高等代数第五章知识点总结

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高数大一第五章知识点总结

高数大一第五章知识点总结在高等数学的第五章中，我们主要学习了极限与连续的相关知识。

极限与连续是高数中的重要概念，对于理解微积分等后续学科具有重要意义。

下面我将对第五章的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一章节内容。

1. 极限的概念和性质极限是一个数列或函数在某一点或者无穷远处的趋近值。

我们通常用“lim”表示极限，例如lim(n→∞) an = a表示当n趋近于无穷大时，数列an的极限为a。

极限具有唯一性、局部有界性、保号性等性质。

2. 极限的计算方法在计算极限时，可以利用数列的性质、极限的四则运算法则、夹逼定理等方法。

对于无穷小量与无穷大量的比较，我们可以使用洛必达法则等方法。

3. 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是指极限为0和极限为正无穷或负无穷的数列或函数。

无穷小量与无穷大量在微积分中有重要应用，例如在计算微分和积分时经常会用到。

4. 函数的极限函数的极限与数列的极限类似，也是描述函数在某一点或者无穷远处的趋近值。

例如lim(x→a) f(x) = L表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。

函数的极限计算同样可以利用极限的性质和计算方法。

5. 连续的概念和性质连续是指函数在某一点处具有极限，且该极限等于函数在该点处的函数值。

连续函数具有保持不等式、可加性、介值性等重要性质。

我们还学习了间断点的分类和判定方法。

6. 基本初等函数的连续性基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数在其定义域内均是连续函数。

总的来说，高数第五章的内容较为复杂，但是又非常重要。

掌握了极限和连续的概念和性质，我们才能够更好地理解微积分等后续学科，为以后的学习打下扎实的基础。

希望以上对第五章知识点的总结能够给大家带来帮助，同时也希望大家在学习高等数学的过程中能够保持耐心和积极性，不断提高自己的数学思维能力和解题能力。

通过不断的练习和思考，相信大家都能够掌握好这一章节的内容，为自己的数学学习打下坚实的基础。

大一基础高数第五章知识点

大一基础高数第五章知识点大一基础高数是大多数理工科学生的必修课程，其中第五章是一个相对重要的章节，涵盖了一些基本而又关键的知识点。

本文将就这些知识点展开讨论。

一、向量及其运算在高数中，向量是一个非常重要的概念。

它可以表示空间中的一条有方向的线段，既有大小也有方向。

向量的运算有加法和数乘两种，它们都有着直观的几何意义。

1. 向量的加法向量的加法可以用形如A+B=C的式子表示，其中A、B和C 都是向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘。

它的结果是将向量的长度缩放或者反向。

二、空间直角坐标系空间直角坐标系是研究三维空间中向量运算的重要工具。

在空间直角坐标系中，我们可以用三个坐标轴来表示一个点的位置。

1. 空间直角坐标空间直角坐标即向量的坐标表示形式，形如(a,b,c)，其中a、b 和c分别代表点在x、y、z轴上的坐标。

2. 向量的表示与坐标向量可以用两点表示，也可以用坐标表示。

在空间直角坐标系中，给定两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则这两个点之间的向量可以表示为AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。

三、空间中的直线和平面直线和平面是三维空间中常见的几何对象，它们在物理、工程等学科中具有广泛的应用。

1. 直线的方程在三维空间中，直线可以用参数方程、对称方程或者一般方程表示。

其中参数方程最为常用，形如：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0, y0, z0)是直线上的一个已知点，a、b和c是方向向量的分量。

2. 平面的方程平面可以用点法式方程、一般方程或者截距式方程表示。

点法式方程最为常用，形如：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中(x0, y0, z0)是平面上的一个已知点，ABC是平面的法向量。

