直线的倾斜角和斜率直线方程的点斜式直线方程的斜截式
直线的点斜式斜截式方程
9、已知直线l : ( 3a 1) x ( a 2) y 1 0 (1)求证：对a R，l 恒过第一象限 ( 2)若 l 不过第二象限，求 a 的取值范围
10、过点 M (0,1)的直线 l，使它被 直线l1 : x 3 y 10 0, l2 : 2 x y 8 0 所截得的线段恰好被 M平分， 求直线 l 的方程
直线方程的两点式不能 表示哪些直线？
怎么弥补缺陷？
我 们 推 导 两 点 式 是 通点 过斜 式 的 ， 还有其他推导方法吗？
利用三点共线，斜率相等 或 共线向量
直线方程的两点式和截 距式
新课
直线的方程—两点式、截距式
直线方程的截距式
特殊地，当直线 l 经过点 A(a ,0)，B(0, b) y0 xa 时的方程为 b0 0a
5、ac 0, bc 0, 直线a x by c 0 不通过第( )象限 A 一 B 二 C 三 D 四
6、过点（ 5， 2 ），且在x轴上的截距是在 y轴上的 截距的2倍的直线方程
7、证明直线 ax y 5a 2 0(a R)必过定点
8、证明直线 ax by 5a 2b 0 (a , b R且a b 0)必过定点
4、已知点P (6,4)，l：y 4 x，点Q在 直线 l上(Q在第一象限)直线 PQ交 x 轴正半轴于点M，要使 OMQ 的面积最小，求点Q 的坐标
复习
直线的方程—一般式
1 、直线的倾斜角、斜率
斜 y1 k ( x x1 ) 2 、直线方程的y 点 式
y y1 x x1 4 、直线方程的两点式 y 2 y1 x 2 x1 x y 5 、直线方程的截 式 距 1 a b
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
数学高一专题 倾斜角与直线方程
数学高一专系列之 倾斜角与直线方程一、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα二、直线的斜率公式:三、直线方程：1.点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =2.斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距3.两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 注意！①当l 的0α=时,l 的方程为1y y = ②当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =4.截距式：1x ya b+= 其中,a b 分别是直线在x 轴和y 轴上的横截距和纵截距,简称截距. 注意！①当l 的a 不存在,b 存在时,l 的方程为y b = ②当l 的b 不存在, a 存在时,l 的方程为x a =③当l 的a 、b 都存在, 且都为零时,l 的方程为y kx =其中k 为直线的斜率. 5.直线方程的一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠ （1）任何一条直线的方程都是关于x 、y 的一次方程（2）任何关于x 、y 的一次方程0Ax By C ++=22(0)A B +≠表示直线四、求直线方程：题型一：基础题型1．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由A ·C <0及B ·C <0，可知A ≠0，B ≠0， 又直线Ax ＋By ＋C ＝0过(－C A ，0)，(0，－C B )，且－C A >0，－CB >0，∴直线不过第三象限．变式练习1.光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 [答案] D[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.3．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.题型二：能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[答案] B[解析] 设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－5－1＝－13.2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．3.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 [答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确； 对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍．即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 变式练习1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1. 令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 2.已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0. (3)由l 的方程得，A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2kk|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法课后练习1．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0 [答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α， 则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 易知A (－1,0)． ∵|P A |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵P A ，PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.3.已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.4.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] 设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A ．0 B ．33C ． 3D ．－ 3[答案] C[解析] k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.6.点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎣⎡⎦⎤14，1 D ．⎝⎛⎭⎫14，1 [答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.7.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8.直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝A ．直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.。
2018届数学复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程学案文
