第3讲 函数的奇偶性 2
3.2.2函数的奇偶性-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册3.2.2：函数的奇偶性课标解读：1. 函数的奇偶性的概念.（理解）2. 函数奇偶性的几何意义.（了解）3. 函数奇偶性的应用.（掌握） 学习指导：1. 学习时，应类比单数单调性，先由具体函数入手，对函数奇偶性有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶性的定义.2. 实际上，函数的奇偶性就是平面几何中心对称图形，轴对称图形的解析表示. 知识导图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧函数奇偶性的应用函数奇偶性的判断方法单调性特征图像特征定义域特征奇、偶函数的特征函数奇偶性的定义函数的奇偶性 知识点1：函数的奇偶性 1.定义2.常见函数的奇偶性3.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设)(),(x g x f 的定义域分别是F 、G ，若F=G ，则有下列结论：例1-1：给出下列结论：①若)(x f 的定义域关于原点对称，则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若)2()2(f f =-，则)(x f （R x ∈）是偶函数； ④若)(x f （R x ∈）是偶函数，则)2()2(f f =-； ⑤若)2()2(f f ≠-，则)(x f （R x ∈）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=；⑦若)(x f 是定义域为R 的奇函数，则0)0(=f . 其中正确的结论是 .（填序号） 答案：②④⑤⑦例1-2：若函数)0)()((≠x f x f 为奇函数，则必有（ ）A.0)()(>-⋅x f x fB.0)()(<-⋅x f x fC.)()(x f x f -<D.)()(x f x f -> 答案：B知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义） 1.奇函数的图像特征若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 2.偶函数的图像特征若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.例2-3：下列四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定经过原点； ③偶函数的图像关于y 轴对称；④奇函数))((R x x f y ∈=的图像必经过点)).(,(a f a - 表述正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 答案：A例2-4：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的取值范围是（ ）.A.)32,31(B.)32,31[C.)32,21(D.)32,21[ 答案：A重难拓展知识点3：函数图像的对称性 1.图像关于点成中心对称图像结论1：函数)(x f y =的图像关于点）（b a P ,成中心对称图形的充要条件是函数b a x f x g -+=)()(为奇函数.一般结论：2.图像关于直线成轴对称图形结论2：函数)(x f 的图像关于直线a x =成轴对称图形的充要条件是函数)()(a x f x g +=为偶函数. 一般结论：例3-5：在定义在函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间上单调递减，则)(x f （ ）.A.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递增B.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递减C.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递增D.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递减 答案：B变式训练：若函数),(3)(2R b a bx ax x f ∈++=满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 的最大值为4，则=)(x f . 答案：322++-x x例3-6：函数233)(x x x f -=的图像的对称中心是（ ）A.（1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-1,2） 答案：C题型与方法题型1：函数奇偶性的判断 1.一般函数的奇偶性的判断 例7:判断下列函数的奇偶性；（1）;1)(23--=x x x x f （2）|;2||2|)(+--=x x x f （3）),0()(2R a x xa x x f ∈≠+=； （4）1111)(22+++-++=x x x x x f .答案：（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数.变式训练：已知|,2|)(,4)(2-=-=x x g x x f 则下列结论正确的是（ ） A. )()()(x g x f x h +=是偶函数 B. )()()(x g x f x h ⋅=是奇函数 C. xx g x f x h -⋅=2)()()(是偶函数 D. )(2)()(x g x f x h -=是奇函数 答案：D2.分段函数奇偶性的判断例8：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ，则（ ）.A. )(x f 是奇函数B. )(x f 是偶函数C. )(x f 既是奇函数又是偶函数D. )(x f 既不是奇函数也不是偶函数 答案：A例9：如果)(x f 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）. A.)(x f x y += B.)(x xf y = C.)(2x f x y += D.)(2x f x y = 答案：B例10.（1）已知函数R x x f ∈),(，若R b a ∈∀,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f y =为奇函数.（2）已知函数R x x f ∈),(，R x x ∈∀21,，都有)()(2)()(212121x f x f x x f x x f ⋅=-++，求证：)(x f y =为偶函数.（3）设函数)(x f 是定义在),(l l -上，证明：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数. 答案：略题型2：奇、偶函数图像特征的应用例11：已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域都是]3,3[-，且它们在]3,0[上的图像如图所示，则不等式0)()(<x g x f 的解集是 .答案：}321012|{<<<<-<<-x x x x 或或例12：（1）奇函数)(x f y =的局部图像如图所示，则)2(f 与)4(f 的大小关系为 .（2）已知)(x f 是定义在]3,0()0,3[⋃-上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图像如图所示，那么)(x f 的值域是 .答案：（1）)4()2(f f > （2）]3,1()1,3[⋃-- 题型3：函数奇偶性的应用 1.利用奇偶性求参数的值例13：（1）若函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则a = ；=b .（2）若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . （3）已知函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则a = . 答案：（1）310 （2）4 （3）-1变式训练：若函数),)(2)(()(为常数b a a bx a x x f ++=是偶函数，且它的值域为]4,(-∞，则该函数的解析式)(x f = .答案：422+-x2.利用奇偶性求函数的值例14：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f （ ）. A.-26 B. -18 C.-10 D.10 （2）已知)(x f 为奇函数，3)2(,2)()(=-+=g x f x g ，则=)2(f （ ）. A.-1 B. 0 C.1 D.2（3）设函数1)1()(22++=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M+n= .答案:（1）A （2）A （3）2例15：设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）A.0.5B. -0.5C.1.5D.-1.5 答案：B3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式例16：（1）已知函数)(x f 为R 上的偶函数，且当0<x 时，)1()(-=x x x f ，则当0>x 时，=)(x f .（2）)(x f 为R 上的奇函数，当0>x 时132)(2++-=x x x f ，则)(x f 的解析式为=)(x f .（3）已知⎩⎨⎧>+≤+=0,0,)(22x bx ax x x x x f 为奇函数，则b a += .答案：（1）)1(+x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-0,1320,00,13222x x x x x x x （3）0变式训练：若函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，11)()(-=+x x g x f ，则)(x f = .4.函数奇偶性的综合应用 1.函数奇偶性与单调性综合例17：已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0,2]上单调递增，则（ ）A.)4()3()1(f f f <<-B.)1()3()4(-<<f f fC.)1()4()3(-<<f f fD.)3()4()1(f f f <<- 答案：D例18:：（1）已知函数)(x f y =在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，则实数a 的取值范围为 .（2）定义在[-2,2]上的偶函数)(x f 在区间[0,2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围为 .2.函数奇偶性与对称性的综合例19:（1）定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递增，且)2(+x f 为偶函数，则（ ） A.)3()1(f f <- B.)3()0(f f > C.)3()1(f f =- D.)3()0(f f = （2）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则)2()1(f f + +=++)5()4()3(f f f . 答案：（1）A （2）0易错提醒易错1： 没有搞清分段函数的概念致错例20：判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0,320,30,32)(22x x x x x x x x f 的奇偶性.答案：既不是奇函数也不是偶函数易错2：判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错.例21：已知函数R x a x x x f ∈+-+=,1||)(2，a 为实数，判断函数)(x f 的奇偶性. 答案：0=a 时，是偶函数；0≠a 时，既不是奇函数也不是偶函数高考链接考向1：函数奇偶性的直接考察例23：设函数)(x f ，)(x g 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.)()(x g x f 是偶函数B.|)(|)(x g x f 是奇函数C.)(|)(|x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数答案：B例24：设函数ax x a x x f +-+=23)1()(，)(x f 是奇函数，则=a .答案：1例25：已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当)0,(-∞∈x 时，,2)(23x x x f +=则=)2(f .答案：12例26：函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且为奇函数.若1)1(-=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是（ ）A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案：D基础巩固1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}，则a+b=（ ）. A.-1 B.1 C.0D.22.下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的是（ ）. A.x x f =)( B.1)(2+-=x x fC.xx f 1)(= D.1||)(-=x x f3.如图奇函数)(x f 在区间[3,7]上单调递减且最小值为5，那么)(x f 在区间[-7，-3]上（ ）.A.单调递增且最小值为-5B.单调递增且最大值为-5C.单调递减且最小值为-5D.单调递减且最大值为-54.已知偶函数)(x f 在区间[-3，-1]上单调递减，则)2(),1(),3(f f f -的大小关系为 .5.若定义在(-1,1)上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数m ，n 的值分别为 .6.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=.（1）现已画出)(x f 在y 轴及y 轴左侧的图像，如图所示，请把函数)(x f 的图像补充完整，并根据图像写出)(x f 的单调递增区间；（2）写出函数)(x f 的值域.能力提升：7.设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）.A.)(|)(|x g x f -是奇函数B.)(|)(|x g x f +是偶函数C.|)(|)(x g x f -是奇函数 B.|)(|)(x g x f +是偶函数8.若定义在R 上的函数)(x f 满足：R x x ∈∀21,，有)()()(2121x f x f x x f +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）.A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.1)(+x f 是奇函数D.1)(+x f 是偶函数9.已知函数)(x f 是定义在]2,1[a a -上的偶函数，且当0>x 时，)(x f 单调递增，则关于x 的不等式)()1(a f x f >-的解集为（ ） A.)35,34[ B.]35,34()32,31[⋃ C.)32,31[]31,32(⋃-- D.无法确定，随a 的变化而变化 10.已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有9个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根之和是（ ）A.0B.3C.6D.911.已知定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递减，且)2(+x f 为偶函数，则)211(),4(),1(f f f -的大小关系为（ ） A.)211()1()4(f f f <-< B.)211()4()1(f f f <<- C.)1()4()211(-<<f f f D.)4()211()1(f f f <<- 12.若,+∈∈N n R x ，定义：)1(...)2)(1(-+⋅⋅++=n x x x x M n x ，例如）（）（）（）（234555-⨯-⨯-⨯-=-M 1201-=-⨯）（，则函数199)(-=x xM x f （ ）A. 是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数13.已知)(x f 是奇函数，当0<x 时，x x x f 2)(2+=，则)1(f 的值是 .14.函数)(x f 是奇函数，且在[-1,1]上单调递增，1)1(-=-f .（1）则)(x f 在[-1,1]上的最大值为 .（2）若12)(2+-≤at t x f 对任意∈x [-1,1]及任意∈a [-1,1]都成立，则实数t 的取值范围是 .15.已知)(x f 是定义在R 上的函数，设2)()()(,2)()()(x f x f x h x f x f x g --=-+=. （1）试判断)(x g 与)(x h 的奇偶性；（2）试判断)(x g ，)(x h 与)(x f 的关系；（3）由此你能猜想出什么样的结论？16.已知函数21)(x b ax x f ++=是定义在（-1,1）上的奇函数，且.52)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式；（2）用定义证明)(x f 在（-1,1）上是增函数;（3）解不等式：0)()1(<+-t f t f .17.已知定义在),0()0,(+∞⋃-∞上的函数)(x f 满足：①)()()(),,0()0,(,y f x f xy f y x +=+∞⋃-∞∈∀ ②当1>x 时，,0)(>x f 且1)2(=f .（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）判断函数在),0(+∞上的单调性；（3）求函数)(x f 在区间]4,0()0,4[⋃-上的最大值；（4）求不等式4)()23(≥+-x f x f 的解集.参考答案1. A2. D3. B4. )3()2()1(-<<f f f5. 0 06. （1）图像略 )(x f 的单调增区间是),1(,0,1+∞-）（ （2）值域为),1[+∞ 7. D8. C9. B10. A11. A12. A13. 114. （1）1 （2）}202|{≥=-≤t t t t 或或15. （1）)(x g 是偶函数 )(x h 是奇函数 （2）)()()(x h x g x f += （3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.16. （1）21)(x x x f += （2）略 （3）}210|{<<t t 17. （1）)(x f 为偶函数 （2）单调递增 （3）2 （4）}382{≥-≤x x 或.。
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第三讲函数的奇偶性考纲要求：了解奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法 。
1.奇函数：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f 〕，则称()f x 为奇函数。
2.偶函数：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕，则称()f x 为偶函数。
3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
（3）若奇函数的定义域包含数0，则(0)0f =。
（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在关于原点对称区间上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。
如若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31(f =2，则不等式2)(log 81>x f 的解集为______. （答：(0,0.5)(2,)+∞） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=><<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛>21log 81log 31log 1031)(log 8131818181x x f x f 或⎪⎩⎪⎨⎧=<>21log 31log 18181x x ∴()()+∞∈,25.0,0 x（ⅱ）如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。
偶函数没有反函数。
④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。
2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)
高考数学一轮总复习知识梳理：第三讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x 都有 f (－x )＝f (x ) ，那么函数f (x )是偶函数 都有 f (－x )＝－f (x ) ，那么函数f (x )是奇函数图象特征 关于 y 轴 对称关于 原点 对称 知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f (x )的最小正周期．归 纳 拓 展1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f －xf x ＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f －xf x ＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为奇函数，在公共定义域内(1)y ＝f (x )±g (x )为奇函数；(2)y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 为偶函数；(3)y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为奇函数．同理若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共定义域内均为偶函数，则y ＝f (x )±g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f xg x ，y ＝f [g (x )]，y ＝g [f (x )]均为偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为偶函数，则在公共定义域内y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 均为奇函数，y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为偶函数．3．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；(2)若f (x ＋a )＝1f x ，则T ＝2|a |；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |.4．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．5．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1为奇函数；(3)函数f (x )＝log a b －xb ＋x 为奇函数；(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－2,2]是偶函数．( × )(2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(0，＋∞)的一个周期．( × )(6)周期为T 的奇函数f (x )，一定有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0.( × )[解析] (6)举反例．函数f (x )＝tan x ，T ＝π，f (T )＝f (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2无意义，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0不对．题组二 走进教材2．(多选题)(必修1P 85T2改编)给出下列函数，其中是奇函数的为( BC )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 5C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x 2[解析] 对于f (x )＝x 4，f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )，可知f (x )＝x 4是偶函数，同理可知f (x )＝x 5，f (x )＝x ＋1x 是奇函数，f (x )＝1x 2是偶函数． 3．(必修1P 85T3改编)若函数y ＝f (x )(x ∈(a ，b ))为奇函数，则a ＋b ＝ 0 .4．(必修1P 85T1改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．5. (必修1P 87T12改编)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为_(－2,0)∪(2,5]__.[解析] 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．6．(必修1P 87T11改编)定义在R 上的奇函数f (x )以2为周期，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据函数的周期性和奇偶性得到f (3)＝f (－1)＝－f (1)、f (2)＝f (0)＝0，从而可求f (1)＋f (2)＋f (3)．因为函数以2为周期，所以f (3)＝f (－1)，f (2)＝f (0)，因为函数是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (0)－f (1)＝0，故选A.7．(必修1P 86T3改编)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝ －7 .[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，故f (x )＝2x－1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.题组三 走向高考8．(2023·新课标Ⅱ，4,5分)若f (x )＝(x ＋a )·ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( B )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 [解析] f (－x )＝(－x ＋a )ln －2x －1－2x ＋1＝(－x ＋a )ln 2x ＋12x －1＝(x －a )ln 2x －12x ＋1，∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ＋a ＝x －a ，∴a ＝0.9．(2021·全国乙，4)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( B )A. f ()x －1－1B ． f ()x －1＋1 C. f ()x ＋1－1 D ． f ()x ＋1＋1[解析] 思路一：将函数f (x )的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f (x )的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．解法一：f (x )＝－1＋2x ＋1，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f (x －1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f (x －1)＋1是奇函数，故选B.解法二：选项A ，f (x －1)－1＝2x －2，此函数为非奇非偶函数；选项B ，f (x －1)＋1＝2x ，此函数为奇函数；选项C ，f (x ＋1)－1＝－2x －2x ＋2，此函数为非奇非偶函数；选项D ，f (x ＋1)＋1＝2x ＋2，此函数为非奇非偶函数，故选B.。
3 第3讲 函数的奇偶性、对称性
