北师大版八年级数学下册知识点总结
北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。
6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。
）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。
八年级下册数学北师大版知识点总结
八年级下册数学北师大版知识点总结一、三角形的证明。
1. 等腰三角形。
- 性质：- 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角）。
- 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
- 判定：- 有两边相等的三角形是等腰三角形。
- 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
2. 等边三角形。
- 性质：- 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都等于60°。
- 判定：- 三条边都相等的三角形是等边三角形。
- 三个角都相等的三角形是等边三角形。
- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3. 直角三角形。
- 性质：- 直角三角形的两个锐角互余。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
- 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边）。
- 判定：- 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
4. 线段的垂直平分线。
- 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
- 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
- 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5. 角平分线。
- 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
- 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
- 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
二、不等式（组）1. 不等式的基本性质。
- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2. 一元一次不等式。
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式。
初二数学北师大版知识点总结
初二数学北师大版知识点总结学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
如果说学习一定有捷径，那只能是勤奋，因为努力永远不会骗人。
学习需要勤奋，做任何事情都需要勤奋。
下面是小编给大家整理的一些初二数学的知识点，希望对大家有所帮助。
初二下学期数学知识点分式一.概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式(fraction)。
二.基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
三计算法则：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
四.分式乘方要把分子、分母分别乘方。
a^-n=1/a^n(a≠0)这就是说，a^-n(a≠0)是a^n的倒数。
五.分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。
第十七章反比例函数一.概念形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数(inverseproportionalfunction)。
二.性质：反比例函数的图像属于双曲线(hyperbola)。
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
第十八章勾股定理一.概念勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
二.命题：经过证明被确认正确的命题叫做定理(theorem)。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
(例：勾股定理与勾股定理逆定理)第十九章四边形一.平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)
专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
北师大版八年级数学下册知识点总结
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a bx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
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第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定 性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的___一__半____； 性质(2)：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一 不等式的性质 例1 ＞
＞
＜ ＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的 方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二 一元一次不等式(组)的解法 例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与 技能
全等三角形
等腰三角形 及直角三角
形
直角三角形 和勾股定理
及逆定理
线段的垂直 平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24
北师大版初中数学各册章节知识点总结
北师大版初中数学七年级(上册)各章标题第一章丰富图形世界第二章有理数第三章字母表示数第四章平面图形及位置关系第五章一元一次方程第六章生活中的数据第七种可能性北师大版初中数学七年级(下册)各章标题第一章：整式的运算第二章平行线与相交线第三章生活中的数据第四章概率第五章三角形第六章变量之间的关系第七章生活中的轴对称北师大版初中数学八年级(上册)各章标题第一章勾股定理第二章实数第三章图形的平移与旋转第四章四边形性质探索第五章位置的确定第六章一次函数第七章二元一次方程组第八章数据的代表北师大版初中数学八年级(下册)各章标题第一章一元一次不等式和一元一次不等式组第二章分解因式第三章分式第四章相似图形第五章数据的收集与处理第六章证明北师大版初中数学九年级(上册)各章标题第一章证明（二）第二章一元二次方程第三章证明（三）第四章视图与投影第五章反比例函数第六章频率与概率北师大版初中数学九年级(下册)各章标题第一章直角三角形边的关系第二章二次函数第三章圆第四章统计与概率北师大版初中数学七年级(上册)各章知识点第一章丰富图形世界1、生活中常见的几何体：圆柱、、正方体、长方体、、球2、常见几何体的分类：球体、柱体（圆柱、棱柱、正方体、长方体）、锥体（圆锥、棱锥）3、平面图形折成立体图形应注意：侧面的个数与底面图形的边数相等。
4、圆柱的侧面展开图是一个长方形；表面全部展开是两个和一个；圆锥的表面全部展开图是一个和一个；正方体表面展开图是一个和两个小正方形，；长方形的展开图是一个大和两个。
5、特殊立体图形的截面图形：(1)长方体、正方形的截面是：三角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、五边形、。
(2)圆柱的截面是：、圆(3)圆锥的截面是：三角形、。
(4)球的截面是：6、我们经常把从看到的图形叫做主视图，从看到的图叫做左视图，从看到的图叫做俯视图。
7、常见立体图形的俯视图几何体长方体正方体圆锥圆柱球主视图正方形长方形俯视图长方形圆圆左视图长方形正方形8、点动成，线动成，面动成。
(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合
一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。
北师大版八年级下册数学期末知识点复习
北师大版八年级下册数学期末知识点复习八年级下册数学考试知识点复第一章证明（二）一、全等三角形的判定及性质全等三角形的性质是对应相等，即对应的角相等，对应的边相等。
判定全等三角形有五种方法：SSS（分别相等的三边）、SAS（分别相等的两边和它们夹角的正弦值相等）、ASA（分别相等的两角和夹角中间的边）、AAS（分别相等的两角和它们夹角的正弦值相等）、HL（分别相等的斜边和一个直角边的长度）。
等腰三角形的性质是两个底角相等，即等边对等角。
判定等腰三角形有一个角等于另一个角，即等角对等边。
等腰三角形还有一个推论是互相重合，即两个等腰三角形的两个底边相等，两个等腰角也相等。
等边三角形的性质是三个角都相等，每个角都等于60度，是轴对称图形，有一条对称轴。
判定等边三角形有两个方法：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形。
直角三角形的勾股定理是直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
含30度的直角三角形的边的性质是如果一个锐角等于30度，那么它所对的斜边等于另一条直角边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
线段的垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
判定线段垂直平分线的方法是到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等。
角平分线的性质是角平分线上的点到角的两边距离相等。
判定角平分线的方法是到一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等，叫做内心。
二、一元一次不等式和一元一次不等式组不等关系是数学中的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。
一元一次不等式是形如ax+b>c的不等式，其中a、b、c都是实数，且a不等于0.解一元一次不等式可以用图像法或代数法，将不等式变形为x>或x<的形式。
北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]北师大版八年级下册数学重难点突破：等腰三角形（基础）研究目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的定义和概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法及其证明过程，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题。
要点梳理：要点一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A 是顶角，∠B、∠C是底角。
要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。
2.等腰三角形的对称性1) 等腰三角形是轴对称图形；2) ∠B＝∠C；3) BD＝CD，AD为底边上的中线；4) ∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
也称为正三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。