错误!错误!1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式,两点式及一般式等），了解斜截式与一次函数的关系．知识点一直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角（1)定义：当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．(2）倾斜角的范围为________．2．直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．（2）过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝________。
答案1．(1)正向向上0°（2）[0°，180°）2．(1）正切值tanα(2）错误!1．直线2x＋1＝0的倾斜角为________．解析:直线2x＋1＝0的斜率不存在，倾斜角为90°。
答案:90°2．过点M（－2，m），N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析:由题意知,错误!＝1，解得m＝1。
答案：A知识点二直线方程1．直线方程的五种形式2。
线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2）,线段P1P2的中点M的坐标为(x，y），则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．答案1．y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0)错误!＝错误!错误!＋y b＝1 2。
错误! 错误!3．已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为－错误!。
则直线l 的方程为( ）A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：由点斜式得y －5＝－错误!(x ＋2），即3x ＋4y －14＝0.答案：A4．已知直线l :ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ）A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析:当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝错误!,得a ＝－2或a ＝1。
直线的5种形式
直线的5种形式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线是平面几何中非常基础的概念，它是二维空间中最简单的图形之一。
直线在几何学和数学中有着非常重要的作用，是许多几何问题的基础。
在这篇文章中，我们将会介绍关于直线的五种形式，包括点斜式、截距式、一般式、两点式和向量式。
点斜式是描述直线的一种常用形式，它使用一点和直线的斜率来表示直线。
点斜式的表达形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b 是直线在y轴上的截距，而(x, y)则是直线上的一个任意点。
通过点斜式，我们可以很容易地确定直线的斜率和截距，从而方便地画出直线的图像。
直线有很多种不同的表示形式，每种形式都有其自身的优势和适用范围。
通过学习不同的直线表示形式，我们可以更深入地理解直线的性质和特点，也可以更有效地应用直线相关的知识解决问题。
希望这篇文章能够帮助您更好地理解直线的五种形式，进一步提高您的几何学和数学水平。
第二篇示例：直线是几何学中最基本的图形之一，它具有无穷长度，但宽度可以忽略不计。
直线在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，是研究几何学特性和分析空间关系的基础。
在几何学中，有五种常见的形式来描述直线，分别是点斜式、截距式、一般式、两点式和向量式。
接下来，我们将逐一介绍这五种形式。
第一种形式是点斜式。
点斜式是直线的一种常见表示方法，它通过直线上的一点和直线的斜率来确定直线的方程。
点斜式的一般形式为y=mx+b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
通过给定点和斜率，我们可以方便地确定一条直线的方程。
第三种形式是一般式。
一般式是直线的一种标准表示方法，它通过直线的一般方程Ax+By+C=0来描述。
一般式可以方便地表示直线的方向、位置和关系，是直线方程的标准形式。
通过对一般式的系数进行适当选择，我们可以得到点斜式、截距式等其他形式。
直线可以通过多种形式来描述，每种形式都有其独特的特点和应用范围。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的直线表示方法，以便更好地理解和应用直线的几何特性。
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
直线方程的五种形式(包括哪五种)
直线方程的五种形式（包括哪五
种）
大家好，小乐为大家解答以下问题。
很多人不知道线性方程的五种形式，包括哪五种。
现在让我们来看看！
一、直线方程的五种形式
1、1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。
2、2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3、3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4、4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5、5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
二、五种形式的注意事项
6、一般式为ax+by+c=0，它的优点就是它可以表示平面上的任意一条直线，仅此而已。
其它式都有特例直线不能表示。
比如：
7、1：斜截式y=kx+b，就不能表示垂直x轴的直线x=a.
8、2：点斜式y-y0=k(x-x0)，也不能表示垂直x轴的直线x=a
9、3：两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
不能表示两点x1=x2或y1=y2时的直线（即垂直或水平直线）
10、4：截距式x/a+y/b=1不能表示截距为0时的直线，比如正比例直线。
本文到此结束，希望对你有所帮助。
高中数学必修2直线方程
一、知识要点: 1. 倾斜角与斜率2. 直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它形式转化的条件）3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式 5. 对称问题(点对称、轴对称)二、基础知识练习：1. 直线倾斜角的取值范围___________, 过两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的斜率公式______________2．x=1的倾斜角为__________,直线310x +=的倾斜角是__________,90α=时的斜率_________.3. 直线方程的点斜式方程_________________,直线方程的斜截式方程_________________,直线方程的两点式方程_________________,直线方程的截距式方程_________________,直线方程的一般式方程_______________,与x 轴垂直的直线方程___________,与y 轴垂直的直线方程___________.4.已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,若1l ∥2l ,则__________________,若1l ⊥2l ,则______________;已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,若1l ∥2l ,则_________________ ,若1l ⊥2l ,则______________.5. 