第3讲 函数的奇偶性、对称性1．函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称 奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称 (1)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数y ＝f (x )关于y 轴对称，此时函数y ＝f (x )是偶函数．(2)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，f (x )＝－f (－x )，则函数y ＝f (x )关于原点对称，此时函数f (x )是奇函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )(5)若函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b ，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则a ＋b ＝2.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.2．(必修1P45B 组T6改编)已知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上的值域为________．解析：法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知函数f (x )在[－b ，－a ]上的值域为[－4，3]法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4， 所以－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上的值域为[－4，3]． 答案：[－4，3]3．(必修1P45B 组T4改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1 [易错纠偏](1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；(2)忽视奇函数的对称性； (3)忽视定义域的对称性．1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋4x －3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋4(－x )－3]＝－x 2＋4x ＋3，由奇函数的定义可知f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －3，x >0，0，x ＝0，－x 2＋4x ＋3，x <0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x －3，x >0，0，x ＝0，－x 2＋4x ＋3，x <02.设奇函数f (x )的定义域为[－5，5]，若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：由题图可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，所以当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．答案：(－2，0)∪(2，5]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数， 所以a －1＋2a ＝0， 所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )， 所以b ＝0， 所以a ＋b ＝13.答案：13判断函数的奇偶性(1)函数y ＝|x －4|－49－x 2的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数(2)(2020·“七彩阳光”联盟联考)已知函数f (x )＝|e |x |－2e|＋e |x |，g (x )＝3sin 2x ，下列描述正确的是( )A ．f (g (x ))是奇函数B ．f (g (x ))是偶函数C ．f (g (x ))既是奇函数又是偶函数D ．f (g (x ))既不是奇函数又不是偶函数【解析】 (1)由9－x 2>0可得－3<x <3，所以x －4<0， f (x )＝|x －4|－49－x 2＝4－x －49－x 2＝－x 9－x 2，f (－x )＝|x ＋4|－49－x 2＝4＋x －49－x2＝x 9－x 2＝－f (x )，所以函数y ＝|x －4|－49－x2是奇函数，故选A.(2)由题意知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))，故f (g (x ))是偶函数．【答案】 (1)A (2)B判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．1．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数解析：选D.f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.解：(1)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0，所以f (x )的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称． 所以f (x )＝4－x 2（x ＋3）－3＝4－x 2x. 所以f (x )＝－f (－x )， 所以f (x )是奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ， 则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )， 故原函数是偶函数．函数奇偶性的应用(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．【解析】 (1)因为f (x )为偶函数， 所以f (－x )－f (x )＝0恒成立， 所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.(2)f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2①， f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4②， 由①②得，2g (1)＝6，即g (1)＝3. 【答案】 (1)1 (2)3已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．1．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2解析：选B.设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A.因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8) ＝－log 39＝－2，所以g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2) ＝－log 33＝－1.3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．解析：当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )．答案：x (1－x )函数的对称性(1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0<x <1时，f (x )＝2x －1，则f (log 29)＝( )A ．－79B ．8C ．－10D ．－259(2)已知函数f (x )＝ax ＋bx －b ，其图象关于点(－3，2)对称，则f (2)的值是________．【解析】 (1)f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝1，f (log 29)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 294，因为1<log 294<2，故f ⎝⎛⎭⎫log 294＝f ⎝⎛⎭⎫2－log 294＝f ⎝⎛⎭⎫log 2169，其中0<log 2169<1，所以f ⎝⎛⎭⎫log 2169＝2log 2169－1＝79， 故f (log 29)＝－79，故选A.(2)因为函数f (x )＝ax ＋b x －b ＝a ＋ab ＋bx －b ，所以函数的对称中心为(b ，a )．又因为函数f (x )＝ax ＋bx －b ，其图象关于点(－3，2)对称，所以a ＝2，b ＝－3.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －3x ＋3，所以f (2)＝2×2－32＋3＝15.【答案】 (1)A (2)15(1)函数满足f (x ＋t )＝f (t －x )(或f (x )＝f (2t －x ))，则函数关于直线x ＝t 对称，若函数满足f (x ＋2t )＝f (x )，则函数f (x )以2t (t ≠0)为周期．(2)若函数y ＝f (x )的对称中心为(a ，b )，根据函数y ＝f (x )图象上任意点关于该对称中心的对称点也在此函数图象上，利用恒等式求解．1．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值．若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D.由于函数f (x )是两个函数y 1＝|x |，y 2＝|x ＋t |中的较小者，因此f (x )在不同的定义域内取值不同，故需作出其图象求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝|x |与y ＝|x ＋t |的草图(如图)．由图象知f (x )的图象为图中的实线部分(A －B －C －O －E )．由于f (x )的图象关于直线x ＝－12对称，于是－t ＋02＝－12，所以t ＝1.2．函数f (x )＝x －ax －a －1的图象的对称中心是(4，1)，则a ＝________．解析：因为f (x )＝x －a x －a －1＝x －a －1＋1x －a －1＝1＋1x －a －1，所以函数f (x )图象的对称中心是(a ＋1，1)． 由已知得a ＋1＝4，故a ＝3. 答案：3函数性质的综合应用(高频考点)函数的奇偶性及单调性是函数的两大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．主要命题角度有：(1)函数的奇偶性与单调性相结合； (2)函数的奇偶性与对称性相结合． 角度一 函数的奇偶性与单调性相结合(2020·金丽衢十二校联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－2)∪(2，4)C．(－∞，－4)∪(－2，0)D．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)＝f(2)＝f(－2)＝0，又f(x)在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.【答案】 D角度二函数的奇偶性与对称性相结合在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数【解析】由f(x)＝f(2－x)，函数f(x)关于x＝1对称，又因为f(x)在R上是偶函数，所以f(x)关于y轴对称．又因为f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数，在[－1，0]上为减函数，故函数图象如图所示．由图可知B正确．【答案】 B(1)关于奇偶性、单调性、对称性的综合性问题，关键是利用奇偶性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.1．(2020·湖州模拟)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，在区间[－1，0]上是严格单调递增函数，且满足f (e)＝0，f (2e)＝1，则不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤f （x ）≤1的解集为________．解析：根据函数周期为2且为偶函数知，f (e)＝f (e －2)＝0，f (2e)＝f (2e －4)＝f (6－2e)＝1，因为0<6－2e<e －2<1，且根据对称性知函数在[0，1]上单调递减，所以⎩⎨⎧0≤x ≤10≤f （x ）≤1的解为6－2e ≤x ≤e －2，故填[6－2e ，e －2]．答案：[6－2e ，e －2]2．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________． 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 所以f (4－x )＝f (x )，所以f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3，即f (1)＝3. 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (－1)＝f (1)＝3. 答案：3核心素养系列3 逻辑推理、数学运算——奇偶函数的二次结论及应用结论一：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c . [结论简证]由于函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以g (－x )＋g (x )＝f (－x )＋c ＋f (x )＋c ＝2c .对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【解析】 设g (x )＝a sin x ＋bx ，则f (x )＝g (x )＋c ，且函数g (x )为奇函数．注意到c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)＝2c 为偶数．故选D.【答案】 D由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功．结论二：若函数f (x )是奇函数，则函数g (x )＝f (x －a )＋h 的图象关于点(a ，h )对称． [结论简证]函数g (x )＝f (x －a )＋h 的图象可由f (x )的图象平移得到，不难知结论成立．函数f (x )＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3的图象的对称中心为( ) A ．(－4，6) B ．(－2，3) C ．(－4，3) D ．(－2，6)【解析】 设g (x )＝－1x －1－1x －1x ＋1，则g (－x )＝－1－x －1－1－x －1－x ＋1＝1x －1＋1x＋1x ＋1＝－g (x )，故g (x )为奇函数．易知f (x )＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＝g (x ＋2)＋3，所以函数f (x )的图象的对称中心为(－2，3)．故选B.【答案】 B此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解．结论三：若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)． [结论简证]当x ≥0时，|x |＝x ，所以f (|x |)＝f (x )；当x <0时，f (|x |)＝f (－x )，由于函数f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，故f (|x |)＝f (x )． 综上，若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)．(1)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________；(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则f (x －2)>0的条件为________．【解析】 (1)易知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为偶函数．当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，易知此时f (x )单调递增．所以f (x )>f (2x －1)⇒f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得13<x <1. (2)由f (x )＝x 3－8(x ≥0)，知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.所以，由已知条件可知f (x －2)>0⇒f (|x －2|)>f (2)．所以|x －2|>2，解得x <0或x >4.【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫13，1 (2){x |x <0或x >4}[基础题组练]1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝log 2xD ．y ＝－3－x解析：选B.A.函数y ＝－x 2为偶函数，不满足条件．B ．函数y ＝x 3为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件．C ．y ＝log 2x 的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．D ．函数y ＝－3－x 为非奇非偶函数，不满足条件．2．(2020·衢州高三年级统一考试)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：选C.当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，所以f (x )＝x 3－ln(1－x )．3．若f (x )＝(e x －e －x )(ax 2＋bx ＋c )是偶函数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．ac ＝0C ．a ＝0且c ＝0D ．a ＝0，c ＝0且b ≠0解析：选C.设函数g (x )＝e x －e －x .g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，所以g (x )是奇函数．因为f (x )＝g (x )(ax 2＋bx ＋c )是偶函数．所以h (x )＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数．即h (－x )＋h (x )＝0恒成立，有ax 2＋c ＝0恒成立．所以a ＝c ＝0.当a ＝c ＝b ＝0时，f (x )＝0，也是偶函数，故选C.4．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13解析：选C.由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53<f (2)，即f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)，故选C. 5．若函数f (x )＝ln(ax ＋x 2＋1)是奇函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选C.因为f (x )＝ln(ax ＋x 2＋1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0.即ln(－ax ＋x 2＋1)＋ln(ax ＋x 2＋1)＝0恒成立，所以ln[(1－a 2)x 2＋1]＝0，即(1－a 2)x 2＝0恒成立，所以1－a 2＝0，即a ＝±1.6．(2020·杭州四中第一次月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f （－x ）－2f （x ）5x≤0的解集为( )A ．(－∞，－2]∪(0，2]B ．[－2，0)∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，0)∪(0，2]解析：选D.因为函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，所以函数f (x )在(0，2)上的函数值为正，在(2，＋∞)上的函数值为负，当x >0时，不等式3f （－x ）－2f （x ）5x ≤0等价于3f (－x )－2f (x )≤0，又f (x )是奇函数，所以有f (x )≥0，所以有0<x ≤2，同理当x <0时，可解得－2≤x <0.综上，不等式3f （－x ）－2f （x ）5x≤0的解集为[－2，0)∪(0，2]，故选D.7．若f (x )＝k ·2x ＋2－x 为偶函数，则k ＝________，若f (x )为奇函数，则k ＝________． 解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)，即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1.f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，所以k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)，即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)．答案：1 －18．若关于x 的函数f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋2 018x 5x 2＋t (t >0)的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为________．解析：因为f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋2 018x 5x 2＋t ＝t ＋2x ＋2 018x 5x 2＋t＝t ＋g (x )，其中g (x )是奇函数，M ＋N ＝t ＋g (x )＋t ＋g (－x )＝2t ＝4⇒t ＝2.答案：29．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (1＋x )＝f (1－x )；②在[1，＋∞)上为增函数，若x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，f (ax )<f (x －1)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：根据题意，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 因为其在[1，＋∞)上为增函数，则在(－∞，1)上是减函数， 并且自变量离1越近，则函数值越小， 由f (ax )<f (x －1)可得，|ax －1|<|x －1－1|， 化简得|ax －1|<|x －2|，因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以|x －2|＝2－x ， 所以该不等式可以化为x －2<ax －1<2－x ，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x >－1（a ＋1）x <3在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）×12>－1（a －1）×1>－1（a ＋1）×12<3（a ＋1）×1<3，解得0<a <2，故答案为(0，2)．答案：(0，2)10．(2020·温州调研)已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意x 1∈[－2，2]，存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是________．解析：当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1∈(0，3]，又f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ∈[－2，0)时，f (x )∈[－3，0)，所以函数f (x )的值域是[－3，3]．当x ∈[－2，2]时，g (x )＝x 2－2x ＋m ∈[m －1，m ＋8]．由任意x 1∈[－2，2]，存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，可得[－3，3]⊆[m －1，m ＋8]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，m ＋8≥3⇒－5≤m ≤－2.答案：[－5，－2]11．已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f (x )>2－x 成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，k ∈R ， 即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，所以(k ＋1)·(1＋22x )＝0对一切k ∈R 恒成立， 所以k ＝－1.(2)因为x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x ， 即2x ＋k ·2－x >2－x 对x ∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k <22x 对x ∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k <(22x )min ，因为y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增， 所以(22x )min ＝1.所以1－k <1，解得k >0. 所以实数k 的取值范围为(0，＋∞)．12．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1，求满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数．解：令f (a )＝x ，则f [f (a )]＝12变形为f (x )＝12；当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋1＝12，解得x 1＝1＋22，x 2＝1－22； 因为f (x )为偶函数，所以当x <0时，f (x )＝12的解为x 3＝－1－22，x 4＝－1＋22；综上所述，f (a )＝1＋22，1－22，－1－22，－1＋22； 当a ≥0时，f (a )＝－(a －1)2＋1＝1＋22，方程无解；f (a )＝－(a －1)2＋1＝1－22，方程有2解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1－22，方程有1解； f (a )＝－(a －1)2＋1＝－1＋22，方程有1解； 故当a ≥0时，方程f (a )＝x 有4解，由偶函数的性质，易得当a <0时，方程f (a )＝x 也有4解，综上所述，满足f [f (a )]＝12的实数a 的个数为8.[综合题组练]1．已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为 ( )A.94 B ．2 C.34D.14解析：选A.设x ＞0，则－x ＜0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2＋3x －2.所以在[1，3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；当x ＝3时，f (x )min ＝－2.所以m ≥14且n ≤－2.故m －n ≥94.2．(2020·宁波效实中学高三月考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析：选D.由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图象关于x ＝k π－1(k ∈Z )对称．3．已知函数f (x )＝a －12x ＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________．解析：法一：因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a －12－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x ＋1，则2a ＝12－x ＋1＋12x ＋1＝2x 1＋2x ＋12x ＋1＝2x ＋12x ＋1＝1，所以a＝12. 法二：因为f (x )为奇函数，定义域为R ，所以f (0)＝0.所以a －120＋1＝0，所以a ＝12.经检验，当a ＝12时，f (x )是一个奇函数．答案：124．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)． 答案：f (1)>g (0)>g (－1)5．(2020·杭州学军中学高三质检)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0； (2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立． 若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1， 因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数， 所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立． 若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1， 同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1.故所求实数a 的取值范围是[0，1)．6．(2020·宁波市余姚中学高三模拟)设常数a ∈R ，函数f (x )＝(a －x )|x |. (1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2＋m >f [f (x )]对所有的x ∈[－2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(1－x )|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）x ，x ≥0（x －1）x ，x <0，当x ≥0时，f (x )＝(1－x )x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，12内是增函数， 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数； 当x <0时，f (x )＝(x －1)x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14， 所以f (x )在(－∞，0)内是减函数； 综上可知，f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，12， 单调减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)， 即(a ＋1)·1＝－(a －1)·1，解得a ＝0. 所以f (x )＝－x |x |，f [f (x )]＝x 3|x |； 所以mx 2＋m >f [f (x )]＝x 3|x |，即m >x 3|x |x 2＋1对所有的x ∈[－2，2]恒成立．因为x ∈[－2，2]，所以x 2＋1∈[1，5]．所以x 3|x |x 2＋1≤x 4x 2＋1＝x 4－1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－2≤165.所以m >165.所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫165，＋∞.。
