复合导数的求导

复合导数的求导

复合函数指的是由两个或多个函数构成的函数，例如f（x）= g（h（x））就是一个复合函数。对于复合函数的求导，我们需要运用链式法则。

链式法则：如果y = f（g（x）），那么y的导数可以表示为dy/dx = dg/dx * df/dg。

换句话说，链式法则告诉我们，如果y是由两个或多个函数g和f组合而成的，那么y 的导数可以通过对每个函数执行单独的导数计算，然后将它们相乘得到。

二、复合函数的高阶导数

复合函数的高阶导数可以通过重复应用链式法则来计算。首先，我们需要计算的是一阶导数，然后再利用这一阶导数计算二阶导数，以此类推。

然后，二阶导数可以计算如下：

y'' = f''（g（x））* g'（x）^2 + f'（g（x））* g''（x）

依此类推，我们可以计算出更高阶的导数。

三、复合函数的实例

下面通过一个实例来演示如何求解复合函数的导数。

例： y = e^(x^2-1)

首先，我们需要将y表示为复合函数，其中一个函数为g（x）= x^2 – 1，另一个函数为f（x）= e^x。

然后，我们需要分别计算出g（x）和f（x）的导数，并带入链式法则公式中来计算y 对x的导数：

g’（x）=2x

f’（x）=e^x

因此，y对x的导数为2xe^(x^2-1)。

接下来，我们可以通过重复应用链式法则来计算复合函数的高阶导数。

例如，我们想求解y对x的二阶导数，可以进行如下计算：

y'' = 2e^(x^2-1) + 4xe^(x^2-1)

四、总结