与:0l Ax By C ++=平行的直线可设为______________ ,与:0l Ax By C ++=垂直的直线可设为____________________.6. 平面上任意两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式__________________________, 点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d=_________________,两条平行直线1:0l Ax By C ++=与2:0l Ax By C ++=间距离为d=________________.7.两平行直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是________________.三、基础应用：1.下列命题正确的有 :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:22=-+-+a y a x l ;21//l l 时，a=__________;这时它们之间的距离是________;21l l ⊥时，a=________ 3．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行； (2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； (3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；(5) 经过点N(-1,3)且在x 轴的截距与它在y 轴上的截距的和为零.4．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B 求△AOB 面积为4时l 的方程；四、巩固练习 1．直线,031=-+-k y kx 当k 变动时，所有直线都过定点（ ）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）2.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有 ( )A.3条B. 2条C. 1条D. 0条 3.到x 轴、y 轴和直线02=++y x 的距离相等的点有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 如果直线02=+-y ax 与直线03=--b y x 关于直线0=-y x 对称，则（ ）A. 31=a , 6=b B. 31=a , 6-=b C. 3=a 2-=b D. 3=a , 6=b5．已知点M （4，2）与N （2，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 （ ）A ．06=++y xB ．06=-+y xC ．0=+y xD ．0=-y x6．设三条直线0123201832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 和围成直角三角形，则m 的取值是 ( ）A ．01或±B ．或094－C ．941,0或－-D ．941-或－ 7.与两平行直线：1l ：;093=+-y x l 2：330x y --=等距离的直线方程为 .8.直线l 方程为08)2()23(=+-++y m x m ，若直线不过第二象限，则m 的取值范围是 . 9.一束光线从点(1,1)A -出发,经x 轴反射到点(2,3)O ,光线经过的最短路程是 ；10．已知132=-n m ，则直线5=+ny mx 必然过定点___________.11．△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程 为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．1．直线L ：ax+4my+3a=0 (m ≠0)过点(1 , -1)，那么L 的斜率为 （ ）A ．41B ．-4C ． -41D ．4 2．两平行直线分别过（1，5），（－2，1）两点，设两直线间的距离为d ，则（ ）A ．d=3B ．d=4C ．3≤d ≤4D ．0<d ≤53.过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ）Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．３条 Ｄ．４条4.等腰ABC ∆的三个顶点的坐标是A(-3,4),B(-5,0)C(-1,0),则BC 边的中线AD 的方程（ ）A. x=-3B.y=-3C.x=-3(40≤≤y )D.y=-3 (51x -≤≤-) 5．如果直线012=-+ay x 与直线01)13(=---ay x a 平行，则a 等于 （ ）A ．0B ．61C ．0或1D ．0或61 6.已知直线l 过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的方程为 .7.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 .8.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 .9．直线01)2(:05)1(:21=-++=+-+my x m l y m mx l 与互相垂直，则m 的值是 . 10.已知直线l 与直线3x+4y －7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程。
高考一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程
第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0． 解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22， 故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
24 32
整理得2x+y-8=0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
【题组练透】
1.直线x+ 3 y+1=0的倾斜角是
A.
B.
6
3
C. 2 3
D. 5 6
()
【解析】选D.由直线的方程得直线的斜率为k=- 3 ,
3
设倾斜角为α,则tan α=- 3 ,所以α= 5 .
(2)范围:直线l倾斜角α 的取值范围是 _[_0_,_π__)_(_或__{_α__|_0_°__≤__α__<_1_8_0_°__}_)_. 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α 的_正__切__值__叫做这条直线 的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=_t_a_n_α__,倾斜角 是90°的直线斜率不存在.
1.(2019·邯郸模拟)过点(2,1),且倾斜角比直线
y=-x-1的倾斜角小 的直线方程是
4
A.x=2
B.y=1
C.x=1
() D.y=2
【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角
为 3 .由已知,所求直线的倾斜角为 3 ＝，
4
4 42
斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.
3.直线方程的应用 设直线方程时,只有在斜率存在时才可设成点斜式或斜 截式,否则要根据斜率是否存在分两种情况讨论. 当直线的斜率可能不存在,但一定不为0时,直线方程可 设为x=ay+m,a∈R.x=ay+m适用于除垂直于y轴以外的所 有直线.
