－13C.1D.－1 2.若方程144x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ）. A.2 B.3 C.－3 D.13.已知211(3)(4)34x A x x x x +=+-+-+，则A 为（ ）. A.2 B.1 C.－2 D.－1【反馈拓展】1..解关于x 的方程：2x b x a a b+--=（a b ≠）.2. 阅读下列材料：解方程11322x x x -=---. 解：方程的两边都乘以2x -，约去分母，得113(2)x x =---.解这个整式方程，得2x =.检验：当2x =时，20x -=，所以2是增根，原方程无解.请你根据这个方程的特点，用另一种方法解这个方程.【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有： 原因：。
冀教版数学八年级上册第12章分式和分式方程学案
分式及其基本性质学习目标：1、能正确说出分式的概念，会判断一个代数式是否为分式。
2、掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
3、掌握分式的基本性质。
学习重点：分式的定义学习难点：分式有意义、无意义及分式值为零的条件的应用。
一、自主学习（分式的概念）： 观察：1.107、20033、45-等是 ，分母中 字母 2.式子S a 、V S、10020v +、6020v -等分母中 字母 归纳: 分式的定义： 一般地，我们把形如______的代数式叫做分式，其中A 、B 都是______且B 中含有________ ，A 叫做分式的______ B 叫做分式的 ____自学检测1、在代数式－3x 、22273x y xy -、18x -、5x y -、x y 、35y +、2xx 中是整式的有 ， 是分式的有________________ 2、下面的式子哪些是分式？二、自主学习（分式有意义、无意义及分式值为零的条件）1、分式有意义的条件： ，如 有意义的条件是_________2、分式无意义的条件： 如 无意义的条件是_________3、分式值为零的条件： 如 112+-m m 分式值为零的条件是________自学检测1 填空：当x 时，分式x 52有意义；当x 时，分式22-x x 有意义； sb -2π3y x +32S 5122+x cb +545-1222-+-x y xy x 132-x 23+x 23+x当x 时，分式x252-有意义；当x 、y 满足关系 时，分式y x y x 2-+有意义；2 当m 为何值时，分式的值为0 （1）1-m m （2）32+-m m （3） （4） （5）3. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3）4、已知分式242+-x x ，（1）当为何值时，分式有意义；（2）当为何值时，分式无意义；三、自主学习（分式的基本性质）分式的基本性质： 分式的 与 都乘（或除以） 的整式，分式的值不变。
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》说课稿
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》是学生在学习了分式、方程的基础上，进一步研究分式方程的性质、解法及其应用。
本节课的内容分为两大部分：一是分式方程的定义及基本性质；二是分式方程的解法及应用。
通过本节课的学习，使学生掌握分式方程的基本知识，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了分式和方程的基础知识，对分式、方程有一定的认识。
但分式方程较为抽象，学生理解起来有一定难度。
此外，学生在解决实际问题时，往往不能很好地将分式方程与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习情况，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解分式方程的定义及基本性质，掌握分式方程的解法，能够运用分式方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决分式方程的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的应用，增强学生克服困难的信心。
四. 说教学重难点1.重点：分式方程的定义、性质、解法及应用。
2.难点：分式方程的解法，以及如何将分式方程与实际问题相结合。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合几何画板等软件，直观展示分式方程的解法及应用。
六. 说教学过程1.导入：回顾分式和方程的基础知识，引导学生进入新课。