第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题) (分层精练)(解析)-25年高考数学一轮复习
分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】 函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。
新高考A版讲义：第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性
第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。
第3讲函数的奇偶性与单调性
第3讲函数的奇偶性与单调性考点梳理一．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．二．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.但f(0)＝0不能说f(x)为奇函数。
(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．考点自测1．(2012·海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．解析由f(0)＝0，得b＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.答案－32．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝1 3.答案1 33．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23三．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在区间D 上是增函数； ②若f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在区间D 上是减函数． (2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．四. 函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：（复合函数中）同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．（高二内容） (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．考点自测1．(2013·南京鼓楼模拟)函数f (x )＝1＋x －1－x 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm ＝________.解析 由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x ≥0得－1≤x ≤1.因为f (x )在[－1,1]上是单调增函数，所以M＝f (1)＝2，m ＝f (－1)＝－2，所以Mm ＝－1. 答案 －12．(2012·连云港模拟)已知函数f (x )＝x －kx (k >0，x >0)，则f (x 2＋1)与f (x )的大小关系是________．解析 因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 2＋1≥2x >x (x >0)，所以f (x 2＋1)>f (x )． 答案 f (x 2＋1)>f (x )3．(2013·济南外国语学校检测)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0,1]考向一 函数单调性的判断【例1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 审题视点 可利用定义或导数法讨论函数的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．[方法总结] 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．【训练1】 已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )， ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.考向二 函数单调性的应用【例2】 (2013·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x ＜－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.[方法总结] 函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (1－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2－axa －1(a ≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a 的取值范围为________．解析 (1)画图象或求导，可知函数f (x )是R 上的增函数，于是由f (1－a 2)>f (a )，得1－a 2>a ，即a 2＋a －1<0，解得－1－52<a <－1＋52. (2)由题意，当x ＝1时，2－ax ＝2－a ≥0，所以a ≤2且a ≠1，a ≠0. 若a <0，则2－ax 是增函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1<0，即a <1.所以a <0.若a >0，则2－ax 是减函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1>0，即a >1.所以1<a ≤2.综上，得a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,2]． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－52，－1＋52 (2)(－∞，0)∪(1,2]高考经典题组训练1．(2012·陕西卷改编)下列函数：①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x ；④y ＝x |x |，其中既是奇函数又是增函数的序号是________．解析 y ＝－x 3；y ＝1x ，y ＝x |x |是奇函数，仅y ＝x |x |是增函数． 答案 ④3．(2012·上海卷)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 因为y ＝e x 是增函数，所以由题意，y ＝|x －a |在区间[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1. 答案 (－∞，1]4．(2010·天津卷改编)设f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x－1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．解 由题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．因为y ＝－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以当x ＝32时，y min ＝－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的函数序号是________．解析 由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f (x )＝1x 符合题意． 答案 ①2．下列函数中：①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2x ，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．解析 y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝2x 在R ＋上递减． 答案 ②3．(2012·镇江调研)若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析 因为f (x )是二次函数且开口向上， 所以要使f (x )在(－∞，1]上是单调递减函数，则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3.答案 [1,3]4．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数． 答案 ②5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________． 解析 由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0， 得f (1－x )＜－f (1－x 2)， 所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以⎩⎨⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)． 答案 (0,1)6．(2012·南师附中检测)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)． 解析 由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的． 答案 ①二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明 法一 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 法二 因为f (x )＝1a －1x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25.8．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明法一因为函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上为减函数．(2)解因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.。
新高考 核心考点与题型 函数 第3讲 函数的奇偶性对称性与周期性 - 解析
第3讲 奇偶性、对称性与周期性【考情考向分析】以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性、对称性，交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.知识点：函数的奇偶性奇偶性 定义图象特点 偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数 一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．考点一 判断函数的奇偶性 典例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∴(0，＋∞)，关于原点对称． ∴当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．【总结升华】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式1】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x【变式2】函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )， G (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性是( )A ．F (x )是奇函数，G (x )是奇函数B ．F (x )是偶函数，G (x )是奇函数C ．F (x )是偶函数，G (x )是偶函数D ．F (x )是奇函数，G (x )是偶函数1、答案 D ；解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数； 对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. 2、答案 B ；解析 F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )，G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用典例2-1：f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x 2-x ，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解析：∴奇函数图象关于原点对称， ∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x 2-x 又f(0)=0，22-x -x x 0f(x)=x -x x<0⎧≥⎪∴⎨⎪⎩，如图 典例2-2.：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______.解析：因为f (x )在且在区间（-∞，0）上单调递增，所以f (x )在（0，+∞）上单调递减，且(2)(2)f f -=.又因为120a ->，1(2)(2)a f f ->-，即1(2)(2)a f f ->.而f (x )在（0，+∞）上单调递减，所以1022a -<<，即112a -<，解得1322a << 【总结升华】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 【变式1】已知()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解析：设x <0，∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，f(x)=−f(−x)=−log 101−x ,∴当x <0时()lg(1)f x x =-- ∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩【变式2】定义在[－1，1]上的函数y ＝f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a 2－a －1)＋f(4a －5)＞0，求实数a 的取值范围.考点二 函数对称性的理解与运用 函数的对称性（1）轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
2022届新高考一轮复习 第三章 函数的概念及基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性 教案
1．理解函数奇偶性的定义，以及几何意义．2．能够准确的判断函数的奇偶性，并能利用函数奇偶性求函数解析式，函数值等．1．奇函数、偶函数的代数特征（1）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫做奇函数；（2）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫做偶函数． 2．奇函数、偶函数的几何特征 （1）奇函数图象关于原点成中心对称； （2）偶函数图象关于y 轴成轴对称． 注意：1．具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称． 2．若奇函数()f x 在原点处有定义，则()00f =．3．既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的集合．【例1】（1）已知下面四个函数中：①412x x y +=，②(ln 2y x =，③2ln 2x y x -=+，④()x xy x e e -=-，是奇函数的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【解析】对①，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()411412222x x xx x x f x f x --++-==+==，故函数为偶函数；对②，20x >恒成立，故函数定义域为R ，关于原点对称， 且()(22ln 2x x f x x --=-=(()lnln 2x f x ==-=-，故函数为奇函数；对③，由202xx->+可解得22x -<<，即函数定义域为()2,2-，关于原点对称， 且()()22lnln 22+--==-=--+x xf x f x x x，故函数为奇函数； 对④，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()x x x xf x x e e x e e f x ---=--=-=，故函数为偶函数，综上，②③为奇函数，故选B ． （2）下列函数中：①2y x =，②21(1)y x =+，③21y x =+，④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩偶函数的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】①2y x=，定义域是{|0}x x ≠，满足()()f x f x -=-，所以是奇函数； ②21(1)y x =+，定义域是{|1}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；③21y x =+，定义域是R ，满足()()f x f x -=，所以是偶函数；④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，定义域是{|0}x x ≠，当0x <时，()1()1()f x x x f x -=--=+=； 当0x >时，()1()1()f x x x f x -=+-=-=，满足()()f x f x -=，所以是偶函数， 故选C ．（3）判断下列函数的奇偶性．（1）()f x =（2）()22,0,0x x x f x x x x ⎧+>=⎨-<⎩；（3）()22f x x x a =--+．【答案】（1）函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；（2）函数是偶函数；（3）答案见解析．【解析】（1）因为函数()f x =32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不关于坐标原点对称，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）易知函数的定义域为()(),00,-∞+∞，关于原点对称，又当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，0x ->，故()()2f x x x f x -=-=； 当0x <时，()2f x x x =-，则当0x >时，0x -<，()()2f x x x f x -=+=，故原函数是偶函数．（3）函数()f x 的定义域为R ，当0a =时，()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数．当0a ≠时，()22f a a =+，()222f a a a -=-+，()()f a f a ≠-，且()()()2217222022f a f a a a a ⎛⎫+-=-+=-+≠ ⎪⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数．【变式1．1】（多选）下列函数是奇函数的是（）A ．()cos f x x x =B ．()21x xf x x -=-C ．()lg f x x =D ．()x xf x e e -=-【答案】AD【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，()f x 是奇函数； 对于B ，定义域为()(),11,-∞+∞，不关于原点对称，()f x 是非奇非偶函数；对于C ，定义域为()(),00,-∞+∞，()()lg lg f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数；对于D ，定义域为R ，()()()x x x xf x e e e e f x ---=-=--=-，()f x 是奇函数，故选AD ．【变式1．2】（多选）下列函数中，是奇函数且在()0,1上单调递减的函数是（） A ．1112x y e =-+B ．3sin 3sin y x x =+C ．1lg1xy x-=+D ．1,00,01,0x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-->⎩【答案】ACD【解析】对于A ，设()1112xy f x e ==-+，该函数的定义域为R ， 且()()111121210x x f x f x e e --+=-+-=++，所以该函数为奇函数， 又函数10x y e =+>在()0,1上恒成立且单调递增， 所以函数1112x y e =-+在()0,1上单调递减，故A 正确； 对于B ，设()3sin 3sin y g x x x ==+，该函数的定义域为R ，且()()()()33sin 3sin sin 3sin g x x x x x g x -=-+-=--=-，所以该函数为奇函数，又sin y x =在()0,1上单调递增，所以函数3sin 3sin y x x =+在()0,1上单调递增，故B 错误；对于C ，设()1lg1xy h x x-==+，该函数的定义域为()1,1-， 且()()11lglg 11x xh x h x x x+--==-=--+，所以该函数为奇函数， 又12111x y x x-==-+++在()0,1上单调递减， 所以函数1lg1xy x-=+在()0,1单调递减，故C 正确； 对于D ，设()1,00,01,0x x y p x x x x -+<⎧⎪===⎨⎪-->⎩，定义域为R ， 且当0x >时，()()1p x x p x -=+=-；当0x <时，()()1p x x p x -=-=-， 所以该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()1p x x =--，单调递减，故D 正确， 故选ACD ．1．函数奇偶性的判断方法 （1）定义法①判断函数的定义域是否关于原点对称 ②计算()f x -③判断()f x -与()f x 的关系：当()()f x f x -=或()()0f x f x --=时，()f x 为偶函数； 当()()f x f x -=-或()()0f x f x -+=时，()f x 为奇函数； 当()()f x f x -≠或()()0f x f x --≠时，()f x 为非奇非偶函数． （2）奇偶性的“运算”①奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数②奇函数⨯奇函数=偶函数，奇函数⨯偶函数=奇函数，偶函数⨯偶函数=偶函数 2．常见的奇偶性模型①()x x f x a a -=+()0,1a a >≠且为偶函数； ②()x x f x a a -=-()0,1a a >≠且为奇函数；③()x xx x a a f x a a ---=+()0,1a a >≠且为奇函数；④()log a b xf x b x-=+()0,1,0a a b >≠≠且为奇函数；⑤())log af x x=()0,1a a >≠且为奇函数；⑥类似于()432f x ax bx cx dx e =++++这种由幂函数乘以一个系数再相加形式的函数， 当()f x 为奇函数时，偶次项系数都为0，即0,0,0a c e ===； 当()f x 为偶函数时，奇次项系数都为0，即0,0b d ==． 3．分段函数的奇偶性判断判断分段函数的奇偶性，应判断每段期间上()f x 与()f x -的关系，只有每段函数都满足相同的奇偶关系，我们才能说函数具有奇偶性．【例2】已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22xf x =+，则()1f =（）A ．4-B ．52-C ．4D ．52【答案】B【解析】由题设知：15(1)(1)(22)2f f -=--=-+=-，故选B ．【变式2．1】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且当()0,x ∈+∞时，()2xf x =，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】5-【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2211log log 055f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2log 5221log log 5=255f f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，故答案为5-．【例3】已知3()1f x ax bx =++，且()57f =，则()5f -的值是（） A ．－5 B ．－7 C ．5 D ．7【答案】A【解析】因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+，则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-， 所以()()551615f g -=-+=-+=-，故选A ．【变式3．1】已知()()tan 6x xe f x x e -=⋅++，()8f t =，则 ()f t -=______．【答案】4【解析】∵()()6tan x xe f x x e --=⋅+，∴()()()6tan()tan ()[()6]x x x x e f x x ex e f e x ------=-⋅+=-⋅+=--， 即()6f x -为奇函数，∴()6()6f t f t --=-+，故()12()1284f t f t -=-=-=， 故答案为4．【变式3．2】已知函数()22421x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于___________． 【答案】8 【解析】()2244244212121x xx xx x x xf x +++⋅++===++++，()21x xg x =+， 因为()()2121xxx x g x g x ---==-=-++，所以函数()21xx g x =+是奇函数，因此()min max ()0g x g x +=，因此max min ()4()48M m g x g x +=+++=， 故答案为8．【变式3．3】已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=__________．【答案】32-【解析】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=， 即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-， 故答案为32-．【变式3．4】已知3sin x x m +=，311sin 288y y m +=-，且π,4π,,4x y m ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭R ，则πtan 23x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭_________．