(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(答案解析)
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(3)
一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．22．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．43．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ） A ．101-B ．21-C ．101+D ．21+4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．356．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．58．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i10．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．两条直线C ．圆D ．一条直线11．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -12．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 二、填空题13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________. 14．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.20．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）． （1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．已知复数，， ， 求：（1）求的值； （2）若,且,求的值．24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知1z i =+．（1）设23(1)4z i ω=+--，求ω；（2）如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值． 26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=； （2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】 因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==， 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部． 【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．6．B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，且2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，那么,p q 的值分别是( )A ．4,5p q ==B ．4,3p q =-=C ．4,5p q =-=D ．4,3p q ==2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-5．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25-B ．25C ．7-D ．76．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则x +的最大值（ ） A．1B ．2C ．1D7．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --8．下列命题中，正确的是（ ）. A ．若z 是复数，则22||z z = B ．任意两个复数不能比较大小C ．当240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=(,,)a b c C ∈有两个不相等的实数根D ．在复平面xOy 上，复数2z m mi =+（m R ∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =9．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四10．设i为虚数单位，则复数z =的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．2i +11．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1B ．2CD ．3二、填空题13．已知复数乘法()()cos sin x yi i θθ++（,x y R ∈，i 为虚数单位）的几何意义是将复数x yi +在复平面内对应的点(),x y 绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点()8,4绕原点逆时针方向旋转3π得到的点的坐标为_________. 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 16．411i i +⎛⎫=⎪-⎝⎭__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+ （1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．已知关于x 的方程2()40x x m m R ++=∈的两个虚根为α、β，且||2αβ-=，求m 的值． 23．计算：（1）)()245i +（2）1-的值．24．设z 是虚数，1=z zω+ 是实数，且-1<2ω< （1） 求z 的实部的取值范围（2）设11zzμ-=+ ，那么μ是否是纯虚数？并说明理由． 25．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.26．设m ∈R ，复数z 1＝22m mm ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用根与系数的关系列出方程组，根据复数相等运算即可得出所求结果. 【详解】因为2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，所以()()22ai b i p ai b i q +++=-⎧⎨++=⎩，所以210220b p a b a q ab +=-⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩，解得1245a b p q =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的有关计算，解题的关键是熟练掌握复数相等的条件和一元二次方程根与系数的关系.2．A解析：A 【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.3．C解析：C 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.4．C解析：C 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得2sin()6x πθ=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈.∴cos 2sin()6x πθθθ+=+=+∴x +的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【分析】举例说明A 错误；当两复数为实数时B 错误；由实系数一元二次方程的判别式与根的关系说明C 错误；求出z 的参数方程，消参后得到z 的轨迹方程说明D 正确． 【详解】 解：对于A ，若zi ，则2||1z =，21z =-，22||z z ≠，故A 错误；对于B ，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B 错误；对于C ，只有当a ，b ，c 均为实数时，在满足240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故C 错误；对于D ，由2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位），设z 对应的点(,)Z x y ，得2x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得，2y x =，∴在复平面xOy 上，复数2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =．故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复数的有关概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii -+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．10．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果 【详解】()22111i z i i-====--，则共轭复数为1i +故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题11．