直线的倾斜角和斜率直线方程的点斜式直线方程的斜截式

直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截

式

一. 教学内容：

直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式

［知识点］

1. 直线的方程和方程的直线： 定义：

（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。 （2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。 满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。

2. 直线的倾斜角：

定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。 规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。 范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。

（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。

（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。

（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。

3. 直线的斜率：

定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。 符号：常用k 表示，即k ＝tan α。 注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。

（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单

2απαππ∈⎛

⎝ ⎫⎭⎪∈022[)

调区间。

（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。 4. 过两点的直线斜率公式：

公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。

y

x O α α P 1 P 2

y

x O

α α P 1 P 2

P

y

x

O α α P 2 P 1

y

x O

α P 2 P 1

P

()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212

∴=

--=

--tan αy y x x y y x x 121221

21

即：k y y x x y y x x =

--=

--121221

21

注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。

（2）由公式可知表示直线倾斜程度，可以由直线上两点确点，无需求倾斜角。 （3）当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，α＝90°没有斜率。 （4）利用公式求斜率时，应注意隐含条件x 1≠x 2。 5. 直线的方向向量：

定义：直线上的向量及与之平行的向量都称为直线的方向向量。P P 12→

意义：表示直线的方向。 6. 直线方程的点斜式： （1）方程的推导：略

()（）方程的形式：2y y k x x -=-11 （3）方程的特殊情况：y ＝y 1

（4）不能用点斜式表示的直线：x ＝x 1 7. 直线方程的斜截式： （1）方程的推导：（略） （2）截距的概念：（是坐标不是距离）

（3）方程的形式：y ＝kx ＋b （4）方程的特殊情况：y ＝0

（5）不能用斜截式表示的直线：x ＝0

【典型例题】

例1. 已知直线l 的斜率k 满足k>-2，求直线l 的倾斜角的范围。 解：设直线l 的倾斜角为α 由题意知tan α=>-k 2

画出且及的图象

k k =≤<≠⎛

⎝ ⎫⎭⎪=-tan ααπαπ022 由且得：

tan ααπαπ=-≤<≠⎛

⎝ ⎫⎭⎪202

απ=-arctan2

由图知，直线倾斜角的范围是或l 022≤<

-<<απ

παπarctan

小结：已知直线l 的斜率的范围，求直线l 的倾斜角的范围时，常先画出函数

k =≤<≠⎛

⎝ ⎫⎭⎪

tan ααπαπ02且的图象，然后再由图象确定倾斜角的范围。

例2. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，

AB AB 3

4l

求直线l 的斜率。

解：设直线l 的倾斜角为α，由题意知直线AB 的倾斜角为2α

Θtan tan tan 23421342ααα==

∴-=k AB ，

即：38302

tan tan αα+-=

解之，得：或tan tan αα=

=-1

33

Θtan 2002180290ααα>≤<≠，且o

o

o

∴<<∴=04513o o αα，tan

∴直线的斜率为

l 13

小结：由2α的正切值确定α的范围，及由α的范围求α的正切值是本例中易忽略的地方，在解同类型题的过程中应当注意。

例3. 求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R ）的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围。 解：（1）当m ＝2时，x 1＝x 2＝2 ∴直线垂直于轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角l x απ=2

（）当时，直线的斜率221

2m k m ≠=

-l

当时，m k >>20

∴=-∈⎛

⎝ ⎫⎭⎪

ααπarctan

1202m ，，

当时，m k <<20

∴=+-∈⎛⎝ ⎫⎭⎪

απαππarctan

12

2m ，， 小结：利用斜率公式时，应注意公式的应用范围。当斜率k ≥0时，直线的倾斜角为

arctank ；当k ＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank 。

例4. 求证：A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）三点共线。 证法一：∵A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）

()()∴=

-----==

----=k k AB AC 7121

23101

2

，

∴=k k AB AC

∴直线AB 与直线AC 倾角相同且过同一点A ∴直线AB 与直线AC 为同一条直线 故A 、B 、C 三点共线 证法二：∵A （1，-1）、B （-2，-7）、C （0，-3）

()()

∴=--=--→→

AB AC 3612，，，

∴=→→

AB AC 3

ΘAB AC A →

→

与共线且起点都为