河南省济源四中2022-2023学年高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．直线l 1：x +ay +1＝0与l 2：（a ﹣3）x +2y ﹣5＝0（a ∈R ）互相垂直，则直线l 2的斜率为（ ） A.12 B.12
- C.1
D.﹣1 2．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是
A.a c b >>
B.a b c >>
C.b a c >>
D.c a b >>
3．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，那么cos α的值是（ ）
A.45
B.34
C.43
D.35
4．已知函数()3()log 91x f x x =++，则使得()
2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ） A.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B.(,0)(1,)-∞⋃+∞
C.(0,1)
D.(,1)-∞
5．若23a =，则4log 3=（）
A.12a
B.a
C.2a
D.4a 6．函数2x y -=中，自变量x 的取值范围是（）
A.2x >
B.2x ≥
C.2x ≥且0x ≠
D.0x ≠
7．下列函数中定义域为R ，且在R 上单调递增的是
A.2()f x x =
B.()f x x =
C.()ln ||f x x =
D.2()e x f x =
8．已知向量(1,3),(2,0)a b ==，若a b +与a b λ+垂直，则λ的值等于
A.6-
B.2-
C.6
D.2
9．已知集合{1,2}M =，{}2,3,4N =，若P M
N =，则P 的子集个数为
A.14
B.15
C.16
D.32 10．一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.两次都不中靶
D.只有一次中靶 11．已知{}12,,
,n A x x x =，{}12,,,m B y y y =，则“,i j x A y B ∀∈∃∈使得i j x y =”是“A B ⊆”的（） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12．已知直线l ：310x y -+=，则下列结论正确的是（）
A.直线l 的倾斜角是6
π B.若直线m ：310x y -+=，则l m ⊥
C.点()30，
到直线l 的距离是1 D.过()232，与直线l 平行的直线方程是340x y --=
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．函数()()52log 3f x x =++在区间[]22-,
上的值域是_____. 14．已知0,0.42a b a b >>+=，则11a b
+的最小值为___________ 15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为
23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .
16．函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的图象与y 轴相交于点(0,3)P ，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为2
π，则()3π=f _________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．已知对数函数2()(22)log a f x a a x =--.
（1）若函数()log (1)log (3)a a g x x x =++-，讨论函数()g x 的单调性；
（2）对于（1）中的函数()g x ，若1[,2]3
x ∈，不等式()30g x m -+≤的解集非空，求实数m 的取值范围.
18．如图，三棱台DEF -
ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点 (1)求证：平面ABED ∥平面FGH ；
(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .
19．已知函数()4cos 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）画出()f x 在[0,]π上的图象
20．已知圆C 的圆心在直线50x y +-=上，且经过圆221280C x y x +--=：与圆222240C x y y ++-=：的交点
A B ，.
（1）求圆C 的方程；
（2）求圆1C 的圆心到公共弦AB 所在直线的距离.
21．已知3sin 5
α=-，且α在第三象限， （1）cos α和tan α
（2）()()2sin πcos 2π+ππcos +sin 22αααα++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 22．已知函数1()x x f x a a
=-（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；
（2）若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围；
（3）若()312f =且221()2()x x h x a mf x a
=+-在[)1,x ∞∈+上最小值为2-，求m 的值.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】利用直线l 1：x +ay +1＝0与l 2：（a ﹣3）x +2y ﹣5＝0（a ∈R ）互相垂直，则12120A A B B += ，解出即可.
【详解】因为直线l 1：x +ay +1＝0与l 2：（a ﹣3）x +2y ﹣5＝0（a ∈R ）互相垂直.
所以12120A A B B +=，即1(3)20a a ⨯-+⨯=.
解得：1a =.
故选：C
【点睛】本题考查由两条直线互相垂直求参数的问题，属于基础题
2、B
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法
3、A
【解析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为4x =，3y =，所以22345r =+=，
所以4cos 5
x r α=
=. 故选：A
4、C
【解析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10t t ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114
x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221
331()244
t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，
所以33log (91)1log 10t t ++-<，
所以133log (91)log (91)1t t ++<++，
令3()log (91)t
g t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t t
t t g t ⨯=+=+++， 所以90t >，所以'()0g t >，
所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，
所以由()(1)g t g <，得
314t ≤<， 所以23114
x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)t g t t =++，利用函数的单调性解不等式.
5、A
【解析】利用对数的运算可求解.
【详解】
23a =，2242log 3log 2log 222
a a a ∴=== 故选：A
6、B
【解析】根据二次根式的意义和分式的意义可得200x x -≥⎧⎨≠⎩
，解之即可. 【详解】由题意知，
200
x x -≥⎧⎨≠⎩，解得2x ≥，
即函数y x =
的定义域为[2,)+∞. 故选：B
7、D
【解析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.