【解析】设3()sin f x x x =+，因为()()()33()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以3()sin f x x x =+是奇函数，又331(2)8sin 28sin 28f y y y y y m ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，()(2)0f x f y m m ∴+=-=，20x y ∴+=，tan 2ππtan33x y ⎛⎫∴++== ⎪⎝⎭【例4】已知函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()23x f x g x +=⋅，则函数()f x =__________． 【答案】33x x -+【解析】因为()()23x f x g x +=⋅，所以()()23x f x g x --+-=⋅， 又(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-；所以()()()()23xf xg x f x g x --+-=-=⋅，则()()()()2323xx f x g x f x g x -⎧+=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩， 两式相加得()22323x x f x -=⋅+⋅，所以()33x xf x -=+，故答案为33x x -+．【变式4．1】已知函数)(f x 是定义在R 上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当)(,0x ∈-∞时，)(f x =_________． 【答案】21x x --+【解析】函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()2211f x x x x x -=----=+-，故()()21f x f x x x =--=--+，故答案为21x x --+．【例5】已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =--，则当0x <时，()f x =_________． 【答案】23x x -【解析】当0x ≥时，()23f x x x =--，当0x <时，则0x ->，∴()()()2233f x x x x x -=----=-+， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则当0x <时，()22()()33x x x x f x f x =--=--+=-，故答案为23x x -．【变式5．1】定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()f x g x +=432421x x x +-+，若()2522f x a a ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．31,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．31,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．13,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()432421f x g x x x x +=+-+，所以()()()()432432421421f x g x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-+-=--+⎪⎩， 所以()()()()432432421421f xg x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-=--+⎪⎩，所以()42421f x x x =-+， 因为x ∈R ，所以20x ≥，令2t x =，则0t ≥，()()2421f x h t t t ==-+，由二次函数的性质知()h t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()211134214444h t h ⎛⎫⎛⎫≥=⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 因为()2522f x a a ≥-恒成立，所以253224a a -≤，解得1342a -≤≤，所以实数a 的取值范围为13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ．【例6】已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且()3f a -=，则a =（） A ．12B ．12-C ．2log 3D ．2【答案】B【解析】函数()f x 为奇函数，(3)(3)f f a ∴-=-=．又2()log (1)f x x ax =++，则2(3)log 43f a a =+=-，解得12a =-，故选B ．【变式6．1】已知()g x 是定义在R 上的奇函数，()()2f xg x x =+，若()2f a =，2(2)f a a -=+，则a =（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．2或1【答案】C【解析】()g x 是奇函数，()()0g x g x ∴+-=，2()()2f x f x x ∴+-=， 而()2f a =，2(2)f a a -=+，所以2422a a +=，解得2a =或1-， 故选C ．【例7】已知函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，则()f a =（）A ．1e e-B ．1C ．1e e -D ．1e e+【答案】A【解析】函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，可得()f x 在定义域R 上为奇函数， 根据奇函数性质()()f x f x -=-， 令0x =，可得()00f =， 又()0000f e ae =+=，1a ∴=-，()x x f x e e -∴=-，故()()1111f e e a f e e--==-=-，故选A ．【变式7．1】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()6f -=__________． 【答案】2- 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，又当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()2log (02)00f t =∴++=，1t ∴=-，∴当0x ≥时，2()log (2)1f x x =+-，()()[]()322log (626)1log 2621f f +-=-∴-=-=--=-， 故答案为2-．【例8】已知函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式()()20x f x -<的解集为（）A．(()2,+∞B．()+∞C ．()2,+∞D．()2【答案】A【解析】因为函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()222222ax a x a ax a x a -++=+++，所以2(2)0a x +=，所以20a +=，得2a =-，所以()224f x x =-+，所以不等式()()20x f x -<可转化为20()0x f x -<⎧⎨>⎩或20()0x f x ->⎧⎨<⎩，即22240x x <⎧⎨-+>⎩或22240x x >⎧⎨-+<⎩，解得x <<或2x >，故原不等式的解集为(()2,+∞，故选A ．【变式8．1】已知函数()22x xa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于__________． 【答案】13-或3【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即2222x xx xa a a a ----=-++， 212212212212x x x x x x xx a a a a a a ⋅--⋅-∴==⋅++⋅+，整理可得222222x x x x a a -⋅=⋅-， 21a ∴=，解得1a =±．当1a =时，()1212xx f x -=+，()()1211123f a f -∴===-+； 当1a =-时，()1212x xf x +=-，()()11213112f a f +∴=-==-， 综上所述：()13f a =-或3，故答案为13-或3．【变式8．2】已知函数())lnf x x =是奇函数，则a =_________．【答案】1【解析】函数())lnf x x =是奇函数，()()f x f x ∴-=-，))lnln x x ∴=-，即))ln ln 0x x +=， )ln 0x x =，)1x x ∴=，1a ，故答案为1．【例9】已知()21f x ax bx =-+是定义域为[],1a a +的偶函数，则2b a a -=（）A ．0B ．34CD ．4【答案】B【解析】∵()21f x ax bx =-+在[],1a a +上是偶函数，∴1a a -=+，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()2112f x x bx =--+，∵()f x 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以有1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，代入解析式可解得0b =， ∴213144b a a -=-=，故选B ． 【变式9．1】已知函数()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，则a =（） A ．1- B ．12C ．12- D ．1【答案】D【解析】函数的定义域为{1x x ≠-且}x a ≠， 因为()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，所以定义域关于原点对称，则1a =，所以()()()2sin sin 111x xx x x f x ==+--，因为()22sin()sin ()()11x xf x x x f x --===-----，满足()f x 为奇函数，故选D ．【变式9．2】设函数()f x ，()g x 均是定义在241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦上的偶函数和奇函数，且满足()()2221x f x g x x +=++，则()f m 的值为（）A ．12 B ．32C ．134D ．174【答案】D【解析】∵函数()f x ，()g x 均是定义域为241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦的偶函数和奇函数，即有24122m m m +=++，解得1m =，∵()()()()()22221221x xf xg x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-+-=+-+⎪⎩， ∴有()()()()22221221x x f x g x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-=++⎪⎩，解得()()2122212x x f x x -=+++， ()()1714f m f ∴==，故选D ． 【例10】已知奇函数()22,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩，则不等式()13x f x ++≤的解集为________． 【答案】(],1-∞【解析】因为()f x 是奇函数且()10f =，所以()10f -=，所以1a =-，所以不等式()13x f x ++≤等价于()()210113x x x x +≥⎧⎪⎨++-+≤⎪⎩或()()210113x x x x +<⎧⎪⎨-+-+≤⎪⎩，所以1x ≤，所以不等式()13x f x ++≤的解集为(],1-∞，故答案为(],1-∞．【变式10．1】已知函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 则α=__________． 【答案】7π6【解析】函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 设0x <，则0x ->，()2sin(π)3x f x x +-+-=，()()2sin(π)3f x x f x x -=--∴=--+，即22cos()sin()3πx x x x α---++=-+，πcos()sin()sin()π32x x x αα∴+=-=++，故π2ππ23x x k α-=+++，5π2π,6k k α∴=--∈Z ， 当1k =-时，满足7π6α=， 故答案为7π6．1．利用函数的奇偶性求参数值的方法（1）若函数定义域含有参数，则可以利用奇（偶）函数定义域关于原点对称的性质求解；（2）若函数解析式含参数①对于在0x =处有定义的奇函数，利用()00f =求解； ②可以利用奇（偶）函数()f x 与()f x -的关系求解．一、选择题．1．若函数()2f x x =，()cosg x x x =，则（）A ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数B ．()f x 与()g x 均为偶函数C ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数D ．()f x 与()g x 均为奇函数【答案】C【解析】22()()()f x x x f x -=-==且定义域为R ，则()f x 为偶函数；()()cos()cos ()g x x x x x g x -=--=-=-且定义域为R ，则()g x 为奇函数， 故选C ． 2．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数， 故选B ．3．已知函数()1lg 1x f x x +=-，()(),11,x ∞∞∈--+，()f a b =，则()f a -=（）A ．bB ．b -C ．1bD ．1b-【答案】B【解析】由题得()(),11,x ∞∞∈--+，()111lglg lg ()111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-，所以函数()f x 是奇函数，所以()()f a f a b -=-=-，故选B ． 4．若函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．1-【答案】A【解析】因为函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，由题意得100x x a +≠⎧⎨-≠⎩，即1x x a ≠-⎧⎨≠⎩，所以1a =，又当1a =时，2()(1)(1)1x xf x x x x ==+--，满足()()f x f x =--，函数()f x 是奇函数，所以1a =成立， 故选A ．5．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e =-，则当0x <时，()f x =（）A ．1x e +B ．1x e -C ．1x e -+D ．1x e --+【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，()1x f x e -∴-=-，设()f x 为奇函数，()1x f x e -∴-=-，即()1x f x e -=-+，故选D ．6．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1()3x f x a +=-（a 为常数）则(1)f -的值为（） A ．6- B ．3-C ．2-D ．6【答案】A【解析】由题意知：(0)0f =，即30a -=，则3a =， ∴0x ≥时，1()33x f x +=-，由奇函数对称性知：2(1)(1)(33)6f f -=-=--=-，故选A ． 二、填空题．7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)2f =，(1)3f =．写出()f x 的一个解析式为__________．【答案】2()2f x x =+（答案不唯一）【解析】二次函数2()f x ax b =+，显然满足()()f x f x -=，所以该函数是偶函数， 由(0)22f b =⇒=，由(1)3231f a a =⇒+=⇒=，所以2()2f x x =+， 故答案为2()2f x x =+． 8．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 【答案】1【解析】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 222121x x x x ax ax ---=+--，222121x x a a ---=+--，222202121xxx a ⨯+-=--， 即22a =，所以实数1a =， 故答案为1．9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12xx a x f =+-，则()()3f f =________． 【答案】11【解析】()010f a =-=，1a =，当0x <时，0x ->，()()12xx f f x x -=-+-=--，即()12xf x x -=-+，()12,00,012,0x x x x f x x x x -⎧+->⎪==⎨⎪-+<⎩， ()34234f =-=-，()414521f =-+=-，()()311f f =， 故答案为11．10．函数22(1)22()1x xx f x x -++-=+在区间[2021,2021]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=___________．【答案】2【解析】222(1)22222()111x x x xx x f x x x --++-+-==+++， 设2222()1x x x g x x -+-=+，则()2222()1x xx g x g x x --+-==-+-，则()g x 为奇函数， ∴函数()f x 的最大值为1T +，最小值为1T -+，则1M T =+，1m T =-+，2M m ∴+=， 故答案为2．11．函数()()()2x a bx a f x -=+（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为[)10,-+∞，则该函数的解析式()f x =__________． 【答案】2210x -【解析】()()()()22222x a bx a bx a b x a f x -+=-=+-，定义域为R ，()()2222bx a f b x a x -=---，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()20a b -=，即0a =或2b =．当0a =时，()2f x bx =，值域不是[)10,-+∞，舍去； 当2b =时，()222222f x a x a =-≥-，所以2210a -=-，则()2210f x x =-，故答案为2210x -． 三、解答题．12．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式； （2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．【答案】（1）2()2f x x x =+；（2）1或1 【解析】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+．（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =-．13．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时，()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦． 所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩． （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+， 所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-， 由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．。
高中数学人教A版必修一 函数的奇偶性 (2)
–2 –3
x g(x) = x2 + 1
讲授新课
关于奇偶函数的几点说明：
1.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性,函数的奇偶性是 函数的整体性质；
2.奇偶函数必须满足两个条件：(1)定义域必须关于原点对称； （2）满足f(-x)=f(x)【偶】或者f(-x)=-f(x)【奇】。
课本P85 练习 1,2,3
延伸拓展
伍 延伸拓展
1．思考辨析
[答案]
(1)函数 f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( ) (1)× (2)×
(2)对于函数 y＝f(x)，若存在 x，使 f(－x)＝－f(x)， (3)× (4)×
则函数 y＝f(x)一定是奇函数．( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
2.奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(－x)=-f(x),那么
f(x)就叫做奇函数．
例如.函数f(x)
x3, g(x)
x 都是奇函数，他们的图像如下所示： x2 1
y
y
3
3
2
2
1
1
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
–1 –2 –3
f(x) = x3
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
O1 2 3 4 x
–1
Hale Waihona Puke –22 g(x) = x2 + 1
【问题2】：(1) 这两个函数图象又有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
y
3 2
f(-1)=-1,f(1)=1
y
3
第三讲函数的奇偶性
第三讲函数的奇偶性首先我们观察一个函数F(X)=X2 .根据我们初中学习过的知识我们可以很清楚的画出这个函数图像，在初中我们简单学习了二次函数，函数F(X)=x2的对称轴:X=-2a/b,x=0也就是函数关于Y轴对称，根据我们学习的函数单调性，我们知道函数F(X)=x2在负无穷到0为单调递减，在0到正无穷为单调递增。
现在我们观察下自变量X -X ，我们取X=2，那么-X=-2，带入方程中，F（2）=4，F(-2)=4.那么有F(X)=f(-X).如果取X=3，那么同样F(X)=f(-X).在函数定义域内，对于任意一个X都有一个-X,-X属于定义域内且F(X)=F(-X)，我们把这种函数称为偶函数我们来看下偶函数的定义：设函数Y=G(X)的定义域为D，如果对D内的任意一个X，都有-X属于D，且F(X)=-F(-X),则这个函数就叫做偶函数。
练习A 1 （1）（3）例题F(X)=X2 X(-[-1 3] 判断是不是偶函数。
因为函数的定义域不是关于原点对称的，所以就不可能是偶函数。
如果一个函数的定义域不是关于原点对称的那么就失去了是偶函数的前提条件。
所以判断时首先看是否关于原点对称。
例题(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析法一∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二由f(－1)＝f(1)，（特殊值代入法）得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.绘画偶函数图像。
练习A 4我们知道偶函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出其中的一部分就可以画出了解函数在另一部分的图像和性质。
偶函数的是关于Y轴对称的,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反的。
自学奇函数推导：对奇函数f(-x)=-F（X）有F(-X)+f(x)=0 令X=0有F(O)=0 .所以对于奇函数，如果在0处有定义域，那么F（0）一定等于0提高训练1．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数2已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围。
第二章 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性-2025年高考数学备考
第二章函数第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.函数的奇偶性2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.函数的周期性2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12函数图象的对称性2022全国卷乙T12函数性质的综合应用2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11学生用书P0241.函数的奇偶性奇偶性定义图象特征特性单调性奇函数一般地，设函数f （x ）的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且①f （－x ）＝关于②原点对称.（1）如果定义域中包含0，那么f （0）＝③0.（2）若函数在关于原在关于原点对称的区间上单调性⑤相同.－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.点对称的区间上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝④0.偶函数一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且⑥f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.关于⑦y轴对称.f（x）＝f（｜x｜）.在关于原点对称的区间上单调性⑧相反.注意（1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.规律总结1.常见的奇（偶）函数（1）函数f（x）＝a x＋a－x为偶函数，函数g（x）＝a x－a－x为奇函数；（2）函数f（x）＝－－＋－＝2－12+1为奇函数，函数g（x）＝log a－＋为奇函数；（3）函数f（x）＝log a（x＋2+1）为奇函数，函数g（x）＝log a（2+1－x）也为奇函数.2.函数奇偶性的拓展结论（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.2.函数的周期性（1）周期函数一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.（2）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的⑩最小正周期.注意并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.常用结论函数周期性的常用结论设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；（2）若f（x＋a）＝±1（），则2a是函数f（x）的周期；（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.3.函数图象的对称性已知函数f（x）是定义在R上的函数，（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线⑪x＝＋2对称.（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫（＋2，2）对称.注意（1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.常用结论函数f（x）图象的对称性与周期的关系（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋1，则f（－1）＝（A）A.－2B.0C.1D.22.函数f（x）＝r1图象的对称中心为（B）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）解析由题知f（x）＝r1＝1＋1，其图象可由y＝1的图象向上平移一个单位长度得到，又y＝1的图象关于（0，0）对称，所以f（x）＝1＋1的图象关于（0，1）对称.3.[多选]以下函数为偶函数的是（AC）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x3C.f（x）＝x2＋cos xD.f（x）＝1＋｜x｜4.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，f（x）＝x（x＋1）.5.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x－2），当x∈[0，2）时，f（x）＝x2－4x，则当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.