函数单调性奇偶性周期性

函数单调性、奇偶性、周期性

◆知识点梳理 一函数的奇偶性：

1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；

2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；

3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；

4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶

②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶

二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔

当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f

2、采用单调性的定义判定法应注意：

一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；

②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；

②1

()()()f x f x f x -与、的单调性相反；

三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑

1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；

2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；

3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性

1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;

2、三角函数的周期

①π==T x y :tan ,|

|:tan ωπω=

=T x y ②|

|2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：

①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1

()()

f x a f x +=

⇒)(x f 的周期为a 2；

◆考点剖析

一考查一般函数的奇偶性

例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .

变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

变式2、 函数1

()f x x x

=-的图像关于

A ．y 轴对称

B ． 直线x y -=对称

C ． 坐标原点对称

D ． 直线x y =对称

二考查函数奇偶性的判别

例2、判断下下列函数的奇偶性

122

(1),0

()(1),0

x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--

变式3、已知函数0()(2

≠+

=x x

a

x x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性

121

()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0

x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩

三考查抽象函数的奇偶性

例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；

变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,

则下列说法一定正确的是

Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数

变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;

三考查一般函数的单调区间暂不讲

例4、 设函数1

()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；

变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.

变式7、求函数y=2

1log 4x-x 2的单调区间.

五考查函数单调性的运用

例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121

()()

0f x f x x x -<-.

则

A (3)(2)(1)f f f <-<

B (1)(2)(3)f f f <-<

C (2)(1)(3)f f f -<<

D (3)(1)(2)f f f <<-

变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式

()()

0f x f x x --<的

解集为

A ．(10)(1)-+∞，，

B ．(1)(01)-∞-，，

C ．(1)(1)-∞-+∞，，

D ．(10)(01)-，

，

例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;

变式9、已知函数

0()(2

≠+=x x

a x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．

六考查函数周期性的应用

例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

1

2f x f x +=,若()15,f =-则

()()5f f =__________;