函数的单调性专题

函数的单调性专题训练

一、选择题

1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区

间(a ，b )∪(b ，c )上( )

A ．必是增函数

B ．必是减函数

C ．是增函数或减函数

D ．无法确定单调性

2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1

A ．f (x 1)

B ．f (x 1)>f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．不能确定

3．设f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数，则有( )

A ．a ≥12

B ．a ≤12

C ．a >－12

D ．a <12

4．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )

①y ＝|x |＋1； ②y ＝|x |x ； ③y ＝－x 2|x |； ④y ＝x ＋x |x |

. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －3 x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(0,3)

B ．(0,3]

C ．(0,2)

D ．(0,2]

二、填空题

6．函数f (x )＝|x －1|＋2的单调递增区间为________．

7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 8．函数f (x )是定义域上的单调递减函数，且过点(－3，2)和(1，－2)，则使|f (x )|<2的自变量x 的取值范围是________．

三、解答题

9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3－3a ，x <0，－x 2＋a ，x ≥0满足对任意的x 1，x 2∈R ，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，求a

的取值范围．

10．已知函数f(x)＝

1

x2－1

.

(1)设f(x)的定义域为A，求集合A；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．

11．讨论函数f(x)＝x＋a

x

(a＞0)的单调性．

12．已知f(x)＝

x

x－a

(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

函数的单调性专题训练答案

一、选择题

1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区

间(a ，b )∪(b ，c )上( )

A ．必是增函数

B ．必是减函数

C ．是增函数或减函数

D ．无法确定单调性

解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x

在(0，＋∞)上是增函数， 在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．

2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1

A ．f (x 1)

B ．f (x 1)>f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．不能确定

解析：选 D 根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.

3．设f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数，则有( )

A ．a ≥12

B ．a ≤12

C ．a >－12

D ．a <12

解析：选D ∵f (x )在R 上是减函数，故2a －1<0，即a <12

. 4．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )

①y ＝|x |＋1； ②y ＝|x |x ； ③y ＝－x 2

|x |； ④y ＝x ＋x |x |

. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

解析：选 C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x ＝－1(x <0)在(－∞，0)

上既不是增函数，也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x |x |

＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数．

5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －3 x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(0,3)

B ．(0,3]

C ．(0,2)

D ．(0,2]

解析：选D 依题意得实数a 满足

⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＜0，2a ＞0，

a －3 ＋5≥2a ，

解得0＜a ≤2.

二、填空题 6．函数f (x )＝|x －1|＋2的单调递增区间为________．

解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧ x ＋1，x ≥1，3－x ，x <1，显然函数f (x )在x ≥1时单调递增．

答案：[1，＋∞)

7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝

a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数， ∴a －12≤12

，即a ≤2. 答案：(－∞，2]

8．函数f (x )是定义域上的单调递减函数，且过点(－3，2)和(1，－2)，则使|f (x )|<2的自变量x 的取值范围是________．

解析：∵f (x )是定义域上的减函数，f (－3)＝2，f (1)＝－2，∴当x >－3时，f (x )<2，当x <1时，f (x )>－2，则当－3

答案：(－3,1)

三、解答题

9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3－3a ，x <0，－x 2＋a ，x ≥0满足对任意的x 1，x 2∈R ，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，求a

的取值范围．

解：由对任意的x 1，x 2∈R ，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0知函数f (x )在R 上为减函数．当x <0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 为一次函数，且为减函数，则此时f (x )>f (0)＝3－3a ；当x ≥0时，函数f (x )＝－x 2＋a 为二次函数，也为减函数，且有f (x )≤f (0)＝a .要使函数f (x )在R 上为减函数，则有a ≤3－3a ，解得a

≤34.所以a 的取值范围是⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，34. 10．已知函数f (x )＝1x 2

－1. (1)设f (x )的定义域为A ，求集合A ；

(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．