【详解】因为()f x =
[0,)+∞，()ln ||f x x =的定义域为{}0x x ≠，所以排除选项B,C. 因为2()f x x =在(,0]-∞是减函数，所以排除选项A ，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.
8、B
【解析】()()3,3,12,3a b a b λλ+=+=+，
所以3690λ++=，则2λ=-，故选B
9、C
【解析】根据集合的并集的概念得到{}1,2,3,4P =，集合的子集个数有42 个，即16个
故答案为C
10、C
【解析】根据互斥事件定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A ，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A 错误； 对于B ，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B 错误；
对于C ，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C 正确； 对于D ，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D 错误. 故选：C .
11、C
【解析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.
【详解】若,i j x A y B ∀∈∃∈使得i j x y =，则有A B ⊆成立；
若A B ⊆，则有,i j x A y B ∀∈∃∈使得i j x y =成立.
则“,i j x A y B ∀∈∃∈使得i j x y =”是“A B ⊆”的充要条件
故选：C
12、D
【解析】根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可
【详解】∵l
10y -+=
，即1y =+，
∴直线的斜率k =
∴3π
α=，则A 错；
(
)(
1+10-⨯=≠，则B 错；
点)到直线l
2=，则C 错；
过()2与直线l
平行的直线方程是2y x =-+
40y --=，则D 对； 故选：D
【点睛】本题主要考查直线的方程，属于基础题
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、[]2,3
【解析】结合()f x 的单调性求得正确答案. 【详解】根据复合函数单调性同增异减可知：()f x 在区间[]22-,
上递增， 最小值为()22f -=，最大值为()23f =，
所以函数()()52log 3f x x =++在区间[]22-,
上的值域是[]2,3. 故答案为：[]2,3
14、92
【解析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可.
【详解】解：因为a>0，b>0，且4a+b=2，所以有：
111111119()2()(4)(5)(52)2222442a b a b a b a b b a a a b b ⋅+⋅=⋅++=++≥+⋅=，当且仅当4b a a b =时取等号，即21,33b a ==时取等号， 故答案为：92
. 15、423
【解析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值
【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为
23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23
r =， 因此,此圆锥的高2
222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
， 故答案为:423
【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．
16、3【解析】根据图象可得2A =，由题意得出T π=，即可求出2ω=，再代入3)P 即可求出ϕ，进而得出所求.
【详解】由函数图象可得2A =，
相邻的两条对称轴之间的距离为2π，22
T π∴=，则T π=，22T πω==， ()()2sin 2f x x ϕ∴=+，
又()02sin 3f ϕ==，即3sin 2
ϕ=，||ϕπ<，3πϕ∴=或23πϕ=， 根据“五点法”画图可判断23πϕ=，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭， 22sin 23333f πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：3-.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17、（1）详见解析；(2)[4,)+∞.
【解析】（1）由对数函数的定义，得到a 的值，进而得到函数()g x 的解析式，再根据复合函数的单调性，即可求解函数()g x 的单调性.
（2）不等式()30g x m -+≤的解集非空，得min 3()m g x -≥，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得实数m 的取值范围.
【详解】（1）由题中可知：
，解得：3,1a a ==-（舍去），
所以函数()f x 的解析式()3log f x x =，
∵()()()log 1log 3a a g x x x =++-， ∴1030x x +>⎧⎨-<⎩
， ∴13x ，
即()g x 的定义域为{}|13x x -<<，
由于()()()()
2333log 1log 3log 23g x x x x x =++-=-++， 令()2
23,u x x x =-++()13x -<<则：由对称轴1x =可知， ()u x 在()1,1-单调递增，在()1,3单调递减；
又因为3log y u =在()0,∞+单调递增，
故()g x 单调递增区间()1,1-，单调递减区间为()1,3.
（2）不等式()30g x m -+≤的解集非空，
所以()min 13,,23
m g x x ⎡⎤-≥∈⎢⎥⎣⎦， 由（1）知，当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 单调递增区间1,13
⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为[]1,2， 又()3132log ,2139
g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()min 1g x =，
所以31m -≥，4m ≥，
所以实数m 的取值范围[)4,+∞.
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】解析：
（1）在三棱台DEFABC 中，BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，∴BH ∥EF ，BH ＝EF ， ∴四边形BHFE 为平行四边形，有BE ∥HF .
BE FGH
HF FGH ⊄⊂∴平面平面 BE ∥平面FGH 在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，∴GH ∥AB .