C解析：C 【解析】设点P 坐标为(x ,0),则AP =(x-2,-2),BP =(x-4,-1),·AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,P?A BP 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).选C.12．D解析：D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.二、填空题13．【分析】写出点对应的复数再乘以即得新复数其对应点坐标为所求【详解】点对应复数为对应点坐标为故答案为：【点睛】本题考查复数的新定义考查复数的乘法运算与复数和几何意义正确理解新定义把新定义转化为复数的乘解析：(42-+【分析】写出点()8,4对应的复数，再乘以cos sin33i ππ+即得新复数，其对应点坐标为所求．【详解】点()8,4对应复数为84z i =+，1(cossin )(84)()332z i i ππ+=+(4(2i =-++，对应点坐标为(42-+．故答案为：(42-+． 【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的乘法运算与复数和几何意义．正确理解新定义把新定义转化为复数的乘法解题关键．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 解析：1337【解析】 【分析】由余弦定理可得12||19Z Z +=，12||7Z Z -=，故12121212||133||||7z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +==+-⨯⨯⨯︒=， 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解.详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi16．1【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简再利用复数乘方运算法则求解即可详解：故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误解析：1 【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简11ii+-，再利用复数乘方运算法则求解即可. 详解：411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭()()()4241i 2i =11i 1i 2⎡⎤+⎛⎫==⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为1. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-.【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.19．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.20．【解析】试题分析：由得同理所以点对应的复数是考点：复数的几何意义 解析：33i -【解析】 试题分析：由得(2,1)(2,3)(0,2)OB OA BA =-=-=-，同理(0,2)(3,1)(3,3)OC OB BC =+=-+-=-，所以点C 对应的复数是33i -.考点：复数的几何意义.三、解答题21．(1) 1m =-(2) 3m =. 【解析】 【分析】化简复数为22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)由Z 为纯虚数，列出方程组，即可求解；(2)根据Z 对应的点在y x =上，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，则22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)若Z 为纯虚数，则有22230430m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得：1m =-；(2)根据Z 对应的点在y x =上，则有222343m m m m --=-+，解得：3m =．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的表示的应用，其中解答中熟记复数的表示方法，列出相应的方程（组）是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22．5【解析】【分析】本题首先可以根据复数根虚根必共轭的性质设,a bi a bi αβ=+=-，然后根据韦达定理可得2a =-以及m ，再通过||2αβ-=计算得1b =±，最后通过运算即可得出结果。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(有答案解析)2
一、选择题1．若341i z iz i +=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32 B ．2 C ．52 D ．32．已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线3．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 5．化简 31i i-++＝（ ） A ．12i -+ B ．12i - C ．12i + D ．12i -- 6．已知复数3412i z i +=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55 B ． 2215 C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --8．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i + B ．22i - C ．2i -+ D ．2i -- 9．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（ ）． A 2B ．2 C ．22D ．410．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --11．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a = A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．012．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+二、填空题13．若复数z 满足||1z i -=（i 是虚数单位），则z 的模的取值范围是________. 14．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.15．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．16．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应17．已知i 为虚数单位，设2391z i i i i =+++++，则z =______．18．若实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，则x y += __________．19．下列说法正确的是_______．（填上所有正确答案的序号）①3265->-；② 任何集合都有子集；③ 实数没有共轭复数；④ 命题“正三角形的三条边全相等．”的逆否命题是“如果一个三角形的三条边全不相等，那么这个三角形不是正三角形．”20．设复数1=-i z i，则z =_____________． 三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值．23．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在 （1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围．24．已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？25．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.26．已知复数z 满足(2)z i a i -=+()a R ∈．（1）求复数z ；（2）a 为何值时，复数2z 对应点在第一象限．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．B解析：B【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．A解析：A【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.4．D解析：D【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值.【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数，20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．A解析：A【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则有：()()()()31324121112i i i i i i i i -+--+-+===-+++-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C解析：C【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412i z i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数，所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．