四、空间曲线及其方程除了直线和平面外，空间中还存在各种形状的曲线。

高等代数课件第五章

Pij 1 Pij
Di
(k )1
Di
(1) k
Tij (k)1 Tij (k)
引理5.2.1 A 行 A ，则 A可逆 A可逆 .
（初等变换不改变可逆性）.
定理5.2.1 任一m×n矩阵A总可以通过初等变
换化为
A
Ir Omr
,r
Or ,n r Omr ,n r
证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2
n
bmn
A 和B 加法定义为:
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
证
AA1 A由1 A I
有 (A1)A A(A.1) I
二矩阵可逆的判别
定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵
称为初等矩阵.
n=4
0 0 0 1
P14
0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 00
1 0 0 0
D3
(k
)
0 0 0
1 0 0
0 k 0
0
0 1
1 0 0 0
T24
(k
矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其
中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）
(1) 加法交换律 A B B A

高等数学第5章知识点总结

高等数学第5章知识点总结第5章二重积分（一）概念1. 二重积分的概念设二元函数f(x,y)在闭区域D上有界，把闭区域D分成n个小区域，记作ΔDi ,ΔSi为第i 个小区域的面积,ξi (i=1,2,3,…,n) 取在Di上的任一点，则二重积分的极限∬f(x,y)dA=lim n->∞ Σf(ξi)ΔSi（i=1,2,3,…,n）当这极限存在时，称其为在D上的二重积分，记作∬f(x,y)dA2. 二重积分的几何意义二重积分∬f(x,y)dA 表示把函数f(x,y)在闭区域D上的值与ΔS之积相加，其中ΔS是D上的微小面积。

即表示在闭区域D上f(x,y)在ΔS上的平均值与ΔS的面积之积的和。

3. 二重积分的计算法（1）累次积分法先对y积分，再对x积分。

（2）二次积分法先对x,y积分都在一起进行。

（3）极坐标法根据二重积分的边界条件，将直角坐标系转换为极坐标系。

（二）性质1. 线性性质若函数f(x,y)和g(x,y)在区域D上有界，则∬[f(x,y)+g(x,y)]dA = ∬f(x,y)dA + ∬g(x,y)dA2. 积分域的可加性若函数f(x,y)在区域D1和区域D2上有界，则∬f(x,y)dA = ∬f(x,y)dA1 + ∬f(x,y)dA23. 面积性质若函数f(x,y)在区域D上恒为1，则∬f(x,y)dA = S(D)（三）二重积分的应用1. 计算面积当f(x,y)=1时，二重积分∬1dA表示在闭区域D上的面积。

2. 计算质量、重心、转动惯量在力学中，可以利用二重积分计算平面薄片的质量、重心和转动惯量。

3. 计算电荷、电场在电磁学中，可以利用二重积分来计算平面薄片上的电荷、电荷分布和电场分布。

（四）二重积分的换元法1. 极坐标换元2. 线性换元3. 一般换元注：该知识点总结仅包括了高等数学第5章的基本内容，如需更多详细知识，请查阅相关资料。

高等代数第五章

3
问题的引入:
解析几何中中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
2 2
2
选择适当角度 θ ,逆时针旋转坐标轴

x x cos y sin y x cos y sin
x 2 cy 2 f a
(标准方程)
4
代数观点下
二次齐次多项式
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 a x
2 nn n
9
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
7
二、二次型的表示方法
1．用和号表示对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
事实上，
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX
Y (C AC )Y
a33 x3 2a3 n x3 xn
2