【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( ) (2)斜率公式k= y2 y1 ,不适用于垂直于x轴和平行于
直线方程和圆的方程概念和知识点总结
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°3．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝1212x x y y --.两条直线(不重合)平行的判定两条直线垂直的判定l∥l(两直线的斜率都存在)⇔l的斜率不存在，l的斜率为0直线的方程直线的点斜式方程和斜截式方程y－y＝k(x－x)y＝kx＋b直线的两点式方程和截距式方程直线的一般式方程关于x 和y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化直线的五种形式的方程比较两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A(a ，b)． (1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0 .(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有⎩⎨⎧=++=++00222111C b B a A C b B a A2．两直线的位置关系两点间的距离公式公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式21P P =212212)()(y y x x -+-.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2) 原点O(0,0)与任一点P (x ，y )的距离22y x OP +=.点到直线的距离、两条平行线间的距离点P (x ，y )到直线两条平行直线圆的标准方程(1)条件：圆心为C (a ，b )，半径长为r . (2)方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r 的圆的方程是x 2＋y 2＝r 2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．＝0表示的图形2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F直线与圆的位置关系：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断直线与圆相切1.圆的切线方程的几个重要结论：（1）经过圆222r y x =+上一点P （x 0 , y 0）的圆的切线方程为200r y y x x =+。
点斜式与斜截式课件
点斜式的局限性
总结词
点斜式直线方程只适用于描述通过特定点和斜率的直线，对于其他类型的直线则 无法准确描述。
详细描述
点斜式直线方程只能表示一条通过特定点和斜率的直线，不能描述其他类型的直 线，如平行线、垂直线等。此外，对于斜率为0的直线也无法用点斜式直线方程 来表示。因此，在使用点斜式直线方程时需要注意其局限性。
03
斜截式直线方程
斜截式的定义
01
斜截式是一种直线方程的表达方 式，形式为y = kx + b，其中k为 斜率，b为截距。
02
斜截式与点斜式不同，点斜式需 要知道直线上的一点和斜率来定 义直线，而斜截式只需要知道斜 率和截距就可以定义直线。
斜截式的应用
斜截式在解决实际问题中有很多应用，比如速度与时间的关系、价格与数量的关系 等。
直线方程在几何中的应用
直线与圆的位置关系
利用直线方程判断直线与圆的位置关系，如相交、相切或相离。
等角定理
利用直线方程证明角度相等或互补。
三角形内角和定理
利用直线方程证明三角形内角和为180度。
直线方程在物理中的应用
运动学
利用直线方程描述物体的运动状态，如速度、加 速度和位移。
静力学
利用直线方程解决物体受力平衡问题，如力的合 成与分解。
数学学习的拓展
通过深入学习直线方程，可以进一步探索数学学习的奥秘，提高数学思维能力 ，为未来的学习和职业发展打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
详细描述
点斜式直线方程通常表示为 y y1 = m(x - x1)，其中 m 表示直 线的斜率，(x1, y1) 表示直线上的 一个点。这个公式可以用来描述 通过给定点和斜率的直线。
直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法
直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法承接上次课：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..斜率：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.时，斜率不存在。
当时，当的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2,0 (πααααππαααπα===<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y yk x x-=-. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D )A. k 1< k 2 <k 3B. k 3< k 1 <k 2C. k 3< k 2 <k 1D. k 1< k 3 <k 2例题2：若经过P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ）A、1B、4C、1或3D、1或4例题3：若A（3，－2），B（－9，4），C（x，0）三点共线，则x=（ B ）A、1B、－1C、0D、7例题4：直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ）A、45°B、135°C、45°或135° D、－45°例题5：若经过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围. 解：(-2,1)学习小结：1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角α 直线的斜率k直线的斜率公式 定 义 αtan =k 1212xx yy k --= 取值范围[0,180)︒),(+∞-∞ )(21x x ≠题型一：已知两点坐标求直线斜率例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4)（3） (-2,-3)，(-2,3)题型二：求直线的倾斜角例题2：设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( D ) A.︒+45α B.︒-135αC.α-︒135D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354345430αππααπα，为），；当）时，为，当 例题3：变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β=不存在)3(35)2(23)1(-==k k 000==-=∈βααπβπα，当，），，（当题型三：斜率与倾斜角关系例题4：当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围：1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-k题型四：利用斜率判定三点共线例题5：已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。
直线的点斜式方程 高中数学新教材人教A版
课堂检测
3．写出下列直线的斜截式方程;
(1)斜率是
3
，在y轴上的截距是−2;
2
3
=
−2
2
(2)斜率是−2 ，在y轴上的截距是4.
= −2 + 4
课堂检测
4.判断下列各对直线是否平行或垂直:
(1)1 : =
(2)1 : =
1
1
+ 3，2 ：y = − 2；
2
2
5
3
，2 ： = − ；
1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 = −1.
注意：只有斜率
相等不能保证直
线平行，还要说
明它们过两个不
同的点，否则有
可能重合.