2.自主学习：让学生自主探究分式方程的定义及基本性质，为学生提供充分的独立思考时间。
3.合作交流：学生之间相互讨论、交流，教师引导学生总结分式方程的解法。
4.教师讲解：针对分式方程的解法及应用，进行详细讲解，为学生解答疑惑。
5.练习巩固：布置具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。
河北专版2022秋八年级数学上册第12章分式和分式方程12.4分式方程课件新版冀教版20220929
18．如图，已知点 A，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4 和3xx＋－25，且它们关于原点对称．求 x 的值．
7．对于非零有理数 a，b，规定 a⊗b＝1b－1a.若 2⊗(2x－1)＝1， 则 x 的值为( A ) A．56 B．54 C．32 D．－16
8．解分式方程检验时，将整式方程的解代入最__简__公__分__母__，如果 最__简__公__分__母__的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解．
第十二章 分式和分式方程
第4节 分式方程
提示：点击 进入习题
1 未知数；方程；分母 2C
3D
4
(1)最简公分母；整式 (2)整式 (3)验根
5C
6C
答案显示
7A
8
最简公分母；最简 公分母
9B
10 D
提示：点击 进入习题
11 B 12 0；整式方程；整式方
程；最简公分母 13 1 14 －1习题 18 见习题 19 见习题
答案显示
1．分母中含有_未__知__数___的方程叫做分式方程．分式方程的识别 标准：一是_方__程___，二是__分__母__中含有未知数．
2．下列关于 x 的方程中，不．是．分式方程的是( C )
A．1a－ax＝1b＋bx C．x＋mn－2＝x－2 m
13．(2019·四川巴中)若关于 x 的分式方程x－x 2＋22－mx＝2m 有增 根，则 m 的值为___1_____．
【点拨】方程两边都乘 x－2，得 x－2m＝2m(x－2)， 整理得 x－2mx＋2m＝0. ∵原方程有增根，∴x－2＝0，解得 x＝2. 将 x＝2 代入 x－2mx＋2m＝0，得 2－4m＋2m＝0，解得 m＝1.
12.4分式方程第2课时教学设计2022-2023学年冀教版数学八年级上册
12.4 分式方程第2课时教学设计一、教学目标1.知识与技能： 1.掌握简单分式方程的解法；2.能够在实际问题中运用分式方程解决问题。
2.过程与方法： 1.理解分式方程的基本概念； 2.掌握分式方程的解法；3.培养学生发现和解决问题的能力，提高实际问题的数学建模能力。
3.情感态度与价值观： 1.通过本课的学习，让学生体验到数学的美妙和实用；2.培养学生对数学的兴趣。
二、教学重难点1.教学重点： 1.理解分式方程的基本概念；2.掌握分式方程的解法；3.能够在实际问题中运用分式方程解决问题。
2.教学难点： 1.分式方程的实际应用； 2.解决带分数的分式方程。
三、教学内容及过程安排1. 教学内容1.分式方程的基本概念2.分式方程的解法3.在实际问题中运用分式方程解决问题2. 教学过程安排教学过程：导入新课1.教师介绍本课的教学内容和教学目标。
2.通过例题引入本课的主要概念——分式方程。
新课讲解1.介绍分式方程的基本概念和运算法则。
2.参照例题讲解分式方程的解题方法。
3.针对学生容易犯的错误点进行分析和讲解。
课堂练习1.提供一定量的题目进行课堂练习，帮助学生掌握解题方法。
2.收集学生解题答案，逐一讲解。
拓展练习1.提供一些拓展练习，让学生巩固所学知识。
2.鼓励学生自主思考、自主解决问题。
总结回顾1.回顾本节课的主要内容和学习目标。
2.强调分式方程的实际应用和数学建模的概念。
教学方式：1.教师讲授2.案例分析3.课堂练习4.自由探究3. 教学任务及考核标准教学任务：1.理解分式方程的基本概念；2.掌握分式方程的解法；3.能够在实际问题中运用分式方程解决问题。
考核标准：1.能正确理解分式方程的概念；2.能熟练掌握分式方程的解题方法；3.能够在实际问题中使用分式方程解决问题。
四、教学资源及媒体支持1.教学资源：教材、课件、作业册。
2.媒体支持：多媒体设备、互联网。
五、教学反思分式方程是数学的重要分支，也是学生比较困难的数学内容之一。
2022秋八年级数学上册 第十二章 分式和分式方程12.4 分式方程授课课件(新版)冀教版
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母
的项，当分子是多项式时要用括号括起来.
2. 解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.
3. 对增根的理解：
（1） 增根一定是分式方程化为整式方程的解；
（2） 若分式方程有增根，则必是使最简公分母为0 时未知
数的值.
