沪科版七年级数学下册教案9.2 分式的运算 第1课时

9.2 分式的运算

第1课时

教学目标

1．理解并掌握分式的乘除法运算法则，能运用其进行运算并解决实际问题；

2．理解并掌握分式的乘方运算法则，分清乘方、乘除的运算顺序，能够解决分式的乘除、乘方的混合运算．

教学重难点

【教学重点】

分式的乘除法运算法则，能运用其进行运算并解决实际问题．

【教学难点】

分式的乘方运算法则，分清乘方、乘除的运算顺序，能够解决分式的乘除、乘方的混合运算． 课前准备

课件

教学过程

一、情境导入

观察下列运算：

23×45＝2×43×5，57×29＝5×27×9

， 23÷45＝23×54＝2×53×4，57÷29＝57×92＝5×97×2

. 以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？ 今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．

二、合作探究

探究点一：分式的乘除

【类型一】 利用分式的乘法法则进行计算

计算：

(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b

2； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2

. 解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．

解：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－4ab 2cd 6a 2b 2c 2＝－2d 3ac

； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2＝x （x ＋3）（x ＋3）（x －3）·3－x x ＋2＝x x －3·－（x －3）x ＋2＝－x x ＋2

. 方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．

【类型二】 利用分式的除法法则进行计算

计算：

(1)－3xy ÷2y 23x ； (2)(xy －x 2)÷x －y xy

. 解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．

解：(1)－3xy ÷2y 23x ＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x 22y

； (2)(xy －x 2)÷x －y xy ＝(xy －x 2)·xy x －y ＝－x (x －y )·xy x －y

＝－x 2y . 方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．

【类型三】 分式的乘除混合运算

计算：a －1

a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1a 2－1

. 解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．

解：原式＝a －1a ＋2·（a ＋2）（a －2）（a －1）2·（a ＋1）（a －1）1

＝(a －2)(a ＋1)＝a 2－a －2. 方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．

【类型四】 分式的化简求值

先化简，再求值：

(1)3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2

x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13； (2)x 2－x x ＋1÷x x ＋1

，其中x ＝3＋1. 解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．

解：(1)原式＝3（x ＋y ）2xy ·x ·2xy ·2y （x ＋y ）（x －y ）＝6y x （x －y ），当x ＝12，y ＝13

时，原式＝24； (2)原式＝x 2－x x ＋1·x ＋1x ＝x （x －1）x ＋1·x ＋1x

＝x －1，当x ＝3＋1时，原式＝ 3. 方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．

探究点二：分式的乘方

【类型一】 分式的乘方运算

下列运算结果不正确的是( )

A ．(8a 2bx 26ab 2x )2＝(4ax 3b )2＝16a 2x 29b 2

B ．[－(x 3

2y )2]3＝－(x 32y )6＝－x 1864y

6 C ．[y －x （x －y ）2]3＝(1y －x )3＝1（y －x ）

3 D ．(－x n y 2n )n ＝x 2n y

3n

解析：A 、B 、C 计算都正确；D 中(－x n

y 2n )n ＝(－1)n xn 2y 2n 2

，原题计算错误．故选D. 方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．

【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算

计算：

(1)(－x 2

y )2·(－y 2x )3·(－1x

)4； (2)（2－x ）（4－x ）x 2－16÷(x －24－3x )2·x 2

＋2x －8（x －3）（3x －4）

. 解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简． 解：(1)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·1x 4＝－y 4

x

3； (2)原式＝（x －2）（x －4）（x ＋4）（x －4）·（3x －4）2

（x －2）2·（x －2）（x ＋4）（x －3）（3x －4）＝3x －4x －3

. 方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．

三、板书设计

1．分式的乘除法则

两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母．两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

2．分式的乘方法则 分式的乘方就是把分子、分母分别乘方．即(a b )n ＝(ab －1)n ＝a n ·b －n ＝a n b

n . 四、教学反思

本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．采用这种温故知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．通过回忆乘法的定义，结合分式的乘除法进行练习，这样不仅加深了学生对知识的理解和记忆，而且锻炼了他们的数学表达能力，为以后的学习打下基础