A解析：A【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可.详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.10．B解析：B【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i i z i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．C解析：C【解析】【分析】 首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得： 4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭， 若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项.【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.12．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应.二、填空题13．【分析】由题意画出图形数形结合可得答案【详解】解：由可得在复平面内对应点在以为圆心以1为半径的圆上如图则圆上的点到原点的距离的最小值为最大值为根据复数的模的几何意义可得复数的模的取值范围是故答案为： 解析：[0,2]【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】解：由||1z i -=，可得z 在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上， 如图，则圆上的点到原点的距离的最小值为0，最大值为2，根据复数的模的几何意义可得，复数z 的模的取值范围是[0,2]，故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．14．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】 解析：椭圆【分析】设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断.【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ， ()()2222114x y x y -+++=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.15．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考 解析：【分析】 根据复数的运算可得11i z i i +==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+， 则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确 解析：0【分析】根据复数相关概念逐一判断.【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题，即正确命题的个数是0.【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.17．【分析】由于是以4为周期的数列所以相连的四项和为0由此求得【详解】由于所以即=所以填【点睛】记住以下结论可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)；(3)；(4)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)；(【分析】由于n i 是以4为周期的数列，所以相连的四项和为0，由此求得1z i =+．【详解】由于4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-，所以44142430n n n n i i i i ++++++=，即2391z i i i i =+++++=1i +,所以|2|z =，填2． 【点睛】记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)11i i i +=-；(3)11+i i i-=-；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．18．1【解析】因为实数满足所以解得故答案为解析：1【解析】因为实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，所以35{231x y x y -=+= 解得2{1x y ==- ， 1x y +=，故答案为1 .19．①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等那么这个三角形不是正三角形解析：①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身，所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等，那么这个三角形不是正三角形考点：命题子集复数分析法证明20．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算 解析：． 【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填． 考点：复数的基本概念及其运算．三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =-【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值；（2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．(1) 34,5z i z =+=.(2) 1,2a b =-=.【分析】()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案【详解】（1）解：（1）依题意得，（2）解得：【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件23．（1）0m =;（2）02m <<.【分析】（1）由题()()2226z m m m m i =-++-在虚轴上，则为纯虚数，即满足()0,,0a z a bi ab R b =⎧=+∈⎨≠⎩，建立关于m 的方程组，即可得结果；（2）由()()2226z m m m m i =-++-在复平面上对应的点位于第三象限，即要实部小于零，虚部小于零，可得关于m 的不等式组，建立不等式组可解出.【详解】（1）由，解得m=0．∴若复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在虚轴上，m=0； （2）由复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在第三象限， 得；，解得；0＜m ＜2．【点睛】 本题主要考查复数的几何意义，考查了虚轴的定义，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.24．（1）；（2）3 【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．试题（1）解当时，z 为实数 （2）解：当时，z 为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件．25．（1）,（2）()1,2m ∈ 【详解】（1）由题意有时， 解得， 即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限 考点：纯虚数概念26．（1）3z ai =-（2）30a -<<【详解】（1）由已知得21a i z ai i+-==-，∴3z ai =-． （2）由（1）得2296z a ai =--，∵复数2z 对应点在第一象限，∴290{60a a ->->，解得30a -<<．。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．若341iz iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32B ．2C ．52D ．32．复平面内，复数122ii-+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上4．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ） A ．22B ．5C ．5D ．25．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．46．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --8．复数421ii-=+（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -11．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（ ）．A 2B ．2C ．22D ．412．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__. 15．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________. 