AB FGH GH FGH ⊄⊂∴平面平面 AB ∥平面FGH
又AB ∩BE ＝B ，所以平面ABED ∥平面FGH .
(2)连接HE,EG
G ，H 分别为AC ，BC 的中点，∴GH ∥AB .
AB ⊥BC ，∴GH ⊥BC . 又H 为BC 的中点，∴EF ∥HC ，EF ＝HC ，∴四边形EFCH 是平行四边形，有CF ∥HE . CF ⊥BC ，∴HE ⊥BC .
HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，∴BC ⊥平面EGH .
BC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面EGH .
19、 (1) ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦,(2)见解析 【解析】（1）计算2223k x k π
πππ-≤-≤,k Z ∈得到答案.
（2）计算函数值得到列表，再画出函数图像得到答案.
【详解】（1）令2223k x k ππππ-≤-
≤,k Z ∈，得222233k x k ππππ-≤≤+,k Z ∈ 即36k x k π
π
ππ-≤≤+，k Z ∈.
故()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈.
（2）因为()4cos(2)3
f x x π
=-
所以列表如下：
23
x π
-
3
π
-
2
π
π
32
π 53
π x
6π 512
π 23
π 1112
π
π
y
2
4
4-
2
【点睛】本题考查了三角函数的单调性和图像，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用. 20、（1）2
2
64160x y x y +---=；（2）
2
2
. 【解析】（1）求出,A B 的坐标，然后求出AB 的中垂线方程，然后求出圆心和半径即可； （2）两圆相减可得AB 方程，然后利用点到直线的距离公式求出答案即可. 【详解】（1）设圆1C 与圆2C 交点为,A B ，由方程组
2222
280240
x y x x y y ⎧+--=⎨++-=⎩，得20x y =-⎧⎨=⎩或1
3x y =⎧⎨=-⎩ 不妨令()()2,01
3A B --，，，1AB k =-，因此AB 的中垂线方程为10x y --=， 由1050x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得3
2
x y =⎧⎨=⎩，所求圆C 的圆心()3,2C ，29CA =， 所以圆C 的方程为()()22
3229x y -+-=，即2
2
64160x y x y +---=
（2）圆221280C x y x +--=：与圆22
2240C x y y ++-=：的方程相减
得公共弦AB 方程20x y ++=，
由圆22
1280C x y x +--=：的圆心()11,0C -，半径3r =，
且圆心1C 到公共弦AB ：20x y ++=
的距离2d =
= 21、（1）4cos 5
α=-，3
tan 4α=
（2）2
7
-
【解析】（1）利用同角三角函数关系求解即可. （2）利用同角三角函数关系和诱导公式求解即可. 【小问1详解】 已知3
sin 5
α=-
，且α在第三象限，
所以4cos 5α==-，3
sin 35tan 4cos 45
ααα-
=
==- 【小问2详解】
原式31
2sin cos 2tan 1223sin +cos tan 1714
αααααα-+-+-+====-++
22、（1）()f x 为奇函数，证明见解析. （2）()3,5-. （3）2m =.
【解析】（1）根据函数的奇偶性的定义可得证；
（2）由（1）得出()f x 是定义域为R 的奇函数，再判断出()1
x x
f x a a =-
是R 上的单调递增，进而转化为()()()
()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而可求解；
（3）利用()312f =，可得到2a =，所以2
11()222222x x x x h x m ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，令122x
x t =-，则
22()()2h x t m m =-+-，进而对二次函数对称轴讨论求得最值即可求出m 的值.
【小问1详解】
解：函数()f x 的定义域为R ，又11()()x
x
x x f x a a f x a a
---=-
=-=-，∴()f x 为奇函数. 【小问2详解】
解：211
(1)0a f a a a
-=-=>，∵0a >，∴210a ->，1a >或1a <-（舍）.∴()f x 单调递增.
又∵()f x 为奇函数，定义域为R ，∴2
()(4)f x bx f x +>-，
∴所以不等式等价于24x bx x +>-，2(1)40x b x +-+>，2(1)160b ∆=--<， ∴22150b b --<35b -<<.故b 的取值范围为()3,5-. 【小问3详解】 解：13
(1)2
f a a =-
=，解得2a =（2-舍），2
2
22111111()222222222x
x x x x x x x x x x x h x a m a a m a m a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+--=---+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
令122
x
x
t =-，∵1≥x ，∴32t ≥，222
()22()2h x y t mt t m m ==-+=-+-， 当32
m ≥
时，2
min 22y m =-=-，解得2m =（2-舍）， 当3
2m <时，min 93224y m =-+=-，解得2512
m =（舍），
综上，2m =.。