要点诠释：1) 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180A/2.2) 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等腰三角形的重要线段性质之一是“等腰三角形三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合。
北师大版初二数学下册知识点归纳
【导语】学会整合知识点。
把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡⽚，会让你的⼤脑、思维条理清醒，⽅便记忆、温习、掌握。
同时，要学会把新知识和已学知识联系起来，不断糅合、完善你的知识体系。
这样能够促进理解，加深记忆。
下⾯是为您整理的《北师⼤版初⼆数学下册知识点归纳》，仅供⼤家参考。
北师⼤版初⼆数学下册知识点归纳篇⼀ 第⼀章分式 1分式及其基本性质分式的分⼦和分母同时乘以(或除以)⼀个不等于零的整式，分式的只不变 2分式的运算 (1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，⽤分⼦的积作为积的分⼦，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分⼦、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分⼦相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 3整数指数幂的加减乘除法 4分式⽅程及其解法 第⼆章反⽐例函数 1反⽐例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/x(k不为0) 性质：两⽀的增减性相同; 2反⽐例函数在实际问题中的应⽤ 第三章勾股定理 1勾股定理：直⾓三⾓形的两个直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅ 2勾股定理的逆定理：如果⼀个三⾓形中，有两个边的平⽅和等于第三条边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
第四章四边形 1平⾏四边形 性质：对边相等;对⾓相等;对⾓线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形; 两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形; 对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形; ⼀组对边平⾏⽽且相等的四边形是平⾏四边形。
推论：三⾓形的中位线平⾏第三边，并且等于第三边的⼀半。
2特殊的平⾏四边形：矩形、菱形、正⽅形 (1)矩形 性质：矩形的四个⾓都是直⾓; 矩形的对⾓线相等; 矩形具有平⾏四边形的所有性质 判定：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形;对⾓线相等的平⾏四边形是矩形; 推论：直⾓三⾓形斜边的中线等于斜边的⼀半。
北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结
第一章 三角形的证明第1节 等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理1 全等三角形的对应边相等。
定理2 全等三角形的对应角相等。
推论1 全等三角形的面积相等。
推论2 全等三角形的周长相等。
2、全等三角形的判定公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
（HL ）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
（三线合一） 推论2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。
【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b ＜a ＜2C ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1 等边三角形的三条边都相等。
定理2 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。
2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
北师大版八年级数学下册等腰三角形知识点整理及重点题型梳理
八年级数学等腰三角形知识点整理及重点题型梳理一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。
常见题：已知两边长和第三边，求周长。
例题：两条边长分别为3和4，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
二、 等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知AB=AC ，∠B=∠C 等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。
注意：只有等腰三角形才有三线合一。
[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=DC=AD ，求：△ABC 各角的度数．D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4. [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）． 练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等21EDABDCAB的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？(1)EDCA B (2)分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 二、例题例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()AB AE ABC AED BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ）∴AC=AD （全等三角形的对应边相等） 又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）EDCABF ∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合） 三、练习 （一）、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和7cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．18cm 或15cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．40° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图1，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°E DCABHFG如图1答案:1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 如图2 （二）、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．12．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 答案:6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里 （三）、解答题15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB16．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB17．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF答案:15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． ABDC AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD ．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．D C AEBDCA二、练习（一）、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形DA B F21EDCAB4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B（二）、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．答案：6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm （三）、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ， •求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA答案：10．60°或120°11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ． 又∵BC=AC ，CE=CD ， ∴△BCE ≌△ACD ； ②证明△BCF ≌△ACH ； ③△CFH 是等边三角形．13．连接CE ，先证明△BCE ≌△ACE 得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE 得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目： 求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. （2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。