解析设x∈[4，6），则x－4∈[0，2），则f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x ＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（x－4）＝f（x），所以当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.6.[2024北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若f（x）＝＋，<0，B－1，>0是奇函数，则a＝1，b＝1.解析由f（x）为奇函数，知f（－x）＝－f（x），当x＞0时，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.学生用书P026命题点1函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性例1（1）[全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（B）A.f（x）g（x）是偶函数B.f（x）｜g（x）｜是奇函数C.｜f（x）｜g（x）是奇函数D.｜f（x）g（x）｜是奇函数解析因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（x）g（x）为奇函数，f（x）·｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）｜g（x）为偶函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选B.（2）[2021全国卷乙]设函数f （x ）＝1－1+，则下列函数中为奇函数的是（B ）A.f （x －1）－1B.f （x －1）＋1C.f （x ＋1）－1D.f （x ＋1）＋1解析解法一因为f （x ）＝1－1+，所以f （x －1）＝1－（－1）1+（－1）＝2－，f （x ＋1）＝1－（r1）1+（r1）＝－r2.对于A ，F （x ）＝f （x －1）－1＝2－－1＝2－2，定义域关于原点对称，但不满足F （x ）＝－F （－x ）；对于B ，G （x ）＝f （x －1）＋1＝2－＋1＝2，定义域关于原点对称，且满足G （x ）＝－G （－x ）；对于C ，f （x ＋1）－1＝－r2－1，定义域不关于原点对称；对于D ，f （x ＋1）＋1＝－r2＋1，定义域不关于原点对称.故选B.解法二f （x ）＝1－1+＝2－（r1）1+＝21+－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f （x ）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f （x －1）＋1，故选B.方法技巧1.（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；（2）若定义域关于原点对称，则判断f （x ）与f （－x ）是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断f （x ）＋f （－x ）＝0（奇函数）或f （x ）－f （－x ）＝0（偶函数）是否成立.2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.注意对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断f （－x ）＝f （x ）或f （－x ）＝－f （x ）是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.角度2函数奇偶性的应用例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]若f （x ）＝（x ＋a ）·ln 2－12r1为偶函数，则a ＝（B ）A.－1B.0C.12D.1解析解法一设g（x）＝ln2－12r1，易知g（x）的定义域为（－∞，－12）∪（12，＋∞），且g（－x）＝ln－2－1＝ln2r12－1＝－ln2－12r1＝－g（x），所以g（x）为奇函数.若－2r1f（x）＝（x＋a）ln2－12r1为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B.解法二因为f（x）＝（x＋a）ln2－12r1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln3，f（1）＝（a＋1）ln13＝－（a＋1）ln3，所以（a－1）ln3＝－（a＋1）ln3，解得a＝0，经检验，满足题意，故选B.（2）[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，则f（2）＋g（1）＝－3.解析由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，则有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，则f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.方法技巧函数奇偶性的应用类型及解题策略（1）求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值，或利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组）求解析式.（2）求参数值：利用定义域关于原点对称或f（x）±f（－x）＝0列方程（组）求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.注意利用特殊值法求参数时要检验.训练1（1）[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（C）A.f（x）＝x ln xB.f（x）＝ln（－x＋2+1）C.f（x）＝e x＋e－xD.f（x）＝e x－e－x解析对于A，因为f（x）＝x ln x的定义域为（0，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）＝x ln x不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为f（x）＝ln（－x＋2+1）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋2+1）＋ln（x＋2+1）＝ln 1＝0，所以f （x ）＝ln （－x ＋2+1）是奇函数，故B 选项不符合题意；对于C ，因为f （x ）＝e x ＋e －x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （－x ）＝e －x ＋e x ＝f （x ），所以f （x ）＝e x ＋e －x 是偶函数.f '（x ）＝e x －e －x ，当x ∈（0，＋∞）时，有e ＞e 0=1>e －，则f '（x ）＝e x －e －x ＞0，所以f （x ）＝e x ＋e －x 在（0，＋∞）上单调递增，故C 选项符合题意；对于D ，因为f （x ）＝e x －e －x 的定义域为R ，关于原点对称，但f （－x ）＝e －x －e x ＝－（e x －e －x ）＝－f （x ），所以f （x ）＝e x －e －x 是奇函数，故D 选项不符合题意.故选C.（2）[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝2x －a ·3－x ，当x ＜0时，f （x ）＝3x －2－x.解析因为函数f （x ）为奇函数，定义域为R ，所以f （0）＝20－a ×30＝0，解得a ＝1.若x ＜0，则－x ＞0，所以f （－x ）＝2－x －3x ，又f （x ）为奇函数，所以当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝3x －2－x ，即当x ＜0时，f （x ）＝3x －2－x .命题点2函数的周期性例3（1）已知f （x ＋1）是定义在R 上且周期为2的函数，当x ∈[－1，1）时，f （x ）＝－22+4,－1≤<0，sin π，0≤<1，则f （3）·f （－103）＝（A）A.3B.－3C.解析因为f （x ＋1）是定义在R 上且周期为2的函数，所以f （x ）也是周期为2的函数，（解题关键：由f （x ＋1）的周期得到f （x ）的周期）则f （3）＝f （－1）＝－2＋4＝2，f （－103）＝f （23）＝sin 2π3＝f （3）·f （－103）＝2＝3，故选A.（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）·f （y ），f （1）＝1，则∑J122f （k ）＝（A ）A.－3B.－2C.0D.1解析因为f （1）＝1，所以在f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）f （y ）中，令y ＝1，得f （x ＋1）＋f （x －1）＝f （x ）f （1），所以f （x ＋1）＋f （x －1）＝f （x ）①，所以f （x＋2）＋f （x ）＝f （x ＋1）②.由①②相加，得f （x ＋2）＋f （x －1）＝0，故f （x ＋3）＋f （x ）＝0，所以f （x ＋3）＝－f （x ），所以f （x ＋6）＝－f （x ＋3）＝f （x ），所以函数f （x ）的一个周期为6.在f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）f （y ）中，令x ＝1，y ＝0，得f （1）＋f （1）＝f （1）f （0），所以f （0）＝2，再令x ＝0，代入f （x ＋3）＋f （x ）＝0，得f （3）＝－2.令x ＝1，y ＝1，得f （2）＋f （0）＝f （1）f （1），所以f （2）＝－1.由f （x ＋3）＋f （x ）＝0，得f （1）＋f （4）＝0，f （2）＋f （5）＝0，f （3）＋f （6）＝0，所以f （1）＋f （2）＋…＋f （6）＝0，根据函数的周期性知，∑J122f （k ）＝f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）＝f （2）＋f （3）＝－1－2＝－3，故选A.方法技巧（1）利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.（2）判断抽象函数的周期一般需要对变量进行赋值.训练2（1）[2024广东梅州模拟]已知函数f （x ）＝e r1，≤1，－（－1),>1，则f （2024－ln 2）＝（A ）A.－22B.－2C.2D.22解析当x ＞1时，f （x ）＝－f （x －1），则f （x ＋2）＝－f （x ＋1）＝f （x ），所以x ＞1时，f （x ）是周期为2的函数.因为2024－ln 2＝2022＋2－ln 2，且2＞2－ln 2＞2－ln e ＝1，所以f （2024－ln 2）＝f （2－ln 2）＝－f （1－ln 2）＝－e1－ln 2＋1＝－e 2e ln2＝－e 22.故选A.（2）[2024云南部分名校联考]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）＋f （4－x ）＝0，当0≤x ≤2时，f （x ）＝a ·2x ＋x 2，则f （2024）＝－1.解析因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）＋f （4－x ）＝0，所以f （x ）＝－f （4－x ）＝－f （x －4），f （x －4）＝－f （x －8），所以f （x ）＝f （x －8），故f （x ）是以8为周期的函数，则f （2024）＝f （0）.令x ＝2，则f （2）＋f （4－2）＝2f （2）＝8a ＋8＝0，则a ＝－1，所以f （0）＝－20＝－1，即f （2024）＝－1.命题点3函数图象的对称性例4（1）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （－x ）＝2－f （x ），若函数y ＝r1与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑i=1（x i ＋y i ）＝（B）A.0B.mC.2mD.4m解析由f （－x ）＝2－f （x ）知f （x ）的图象关于点（0，1）对称，而y ＝r1＝1＋1的图象也关于点（0，1）对称，因此两个函数图象的交点也关于点（0，1）对称，且成对出现，则x1＋x m＝x2＋x m－1＝…＝0，y1＋y m＝y2＋y m－1＝…＝2，所以∑i=1（x i＋y i）＝0×2＋2×2＝m.（2）函数f（x）＝（x2－1）（e x－e－x）＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为2.解析设g（x）＝（x2－1）（e x－e－x）＋x，则f（x）＝g（x）＋1.因为g（－x）＝（x2－1）（e－x－e x）－x＝－g（x），且g（x）的定义域关于原点对称，所以g（x）是奇函数.由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，故M＋N＝[g（x）＋1]max＋[g（x）＋1]min＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.方法技巧1.解决与函数图象的对称性有关的问题，应结合题设条件的结构特征及对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，进而利用对称性解决求值或参数问题.2.常用结论：三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象的对称中心为（－3，f（－3））.训练3（1）[多选]关于函数f（x）＝sin x＋1sin，下列结论正确的是（BC）A.f（x）的图象关于y轴对称B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的图象关于直线x＝π2对称D.f（x）的最小值为2解析由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝sin（－x）＋1sin（－）＝－（sin x＋1sin）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以A错误，B正确.因为f（π－x）＝sin（π－x）＋1sin（π－）＝sin x＋1sin＝f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝π2对称，C正确.当sin x＜0时，f（x）＜0，所以D错误.故选BC.（2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋x＋1＋sin（x－1），则函数f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.解析由三次函数图象的对称性可得，y＝x3－3x2＋x＋1的图象的对称中心为（1，0），因为y＝sin（x－1）的图象也关于（1，0）对称，所以函数f（x）在（0，2）上的图象关于（1，0）对称，所以f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.命题点4函数性质的综合应用例5（1）[2021全国卷甲]设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（92）＝（D）A.－94 B.－32 C.74 D.52解析因为f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，令x＝1，得f（1）＝0，即a＋b＝0①，令x＝0，得f（0）＝－f（2）.因为f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，令x＝1，得f（3）＝f（1），所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f（92）＝f（12）＝－f（32）＝2×（32）2－2＝52.（2）[2024平许济洛第一次质检]定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＋f（x）＝0，且f（x）在[－2，0]上单调递增.若a＝f（tan5π18），b＝f（3），c＝f（log43），则（A）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜b解析由f（2－x）＋f（x）＝0可得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，由f（x）为偶函数可得f（x）的图象关于y轴对称，根据函数周期性结论可得函数f（x）的周期为4，所以f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝f（1），因为0＜log43＜1，1＝tanπ4＜tan5π18＜tanπ3＝3＜2，所以0＜log43＜1＜tan5π18＜2，因为偶函数f（x）在[－2，0]上单调递增，所以函数f（x）在（0，2]上单调递减，所以f（tan5π18）＜f（1）＝f（3）＜f（log43），即a＜b＜c.故选A.方法技巧1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2.对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.训练4（1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x＋x2＋x，则不等式f（2－a）＋f（2a－3）＞0的解集为（B）A.（－1，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，1）解析易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上，f（x）＞1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）在（－∞，0）上单调递增，且在（－∞，0）上f（x）＜－1，故f（x）在R上单调递增.原不等式可化为f（2－a）＞－f（2a－3），即f（2－a）＞f（3－2a），所以2－a＞3－2a，故a＞1，选B.（2）[2024湖北部分重点中学联考]已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2）成立，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2024）＝0.解析因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.因为∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2），所以令x＝2，得f（0）＝2f（2），得f（2）＝0，所以f（2－x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，且函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，则f（1）＋f（3）＝0，又f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2024）＝506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＝0.学生用书P028抽象函数问题的解题策略策略1赋值法例6[多选/2023新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y），则（ABC）A.f（0）＝0B.f（1）＝0C.f（x）是偶函数D.x＝0为f（x）的极小值点解析解法一令x＝y，则有f（x2）＝2x2f（x）.当x＝0时，可得f（0）＝0，A正确.当x ＝1时，可得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0，B正确.因为f（（－x）2）＝2（－x）2·f（－x），即f（x2）＝2x2f（－x），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，C 正确.因为无法判断函数f（x）的单调性，所以无法确定f（x）的极值点，故D不正确，故选ABC.解法二取x＝y＝0，则f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f（1）＝f（－1）＋f（－1），所以f（－1）＝0，取y＝－1，则f（－x）＝f（x）＋x2f（－1），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故C正确；因为f（0）＝0，且函数f（x）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f（x）的极小值点，也可能为函数f（x）的极大值点，也可能不是函数f（x）的极值点，故D不正确.综上，选ABC.方法技巧赋值法是指利用已知条件，对变量赋值，从而得出抽象函数在某点处的函数值或抽象函数的性质.策略2性质转化法例7（1）[2022全国卷乙]已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则∑22J1f（k）＝（D）A.－21B.－22C.－23D.－24解析由y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，可得g（2＋x）＝g（2－x）.在f（x）＋g（2－x）＝5中，用－x替换x，可得f（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x）①，所以y＝f（x）为偶函数.在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替换x，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f（－x－2）＝－2②，所以y＝f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得f （x ）＋f （x ＋2）＝－2，所以f （x ＋2）＋f （x ＋4）＝－2，所以f （x ＋4）＝f （x ），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数.由f （x ）＋g （2－x ）＝5可得f （0）＋g （2）＝5，又g （2）＝4，所以可得f （0）＝1，又f （x ）＋f （x ＋2）＝－2，所以f （0）＋f （2）＝－2，得f （2）＝－3，又f （3）＝f （－1）＝－1，f （4）＝f （0）＝1，所以∑J122f （k ）＝5（f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4））＋f （1）＋f （2）＝－24.故选D.（2）[多选/2022新高考卷Ⅰ]已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，记g （x ）＝f '（x ）.若f （32－2x ），g （2＋x ）均为偶函数，则（BC ）A.f （0）＝0B.g （－12）＝0C.f （－1）＝f （4）D.g （－1）＝g （2）解析解法一（转化法）因为f （32－2x ）为偶函数，所以f （32－2x ）＝f （32＋2x ），函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，则f （－1）＝f （4），所以C 正确；因为g （2＋x ）为偶函数，所以g （2＋x ）＝g （2－x ），函数g （x ）的图象关于直线x ＝2对称，因为g （x ）＝f'（x ），所以函数g （x ）的图象关于点（32，0）对称，（二级结论：若函数h （x ）为偶函数，则其图象上在关于y 轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原点对称.本题函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，则其导函数g （x ）的图象关于点（32，0）对称）因为g （x ）的定义域为R ，所以g （32）＝0.由g （x ）的图象既关于直线x ＝2对称，又关于点（32，0）对称，知g （x ）的周期T ＝4×（2－32）＝2，所以g （－12）＝g （32）＝0，g （－1）＝g （1）＝－g （2），所以B 正确，D 错误；不妨取f （x ）＝1（x ∈R ），经验证满足题意，则f （0）＝1，所以选项A 不正确.综上，选BC.解法二（特例法）因为f （32－2x ），g （2＋x ）均为偶函数，所以函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，函数g （x ）的图象关于直线x ＝2对称.取符合题意的一个函数f （x ）＝1（x ∈R ），则f （0）＝1，排除A ；取符合题意的一个函数f （x ）＝sin πx ，则f'（x ）＝πcos πx ，即g （x ）＝πcos πx ，所以g （－1）＝πcos （－π）＝－π，g （2）＝πcos 2π＝π，所以g （－1）≠g （2），排除D.又该题为多选题，选BC.方法技巧1.思路：利用题设中的条件等式，将其变形为满足函数某些性质的定义表达式，从而利用这些性质转化求解.2.设函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R.（1）若f（x）的图象关于x＝a对称，则f'（x）的图象关于（a，0）对称；（2）若f（x）的图象关于（a，b）对称，则f'（x）的图象关于x＝a对称；（3）若f（x）是以T为周期的函数，则f'（x）也是以T为周期的函数.注意利用函数图象的平移变换解决抽象函数性质问题时，注意在进行图象变换的同时，函数图象的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换.策略3特殊函数模型法例8定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f（1）＝2，则f（－3）＝（C）A.2B.3C.6D.9解析解法一由函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），联想到函数模型f（x）＝x2＋bx，由f（1）＝2，可得b＝1，则f（x）＝x2＋x，所以f（－3）＝（－3）2＋（－3）＝6.解法二f（1）＝f（1＋0）＝f（1）＋f（0）＋2×1×0＝f（1）＋f（0），得f（0）＝0；f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f（1）＋2×（－1）×1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；f（－2）＝f（－1－1）＝f（－1）＋f（－1）＋2×（－1）×（－1）＝2f（－1）＋2＝2；f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×（－2）×（－1）＝2＋0＋4＝6.故选C.方法技巧常用函数模型抽象函数性质基本函数模型f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy二次函数f（x）＝x2＋bxf（xy）＝f（x）f（y）或f（）＝（）（）幂函数f（x）＝xαf（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝（）（）指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（）＝f（x）－对数函数f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）f（y）f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）余弦函数f（x）＝cosωx（ω一般取满足要求的最小正数）注意应用特殊函数模型法解题时，要注意检验所选模型是否满足已知条件.训练5（1）[新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（D）A.[－1，1]∪[3，＋∞）B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞）D.[－1，0]∪[1，3]解析由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.（2）[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x－y）＝f（x）－f（y）＋1，且f（1）＝0，当x＞0时，f（x）＜1.则下列选项正确的是（ACD）A.f（0）＝1B.f（2）＝－2C.f（x）－1为奇函数D.f（x）为R上的减函数解析解法一设f（x）＝kx＋1，因为f（1）＝0，所以k＝－1，所以f（x）＝－x＋1，满足x＞0时，f（x）＜1，则易得A，C，D均正确，故选ACD.解法二对于A，取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）－f（0）＋1，故f（0）＝1，A正确；对于B，取x＝0，y＝1，则f（－1）＝f（0）－f（1）＋1＝2，取x＝1，y＝－1，则f（2）＝f（1）－f（－1）＋1＝－1，B错误﹔对于C，取x＝0，则f（－y）＝f（0）－f（y）＋1＝2－f（y），f（－y）－1＝－[f（y）－1]，则f（y）－1为奇函数，所以f（x）－1为奇函数，C正确；对于D，当x1＞x2时，x1－x2＞0，f（x1－x2）＜1，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2）－1＜0，故f（x）是R上的减函数，D正确，故选ACD.（3）已知函数f（x）满足f（1）＝14，且4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），则f（2024）＝－14.