直线的斜截式方程
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存
在，只要已知直线斜率，与y轴交点，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需
3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学
运算)
学习重难点
重点:直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.
难点:用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜
率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.
直线的点斜式方程
我们知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．这样，在平面
(1)直线l上每一个点的坐标(x，y)都
满足关系式 − 0 = − 0 ;
(2)坐标满足关系式 − 0 =
− 0 的每一个点都在直线l上.
若点1 1 , 1 的坐标1 ，1 满足关系式 − 0 = − 0 ,则
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式直线方程的点斜式.斜截式.两点式和截距式一.教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点,会求直线的方程;给出直线的点斜式方程,能观察直线的斜率和直线经过的定点;能化直线方程成截距式,并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡.两点式方程向截距式方程的过渡,训练学生由一般到特殊的处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二.教材分析1．重点:由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,截距式方程是两点式方程的特殊情况,教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点:在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程,即直线上每个点的坐标都是方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(_-_1)后,点P1的坐标满足方程．三.活动设计分析.启发.诱导.讲练结合．四.教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k,并且经过点P1(_1,y1),直线是确定的,也就是可求的,怎样求直线l的方程(图1-24)?设点P(_,y)是直线l上不同于P1的任意一点,根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异:点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面的过程逆推,可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,所以这个方程就是过点P1.斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25),k=0,直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于_1,所以它的方程是_=_1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b,斜率为b,求直线的方程．这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率k,求直线的方程,是点斜式方程的特殊情况,代入点斜式方程可得:y-b=k(_-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程?因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(_1,y1).P2(_2,y2),(_1≠_2),直线的位置是确定的,也就是直线的方程是可求的,请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成请同学们给这个方程命名:这个方程是由直线上两点确定的,叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标轴平行(_1=_2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用_代换得到,足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在_轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0,b≠0),求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题,由学生自己完成．解:因为直线l过A(a,0)和B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得就是学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名:这个方程是由直线在_轴和y轴上的截距确定的,叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程;(2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在_轴和y 轴上的截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5,0).B(3,-3).C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式.简化运算上多下功夫．解:直线AB的方程可由两点式得:即 3_+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径: 由斜截式得:即 5_+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2_+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式.斜截式.两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五.布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程,并画出图形:(1)经过点A(2,5),斜率是4;(4)经过点D(0,3),倾斜角是0°;(5)经过点E(4,-2),倾斜角是120°．