16．232007i i i i ++++=______.17．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________. 18．复数，则复数______．19．若复数(3)(2)i a i -+是纯虚数，则实数a =___________. 20．设i 为虚数单位，复数1ii-=______________. 三、解答题21．已知i 为虚数单位 (1)计算：()()235i i +- ; (2)已知()3+42i z i =- ，求复数z22．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.23．设复数z ()()21312i i i++-=+，若2z + az +b ＝1+i ，求实数a ，b 的值24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？ 26．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可． 【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．D解析：D 【分析】由复数的除法运算法则，化简求得122ii i-=-+，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的除法运算法则，可得()()()()1221252225i i i ii i i i ----===-++-， 所以复数的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4．B解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈【详解】()()()()2231131331241211112i i i ii i ii i i i i -----++====+++--， 31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A 【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数， 所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．B解析：B 【解析】()()()22421424422261311(1)12i i i i i i ii i i i i -----+-====-++-- 故选B9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．C解析：C113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 11．C解析：C 【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案. 【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z 的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果． 【详解】解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x ==，所以：23643x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，故答案为：33333x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【分析】先根据等比数列前n 项和求和再由虚数单位的运算性质及复数的代数运算化简求值【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了虚数单位的运算性质复数的除法运算属于中档题解析：1-. 【分析】先根据等比数列前n 项和求和，再由虚数单位i 的运算性质及复数的代数运算化简求值. 【详解】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为1- 【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.17．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图 解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值. 【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==， 所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1. 故答案为1. 【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.18．-1+i 或1-i 【解析】设z=a+biab ∈Ra+bi2=a2-b2+2abi=2i ⇒a2-b2=02ab=2解得a=1b=1或a=-1b=-1z=1+iz=-1-iz=1-iz=-1+i 故答案为-解析：或【解析】 设，解得或，，故答案为或.故答案为19．【解析】∵复数是纯虚数解得 解析：23-【解析】∵复数()()()()32326i a i a a i -+=++-是纯虚数，32060a a +=⎧∴⎨-≠⎩，解得2.3a =-.20．【解析】故答案为 解析：1i --【解析】()()()111i i i i i i i ---==---⋅，故答案为1i --.三、解答题21．（1）13+13i;（2）1-i. 【解析】【试题分析】(1)根据复数乘法运算公式计算出结果.(2)将原方程变为42i3iz -=+,在将分母实数化来求得z 的值. 【试题解析】（1）原式=210-21531313i i i i +-=+（2）因为3)42i z i +=-（ 所以()()423421*********i i i iz i i ----====-+ 22．（110；（2）7a =-，13b =-． 【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z =（2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-．考点：复数的计算． 23．a=-3,b=4. 【解析】 【分析】利用复数的混合运算，化简复数z ，然后代入等式，利用复数相等求a ，b ． 【详解】 解：由已知，z ()()3223335512255i i i i i ii i i --+---=====-++， ∴2z +az +b ＝-2i+a （1﹣i ）+b ＝a +b ﹣(a+2)i ＝1+i ，∴a b 1a 21+=⎧⎨--=⎩，解得a ＝﹣3，b ＝4． 【点睛】本题考查了复数的运算以及利用复数相等求参数；如果复数相等，那么它们的实部和虚部分别相等．24．（1）4m =-；（2）1m =. 【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果. 试题 （1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-. （2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且解得 1m =.25．（1）21m m ==-或；（2）21m m ≠≠-且；（3）1m =；（4） 12m <<. 【解析】试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.（1）当复数z 是实数时，220m m --=，解得21m m ==-或； （2）当复数z 是虚数时，220m m --≠，解得21m m ≠≠-且；（3）当复数z 是纯虚数时，210m -=且220m m --≠，解得1m =；（4）当复数z 表示的点位于第四象限时，220m m --<且210m ->,解得12m <<. 试题解：（1）当220m m --=，即21m m ==-或时，复数z 是实数；（2）当220m m --≠，即21m m ≠≠-且时，复数z 是虚数；（3）当210m -=，且220m m --≠时，即1m =时，复数z 是纯虚数；（4）当220m m --<且210m ->,即12m <<时，复数z 表示的点位于第四象限． 考点：复数的概念及几何意义.26．（12）2z i =+；（3）4m =.【分析】（1）直接根据模长的定义求解即可；（2）实部相等，虚部相反即可；（3）推导出()()22250i i m ---+=，由此能求出实数m 的值.【详解】（1）因为复数2z i =-；故z == （2）2z i =+；（3）∵z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，故()()()()222508240i m i m m i ---+=⇒-+-=；因为m 为实数，所以4m =.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题．。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）A B ．2C D ．52．若341iz iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32 B ．2C ．52D ．33．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆C ．双曲线D ．椭圆4．复数34iz i-=，|z |＝（ ）A B ．3C ．4D ．55．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．76．若复数1a ia i-+为纯虚数，则实数的值为 A ．