解析解法一令y＝1，得4f（x）f（1）＝f（x＋1）＋f（x－1），即f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x）＝－f（x－1），即f（x＋3）＝－f（x），所以函数f（x）的周期为6，则f（2024）＝f（2）.令x＝1，y＝0，得f（0）＝12，由f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），可得f（2）＝f（1）－f（0）＝－14，所以f（2024）＝－14.解法二因为f（x＋y）＋f（x－y）＝4f（x）f（y），x，y∈R，联想到余弦函数模型cos（x＋y）＋cos（x－y）＝2cos x cos y，两边同除以2，得12cos（x＋y）＋12cos（x－y）＝cos x cos y＝4·12cos x12cos y，故猜想f（x）＝12cos（ωx），又f（1）＝14，则f（1）＝12cosω＝14，当ω∈（0，π）时，可得ω＝π3，即f（x）＝12cos（π3x），故f（x）的周期为T＝6，所以f（2024）＝f（2）＝12cos2π3＝－14.1.[命题点1角度2/全国卷Ⅱ]设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x－1，则当x＜0时，f（x）＝（D）A.e－x－1B.e－x＋1C.－e－x－1D.－e－x＋1解析依题意得，当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（e－x－1）＝－e－x＋1，故选D.2.[命题点1角度2/2023全国卷乙]已知f（x）＝x e B－1是偶函数，则a＝（D）A.－2B.－1C.1D.2解析解法一f（x）的定义域为{x｜x≠0}，因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），即x e B－1＝－x－e－B－1，即e（1－a）x－e x＝－e（a－1）x＋e－x，即e（1－a）x＋e（a－1）x＝e x＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0（舍去）或a＝2，故选D.解法二f（x）＝x e B－1＝e（－1）－e－，f（x）是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e（a-1）x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.3.[命题点2，3/多选/2024江苏省兴化市名校联考]已知函数f（x）为R上的奇函数，g（x）＝f（x＋1）为偶函数，下列说法正确的有（ABD）A.f（x）图象关于直线x＝－1对称B.g（2023）＝0C.g（x）的周期为2D.对任意x∈R都有f（2－x）＝f（x）解析因为函数f （x ）为R 上的奇函数，所以函数f （x ）的图象关于点（0，0）中心对称，因为g （x ）＝f （x ＋1）为偶函数，所以f （－x ＋1）＝f （x ＋1），即函数f （x ）的图象关于x ＝1对称，所以f （－x ＋1）＝－f （－x －1），所以f （x －1）＝f （－x －1），所以函数f （x ）的图象关于x ＝－1对称，故A 正确；由f （－x ＋1）＝f （x ＋1）可得f （2－x ）＝f （x ），故D 正确；由f （2－x ）＝f （x ）可得f （2＋x ）＝f （－x ）＝－f （x ），所以f （4＋x ）＝f （x ），即函数f （x ）的周期为4，故C 错误；因为f （x ）的周期为4，所以g （2023）＝f （2024）＝f （0）＝0，故B 正确.故选ABD.4.[命题点3/2023大同学情调研]函数f （x ）＝6e +1＋B ｜｜+1在[－5，5]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N ＝（C ）A.3B.4C.6D.与m 的值有关解析由题意可知，f （x ）＝6e +1＋B ｜｜+1＝3－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1，设g （x ）＝－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1，则g （x ）的定义域为（－∞，＋∞），g （－x ）＝－3（e －－1）e －+1＋（－）｜－｜+1＝－[－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1]＝－g （x ），所以g （x ）为奇函数，所以当x ∈[－5，5]时，g （x ）max ＋g （x ）min ＝0，所以当x ∈[－5，5]时，f （x ）max ＋f （x ）min ＝M ＋N ＝g （x ）max ＋3＋g （x ）min ＋3＝6，故选C.5.[思维帮角度1，2/2021新高考卷Ⅱ]设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋2）为偶函数，f （2x ＋1）为奇函数，则（B ）A.f （－12）＝0B.f （－1）＝0C.f （2）＝0D.f （4）＝0解析因为函数f （2x ＋1）是奇函数，所以f （－2x ＋1）＝－f （2x ＋1），所以f （1）＝0，f （－1）＝－f （3）.因为函数f （x ＋2）是偶函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ＋2），所以f （3）＝f （1），所以f （－1）＝－f （1）＝0.故选B.6.[思维帮角度2/多选/2023四省联考]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（－∞，0]上均单调递减，则（BD ）A.f （f （1））＜f （f （2））B.f （g （1））＜f （g （2））C.g（f（1））＜g（f（2））D.g（g（1））＜g（g（2））解析因为f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在（－∞，0]上均单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，即g（x）在R上单调递减，所以f（1）＜f（2），g（2）＜g（1）＜g（0）＝0，（提示：定义在R上的奇函数的图象必过原点）所以f（g（1））＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g（2）），故B，D正确，C不正确.若f（1）＜f（2）＜0，则f（f（1））＞f（f（2）），故A不正确.综上所述，选BD.学生用书·练习帮P2661.[2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（C）A.f（x）＝tan（－x）B.f（x）＝2－xC.f（x）＝e－x－e xD.f（x）＝2解析f（x）＝tan（－x）＝－tan x的定义域是{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故A错误；f（x）＝2－x＝（12）x既不是奇函数也不是偶函数，在R上单调递减，故B错误；f（x）＝e－x－e x的定义域为R，∵f（－x）＝e x－e－x＝－f（x），∴f（x）是奇函数，∵y＝e－x，y＝－e x均为R上的减函数，∴f（x）在R上单调递减，故C正确；f（x）＝2的定义域为{x｜x≠0}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选C.2.若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝e x，则g（x）＝（D）A.e x－e－xB.12（e x＋e－x）C.12（e－x－e x）D.12（e x－e－x）解析因为f（x）＋g（x）＝e x，f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝e－x，所以g（x）＝12（e x－e－x）.故选D.3.已知函数f（x）＝2+2，≥0，2－2，<0，若f（－a）＋f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（C）A.[－1，0）B.[0，1]C.[－1，1]D.[－2，2]解析若x＜0，则－x＞0，f（－x）＝x2－2x＝f（x），若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝x2＋2x＝f（x），故函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，函数f（x）单调递增，由f（－a）＋f（a）≤2f（1），得2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），所以｜a｜≤1，所以－1≤a≤1.故选C.4.[2024青岛市检测]若函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，则m＝（C）A.－1B.0C.1D.±1解析解法一因为函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，又y＝cos x为偶函数，所以g（x）＝lg（2＋－x）为奇函数，则g（x）＋g（－x）＝0，即lg（2＋－x）＋lg（2＋＋x）＝0，即lg[（2＋－x）（2＋＋x）]＝lg（x2＋m－x2）＝lg m＝0，解得m＝1，故选C.解法二因为函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，又y＝cos x为偶函数，所以g（x）＝lg（2＋－x）为奇函数，所以g（0）＝0，即lg＝0，解得m＝1.经检验，符合题意.故选C.5.[2024安徽月考]已知函数f（x）＝2sin x＋x＋2，x∈[－2π，2π]，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（A）A.4 D.2π＋3－1解析因为y＝2sin x＋x的图象关于原点对称，所以f（x）＝2sin x＋x＋2的图象关于点（0，2）对称，所以f（x）在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和M＋m＝4.故选A.6.[2023南京市、盐城市一模]若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d满足f（1－x）＋f（1＋x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x＋3）＜f'（x－1）的解集为（C）A.（0，＋∞）B.（－∞，－4）C.（－4，0）D.（－∞，－4）∪（0，＋∞）解析由f（1－x）＋f（1＋x）＝0可知，函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称.解法一易得f'（x）＝3x2＋2bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，所以函数f'（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得｜2x＋3－1｜＜｜x－1－1｜，解得－4＜x＜0，故选C.解法二函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象的对称中心为点（－3，f（－3）），由－3＝1，a＝1，得b＝－3，所以f'（x）＝3x2－6x＋c，由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得3（2x＋3）2－6（2x＋3）＋c﹤3（x－1）2－6（x－1）＋c，解得－4＜x＜0，故选C. 7.[2024福州市一检]已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三个性质，则f（x）＝－x（答案不唯一）.（写出一个满足条件的函数即可）①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；②f（x）是奇函数；③当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0.解析因为f（x）是奇函数，且当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0，即x＞－y时，f（x）＜－f（y）＝f（－y），所以f（x）是单调递减函数，再考虑到f（x＋y）＝f（x）＋f（y），所以f（x）＝kx（k＜0）都符合题意.8.已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）的解析式为f（x解析当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以当x＜0时，f（x）＝2x2＋3x－1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.综上，f（x）的解析式为f（x）＝－22+3+1，>0，0，=0，22+3－1，<0.9.[2024安徽六校联考]已知函数f（x）＝ln（2+1＋x）－2+1，则不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2的解集是（A）A.（13，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，13）D.（－∞，1）解析因为2+1＞｜x｜≥－x，所以2+1＋x＞0在R上恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，f（x）＝ln（2+1＋x）＋（e－1）－（e+1）e+1＝ln（2+1＋x）＋e－1e+1－1，令h（x）＝f（x）＋1＝ln（2+1＋x）＋e－1e+1，则h（x）＋h（－x）＝[ln（2+1＋x）＋e－1e+1]＋[ln（2+1－x）＋e－－1e－+1]＝ln（2+1＋x）＋ln（2+1－x）＋e－1e+1＋1－e1+e＝ln1＋0＝0，所以h（x）是奇函数.设g（x）＝ln（2+1＋x），则g（x）为奇函数.当x≥0时，y＝2+1，y＝x均单调递增，则y＝2+1＋x在[0，＋∞）上单调递增.所以g（x）＝ln（2+1＋x）在[0，＋∞）上单调递增.又g（x）为奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上单调递增.又y＝e x＋1在R上单调递增，所以y＝2e+1在R上单调递减，所以y＝－2e+1在R上单调递增，所以h（x）＝g（x）－2e+1＋1在R上单调递增.不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2，即f（x）＋1＞－[f（2x－1）＋1]，也即h（x）＞－h（2x－1）＝h（1－2x），所以x＞1－2x，解得x＞13.故选A.10.[2024黄冈模拟]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x＋1），且f（2＋x）－f（2－x）＝4x，g（3＋x）为偶函数，则g'（7）＋g（17）＝（C）A.0B.1C.2D.3解析因为g（3＋x）为偶函数，g（x）＝f'（x＋1），所以f'（x＋4）＝f'（－x＋4），对f（2＋x）－f（2－x）＝4x两边同时求导，得f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4，所以有f'（4＋x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4－x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4＋x）＋f'（x）＝4⇒f'（8＋x）＝f'（x），所以函数f'（x）的周期为8，在f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4中，令x＝0，得f'（2）＝2，因此g（17）＝f'（18）＝f'（2）＝2.因为g（3＋x）为偶函数，所以有g（3＋x）＝g（3－x）⇒g'（3＋x）＝－g'（3－x）⇒g'（7）＝－g'（－1）①，f'（8＋x）＝f'（x）⇒g（7＋x）＝g（x－1）⇒g'（7＋x）＝g'（x－1）⇒g'（7）＝g'（－1）②，由①②可得：g'（7）＝0，所以g'（7）＋g（17）＝2，故选C.11.[多选/2024辽宁开学考试]已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x －1）＋f （x ＋3）＝0，当x ∈[－2，0]时，f （x ）＝2x －2－x ＋x ，则（ACD ）A.f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B.4是f （x ）的一个周期C.f （x ）在（0，2]上单调递增D.f （2024）＜f （12）＜f （0.50.2）解析由函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数可知，f （x ）为奇函数，则f （－x ）＝－f （x ）.又f （x －1）＋f （x ＋3）＝0，得f （x ）＋f （x ＋4）＝0，则f （x ＋4）＝－f （x ）＝f （－x ），所以f （x ＋2）＝f （2－x ），则f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，A 项正确.由f （8＋x ）＝－f （4＋x ）＝f （x ）可知，8是f （x ）的一个周期，由f （x ）＝－f （x ＋4）可知，4不是f （x ）的一个周期，B 项错误.当x ∈[－2，0]时，易知f （x ）＝2x －2－x ＋x 为增函数，又f （x ）为奇函数，所以f （x ）在（0，2]上单调递增，C 项正确；又f （2024）＝f （8×253）＝f （0），0＜0.5＜0.50.2，且f （x ）在[－2，2]上单调递增，所以f （0）＜f （12）＜f （0.50.2），即f （2024）＜f （12）＜f （0.50.2），D 项正确.故选ACD.12.[多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知函数y ＝f （x ）对任意实数x ，y 都满足2f （x ）f （y ）＝f （x ＋y ）＋f （x －y ），且f （1）＝－1，则（AC ）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是奇函数C.f （x ）＋f （1－x ）＝0D.∑J12025f （k ）＝1解析在2f （x ）f （y ）＝f （x ＋y ）＋f （x －y ）中，令x ＝1，y ＝0，可得2f （1）f （0）＝2f （1），即－2f （0）＝－2，解得f （0）＝1≠0，故f （x ）不是奇函数，B 错误；令x ＝0可得2f （0）f （y ）＝f （y ）＋f （－y ），即f （y ）＝f （－y ），故函数f （y ）是偶函数，即f （x ）是偶函数，故A 正确；令x ＝y ＝12，则2f 2（12）＝f （1）＋f （0）＝0，故f （12）＝0，令x ＝12，可得2f （12）f （y ）＝f （12＋y ）＋f （12－y ）＝0，故f （x ）＋f （1－x ）＝0，故C 正确；因为f （x ）是偶函数，所以f （x ）＝f （－x ），故f （－x ）＋f （1－x ）＝0，即f （x ）＋f （1＋x ）＝0，所以f （x ＋1）＋f （2＋x ）＝0，所以f （x ＋2）＝f （x ），故函数f （x ）的周期为2，因为f （1）＋f （0）＝0，f （1）＝－1，所以f （1）＋f （2）＝f （1）＋f （0）＝0，f （2025）＝f （1）＝－1，所以∑J12025f （k ）＝f （1）＋f （2）＋…＋f （2025）＝f （2025）＝f （1）＝－1，故D 错误.故选AC.13.[多选/2024南昌市模拟]f （x ）是定义在R 上的连续可导函数，其导函数为f'（x ），下列说法中正确的是（ACD ）A.若f （x ）＝f （－x ），则f'（x ）＝－f'（－x ）B.若f'（x ）＝f'（x ＋T ）（T ≠0），则f （x ）＝f （x ＋T ）C.若f （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称，则f'（x ）的图象关于直线x ＝a 轴对称D.若f （－1＋x ）＋f （－1－x ）＝2，f'（x ＋2）的图象关于原点对称，则f （－1）＋f'（2）＝1解析对于A ：f （x ）＝f （－x ）两边对x 求导，得f'（x ）＝－f'（－x ），故A 正确.对于B ：f （x ）＝f （x ＋T ）＋C （C 为常数）⇔f'（x ）＝f'（x ＋T ），则C ≠0时，B 错误.对于C ：f （x ）的图象有对称中心（a ，b ）⇒f （a －x ）＋f （a ＋x ）＝2b ，两边对x 求导，得－f'（a －x ）＋f'（a ＋x ）＝0，即f'（a －x ）＝f'（a ＋x ）⇒f'（x ）的图象关于直线x ＝a 对称，C 正确.对于D ：f （－1＋x ）＋f （－1－x ）＝2⇒f （x ）的图象有对称中心（－1，1），则f （－1）＝1.f'（x ＋2）的图象向右平移2个单位长度 f'（x ）的图象⇒f'（x ）的图象有对称中心（2，0），则f'（2）＝0.所以f （－1）＋f'（2）＝1＋0＝1，故D 正确.故选ACD.14.[2022全国卷乙]若f （x ）＝ln ｜a ＋11－｜＋b 是奇函数，则a ＝－12，b ＝ln2.解析解法一f （x ）＝ln ｜a ＋11－｜＋b ＝ln ｜a ＋11－｜＋ln e b ＝ln ｜（r1）e －x 1－｜.∵f （x ）为奇函数，∴f （－x ）＋f （x ）＝ln ｜（r1）2e 2－2e 221－2｜＝0，∴｜（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2｜＝｜1－x 2｜.当（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，（+1）2e 2=1，2e 2=1，解得＝－12，＝ln2.当（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2＝－1＋x 2时，（+1）2e 2＝－1，2e 2＝－1，无解.综上，a ＝－12，b ＝ln 2.解法二易知x≠1.∵函数f（x）为奇函数，∴由奇函数定义域关于原点对称可得x≠－1，∴当x＝－1时，｜a＋11－｜≤0.又∵｜a＋11－｜≥0恒成立，∴当x＝－1时，｜a＋11－｜＝0，∴a＝－12.又由f（0）＝0可得b＝ln2.经检验符合题意，∴a＝－12，b＝ln2.15.[探索创新/2023广西联考]若定义在D上的函数f（x）满足下列条件：①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立；②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立；③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·21＝1成立.则称该函数为“χ函数”，下列函数可以称为“χ函数”的是（D）A.f（x）＝1－33r1+3B.f（x）＝2＋sin xC.f（x）＝x4－x2＋1D.f（x）＝ln（2＋1＋x）解析由①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立可知，y＝f（x）的图象关于原点对称，“χ函数”为奇函数.②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立，整理可得（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，所以函数y＝f（x）在D上单调递增.③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·21＝1成立，整理可得f（x2）＝（12）1，因为∀x1∈R，y＝（12）1＞0，所以（0，＋∞）是f（x）的值域的子集.对于选项B，C，均不满足①，对于选项A，f（x）＝1－33r1+3＝2－（3+1）3（3+1）＝23（3+1）－13，在定义域内单调递减，不满足②，f（x）＝ln（2+1＋x）满足①②③，故选D.。
高中数学教案 第3讲 函数的奇偶性、周期性
第3讲函数的奇偶性、周期性1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及应用.2.会利用函数的奇偶性、周期性解决函数性质的简单问题.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且□1f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于□2y 轴对称奇函数一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且□3f(－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于□4原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且□5f (x ＋T )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个□6最小的正数，那么这个□7最小正数就叫做f (x )的最小正周期.常用结论1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a ＞0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a ＞0).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.()(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.()(4)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和点(b ，0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)(多选)下列给出的函数是奇函数的是()A.f (x )＝1x B.f (x )＝x 2＋1x C.f (x )＝x 3＋1 D.f (x )＝sin x解析：ABD 对于选项A ，B ，D 中的函数，都有f (－x )＝－f (x )，故是奇函数.对于选项C ，f (－x )＝(－x )3＋1＝－x 3＋1≠－f (x )，故不是奇函数.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝.解析：f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.答案：－2(3)设f (x )是以2为最小正周期的周期函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝(x －1)2，则f (5)＝，f (92)＝.解析：f (5)＝f (1)＝(1－1)2＝0，f (92)＝f (12)＝(12－1)2＝14.答案：014判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f(x)2＋x，x<0，x2＋x，x>0；(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1).解：(1)－x2≥0，2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋（－x）2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.反思感悟判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.训练1(1)(2024·海淀区模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A.y＝xB.y＝1x2C.y＝lg|x|D.y＝3x－3－x2解析：C选项A，y＝x是非奇非偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意.选项B，y＝1x2是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意.选项C，y＝lg|x|是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意.选项D，y＝3x－3－x2是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意.故选C.(2)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝e x＋e－x，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析：C选项A，f(x)g(x)＝(e x＋e－x)sin x，f(－x)g(－x)＝(e－x＋e x)sin(－x)＝－(e x＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；选项B，|f(x)|g(x)＝|sin x|(e x＋e－x)，|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋e x)＝|sin x|(e x＋e－x)＝|f(x)|g(x)，是偶函数，判断错误；选项C，f(x)|g(x)|＝|e x＋e－x|sin x，f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋e x|sin(－x)＝－|e x＋e－x|sin x＝－f(x)|g(x)|，是奇函数，判断正确；选项D，|f(x)g(x)|＝|(e x＋e－x)sin x|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋e x)sin(－x)|＝|(e x＋e－x)sin x|＝|f(x)g(x)|，是偶函数，判断错误.