解:2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程,试根据方程确定各直线经过的已知点.直线的斜率和倾斜角:解:(1)(1,2),k=1,α=45°;(3)(1,-3),k=-1,α=135°;3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程:(2)倾斜角是135°,y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图．(1)P1(2,1).P2(0,-3);(2)A(0,5).B(5,0);(3)C(-4,-3).D(-2,-1)．解:(图略)六.板书设计。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系 点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称2．双曲线焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ， 即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d => 范围 或x a ≤-x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b =对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长；②弦长公式） （消 ） （消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=图形3.抛物线五、.直线与圆锥曲线的关系 1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相交?⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin pAB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P +=。
对直线的倾斜角和斜率及直线方程的理解
对直线的倾斜角和斜率及直线方程的理解（833200）新疆奎屯市第一高级中学 特级教师 王新敞在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）；倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量. 向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率.特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1).求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α.②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k =1212x x y y --. ③方向向量法：若a =（m ，n ）为直线的方向向量，则直线的斜率k =mn . 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctan k ；k ＜0时，α=π+arctan k . 直线方程的五种形式：①点斜式：)(00x x k y y -=-， ②斜截式：b kx y += ③两点式：121121x x x x y y y y --=--， ④截距式：1=+by a x ，⑤一般式：0=++C By Ax . 例1 已知△ABC 的三个顶点是A （3，－4）、B （0，3）、C （－6，0），求它的三条边所在的直线方程.分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便.由顶点B 与C 的坐标可知点B 在y 轴上，点C 在x 轴上，于是BC 边所在的直线方程用截距式表示，AB 所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC 所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式.解：①因△ABC 的顶点B 与C 的坐标分别为（0，3）和（－6，0），故B 点在y 轴上，C 点在x 轴上，即直线BC 在x 轴上的截距为－6，在y 轴上的截距为3，利用截距式，直线BC 的方程为6-x +3y =1， 化为一般式为x －2y +6=0.②由于B 点的坐标为（0，3），故直线AB 在y 轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB 的方程为y =kx +3.又由顶点A （3，－4）在其上，所以－4=3k +3.故k =－37. 于是直线AB 的方程为y =－37x +3，化为一般式为7x +3y －9=0. ③由A （3，－4）、C （－6，0），得直线AC 的斜率k AC =)6(304----=－94. 利用点斜式得直线AC 的方程为y －0=－94（x +6）， 化为一般式为4x +9y +24=0.例2 已知两直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P （2，3）在已知直线上，∴ 2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0. ∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即2121a a b b --=－32. ∴所求直线方程为y －b 1=－32（x －a 1）. ∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0.点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.例3 一条直线经过点P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x －4y +3=0的倾斜角的2倍；（2）与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小（O 为坐标原点）. 分析：（2）将面积看作截距a 、b 的函数，求函数的最小值即可.解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tan α＝41，tan θ＝tan2α＝158， 从而方程为8x －15y +6=0.（2）设直线方程为a x ＋b y ＝1，a ＞0，b ＞0， 代入P （3，2），得a3＋b 2＝1≥2ab 6，得ab ≥24，从而S △AOB ＝21ab ≥12， 此时a 3＝b 2，∴k ＝－ab ＝－32. ∴方程为2x +3y －12=0.点评：此题（2）也可以转化成关于a 或b 的一元函数后再求其最小值.例4 过点(2,1)作直线l 分别交x,y 轴正并轴于A ，B 两点.(1)当ΔAOB 面积最小时，求直线l 的方程;(2)当|PA|⨯|PB|取最小值时，求直线l 的方程. 