高等代数.第五章.二次型.课堂笔记

��1 ��2 ，取X = ( ⋮ ,， �� (5)
则(4)可表示为矩阵形式： ��(��1 , ��2 , ⋯ , �� ) = X′AX 称(5)中的矩阵Α为二次型f(��1 , ��2 , ⋯ , �� )的矩阵. 由定义：A = A′，这样的矩阵称为对称矩阵. 例 1.求下列二次型的矩阵： 2 2 2 2 (1) ��(��1 , ��2 , ⋯ , �� ) = ��1 + 2��2 + 3��3 + 4��4 + ��1 ��3 + ��2 ��4 ��1 1 0 ��2 ′ (2) ��(��1 , ��2 , ⋯ , �� ) = X BX，X = (�� )，其中B = (0 2 0 0 3 ��4 0 0
2 ��(��1 , ��2 , ⋯ , �� ) = ��11 ��1 + 2��12 ��1 ��2 + ⋯ + 2��1�� 1 �� 2 +��22 ��2 + 2��23 ��2 ��3 + ⋯ + 2��2�� 2 �� 2 + ⋯ + �� 称(3)为一个 n 元二次型. 令�� = �� (�� ≤ �� ≠ �� ≤ ��)，(3)可表示为以下对称形式：．．．． 2 ��(��1 , ��2 , ⋯ , �� ) = ��11 ��1 + ��12 ��1 ��2 + ��13 ��1 ��3 + ⋯ + ��1�� 1 �� 2 +��21 ��2 ��1 + ��22 ��2 + ��23 ��2 ��3 + ⋯ + ��2�� 2 �� 2 +��31 ��3 ��1 + ��32 ��3 ��2 + ��33 ��3 + ⋯ + ��3�� 3 �� ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 +��1 �� 1 + ��2 �� 2 + ��3 �� 3 + ⋯ + ��

山东大学数学专题高等代数部分第五章第一讲PPT

（因
V
）本题结论成立.
jr
3. 设 A1,A2 ,L ,Am是线性空间V的m个异于零的线性变换，证明：V中存在一组基x1 L xn使
Ai(xj)≠ 0，i = 1,L ,m j = 1,L ,n
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：令Vi Ai1(0)，Ai 0，则Vi是V的真子空间.故存在向量x1 V 使x1 Vi ,1 i m,
2. 设V1,L ,Vm是n维线性空间V的真子空间.证明：V中必有向量u不在所有这m个子空间中， (即 V1∪V2∪L ∪Vm ≠ V) 证明：对m用归纳法证明本题.
m 1显然成立，设m 1时结论成立，证明m时结论也成立，存在 V1,L ,Vm1，若 Vm得证. 否则 Vm，必存在 Vm，我们证明存在正整数k使k Vi , 对所有的i 1,L , m成立. 首先注意k Vm ,否则得 Vm矛盾，要证明此断言成立,只要证明存在正整数k使
易证AW是V的子空间.AW＝L( A1, A2,L , A1L , As ) Ai 0，
故 AW＝L( A1L , As )，只要证明A1L , As线性无关即可.
s
s
s
s
s
设 ki Ai 0,即 A kii 0,于是 kii A1(0), 又 kii W , 故 kii W0,
dimV dimV1 dimV2 特别若1L r ,r+1L n是V的一组基，V1＝L(1L r ),V2 L(r+1L n ), 则 V V1 V2 (以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V

高等代数与解析几何第五章(6)

1
2
( ) ( 1 )
2
2

2
1
2
由此得 1
0, 所以 1 .
定义6.2 设W是欧氏空间V的一个子空间, 是V
中的一个向量.如果W中存在一个向量使得
, W
则称为在W上的最佳逼近元. 定理6.3表明,V中任意向量在子空间W上的最
2 W , 即 2 W . 由 1 2 可知所以
V W W .

再证 W W

{0} . 设 W W , 则
0.

( , ) 0, 从而
故V W W .

2
W
1
定理6.2中的 1 称为向量在子空间W上的正交
( 1 2 , ) ( 1 , ) ( 2 , ) 0 ( k 1 , ) k ( 1 , ) 0

所以 1 2 S , k 1 S , 因此 S 是V的线性子空间.
如果把S取成V的一个子空间,则有如下重要结论: 定理6.2 设W是欧氏空间V的一个线性子空间,则
2 1
对于任意 j ( j 1, , m ), 有
( 2 , j ) ( 1 , j ) ( , j ) ( 1 , j ) ( , j ) (( , 1 ) 1 ( , m ) m , j ) ( , j ) ( , j ) 0
S正交的所有向量构成的集合称为S的正交补,记作 S 即
S

,
{ V | ( , ) 0, S }

高等代数讲义ppt第五章二次型

顺序主子式全大于零。
二次型
§4 正定二次型
例题 1、判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。