iB ．0C ．1D ．－17．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则z z -等于（ ） A ．2B ．2iC ．2i -D ．08．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数z a =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．010．已知复数122iz i+=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i11．若复数z 满足()11i z i +=-，则z = ( ) A ．1B ．iC ．1-D ．i -12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．已知i 为虚数单位，则220191i i i +++⋯+=_________________.14．计算：()20172331232i i i -++-= ⎪+⎝⎭________.15．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________. 16．已知复数z 满足1|z |2z-=，则||z 的最大值为____________ 17．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）．18．411i i +⎛⎫=⎪-⎝⎭__________． 19．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 20．在复平面内，复数112z i =-+与21z i =-所对应的点分别为,A B ，若向量AB 所对应的复数为z ，则z =________.三、解答题21．已知集合{}11|22,A z z z C =-<∈，111|,,2B z z z i b z A b R ⎧⎫==+∈∈⎨⎬⎩⎭. （1）当0b =时，写出集合B 在复平面内所表示的区域； （2）当AB =∅时，求b 的取值范围.22．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值． 23．已知复数，，为纯虚数．（1）求实数的值；（2）求复数的平方根．24．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．25．已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-= （1）当实数m 取什么值时，复数z 是： ①零； ②纯虚数； ③.52i z +=（2）若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 26．计算下列各式：（1）()5cos36sin36i -︒+︒；（2）42cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．C解析：C 【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可． 【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．3．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．4．D解析：D 【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模. 【详解】()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题6．C解析：C 【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：不妨设()1a iki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+， 由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩，即实数a 的值为1. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知复数z 满足：121z i z ++=-，则z 的最小值是（ ）A ．1B C D 2．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-3．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ）A B ．23C ．-2D ．23-4．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若z 是虚数，则20z ；②若复数2z 满足2z ∈R ，则z R ∈；③若复数11z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅对应的复数位于第四象限，则实数t 的取值范围是()1,1-；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．35．(1)两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根；（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，其中正确的个数为 （ ） A ．3 B ．2C ．1D ．06．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭7．已知i 为虚数单位，a R ∈,若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（ ）A B CD ．28．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -9．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四10．复数z 满足2z i =，则下列四个判断中，正确的个数是 ①z 有且只有两个解； ②z 只有虚数解； ③z 的所有解的和等于0； ④z 的解的模都等于1； A ．1B ．2C ．3D ．411．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1B ．1-C ．1或1-D ．012．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．若复数z 满足||1z i -=（i 是虚数单位），则z 的模的取值范围是________.14．若复数z 满足2213(1)22i z i ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z =_______________. 15．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，yx的取值范围是______ 16．已知复数z 满足1|z |2z-=，则||z 的最大值为____________ 17．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．设a R ∈，且()21?ai i +（i 为虚数单位）为正实数，则a =_____ ； 20．用数学归纳法证明“＜，＞1”时，由＞1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是____．三、解答题21．已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=. （1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.22．复数2(1)(310)(49)z i m i m i =++---，（其中i 为虚数单位，m R ∈）， （1）当0m =时，求复数z 的模； （2）当实数m 为何值时复数z 为纯虚数；（3）当实数m 为何值时复数z 在复平面内对应的点在第二象限？ 23．已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ⋅的最大值和最小值.24．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且z = （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数1m iz i++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．25．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．26．已知：对于任意的多项式()f x 与任意复数z ，()0f z =⇔x z -整除()f x ．利用上述定理解决下列问题：（1）在复数范围内分解因式：21x x ++；（2）求所有满足21x x ++整除21n n x x ++的正整数n 构成的集合A ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设(),,z x yi x y R =+∈,再根据121z i z ++=-求出,x y 满足的方程,根据复数的几何意义求解z 的最小值即可. 【详解】设(),,z x yi x y R =+∈,因为121z i z ++=-,故()121x y i x yi +++=-+,故()()()2222121x y x y +++=-+,即10x y ++=.故z 在复平面内的轨迹是直线10x y ++=.又z 的几何意义为z 到复平面原点的距离,故其最小值为原点到10x y ++=的距离2d ==. 