函数奇偶性的应用求解析式(参数或值)例2(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝x e xe ax－1是偶函数，则a＝()A.－2B.－1C.1D.2解析：D因为f(x)＝x e xe ax－1为偶函数，则f(x)－f(－x)＝x e xe ax－1－（－x）e－x e－ax－1＝x[e x－e（a－1）x]e ax－1＝0，因为x不恒为0，可得e x－e(a－1)x＝0，即e x＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.(2)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2－2x＋2，则f(x)＝.解析：由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0，而当x<0时，－x>0，所以有f(x)＝－f(－x)＝－2（－x）2－2×（－x）＋2＝－2x2＋2x＋2，综上所述，f(x)x<0，>0.x<0，>0奇偶性与单调性例3(2024·梧州模拟)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为()A.(1，3)B.(3，＋∞)C.(－3，－1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(3，＋∞)解析：D法一：偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增.因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x －2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞).当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集为空集.综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞).故选D.法二：偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，所以f(x－2)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f(x－2)＝0.当x>0时，xf(x－2)>0即f(x－2)>0，所以x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞)；当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，所以1<x<3，所以解集为空集.综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞).故选D.反思感悟1.求参数值的方法利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.解函数不等式的方法(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.(2)利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.训练2(1)(2024·深圳模拟)已知f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)＝e x，则f(e)＝()A.e eB.－e eC.e－eD.－e－e解析：D因为f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)＝e x，所以f(e)＝－f(－e)＝－e －e.故选D.(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln2x－12x＋1为偶函数，则a＝()A.－1B.0C.12D.1解析：B因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴(1＋a)ln 13(－1＋a)ln3，解得a ＝0，当a ＝0时，f (x )＝x ln2x －12x ＋1，(2x －1)·(2x ＋1)>0，解得x >12或x <－12，则其定义域为{x |x >12或x <－12}，关于原点对称.f (－x )＝(－x )ln 2（－x ）－12（－x ）＋1＝(－x )ln 2x ＋12x －1＝(－x )ln(2x －12x ＋1)－1＝x ln 2x －12x ＋1＝f (x )，故此时f (x )为偶函数.故选B.(3)偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈(－∞，0)时，f (x )是增函数，则f (－π)，f (2)，f (3)的大小关系是()A.f (－π)>f (2)>f (3)B.f (－π)>f (3)>f (2)C.f (－π)<f (2)<f (3)D.f (－π)<f (3)<f (2)解析：D 因为函数f (x )是偶函数且在(－∞，0)上为增函数，故函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以，f (－π)＝f (π)<f (3)<f (2)，故选D.函数的周期性及应用例4(1)函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2023)＝.解析：∵f (x )f (x ＋2)＝13，∴f (x ＋2)＝13f （x ），∴f (x ＋4)＝13f （x ＋2）＝1313f （x ）＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2023)＝f (3)＝13f （1）＝132.答案：132(2)设f (x )是定义在R 上周期为4的偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[2，4]上的解析式为.解析：根据题意，设x ∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4].答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]反思感悟1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.训练3(1)(2024·常州金坛区第二次检测)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是()A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数解析：A法一：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x).因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2).因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数.故选A.法二：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称；因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2).又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数.故选A.(2)(2024·吕梁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝()A.0B.1C.2D.3解析：C因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又g(x)＝f(x)－2为奇函数，所以f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以f(x)＋f(－x)＝4，令x＝0，得2f(0)＝4，所以f(0)＝2，所以f(198)＝f(0＋6×33)＝f(0)＝2，故选C.限时规范训练(八)A级基础落实练1.(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件.2.(2023·福建联合测评)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x －2，则f(ln2)＝()A.－1B.0C.1D.2解析：B因为f(x)是定义在R上的奇函数，且ln2>0，所以f(ln2)＝－f(－ln2)＝－f(ln12)＝－(e－ln12－2)＝0.故选B.3.(2024·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f(－52)＋f(2)等于()A.0B.2C.4D.－2解析：D∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0，f (－52)＝f (－12)＝－f (12)＝－412＝－2，∴f (－52)＋f (2)＝－2.4.已知奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝1x －1，则f (x )＝()A.1x 2－1B.11－x 2C.x x 2－1D.x 1－x 2解析：C由f (x )＋g (x )＝1x －1可得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，又f (x )，g (x )分别为奇，偶函数，所以g (x )－f (x )＝1－x －1，由x ）＋g （x ）＝1x －1，（x ）－f （x ）＝1－x －1，解得f (x )＝xx 2－1，故选C.5.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f （－x ）－f （x ）x≥0的解集为()A.[－2，0]∪[2，＋∞)B.(－∞，－2]∪(0，2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，0)∪(0，2]解析：D由题意可得，奇函数f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都为单调递增函数，且f (－2)＝f (2)＝0，函数图象示意图如图所示.故不等式f （－x ）－f （x ）x ≥0，即－2f （x ）x ≥0，即f （x ）x≤0，结合f(x)的示意图可得它的解集为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，故选D.6.已知函数f(x)＝a sin x＋b 3x＋cx＋1，若f(ln2)＝4，则f(ln12)的值为()A.4B.－1C.－2D.－3解析：C设g(x)＝a sin x＋b 3x＋cx，则g(－x)＝a sin(－x)＋b3－x＋c(－x)＝－a sin x－b 3x－cx＝－(a sin x＋b3x＋cx)＝－g(x)，故g(－x)＝－g(x)，即函数g(x)为奇函数.又f(ln2)＝g(ln2)＋1＝4，所以g(ln2)＝3.又ln 12＝－ln2，故f(ln 12)＝f(－ln2)＝g(－ln2)＋1＝－g(ln2)＋1＝－3＋1＝－2，即f(ln12)＝－2，故选C.7.(2024·南通模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋e x是偶函数，y＝f(x)－3e x是奇函数，则f(x)的最小值为()A.eB.22C.23D.2e解析：B因为函数y＝f(x)＋e x为偶函数，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋e x，即f(x)－f(－x)＝e－x－e x，①因为函数y＝f(x)－3e x为奇函数，所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3e x，即f(x)＋f(－x)＝3e x＋3e－x，②联立①②可得f(x)＝e x＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝e x＋2e－x≥2e x·2e－x ＝22，当且仅当e x＝2e－x，即x＝12ln2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2 2.故选B.8.(多选)(2024·皖云吉黑四省联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则()A.f(f(1))<f(f(2))B.f(g(1))<f(g(2))C.g (f (1))<g (f (2))D.g (g (1))<g (g (2))解析：BD因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，g (x )在[0，＋∞)上单调递减，g (x )在R 上单调递减，所以f (1)<f (2)，g (0)＝0>g (1)>g (2)，所以f (g (1))<f (g (2))，g (f (1))>g (f (2))，g (g (1))<g (g (2))，所以BD 正确，C 错误，若|f (1)|>|f (2)|，则f (f (1))>f (f (2))，A 错误.故选BD.9.写出一个同时满足①②的函数f (x )＝.①f (x )是偶函数，②f (x ＋2)＝－f (x ).解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x －2)，可知函数f (x )的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造f (x )＝cos π2.答案：cos π2x (答案不唯一)10.(2023·全国甲卷)若f (x )＝(x －1)2＋ax ＋sin(x ＋π2)为偶函数，则a ＝.解析：因为f (x )＝(x －1)2＋ax ＋sin(x ＋π2)＝(x －1)2＋ax ＋cos x 为偶函数，定义域为R ，所以f (－π2＝f (π2)，即(－π2－1)2－π2a ＋cos(－π2)＝(π2－1)2＋π2a ＋cos π2，则πa ＝(π2＋1)2－(π2－1)2＝2π，故a ＝2，此时f (x )＝(x －1)2＋2x ＋cos x ＝x 2＋1＋cos x ，所以f (－x )＝(－x )2＋1＋cos(－x )＝x 2＋1＋cos x ＝f (x )，又定义域为R ，故f (x )为偶函数，所以a ＝2.答案：211.若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (ln x )＋f (ln x －1)>0的解集是.解析：因为f (x )＝e x －e －x ，定义域为R ，且f (－x )＝－(e x －e －x )＝－f (x )，故其为奇函数，又y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故f (x )为R 上的增函数，则原不等式等价于f (ln x )>f (1－ln x )，也即ln x >1－ln x ，整理得ln x >12，解得x>e，故不等式的解集为(e，＋∞).答案：(e，＋∞)12.(2024·西安模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，则f(2023)＝.解析：因为定义在R上的奇函数f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，所以f(0)＝20－m＝0，解得m＝1，且f(1－x)＝－f(x－1)，又f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，用x－2代替x得f(x－1)＝－f(x－3)，故f(x＋1)＝f(x－3)，故f(x)为周期为4的函数，所以f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)，f(x＋1)＝f(1－x)中，令x＝2得f(3)＝f(－1)，其中f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，所以f(2023)＝f(3)＝－1.答案：－1B级能力提升练13.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是()A.函数f(x)的一个周期为4B.f(2022)＝1C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x)D.函数f(x)在[0，2021]内有1010个零点解析：AC∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为4，故A正确；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝f(2021)＝0，于是函数f(x)在[0，2021]内有1011个零点，故D错误.14.(2023·合肥二模)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，且f(1)＝2，则f(2024)＝.解析：由f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，得f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)，所以f(x)－f(x－1)＝f(x＋2)＋f(x)，即－f(x－1)＝f(x＋2)，于是有－f(x)＝f(x＋3)，所以－f(x＋3)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋6).所以函数f(x)的周期为6.因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.令x＝1，则f(1)＝f(2)＋f(0)，解得f(2)＝f(1)－f(0)＝2，所以f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝2.答案：215.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)满足：对于任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）x1－x2<2恒成立.若f(x)是奇函数，且f(a)>2a，则实数a 的取值范围是.解析：因为对于任意的x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2<2，不妨设x1>x2，则f(x1)－f(x2)<2x1－2x2，即f(x1)－2x1<f(x2)－2x2，所以g(x)＝f(x)－2x在R上单调递减，又y＝f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，则g(0)＝f(0)－0＝0，因为f(a)>2a，所以f(a)－2a>0，即g(a)>g(0)，因为g(x)＝f(x)－2x在R上单调递减，所以a<0，即不等式f(a)>2a的解集为{a|a<0}，故实数a的取值范围为(－∞，0).答案：(－∞，0)16.(2024·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)，g(x)，满足f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，若f(1)＋g(1)＝3，则f(5)－g(9)＝.解析：因为f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，所以f(－2x＋3)＝f(2x＋3)，①g(－x＋5)－1＝－g(x＋5)＋1.②在①中，令x＝1，则f(－2×1＋3)＝f(2×1＋3)，即f(1)＝f(5)，在②中，令x＝4，则g(－4＋5)－1＝－g(4＋5)＋1，即g(1)－1＝－g(9)＋1，又因为f(1)＋g(1)＝3，所以f(5)－g(9)＝f(1)＋g(1)－2＝1.答案：1。
数学(文)一轮教学案：第二章第3讲 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析
第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究奇偶性的定义及图象特点奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于原点对称关于y轴对称注意点判断函数的奇偶性时需注意两点(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.1．思维辨析(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(5)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．()(6)若函数f(x)＝x(x－2)(x＋a)为奇函数，则a＝2.() 答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13C.12 D ．－12答案 B解析 由已知得a －1＋2a ＝0，得a ＝13，又f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，所以a ＋b ＝13.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin xC ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x答案 A解析 由函数奇偶性的定义知，B 、C 中的函数为偶函数，D 中的函数为非奇非偶函数，只有A 中的函数为奇函数，故选A.[考法综述] 判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现．主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目．命题法 判断函数的奇偶性及奇偶性的应用 典例 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [解析] (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.(2)由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.[答案] (1)D (2)C【解题法】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，故选A.2．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 C解析 f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x＝－2x ＋12x－a，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 C解析 令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1.故选C.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33答案 B解析 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a 2，x ≥2a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，画出图象，再根据f (x )是奇函数补全图象．∵满足∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则只需3a 2－(－3a 2)≤1， ∴6a 2≤1，即－66≤a ≤66，故选B.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x－e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ①，则f (－x )＋g (－x )＝e －x ，即f (x )－g (x )＝e －x②，故由①－②可得g (x )＝12(e x －e －x)，所以选D.6.若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln (a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 解法二：由f (x )为偶函数有y ＝ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解 (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立， 令t ＝e x (x >0)，则t >1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋1≥2(t －1)·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13.(3)令函数g (x )＝e x＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x－1e x >0，x 2－1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)<0成立，当且仅当最小值g (1)<0，故e ＋e －1－2a <0，即a >e ＋e－12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x . 令h ′(x )＝0，得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数．所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e时，e a －1<a e －1； 当a ＝e 时，e a －1＝a e －1； 当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1. 1 周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2 最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．注意点 常见的有关周期的结论 周期函数y ＝f (x )满足：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a .(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a .1．思维辨析(1)若函数f (x )满足f (0)＝f (5)＝f (10)，则它的周期T ＝5.( ) (2)若函数f (x )的周期T ＝5，则f (－5)＝f (0)＝f (5)．( ) (3)若函数f (x )关于x ＝a 对称，也关于x ＝b 对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数．( )(5)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2016)＝0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( )A ．0B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，∴f (－2＋4)＝f (2)＝f (－2)＋f (2)＝2f (2)， ∴f (2)＝0，f (2014)＝f (4×503＋2)＝f (2)＋503×f (2)＝f (2)＝0，故选A. 3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案 －12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. [考法综述] 函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空题形式出现．常与函数的奇偶性、图象对称性结合考查，难度中档．命题法 判断函数的周期性，利用周期性求值典例 (1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0D ．－12[解析] (1)由于f (x )周期为5，且为奇函数，∴f (8)＝f (5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (8)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.(2)因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x ≤π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.[答案] (1)A (2)A【解题法】 函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．－1 B.45 C ．1 D ．－45答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝4，结合f (－x )＝－f (x )，有f (log 220)＝f (1＋log 210)＝f (log 210－3)＝－f (3－log 210)，∵3－log 210∈(－1,0)，∴f (log 220)＝－23－log 210－15＝－45－15＝－1.故选A.2．函数f (x )＝lg |sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg |sin x |是最小正周期为π的偶函数．故选C.3.