解：(1)设所求的直线l 方程为1=+b y a x (a >0,b>0), 由已知112=+ba . 于是221212⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⨯b a b a =41,∴S Δ AOB =ab 21≥4, 当且仅当2112==b a ,即a =4,b=2时取等号, 此时直线l 的方程为124=+y x ,即x+2y─4=0. (2)解法一:设直线l :y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─k 1,0), B(0,1─2k ). 则|PA|⨯|PB|=)11)(44(22k k ++=)1(4822kk ++≥4,当且仅当k 2=1,即k=±1时,取最小值,又k<0,∴k=─1, 此时直线l 的方程为x+y─3=0.解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0<θ<π/2),∴|PA|⨯|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ≥4,∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，|PA|⨯|PB|取最小值4,此时直线l 的斜率为─1,方程为x+y─3=0.点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式.例5 直线l 被两条直线1l :4x+y+3=0和2l :3x─5─5=0截得的线段中点为P (─1,2),求直线l 的方程.解：设点(a,b)在1l 上，依题意，(─2─a,4─b)在直线2l 上,∴⎩⎨⎧=-----=-+05)4(5)2(3034b a b a ,解之得：⎩⎨⎧=-=52b a . 由两点式得直线AB 的方程为:3x+y+1=0.例6 已知两点A （－1，2）、B （m ，3）.（1）求直线AB 的斜率k 与倾斜角α；（2）求直线AB 的方程；（3）已知实数m ∈［－33－1，3－1］，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在，倾斜角α＝2π． 当m ≠－1时，k ＝11+m ， 当m ＞－1时，α＝arctan 11+m ， 当m ＜－1时，α＝π＋arctan 11+m ． （2）当m =－1时，AB ：x =－1，当m ≠1时，AB ：y －2=11+m （x +1）． （3）①当m =－1时，α＝2π； ②当m ≠－1时， ∵k ＝11+m ∈（－∞，－3］∪［33，＋∞）， ∴α∈［6π，2π）∪（2π，3π2］. 故综合①、②得，直线AB 的倾斜角α∈［6π，3π2］. 例7 求满足下列条件的直线l 的方程.⑴在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6. ⑵与直线240x y -+=的夹角为045，且焦点在x 轴上. 解：⑴设直线的方程为13x y a +=-，由题意得1362a ⋅⋅-=，4a ∴=±。
平面几何中的直线方程
平面几何中的直线方程直线方程是平面几何中的重要概念之一。
它描述了平面上所有点的集合，这些点满足特定的数学关系。
本文将深入探讨平面几何中的直线方程，包括一般式、斜截式和点斜式三种常见的表示方式，并讨论它们的应用场景。
一、一般式直线方程一般式直线方程是形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B和C为实数，且A和B不能同时为零。
这种方程的特点是将直线的斜率和截距都包含在常数A、B和C中。
通过一般式直线方程，我们可以推导出直线的斜率和截距。
二、斜截式直线方程斜截式直线方程是形如y = mx + b的方程，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
斜截式直线方程提供了直线的斜率和截距的直观表示方式。
通过斜截式直线方程，我们可以轻松地确定直线在平面上的位置和方向。
三、点斜式直线方程点斜式直线方程是形如y - y1 = m(x - x1)的方程，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
点斜式直线方程通过给定直线上的一个点和直线的斜率，确定了直线方程。
点斜式直线方程的优势在于可以直接利用给定的点和斜率求解直线方程，适用于一些特定的问题求解。
在平面几何中，直线方程具有广泛的应用。
例如，在几何问题中，根据直线方程可以求解直线之间的交点、直线与圆的交点等。
此外，在物理学、工程学等领域，直线方程也被广泛应用于解决实际问题。
通过确定直线的方程，我们可以确定直线在平面上的位置、方向和特性，进而推导出其他与直线相关的几何性质。
总结起来，平面几何中的直线方程是描述直线特性的重要工具。
一般式、斜截式和点斜式是三种常见的表示方式，每种方式都有自己的特点和适用范围。
掌握直线方程的概念和应用方法对于理解和解决几何问题至关重要。
通过对直线方程的研究和应用，我们可以更好地理解平面几何，进而掌握更高级的几何知识和技巧。
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直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2PyxO α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
（2）由公式可知表示直线倾斜程度，可以由直线上两点确点，无需求倾斜角。
（3）当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，α＝90°没有斜率。
（4）利用公式求斜率时，应注意隐含条件x 1≠x 2。
5. 直线的方向向量：定义：直线上的向量及与之平行的向量都称为直线的方向向量。
P P 12→意义：表示直线的方向。
6. 直线方程的点斜式： （1）方程的推导：略()（）方程的形式：2y y k x x -=-11 （3）方程的特殊情况：y ＝y 1（4）不能用点斜式表示的直线：x ＝x 1 7. 直线方程的斜截式： （1）方程的推导：（略） （2）截距的概念：（是坐标不是距离）（3）方程的形式：y ＝kx ＋b （4）方程的特殊情况：y ＝0（5）不能用斜截式表示的直线：x ＝0【典型例题】例1. 已知直线l 的斜率k 满足k>-2，求直线l 的倾斜角的范围。
解：设直线l 的倾斜角为α 由题意知tan α=>-k 2画出且及的图象k k =≤<≠⎛⎝ ⎫⎭⎪=-tan ααπαπ022 由且得：tan ααπαπ=-≤<≠⎛⎝ ⎫⎭⎪202απ=-arctan2由图知，直线倾斜角的范围是或l 022≤<-<<αππαπarctan小结：已知直线l 的斜率的范围，求直线l 的倾斜角的范围时，常先画出函数k =≤<≠⎛⎝ ⎫⎭⎪tan ααπαπ02且的图象，然后再由图象确定倾斜角的范围。
例2. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，AB AB 34l求直线l 的斜率。