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的几何意义运用,需要根据题意设(),,z x yi x y R =+∈再列式求解对应的轨迹方程.属于中档题.2．C解析：C 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.3．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi 4．B解析：B 【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.详解：对于①,举例z=1+i ,但是22z i =，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.对于②，举例z=i ，所以21,z R =-∈但是i R ∉,所以②不正确. 对于③，12z z ⋅=(1)()1(1),i t i t t i +-=++-所以10,1 1.10t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩所以③正确.对于④，若()()2212230z z z z -+-=，举例1232,1,1,z z z i ===-但是123z z z ==不成立.所以④不正确. 故答案为B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.5．C解析：C 【分析】直接利用复数的基本概念判断命题的真假即可． 【详解】（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数，不正确，和一定是实数；（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根，不正确，因为实系数方程的虚根才是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，设(,0)z x yi x y R y =+∈≠，，其平方根为(,)a bi a b R +∈,设222(),2,20a bi x yi a b abi x yi ab y +=+∴-+=+∴=≠，所以0,0a b ≠≠，所以z 的平方根为虚数．所以该命题正确. 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，复数的基本概念和计算的应用，考查计算能力．6．B解析：B 【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可. 【详解】(3)(2)(32)(1)z m i i m m i =+-+=-+-， 若复数在复平面内对应的点在第三象限，则32010m m -<⎧⎨-<⎩，解得23m <，所以m 的取值范围是2(,)3-∞，故选B. 【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.7．D解析：D 【分析】先根据纯虚数概念得a ，再根据模的定义求结果. 【详解】 因为()()221221a a ii a i a --+-=++为纯虚数，所以21020a a ，-=+≠，即12a =，因此21z a ==，所以2z =，选D. 【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8．B解析：B 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得z 后得到答案. 【详解】 由3233(3)13i i i iz i i i i -+-+-+====----， 所以13z i =-+， 所以z 的虚部为3， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关复数的虚部的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数以及复数的虚部，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则求得z 的值，然后考查所给的说法是否正确即可. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则()2222z a b abi =-+，结合题意可得：22021a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得：2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22z =+或22z =--. 考查题中说给的四个说法： ①z 有且只有两个解正确； ②z 只有虚数解正确；③z 的所有解的和等于0正确； ④z 的解的模都等于1正确； 即四个判断中，正确的个数是4. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】复数()()211z m m i =--+是纯虚数，则：()21010m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，据此可得：1m =. 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化. 12．D解析：D【详解】因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝3 4 -.故选：D.二、填空题13．【分析】由题意画出图形数形结合可得答案【详解】解：由可得在复平面内对应点在以为圆心以1为半径的圆上如图则圆上的点到原点的距离的最小值为最大值为根据复数的模的几何意义可得复数的模的取值范围是故答案为：解析：[0,2]【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】解：由||1z i-=，可得z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上，如图，则圆上的点到原点的距离的最小值为0，最大值为2，根据复数的模的几何意义可得，复数z的模的取值范围是[0,2]，故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．14．【分析】利用复数的四则运算得出结合共轭复数的定义即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义属于中档题3i【分析】利用复数的四则运算得出=3z i，结合共轭复数的定义，即可得出答案.【详解】()222231122(1)3131=322313113222222i i i z i i i i i ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎛⎫++- ⎪⎝⎭==++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪+- ⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭=⎝ 3z i ∴=-故答案为：3i - 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题.15．【分析】由复数得到复数表示的轨迹设即则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率再利用直线与圆的位置关系即可求解【详解】由复数可得即复数表示的轨迹为表示以为圆心以为半径的圆设即则表示的几何意义是点与原点的解析：3,3⎡⎤-⎣⎦【分析】由复数23z -=，得到复数z 表示的轨迹22:(2)3C x y -+=，设yt x=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由复数23z -=，可得22222(2)(2)z x yi x y -=-+=-+，即复数z 表示的轨迹为22:(2)3C x y -+=，表示以(2,0)C 为圆心，以3为半径的圆，设yt x=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率， 如图所示，当t 最大时，直线y tx =与圆相切（过一三象限的直线），则圆心C 到直线y tx =的距离等于半径，即2231t t =+，解得3t =±，所以yx的取值范围是[3,3]-， 故答案为[3,3]-.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的几何意义得到复数表示的轨迹，合理利用直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16．【分析】将等式变为根据复数模的运算性质得到根据不等式求得最大值【详解】由复数模的性质可得：即解不等式可得：本题正确结果：【点睛】本题考查复数的模的性质的应用通过模的性质构造出不等关系解不等式求得最值1【分析】将等式变为212z z -=，根据复数模的运算性质得到221z z ≥-，根据不等式求得最大值. 【详解】2112z z z z--== 212z z ⇒-= 由复数模的性质可得：222111z z z -≥-=-，即221z z ≥-解不等式可得：max 1z =1 【点睛】本题考查复数的模的性质的应用，通过模的性质构造出不等关系，解不等式求得最值.17．【分析】由两个复数差的模的几何意义得从而求得的最大值【详解】因为复数满足所以即所以答案【点睛】考查复数的模解题的关键是表示出【分析】由两个复数差的模的几何意义得()222,z z i z i z i =-+=--≥-- 从而求得z 的最大值． 【详解】因为复数z 满足21z i -+=，所以()222,z z i z i z i =-+=--≥--即21z i --≤，2z i ≤-【点睛】考查复数的模，解题的关键是表示出z .18．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-. 