北师大版八年级下册数学[直角三角形----知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直角三角形----知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-. （4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. ③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、（2016春•卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．【答案】5或．【解析】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或，故答案为5或．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．2、（2015春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE ．从而设BE 即可表示AE ．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm ，则BE=DE=x ，AE=AB ﹣BE=10﹣x ，△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2，即x 2=（10﹣x ）2+16． ∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm. 【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝23，CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°， 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】（2015春•厦门校级期末）在四边形ABCD 中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC 的度数．【答案】解：连接BD ，∵AB=AD=2，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=2，∠ADB=60°， ∵BC=2，CD=4，则BD 2+CD 2=22+42=20，BC 2=（2）2=20， ∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15cm ．5、（2015春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，因为AB=20海里，所以AB 2=OB 2+OA 2，即202=162+122，所以△OAB 是直角三角形，又因为∠1=45°，所以∠2=45°，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C．【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C．等腰三角形两底角相等D．两个全等三角形的对应角相等【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB=AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ． 求证：AD=AE ．【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB ≌△AEB 即可． 【答案与解析】证明：∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴∠ADB=90°，∵AE ⊥EB ，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB 平分∠DAE ，∴∠EAB=∠DAB ；在△ADB 与△AEB 中，90EAB DAB E ADB AB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB （AAS ），∴AD=AE ．【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，分别过B 、C 向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图①过A 的直线与斜边BC 不相交时，求证：EF=BE+CF ；（2）如图②过A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案与解析】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EA+AF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF-CF=10-3=7．【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．。
北师大版数学八年级知识点总结
一、代数表达式与简单方程式1.代数表达式的定义和基本性质2.多项式的定义和运算3.一元一次方程式的解法及应用4.解一元一次方程组的常用方法5.实际问题中的一元一次方程式与方程式解法的应用6.一元一次方程式的应用和拓展二、数与式1.实数与有理数2.无理数3.幅数与科学计数法4.根与幂5.相反数与绝对值6.指数与对数三、二元一次方程组1.二元一次方程组与解法2.解三元一次方程组的常用方法3.实际问题中的二元一次方程组及解法的应用4.一次不等式组与解法5.二元不等式组与解法四、比例与类比1.比与比例的概念2.比例的变化、比例等式及其应用3.列比例方程与解法4.各种图形的成比例与相似5.平行线分线段五、多角形1.多边形的定义和性质2.角的度量与作图3.三角形的定义和性质4.三角形的分类与判定5.三角形的面积6.梯形、平行四边形和菱形的性质与面积六、三角形的相似1.直角三角形的性质和应用2.三角形的相似及其判定3.三角形的相似定理与应用4.三角形的黄金分割点与黄金三角5.分数比例与比例的复调和七、平移与轴对称1.平移的定义和性质2.轴对称的定义和性质3.平移与轴对称的关系及应用4.以点为旋转中心的旋转八、投影与视图1.平面的投影与剖视图2.空间的投影与展开图3.空间的视图及应用九、统计常用图形1.条形统计图的绘制和应用2.饼形统计图的绘制和应用3.折线统计图的绘制和应用4.瞬时图和比率图的绘制和应用5.统计实际问题的分析和解答十、集合与cd-ua映射1.集合的概念和运算2.集合的关系与运算律3.点的坐标与集合的关系4. cd-ua映射与映射公式5.映射特例与应用。
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八年级下册数学各章节知识点总结第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,c b c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为ab x >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <; 5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: ac=+ab+)a(cb2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:+ma-mb=-+a)mc(cbm3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22b a b a b a -+=-(2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-3. 因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底.4. 运用公式法:(1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正可负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.五. 十字相乘法:1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅= ,21c c c ⋅=, 且满足1221c a c a b +=,往往写成c 2a 2c 1a 1 的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++2. 二次三项式q px x ++2的分解:))((2b x a x q px x ++=++ab q b a p =+=q px x ++2分解因式时,如果常数项q 3. 规律内涵:(1)理解:把是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.(2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章 分式一. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B A 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有:⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.)0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二. 分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.b a 11即: BD AC D C B A =⋅, CB D ACD B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n n B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛成立. 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三. 分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:CB AC B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减; 上述法则用式子表示是:BD BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.四. 分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程; ③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.第四章 相似图形一. 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. 2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a,b a 与a b 互为倒数;⑤比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a = 二. 黄金分割 1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四. 相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五. 相似三角形1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.3. 全等三角形是相似三角形的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.5. 相似三角形周长的比等于相似比.6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件1. 相似三角形的判定方法:_ 图1 _ B _ C _ A基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EF BC DE AB .3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的放大与缩小1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似变换: ①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章 数据的收集与处理一. 每周干家务活的时间_ 图2_F _E _ D _ C _ B _ A _ l _ 3_ l _ 2_ l _ 11. 所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.二. 数据的收集1. 抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章证明(一)一. 定义与命题1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.二. 为什么它们平行1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.三. 如果两条直线平行1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.四. 三角形和定理的证明1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°2. 一个三角形中至多只有一个直角3. 一个三角形中至多只有一个钝角4. 一个三角形中至少有两个锐角五. 关注三角形的外角1. 三角形内角和定理的两个推论:推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.。