丘维声高等代数第五章1

=
⎛ ⎜ ⎝
I3 0
0⎞
0
⎟ ⎠
▌
⎜ ⎝
0
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
⎟ ⎠
定理同型矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是 rank(A) = rank(B)
8
注（1）作为 K m×n上的等价关系，相抵把 K m×n分成了若干个相抵等价类；（2）同一相抵类中的矩阵有相同的秩；（3）相抵标准形恰是各相抵类中形式最简单的矩阵；（4）矩阵的秩是相抵关系下的完全不变量。
第五章矩阵的相抵与相似
§5.1 等价关系与集合的划分
定义设 S, M 是两个集合，称下述集合
{ 〈a, b〉 | a ∈ S, b ∈ M }
是 S 与 M 的 Descartes 积(或有序积)，记为 S×M。 Descartes 积中的元素〈a, b〉称为序偶(或有序
对)。对任意两个序偶 〈a, b〉, 〈c, d〉 ，有 〈a,b〉 = 〈c,d〉 ⇔ a = c, b = d
S (n) = {0, 1, 2, , n − 1 }
4
§5.2 矩阵的相抵
定义设 A 和 B 是两个同型矩阵。若 A 可通过有限次初等变换化为 B，则称 A 相抵于 B，记为
相抵
A~ B 或 A≅B
定理设 A 与 B 是两个 m×n 矩阵，则 A 相抵于 B 的充分必要条件是：存在 m 级可逆矩阵 P 与 n 级可逆矩阵 Q，使 PAQ = B。
1 2
1⎞
−
2
⎟ ⎟
⎜0 0 0 0 0 ⎟
⎜ ⎝
0
0
0 −4
4
⎟ ⎠
⎛1 1 2 1 1 ⎞

高一数学第五章书本知识点

高一数学第五章书本知识点高一阶段的数学学习内容丰富多样，其中第五章是一个非常重要的章节，涵盖了很多数学的基础知识和常用方法。

在这一章里，我们将学习线性方程组、矩阵及其运算、行列式等内容。

接下来，我将从这些方面详细介绍和讨论。

一、线性方程组线性方程组是数学学习过程中的基础概念，也是很多实际问题的数学模型。

通过线性方程组的学习，我们能够理解和解决各种线性问题。

在这一部分，我们将学习线性方程组的定义、解法和相关性质。

首先，线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。

一个线性方程通常具有以下形式：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1、a2…an是已知系数，x1、x2…xn是未知数，b是已知常数。