【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.19．-1【分析】化简复数到最简形式由题意知此复数的实部大于0虚部等于0解出a 的值【详解】解：∵为正实数∴-2a ＞0且（1-a2）＝0∴a ＝-1故答案为-1【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘法复数为正实解析：-1 【分析】化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a 的值． 【详解】解：∵()()()22211221ai i a ai i a ai +=+-+⋅-⋅=-为正实数，∴-2a ＞0，且（1-a 2）＝0， ∴a ＝-1， 故答案为-1． 【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件，属于基础题.20．略【解析】∵左边式子的通项为∴由＞1不等式成立推证时左边应增加共项即左边应增加的项数是解析：略 【解析】∵左边式子的通项为121n -，∴由＞1不等式成立，推证时，左边应增加111122122221k k k k k +++++++-，共项，即左边应增加的项数是三、解答题21．（12）ω所对应的点的轨迹是以(2,为圆心，以4为半径的圆；（3）这样的直线l存在，且有两条y =或y x =. 【分析】（1）先由题意，得到02==z ，求解，即可得出结果；（2）先由0z z ω=⋅得到()()1''+=-x y i x yi，推出x y ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩代入2240x y x +-=，得到()(22216''-+-=x y ，进而可得出结果；（3）先设直线l 存在，且为y kx b =+，根据()()1''+=-x y i x yi得到'=x x，'=-y y ；再由ω对应点也在直线l 上， y kx b ''=+，推出()-=++y k x b，得到k b =⎪=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为2z ω=，0z z ω=⋅得002=⋅=z z z z z ，又()010z mi m =->，所以02==z ，所以m =（2）由(),x y i x y R ω''''=+∈，0z z ω=⋅，得()()1''+=-x y i x yi ，即-==x yix y ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩， 因为2240x y x +-=，所以2240+-=⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2240''''+--=x y x ，即()(22216''-+-=x y ；所以ω所对应的点的轨迹是以(2,为圆心，以4为半径的圆； （3）设直线l 存在，且为y kx b =+，由()()1''+=-x y i x yi得'=x x，'=-y y ；因为ω对应点也在直线l 上，所以y kx b ''=+，()-=++y k x b，所以=y x因此k b =⎪=⎪⎩，解得0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩或0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以这样的直线l存在，且有两条y =或y x =. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的混合运算，以及点的轨迹问题，熟记复数的运算法则，复数的几何意义，以及点的轨迹方程的求法等即可，属于常考题型. 22．（1；（2）4-；（3）41m -＜＜ 【分析】（1）整理得49z i =-+，再求复数z 的模；（2）由题得223401090m m m m ⎧+-=⎨-+≠⎩，解不等式组即得解；（3）由题得223401090m m m m ⎧+-<⎨-+>⎩，解不等式得解.【详解】由已知整理得：2131049z i m i m i （）（）（）=++--- ()()2234109m m m m i =+-+-+．（1）当0m =时，49z i =-+，∴z ==．（2）当223401090m m m m ⎧+-=⎨-+≠⎩，419,1m m m m =-=⎧⎨≠≠⎩或且，即4m =-，复数z 为纯虚数（3）当223401090m m m m ⎧+-<⎨-+>⎩，即4119m m m -<<⎧⎨⎩或，即41m ＜＜-时，复数z 在复平面内对应的点在第二象限． 【点睛】本题主要考查复数的模的求法，考查复数纯虚数的概念，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．最大值32【解析】试题分析：先根据复数乘法法则，再根据复数的模的定义将12z z ⋅化为三角函数形式，最后根据三角函数有界性确定最值. 试题()121sin cos cos sin z z iθθθθ⋅=++-故12z z ⋅的最大值为3,224．（Ⅰ）3i z =+．（Ⅱ）﹣5＜m ＜1 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解. 试题（Ⅰ）∵z a i=+，z =，∴z ==即29a =，解得3a =±， 又∵0a >， ∴3a =，∴3z i =+． （Ⅱ）∵3z i =+，则3z i =-，∴()()()()151311122m i i m im m z i i i i i ++++-+=-+=+--+ 又∵复数1m iz i++-（m R ∈）对应的点在第四象限， ∴52{102m m +>-< 得5{1m m >-<∴﹣5＜m ＜1点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b (a,b)、共轭复数为a−bi25．（1）4m =-；（2）1m =. 【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果. 试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-. （2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且解得 1m =. 26．(1)；(2)或．【解析】试题分析：（1） 令210x x ++=，由求根公式可得两根为；（2）因为，，又一个整数除以，要么整除，要么余，要么余，故分，三种情况讨论．试题（1）令210x x ++=解得两个根2,ωω，这里所以2213131()()()()2222x x x x x i x i ωω++=--=+-++ （2）记2()1n n f x x x =++．210x x ++=有两个根2,ωω，这里，31ω=当时，，，故在这种情形有，同样可以证明，当时，有，但当时，，故，综上，当且仅当时，， 所以或．考点：（1）求根公式的应用；（2）分情况讨论思想的应用，（3）复数性质的应用．。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2CD ．52．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．若复数满足z =1iz+为实数，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i -或1i +D ．1i +或1i --4．复数 z 满足() 11z z i -=+，则 z 的值是（ ）A ．1i +B ．1i -C ． iD ．i -5．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ）A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --6．已知复数1z ，2z 满足12121z z z z -=-，则有（ ） A ．10z <且21z < B ．11z <或21z < C ．11z =且21z =D ．11z =或21z =7．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数B ．若1z 、2zC ∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若x C ∈，则方程3x 2=只有一个根8．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --9．设复数z满足1i z --=z 的最大值为（ ）．AB ．2C．D ．410．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1B ．2CD ．3二、填空题13．已知虚数()(2),z x yi x y R =-+∈，若1z =，则yx的取值范围是_______ 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．已知35z i -=，则2z +的最大值为_________. 16．232007i i i i ++++=______.17．已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-_______. 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____． 20．设复数12ix yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______. 三、解答题21．