感悟新知
例2 解方程 (1 )3 8292;(2 )3 8221 . 1x x 9x x
解：(1)方程两边同乘x(1－x)，得36x=18(1－x). 解这个整式方程，得x＝ 1 . 3 经检验，x＝ 1 是原分式方程的解. 3 (2)方程两边同乘9x，得36＋18＝9x， 解这个整式方程，得x＝6. 经检验，x＝6.是原分式方程的解.
知2－练
感悟新知
总结
知2－讲
(1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式 方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母；
(2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式 方程必不可少的步骤．
警示：在去分母时，方程两边同乘最简公分母，必须 每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘，没有分母的就 不用乘，而是有几项就要乘几项，不能漏乘．
38 2 2 1. 9x x
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽 车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程
382 9 2 .
1 x
x
感悟新知
知1－导
讨论：上面得到的方程与我们已学过的方程有什么 不同？这两个方程有哪些共同特点？
结论：像 38292和 38221
1x x 9x x
母；②分母中含有未知数． (2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根
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12.4分式方程
教学目标
【知识与能力】
1.理解分式方程的概念及意义.
2.了解解分式方程的基本思路和解法.
3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.
【过程与方法】
1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.
2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.
【情感态度价值观】
通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
教学重难点
【教学重点】
可化为一元一次方程的分式方程的解法.
【教学难点】
理解解分式方程时可能无解的原因.
课前准备
多媒体课件
教学过程
一、新课导入：
导入一:
【课件1】小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.
教师提出问题:
(1)上述问题中有哪些等量关系?
(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.
(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?
在活动中教师要关注:
(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;
(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?
(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?
[设计意图]先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.
导入二:
【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?
三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x +x x+3=1;猪八戒:2x +2x+3=1;沙和尚:2
1x +1x+3+x -2
x+3=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗? 同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?
[设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.
二、新知构建：
探究一:分式方程及其解法
思路一
1.分式方程
【课件3】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程. 〔解析〕 设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v )千米/时,逆流航行的速度为(30-v )千米/时,顺流航行90千米所用的时间为
9030+v 小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v 小时.可列方程9030+v =6030-v .
教师提问:刚才我们所接触的方程38-2
1-x =9×2x ,38-29x +2x =1,9030+v =60
30-v 与以前所学的整式方程有
何不同?
学生思考,议论后在全班交流.
归纳:该类方程分母含有未知数.
教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
[知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.
2.分式方程的解法
【课件4】
如何解分式方程38-21-x =9×2x 和38-2
9x +2
x =1呢? 在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.
引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.
说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.
在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;
(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;
(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.
归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.
[设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.
思路二
1.分式方程
38-2
1-x =9×2x ,38-29x +2x =1有什么特点? 学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.
教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).
提问:你还能举出一个分式方程吗?
【课件5】 判断下列各式哪个是分式方程.
(1)x +y =5; (2)x+25=2y -z 3; (3)1x ; (4)y x+5; (5)1x +2x =5. 根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.
2.分式方程的解法
学生自主探索,并尝试选分式方程求解
【课件6】
解方程1+x 5+x =12.
解:两边同乘最简公分母2(x +5)得:
2(x +1)=5+x ,
2x +2=5+x ,
x =3.
检验:把x =3代入原方程左边=1+3
5+3=12,右边=1
2,左边=右边.所以x =3是原分式方程的解. 学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.
结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.
【课件7】 如何解课件3中所列出的分式方程?
解:方程的两边同乘(30+v )(30-v ),得90(30-v )=60(30+v ),解得v =6.
检验:将v =6代入分式方程中,左边=52,右边=5
2,左边=右边,因此v =6是原分式方程的解. 师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.
探究二:分式方程的增根
【课件8】 解分式方程x+1
x -1=x -3
1-x +1.
教师提出问题,让学生解方程.
解:方程两边同乘x-1,得x +1=-(x-3)+(x-1),
解这个整式方程,得x =1.
师:x =1是方程的解吗?为什么?
说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.
归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.
【课件9】
解方程:2x+2-2-x
2+x =3.
解:方程两边同乘x +2,
得2-(2-x )=3(x +2),
解这个整式方程,得x =-3,
经检验,x =-3是原分式方程的根.
[知识拓展] (1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.
(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.
三、课堂小结：
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.
[设计意图] 学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.。