解线性方程组的常见方法有：直接代入法、消元法、矩阵法等。

通过这些方法，我们可以求解出未知数的具体值，从而解决问题。

二、矩阵及其运算矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

矩阵的学习可以帮助我们更好地理解和处理数据。

在这一部分，我们将学习矩阵的定义、基本运算和性质。

矩阵由m行n列的数构成，通常表示为一个矩形数组。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法等。

通过运算得到的结果可以进行进一步的分析和应用。

特别要注意的是矩阵乘法。

矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

此外，对于矩阵的乘法，必须满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数，否则乘法无法进行。

三、行列式行列式是高一数学中的另一个重要内容，也是线性代数的基础知识之一。

了解行列式的性质和计算方法，对于理解矩阵和解决线性方程组都有很大帮助。

行列式的定义和计算方法稍显复杂，但通过学习可以掌握。

行列式的性质包括：行列式的值与行列式的互换、倍数行及倍数列有关，行列式的某一行或某一列的元素加上另一行或另一列相应的元素，行列式的值不变等等。

通过行列式的计算，我们可以求解线性方程组的唯一解、无解和有无穷多解的情况。

总结：高一数学第五章的内容涵盖了线性方程组、矩阵及其运算、行列式等重要知识点。

高等代数 char5II

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定理:
设 A:UV是数域F上有限维线性
空间的映射.取U的基M1将U的向量用坐标表示取V的基M2将V的向量用坐标表示.如果A所引起的坐标之间的映射可以通过某个矩阵A的左乘来实现：
A:X→AX
则A是线性映射,A是A在基M1，M2下的矩阵.
例2
设
V
F 22 ,
A
a
在A下的像A (αj )在基M2下的坐标为
a1 j
Aj=
a2 j
F m1
A是依次以A1,A2,… a,Amnj为各列组成的矩阵,即
A(α1,…,αn)=(β1,…,βm)A
机动目录上页下页返回结束
则A称为A在基M1和M2下的矩阵.当U=V时取M1=M2={α1,…,αn},此时称满足条件
因此AL在基M下的矩阵为:
0 c
a 0
0 d
b
0
0
c
0
d
机动目录上页下页返回结束
定理设M={α1,…, αn} 是F上n维线性
空间U的一组基, β1,…, βn是F上线性空间V的任意 n个向量,则存在唯一的线性映射A:U→V将α1,…, αn分别映到β1,…, βn. 证明思路：存在性：对αU,x1,…,xnF使
证明: 设A=(aij)nxn ,B=(bij)nxn. 则
n
nn
tr AB AB ii
aijbji
aij b ji
i 1
i1 j1
1i, jn
n
nn
tr BA BA jj
bjiaij
aij b ji
j 1
j1 i1
1i, jn

《高等代数》第五章矩阵

因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩
阵与原二次型的矩阵是合同的. 这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供
了有力的工具.
最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的. 从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的. 一般地，当线性替换
X = CY an1x1
a22 x2
an2 x2
a2n xn
ann xn
nn

aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX . 这即为二次型的矩阵表示形式.
x1 c11y1 c12 y2 c1n yn ,

x2

c21y1 c22 y2

c2n yn
,
(4)
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由 x1 , x2 , … , xn 到 y1 , y2 , … , yn 的一个线性
aij xi x j .
i1 j 1
把上式的系数排成一个 n n 矩阵
a11 a12
A

a21 an1
a22 an2

a1n
a2n ann
,
它就称为二次型的矩阵. 因为 aij = aji , i , j = 1, 2,
…, n , 所以

c21 cn1
c22 cn2

c1n y1
c2n cnn

y2 yn
,
或者

高等代数第5章二次型

f (x1, x2 , x3 ) = −4x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3
的标准形为
且非退化线性替换为
f
=
− y12
+
4
y
2 2
+ 3y32 ，
⎧ ⎪
x1
⎪
=
1 2
y1
+
y2
+
1 2
y3
⎪ ⎨
x
2
⎪
=
1 2
y1
−
y2
+
1 2
y3
，
⎪x3 = y3 ⎪⎩
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
w2
−
3 4
w3
+
w4
，
⎪ ⎪⎩x4
=
−1 2
w1
+
w4
⎜⎛ 1 − 5 − 3 1⎟⎞
⎜2 4 4 ⎟
T
=
⎜ ⎜
0 0
1 1 0⎟ ， 1 −1 0⎟
⎜ ⎜⎝ −
1 2
0
⎟ 0 1⎟⎠
且有
⎜⎛ − 2 0 0 0⎟⎞
T ′AT
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
0 −2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
。
( ) （5）已知 f x1, x2 , x3 , x4 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ，
于是可令
=
(x1
+
2x2
+
2x3

高等代数讲义第五章

③
称为由 x1, x2 ,L, xn到y1, y2 ,L, yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 θ
y
.
y′
x′
θ
0
x
即变换
⎧x =
⎨ ⎩
y
=
x′ cosθ − y′ sinθ x′ sinθ + y′ cosθ
aij xi x j
i =1
1≤i< j≤n
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1）约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 f ( x1, x2 ,L, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + LL + a1n x1 xn
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + L + a2n x2 xn
⇒ B′ = (C′AC )′ = C′A′C = C′AC = B
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若A′ = A, B′ = B,
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
⇔ A与B合同.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 证明：矩阵A与B合同，其中
⎛ λ1
f = ax2 + 2bxy + cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转坐标轴
{x = x′cosθ − y′sinθ y = x′cosθ + y′sinθ
f = a′x′2 + c′y′2