解：设直线l 的倾斜角为α，由题意知直线AB 的倾斜角为2αΘtan tan tan 23421342ααα==∴-=k AB ，即：38302tan tan αα+-=解之，得：或tan tan αα==-133Θtan 2002180290ααα>≤<≠，且ooo∴<<∴=04513o o αα，tan∴直线的斜率为l 13小结：由2α的正切值确定α的范围，及由α的范围求α的正切值是本例中易忽略的地方，在解同类型题的过程中应当注意。
例3. 求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R ）的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围。
解：（1）当m ＝2时，x 1＝x 2＝2 ∴直线垂直于轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角l x απ=2（）当时，直线的斜率2212m k m ≠=-l当时，m k >>20∴=-∈⎛⎝ ⎫⎭⎪ααπarctan1202m ，，当时，m k <<20∴=+-∈⎛⎝ ⎫⎭⎪απαππarctan122m ，， 小结：利用斜率公式时，应注意公式的应用范围。
当斜率k ≥0时，直线的倾斜角为arctank ；当k ＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank 。
例4. 求证：A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）三点共线。
证法一：∵A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）()()∴=-----==----=k k AB AC 7121231012，∴=k k AB AC∴直线AB 与直线AC 倾角相同且过同一点A ∴直线AB 与直线AC 为同一条直线 故A 、B 、C 三点共线 证法二：∵A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）()()∴=--=--→→AB AC 3612，，，∴=→→AB AC 3ΘAB AC A →→与共线且起点都为故A 、B 、C 三点共线小结：解法一是利用了直线上任意两个不同的点所确定的斜率都应相等这一思想方法。
解法二利用了共线向量定理，此法较简单，此题还有其他一些解法。
例5. 已知两点A （-3，4）、B （3，2），过点P （2，-1）的直线l 与线段AB 有公共点。
（1）求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）求直线l 的倾斜角α的取值范围。
解：如图所示，因为直线l 与线段AB 有公共点，所以l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PA 。
()()由已知得：，k k PA PB =----=-=---=4132121323（1）∵l 与线段AB 有公共点 ∴k 的取值范围是k ≤-1或k ≥3。
（2）因为l 的倾斜角介于直线PB 的倾斜角和直线PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是arctan3，直线PA 的倾斜角是34π∴≤≤arctan 334απ例6. 如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A k k kB k k k ..123312<<<<C k k kD k k k ..321132<<<<（1995年全国高考题）分析：根据直线的倾斜角与斜率的关系判断。
解：法一根据直线的斜率k 与倾斜角α的关系k ＝tan α（0≤α＜π），由图可见k 2＞k 3＞0＞k 1，故选D 。
法二取特殊值：，，，即可排除、、，从而选。
k k k A B C D 2312131===-例7. 已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况。
（1）0°＜α＜90°；（2）90°＜α＜180°。
分析：本题要讨论的问题有两个：第一，直线斜率的变化情况；第二，直线斜率的绝对值的变化情况。
（2）首先要建立斜率k 与倾斜角α之间的关系以及斜率k 的绝对值｜k ｜与倾斜角α之间的关系，然后讨论变化情况，必要时可先画出函数的图象，根据图象指出直线的斜率及其绝对值的变化情况。
（3）用函数的性质或图象知识去讨论。
解：当0°＜α＜90°时，tan α＞0（1）k ＝tan α，｜k ｜＝｜tan α｜＝tan α（0°＜α＜90°） ∴y ＝k 与y ＝｜k ｜的图象相同（如图所示）这时，直线的斜率与直线斜率的绝对值相等，且属于（0，＋∞），直线的斜率及其绝对值随着直线倾斜角的增大而增大。
当无限接近于时，直线的斜率及其绝对值无限接近于απ2+∞当90°＜α＜180°时，k ＝tan α＜0∴=====-y k y k tan |||tan |tan ααα，，它们的图象如图所示：因此，当时，直线的斜率的变化范围是（－，），随着901800oo<<∞αα在开区间，内逐渐增加，直线的斜率从增大而无限接近于。
ππ20⎛⎝ ⎫⎭⎪-∞当0＜α＜90°时，直线斜率的变化范围是（0，＋∞），随着倾斜角在开区间020，内逐渐增大时，直线斜率由增大。
π⎛⎝ ⎫⎭⎪当90°＜α＜180°时直线斜率绝对值的变化范围是（0，＋∞），随着倾斜角在开区间，内逐渐增大时，直线斜率的绝对值从逐渐减少，而无限接近ππ2⎛⎝ ⎫⎭⎪+∞于0。
例8. 已知直线经过点P （3，2），倾斜角是直线x －4y ＋3＝0的倾斜角的2倍，求直线l 的方程。
解：设直线x －4y ＋3＝0的倾斜角为α则易得tan α=14故所求直线的斜率为k ==-=tan tan tan 2218152ααα又直线经过点P （3，2）()∴-=-直线方程为y x 28153整理得：81560x y -+=小结：先求出直线x －4y ＋3＝0的倾斜角，然后求出直线l 的倾斜角，最后代入点P 求出解析式。
例9. 已知直线过点P （-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。
分析：关键是要求出斜率k 。
解：显然，直线l 与两坐标轴不垂直，设直线的方程为y －3＝k （x ＋2） 令得：x y k ==+023令得：y x k ==--032()于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为1223324k k +--⎛⎝ ⎫⎭⎪=()即23328k k ++⎛⎝ ⎫⎭⎪=±()若，则整理得：，无解；2332844902k k k k ++⎛⎝ ⎫⎭⎪=++= ()若，则整理得：23328420902k k k k ++⎛⎝ ⎫⎭⎪=-++=解之得：，k k =-=-1292()()∴-=-+-=-+所求直线的方程为和y x y x 31223922即和x y x y +-=++=24092120例10. 如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限（1991年全国高考题·文）答案：C分析：先求出直线与两坐标轴的交点，再判断。