导数常见题型归纳

导数常见题型归纳

1.高考命题回顾

例1.（2013全国1）已知函数()f x ＝2

x ax b ++，()g x ＝()x

e cx d +，若曲线()y

f x =和曲线()y

g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，

c ，

d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

分析：⑴2d c b 4,a ==== ⑵由⑴知()24x f 2

++=x x ，()()12+=x e

x g x

设()()()()24122

---+=-=x x x ke x f x kg x F x

，则()()()

122-+='x

ke x x F 由已知()100≥⇒≥k F ，令()k x x x F ln ,20-==⇒='

①若2

1e k <≤则021≤<-x ，从而当()1,2x x -∈时，()0<'x F ，()x F 递减

()+∞∈,1x x 时，()>'x F 0，()x F 递增。()()()02x 111≥+-=≥x x x F F

故当2-≥x 时()0≥x F 即()()x kg x f ≤恒成立。

②若2

e k = 则()()()

0222

2>-+='-e

e x e x F x 。()2->x 。 所以()x F 在()+∞-,2上单调递增，而()02=-F .所以-2x ≥时，()0≥x F 恒成立。 ③若2e k >，则()()

02222222

<--=+-=---e k e ke F ，从而()0≥x F 不可能恒成立

即()()x kg x f ≤不恒成立。 综上所述。k 的取值范围[]

2

,1e

例2．（2013全国2）已知函数)ln()(m x e x f x

+-=．（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，

求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >． 分析：（Ⅰ）1m =。()x f 在()0,1-上减。在()+∞,0上增。 （Ⅱ）当2≤m 。()+∞-∈,m x 时，()()2ln ln +≤+x m x 。

故只需证明2=m 时()0>x f 。

当2m =时。()2

1

+-

='x e x f x

在()+∞-,2上增。又()()00,0>'<'f x f 故()0='x f 在()+∞-,2上有唯一实根0x ，且()0,10-∈x 。 当()0,2x x -∈时，()0<'x f ，当()+∞∈,0x x 时，()0>'x f 从而()+∞-∈,2x 时，()()0x f x f ≥。()()0002ln 2

1

00

x x x e

x f x -=+⇒+=

⇒='

故()()()02

121

02

0000>++=++=≥x x x x x f x f

综上知，当2m ≤时，证明()0f x >．

例3. (2014全国1)设函数1

()ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的

切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >. (1)解 函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －

1.

由题意可得f (1)＝2,f ′(1)＝e.故a ＝1,b ＝2.

(2)证明 由(1)知,f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1, 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －

x －2e .

设函数g (x )＝x ln x ,则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝⎛⎭

⎫0，1

e 时,g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时,g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1

e ，＋∞上单调递增, 从而g (x )在(0,＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝-1

e . 设函数h (x )＝x e －x －2e

,则h ′(x )＝e －

x (1－x ).

所以当x ∈(0,1)时,h ′(x )>0；当x ∈(1,＋∞)时,h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,

从而h (x )在(0,＋∞)上的最大值为h (1)＝－1

e

.综上,当x >0时,g (x )>h (x ),即f (x )>1.

例4．（2014全国2）已知函数()2x x f x e e x -=--。（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =- ，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计2ln 的近似值（精确到0.001）

。 （Ⅰ）()02x f ≥-+='-x

x

e

e 所以()x

f 在R 上递增

（Ⅱ）()()

()x b e e b e e

x x x x

484x g 22-+---=--。

()(

)()

2222+-+-+='--b e e e

e x g x x x

x

。

①当2≤b 时，()0≥'x g ，()x g 在R 上单调递增，而()00=g 所以对任意

0>x ()0>x g

②当2>b 时，若x 满足222-<+<-b e e x x 即()

b b b x 21ln 02-+-<<时。

()0

综上b 的最大值为2 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，()()2ln 122222

3

2ln -+-=b b g 当2=b 时，()02ln 624232ln >+-=

g ，6928.012

3282ln >-> 当14

2

3+=

b 时，()

2ln 21ln 2=-+-b b b ()()

02ln 22322232ln <++--=g 。6934.028

2

182ln <+<

所以ln2的近似值为0.693

例5【2015高考新课标1】已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++

=-.(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数

}{()min (),()

(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数.