高数大一知识点总结第五章

高数大一知识点总结第五章第五章是高等数学中的重要章节，主要介绍了微分学的基本概念和相关的方法。

本文将对第五章的知识点进行总结，包括导数、微分和应用等内容。

1. 导数导数是微分学的基本概念，表示函数在某一点上的变化率。

它的定义为函数f(x)在点x处的导数等于该点处的切线斜率。

导数可以通过求导的方式来计算，常用的求导法则包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则和商法则等。

导数有很多重要的应用，例如可以用来求函数的极值、判断函数的单调性以及进行函数的图像绘制等。

此外，在物理学和经济学中，导数也经常用于解释实际问题和推导相关公式。

2. 微分微分是导数的一种表达形式，它表示函数在某一点上的变化量与自变量的变化量之间的关系。

微分可以用来近似计算函数的变化量，其计算公式为dy=f'(x)dx。

其中，dy表示函数的微分，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量的微小变化量。

微分可用于求函数的局部线性近似、计算函数的微小变化量以及推导相关公式等。

在实际应用中，微分还常常用于优化问题的求解，例如求函数的最大值或最小值。

3. 高阶导数高阶导数是指导数的导数，表示函数变化率的变化率。

如果函数f(x)在点x处的导数存在，那么我们可以对其求导得到f'(x)的导数，称为f(x)的二阶导数。

同理，我们可以对二阶导数求导，得到三阶导数，以此类推。

高阶导数常用于分析函数的性质和求解特定问题。

例如，如果一个函数的二阶导数大于零，那么它在该点附近是凸函数；如果一个函数的二阶导数小于零，那么它在该点附近是凹函数。

4. 高阶微分类似于高阶导数，高阶微分是指微分的微分。

如果一个函数的微分存在，那么可以对其微分再次进行微分，得到二阶微分。

同理，我们可以对二阶微分进行微分，得到三阶微分，以此类推。

高阶微分在物理学和工程学中具有重要的应用，例如在描述物体的运动过程中，高阶微分可以表示加速度和速度的变化。

高数大一知识点第五章小结

高数大一知识点第五章小结高等数学是大学数学的重要组成部分，为学生提供了数学思维方法和理论知识的基础。

第五章是高级数学的核心内容之一，主要涉及的知识点包括微积分的基本概念、导数和微分以及应用等内容。

在本文中，我们将对这一章的重点知识进行总结和归纳，以帮助大家更好地理解和掌握这部分内容。

一、基本概念的理解在学习微积分的过程中，首先我们需要明确基本概念的含义。

微积分的核心思想是研究变化率和极限，因此对于函数和极限的理解尤为重要。

函数可以理解为两个集合之间的一种对应关系，通过自变量与因变量之间的关系来描述两个集合之间的对应规则。

而极限则是一个数列或函数趋于无穷或某一特定点时的性质。

二、导数与微分的计算在第五章中，我们主要学习了导数与微分的计算方法。

导数是函数变化率的一种度量，可以用来求解函数在某一点的切线斜率，也可以用来研究函数的极值和增减性。

而微分则是函数自变量的微小变化引起的函数值的微小变化。

可以利用极限的性质来计算导数与微分，也可以通过基本函数的导数规则来求解复杂函数的导数。

三、导数的应用除了计算导数和微分，导数在实际问题中还有着广泛的应用。

在物理学、经济学等领域，导数可以用来描述物体的运动速度和加速度，经济的边际收益和边际成本等。

在工程学中，导数可以用来求解曲线的切线和法线方程，从而在设计和优化问题中发挥重要作用。

因此，对导数的应用有着广泛的涉及领域。

四、其他与微积分相关的概念除了在第五章中学习的内容，微积分还有着许多相关概念和知识。

例如，微分方程是微积分与方程学的结合，用来描述函数与其导数之间的关系。

级数是由一列数按照一定规律相加而得到的序列，能够用来表示连续函数和函数的变化。

这些与微积分相关的概念和知识需要进一步深入学习和探索。

综上所述，第五章是高数大一知识点中的一个重要章节，主要涵盖了微积分的基本概念、导数与微分的计算以及应用等内容。

通过学习这章的知识，我们可以更好地理解和掌握微积分的思维方法和应用技巧。

高等代数复习提纲(5-9)