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2013)＋f (2014)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 D解析 ∵函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又函数的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x ＝1对称，∴f (0)＝f (2)，∴f (2013)＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0)＝21－1＋20－1＝1.故选D.4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b ＝cB ．b >a ＝cC ．b >c >aD ．a >c >b答案 A解析 由题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的奇函数，所以f (2)＝f (0)＝0.因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (2)＝0.又f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)＝f (2)＝f (3)，即a >b ＝c .故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16D.13答案 A解析 ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124.故选A. 6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( )A ．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数答案 B解析因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.判断f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2)的奇偶性．[错解][错因分析]忽视判断函数的奇偶性时对定义域的要求．[正解]由于x∈[－2,2)，所以f(x)＝x2＋1的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)＝x2＋1是非奇非偶函数．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x答案 C解析函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.2. [2016·衡水中学预测]函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝2013，则f (lg 2014)＝( ) A ．2018B ．－2009C ．2013D ．－2013答案 C解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝g (－x )，g (x )为偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝f (－lg 2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.3．[2016·枣强中学热身]若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则一定成立的是( )A ．函数f (g (x ))是奇函数B ．函数g (f (x ))是奇函数C ．函数f (f (x ))是奇函数D ．函数g (g (x ))是奇函数答案 C解析 由题得，函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函数f (f (x ))是奇函数，故选C.4．[2016·衡水中学猜题]定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (y )x ＋f (x )y 成立，则f (x )( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)1＋f (1)1，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)－1＋f (－1)－1，∴f (－1)＝0. 令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)x ＋f (x )－1， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A.5．[2016·衡水中学一轮检测]设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2，由f (x －2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.6. [2016·冀州中学模拟]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 D解析 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．7．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.8．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 答案 32解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. 9．[2016·枣强中学月考]若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)，得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.10．[2016·武邑中学热身]设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1，∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 11．[2016·衡水二中热身]设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足：①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.(1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (2－x )，f (x )＝f (－x )⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)fffff12．[2016·武邑中学期末]已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎨⎧ －1<x <3，12<x <52，解得12<x <52，故函数g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. (2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0.∴f (x －1)≤－f (3－2x )．又∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)，而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎨⎧ x －1≥2x －3，12<x <52，解得12<x ≤2，∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 能力组13.[2016·衡水二中预测]已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615的大小关系是( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B 解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，①因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )，②所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．所以函数f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函数在[0,1]上单调递增，又因为函数y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以函数在[0,2]上单调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1415＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，即c <a <b . 14．[2016·衡水二中月考]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函数，则h (－x )＝f (－x )＋x 2，∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2，∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15. [2016·衡水二中猜题]定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，∴f (x )是奇函数．(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1. ∴实数m 的取值范围是[0,1)．16．[2016·衡水二中一轮检测]已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求证：f (x )是R 上的减函数；(3)求f (x )在区间[－3,3]上的值域；(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )是R 上的减函数．(3)由(2)知f (x )在R 上为减函数，∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6，∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在[－3,3]上的值域为[－6,6]．(4)f (x )为奇函数，整理原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)， 则f (ax 2－2x )<f (x －2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >x －2，当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98；当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.。
函数的奇偶性及周期性
1第3讲 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．()(6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为2a 的周期函数．( ) 定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1 已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B ．13 C ．12D ．－12(教材习题改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________．(教材习题改编)函数f (x )的定义域为R ，且对于x ∈R ，恒有f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－2x ，则f (2 018)＝________．判断函数的奇偶性 [典例引领]判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x ＜0.判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[注意] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例(3)．[通关练习]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x22．设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数函数奇偶性的应用 [典例引领](1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．[通关练习]1．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－22．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．23．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．函数的周期性 [典例引领](1)周期为4的奇函数f (x )在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，log 12x ＋1，1<x ≤2，则f (2 018)＋f (2 019)＝( )A ．0B ．－1C ．2D ．3(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x )f (x ＋2)＝－1，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.． (1)判断函数周期性的方法①定义法：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .②结论法：对f (x )定义域内任一自变量的值x ，i ．若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)；ii.若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)；iii.若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[通关练习]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9函数性质的综合应用(高频考点)[典例引领]角度一 函数的奇偶性与单调性相结合已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞)角度二 函数的奇偶性与周期性相结合(2017·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．角度三 函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)[通关练习]1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23 D ．⎣⎡⎭⎫12，23 2．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (2)＝3，则f (2 018)＝________.3第3讲 函数的奇偶性及周期性1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数 3．若函数f (x )＝ln(ax ＋x 2＋1)是奇函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．04．(2018·成都第一次诊断)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝( )A ．－18B ．18C ．－1258D ．12585．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 6．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________． 7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．8．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝________. 9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 1－3x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )<－x8.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．1．(2018·成都第二次诊断检测)已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2，2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A ．f (π)<f (3)<f (2)B ．f (π)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (π)D ．f (2)<f (π)<f (3)2．(2018·石家庄第一次模拟)若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得f (－x )＝f (x )，则称f (x )为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝x 3－2x3．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) A ．(1，3) B ．(－1，1) C ．(－1，0)∪(1，3) D ．(－1，0)∪(0，1) 4．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝________. 5．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．6．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．。
函数的单调性和奇偶性精品讲义
第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性〔1〕定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)〔f (x 1)>f (x 2)〕，那么就说f (x )在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 为函数y =f (x )的增区间〔减区间〕概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 〔2〕函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。
〔3〕设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，那么()[]x g f y =在区间M 上是减函数；假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，那么()[]x g f y =在区间M 上是增函数。
概括起来，即“同增异减II 号〞 〔4〕简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
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第3讲 函数的简单性质——奇偶性
知识 整合
【基础知识】
1．如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )叫做偶函数．如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么f (x )叫做奇函数．
2．如果奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.
如果函数f (x )的定义域不关于原点对称，那么f (x )一定是非奇非偶函数．
如果f (x )是既奇又偶函数，那么f (x )的表达式是f (x )＝0.
3．奇偶函数的性质
(1)奇偶函数定义域关于原点对称．
(2)奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．
(3)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
4．周期性
周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x )＝f (x ＋T )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，T 为这个函数的周期．
【基础自测】
1．已知函数f (x )是偶函数，若f (1)＝2，则f (－1)＝________.
2．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．
3．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是__________函数．(填“奇”或“偶”)
4．已知函数f (x )的周期为2，f (－1)＝3，则f (3)＝________.
重难点 突破
考点1 判断函数的奇偶性 重点阐述
判别函数奇偶性的方法
第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数表达式进行适当的化简，以便于判断；第三，利用定义域进行等价变形判断；第四，分段函数应分段讨论，要注意根据x 的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝x (12x －1＋12
)； (2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；
(3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x (x ＜0)－x 2＋x (x ＞0)；
(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.
【解】
【点评】判断奇偶性，首先要看定义域，再由f(－x)与f(x)的关系作出判断，也可利用图象判断出f(x)的奇偶性．
举一反三：判断下列函数的奇偶性：f(x)＝1＋2
2x－1
.
考点2函数性质的综合应用
难点释疑
单调性和奇偶性是函数两条重要的基本性质，二者之间有下面的密切关系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙运用这一关系，可以解决很多函数的综合问题，特别是抽象函数(即没有给出函数解析式的函数)问题．例2：若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且f(6)＝9，那么它在区间[－6，－3]上的最大值为________．
【解】
【点评】函数的性质本身就是一个整体，因此函数的单调性、奇偶性甚至函数的周期性本身就紧密地结合在一起，在求解试题时一定要注意这一点，要综合分析函数的性质．
举一反三：设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＜f(1)，求实数m的取值范围．
考点3函数的周期性
重点阐述
判断函数周期性的几个常用结论
若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
②f(x＋a)＝1
f(x)
(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
③f(x＋a)＝－1
f(x)
，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
难点释疑
应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．
例3：(12江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 【解】
【点评】 本小题主要考查周期函数的概念、分段函数的理解以及分析问题的能力，考查运算求解能力，题中隐含关系f (－1)＝f (1)，对学生思维的深刻性有较高要求．本题属中等难度题．
举一反三：
设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f (32
)＝________.
课堂 训练
1．(13江苏模拟)若函数f (x )＝22x ＋1
＋m 为奇函数，则实数m ＝________. 2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52
)＝________. 3．(13江苏模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)·f (x )＝1.对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (119)的值为________．
4．(13江苏模拟)设f (x )是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若f (1)≤1，f (2)＝(2a －3)(a ＋1)，则实数a 的取值范围是________．
5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12) ＝0，则满足f (log 14
x )＜0的x 的取值范围为________．
作业：一、填空题
1．函数①y ＝x sin x ；②y ＝22x －1＋1；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x (x ≤0)，log 2x (0<x ≤1)；④y ＝－x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]中，函数图象具有对称性的是__________．
2．若函数f (x )＝3ax ＋1－a x 2－4
为偶函数，则实数a 的值__________． 3．(13江苏模拟)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.
4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数．且有f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________.
5.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同．．的是________．
①y ＝x 2＋1②y ＝|x |＋1③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≥0e －x ，x <0
6．(13江苏模拟)设α∈{－1,112
，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．
7．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝________.
8．定义在R 上的偶函数f (x )满足： 对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＞0恒成立．则当n ∈N *时，下列说法正确的有________．
①f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)
②f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)
③f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)
④f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )
二、解答题
9．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a
是奇函数． (1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立．求k 的取值范围．
10．已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，常数a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．
11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )的周期函数．
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)．
12．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋lg|a ＋2|(a ∈R ，且a ≠－2)．
(1)写出一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )，使f (x )＝g (x )＋h (x )；
(2)对(1)中的g (x )．命题P: 函数f (x )在区间[(a ＋1)2，＋∞)上是增函数；命题Q: 函数g (x )是减函数；如果命题P 、 Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求f (2)的取值范围．。