第五章二次型5.1. 二次型及其矩阵表示5.1.1. 二次型的定义、二次型的矩阵(是对称矩阵)及矩阵表示.注: 二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比.5.1.2. 二次型的非退化线性替换的定义；经非退还线性替换后，新老两个二次型的矩阵的关系（会推导）.5.1.3. 矩阵合同的定义.注: 为什么要引入该定义?5.2. 标准形5.2.1. 二次型的标准形的定义及存在性(不唯一),任一对称矩阵都与对角矩阵合同.5.2.2.配方法化二次型为标准形,合同变换法化对称矩阵为对角阵.5.3. 唯一性5.3.1.复二次型的规范形.5.3.2.实二次型的规范形,惯性定理说明实二次型的规范形的存在性和唯一性,实二次型的正惯性指数, 负惯性指数以及符号差的定义. 实二次型的规范形的一些应用(书上哪些习题可以用此来解答?).5.3.3.复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同?5.4. 正定二次型5.4.1.实二次型和实对称矩阵的分类:正定,半正定,负定,半负定,不定.5.4.2.正定矩阵的一些等价条件:(1) 正定矩阵的定义;(2) 合同于单位矩阵;(3) 所有顺序主子式大于0;(4) 所有特征值大于0.正定矩阵的一些必要但不充分条件: (1)|A|>0;(2)所有对角线上的元素都大于0；(3)所有主子式都大于0.注：这些等价、必要条件的推导.还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一结果来判定实对称矩阵的正定性.5.4.3.列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件.第六章线性空间6.1. 集合映射单射、满射、双射的定义及证明；可逆映射的定义及等价条件（即双射）.6.2. 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义,即非空集合,加法运算和数乘运算(封闭),8条运算规则.6.3. 维数、基与坐标6.3.1. 维数、基与坐标的定义(会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基下的坐标).6.3.2. 一些常见空间的基和维数,例如n P ,[]n P x ,s n P ⨯,n n P ⨯中全体对称(反对称/上三角形)矩阵形成的线性空间,L(V)等.6.4. 基变换与坐标变换不同基之间的过渡矩阵,一个向量在不同基下的坐标之间的关系(会推导).注: (1)要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的坐标;(2) P271的习题2.6.5. 线性子空间6.5.1. 线性子空间的定义及判定（如何判定？）.6.5.2.生成子空间的定义、维数、基（如何求？）.6.5.3.扩基定理.与第九章的扩充为正交基进行对比.书上哪些定理的证明和习题的证明用到扩基定理？6.6. 子空间的交与和6.6.1.交空间、和空间的定义以及这两子空间的元素的特征.6.6.2.会求两个生成子空间的交空间、和空间.6.6.3.维数公式（会证明）及其应用.6.7. 子空间的直和6.7.1.子空间的直和的定义（为什么要引入该定义？）.6.7.2.两个子空间的和是直和的判别条件（列举出4个，并知道哪些是常用的）.6.7.3.如何证明12V V V =⊕？6.7.4.多个子空间是直和的判别条件（列举出3个，并会证明）.6.7.5. 余子空间的定义和构造.（余子空间是否唯一？与正交补进行比较）6.8. 线性空间的同构线性空间同构的定义，并会用该定义证明两线性空间同构，会构造V 与nP 之间的同构映射,知道两线性空间同构的等价条件为它们的维数相等..第七章线性变换7.1. 线性变换的定义线性变换的定义（熟记），列举出一些线性变换的简单性质并会证明.7.2. 线性变换的运算线性变换的加法、减法、数乘、乘法、逆、方幂的定义及运算规律；线性变换的多项式.注：与矩阵的相应运算进行比较.7.3. 线性变换的矩阵7.3.1. 任意n个向量可唯一确定一个线性变换(如何确定？见P283 定理1). 7.3.2. 线性变换在某组基下的矩阵的定义，线性变换与矩阵的对应关系：线性变换的和、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的和、差、数乘、乘积、逆，单位变换、零变换分别对应单位矩阵和零矩阵（会用数学式子表示这种对应，会推导）.7.3.3.向量ξ的坐标与Aξ的坐标之间的关系,同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系（会推导）.7.3.4.两个矩阵相似的定义（为什么引入该定义？），如何判别两个矩阵相似？7.4. 特征值与特征向量7.4.1.线性变换和矩阵的特征值和特征向量的定义（为什么要引入该定义？）.如何求线性变换和矩阵的特征值和特征向量？线性变换和矩阵的特征值和特征向量之间的关系如何？（掌握求特征值和特征向量的步骤）7.4.2. 线性变换和矩阵的特征多项式的定义.相似矩阵有哪些相似不变量，例如：行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初等因子等.7.4.3.哈密顿-凯莱定理及其应用(例如：P309定理12，P326习题3),矩阵的迹的定义，列举出一些矩阵迹的性质（例如：.迹是所有特征值的和；tr(AB)=tr(BA)；2tr A tr AA≤）.()(')7.5. 对角矩阵7.5.1.矩阵特征值特征向量的一些性质（不同特征值的特征向量线性无关；实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量）7.5.2.列举出矩阵可对角化的一些充要条件和一些充分条件.充要条件：（1）有n个线性无关的特征向量；（2）所有特征值的重数与其几何重数相等（特征值λ的几何重数指的是λ-=的基础解系所含解向量的个数）；E A X()0（3）最小多项式没有重根；（4）初等因子都是1次因式.7.5.3.若矩阵可对角化，如何对角化？7.6. 线性变换的值域与核7.6.1.线性变换的值域和核的定义. 值域和核是子空间，它们中的元素有什么特征？7.6.2.值域如何用生成子空间来表示？值域的维数（线性变换的秩）与线性变换的矩阵的秩的关系如何？，值域的维数与核的维数（线性变换的零度）的和为多少？并会证明这两种关系.7.7. 不变子空间7.7.1.不变子空间的定义.线性变换在不变子空间上的限制成为该子空间上的一个线性变换，该限制与原变换之间的区别是什么？举出一些特殊的不变子空间.7.7.2.会用定义证明一个子空间是一个线性变换的不变子空间.7.7.3.不变子空间在矩阵A 相似于一个准对角矩阵方面的应用.7.8. 若尔当标准形介绍若尔当块、若尔当矩阵的定义，任何方阵都唯一存在若尔当标准形，即相似于一个若尔当矩阵.7.9. 最小多项式最小多项式的定义，性质，求法，与不变因子的关系，应用.第八章 λ-矩阵8.1.矩阵A 的特征矩阵及其初等变换，数字矩阵相似的条件,A 的不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式的求法及其关系，以及若尔当标准形的求法.8.2.A 的有理标准形的求法.8.3.利用若尔当块、若尔当矩阵的性质以及A 相似于一个若尔当矩阵证明某些命题.第九章欧几里得空间9.1. 定义及基本性质9.1.1. 内积的定义及其简单性质，欧式空间的定义,向量的正交的定义，会求向量的内积、长度、夹角.9.1.2.柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式,勾股定理（会推导）.9.1.3.内积的矩阵表示（会推导）9.1.4.基在某内积下的度量矩阵的定义及其性质（正定）,不同基在同一内积下的度量矩阵之间的关系（合同）（会推导）.9.2. 标准正交基9.2.1.标准正交基的定义，如何判定一组基是标准正交基？标准正交基的度量矩阵，内积在标准正交基下的矩阵表示.9.2.2.正交向量组扩充为正交基（或单位正交向量组扩充为标准正交基）的应用（书上有哪些结论的证明和习题的证明用到了该性质？）9.2.3.掌握施密特正交化过程及相应的向量表示，即：1212(,,,)(,,,)n n T ηηηεεε= 其中12,,,n εεε是任一组基，12,,,n ηηη是由12,,,n εεε经施密特正交化后得到的标准正交基，矩阵T 是一个对角线上元素都大于0的上三角形矩阵。