设常数0m >，已知复数01z mi =-，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，将(),x y 作为点P 的坐标，(),x y ''作为点Q 的坐标，通过关系式0w z z =⋅，可以看作是坐标平面上点的一个变换，它将平面上的点P 变到这个平面上的点Q . （1）分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）设m =，当点P 在圆221x y +=上移动时，求证：点P 经该变换后得到的点Q 落在一个圆上，并求出该圆的方程；（3）求证：对于任意的常数0m >，总存在曲线m Γ，使得当点P 在m Γ上移动时，点P 经这个变换后得到的点Q 的轨迹是二次函数2y x 的图像，并写出对于正常数m ，满足条件的曲线m Γ的方程.22．已知复数1(21),z x i =++2(2)z y y i =+-. （1）若12z z =，且,x y R ∈，求1z 和1z ； （2）若12z z =，且x ∈R ，y 为纯虚数，求1z .23．（1）设复数z 和它的共轭复数z满足：42i z z +=，求复数z ； （2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程.24．已知复数()21211az a i a =+--，2(1)z m m i =+-（i 是虚数单位，a R ∈，m R ∈）（1）若1z 是实数，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若12z z <，求实数m 的取值范围.25．已知复数12sin z θ=，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求θ的值；（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a 、b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=成立，求实数λ的取值范围.26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根. （1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=； （2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=根据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()1212z i x y i --=-+-=，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．D解析：D 【分析】设z a bi =+，则222a b +=，利用复数的除法得出1()22i a b a z b i ++-=+，结合1iz+为实数，即可得出z . 【详解】设z a bi =+，则222a b +=11(1)()()()()22i i i a bi a b a b ia bi a bi z a bi +++-+-===+++- 因为1iz+为实数，所以a b =，结合222a b +=，得出1a b ==或1a b ==- 即1i z =--或1z i =+ 故选：D 【点睛】本题主要考查了由复数的类型求参数以及复数的运算，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由() 11z z i -=+，求出复数 z ，把 z 写出() ,a bi a b R +∈的形式，即求 z .【详解】()()()()2221112 11,1111i i i i z z i z i i i i i++++-=+∴====--+-， z i ∴=-.故选： D . 【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.5．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【分析】利用2z z z =⋅，结合2212121z z z z -=-，化简出2222121210z z z z +--=，通过分解因式推出1z ，2z 中至少又一个值为1可得答案． 【详解】由12121z z z z -=-，得2212121z z z z -=-，即()()()()1212121211z z z z z z z z --=--，∴()()()()1212121211z z z z z z z z --=--，∴22221121221212121z z z z z z z z z z z z --+=--+．∴2222121210z z z z +--=，即()()2212110z z --=．得211z =或221z =．∴11z =或21z =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的模的运算性质：2z z z =⋅，对已知等式12121z z z z -=-两边平方后，利用运算性变形是解题关键，属于中档题.7．A【分析】根据复数的有关定义和性质，对各选项进行判断即可． 【详解】对A ，设(),z a bi a b R =+∈，20z <即2220a b abi -+<，因为虚数不能直接比较大小，所以220a b -<且0ab =，即0a =，0b ≠，故z 一定是纯虚数，A 正确； 对B ，虚数不能直接比较大小．虽然()()2110i i +-+=>，但是21i i +>+不成立，所以B 错误；对C ，若z R ∈，设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，222z z z a b ⋅==+成立，所以C 错误；对D ，若x C ∈，则方程3x 2=有三个根，所以D 错误． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数的有关概念的辨析和性质的理解，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由(12)5z i +=，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， 12z i ∴=+.故选B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．C解析：C 【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案. 【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z 的最大值即为圆的直径故选C 【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.10．B【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可. 【详解】(3)(2)(32)(1)z m i i m m i =+-+=-+-， 若复数在复平面内对应的点在第三象限，则32010m m -<⎧⎨-<⎩，解得23m <，所以m 的取值范围是2(,)3-∞， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.11．C解析：C 【解析】设点P 坐标为(x ,0),则AP =(x-2,-2),BP =(x-4,-1),·AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,P?A BP 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).选C.12．D解析：D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.二、填空题13．【分析】根据复数的模利用模长公式得：根据表示动点与原点连线的斜率根据直线与圆相切的性质得到结果【详解】复数的模为1根据表示动点到定点的斜率知：的最大值是同理求得最小值是如图所示：的取值范围是故答案为解析：[． 【分析】根据复数的模，利用模长公式得：22(2)1x y -+=，根据yx表示动点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果． 【详解】复数(2)(x yi x -+，)y R ∈的模为1，22(2)1x y ∴-+=根据yx表示动点(,)x y 到定点(0,0)的斜率知： y x 的最大值是33，同理求得最小值是33-， 如图所示：∴y x的取值范围是3[3] 故答案为：3[3． 【点睛】本题考查复数求模，考查直线和圆的位置关系，解答关键是根据复数的模长公式，得到x ，y 所满足的条件，根据条件作出图形利用数形结合的方法求解．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 133 【解析】 【分析】由余弦定理可得12||19Z Z +，12||7Z Z -=12121212||133||||z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +=+-⨯⨯⨯︒ 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -=+-⨯⨯⨯︒∴12121212||19133||||7z z z z z z z z ++===-- 133【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解【详解】满足的对应点在以为圆心5的半径的圆上表示点到的距离∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查复数模的最值解题关键是掌握复数模的几何意义利用复数差的模表示 135【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解． 【详解】满足35z i -=的z 对应点Z 在以(0,3)C 为圆心，5的半径的圆上，2z +表示点Z 到(2,0)A -的距离，22(20)(03)13AC =--+-∴AZ 135+．135． 【点睛】本题考查复数模的最值，解题关键是掌握复数模的几何意义，利用复数差的模表示复平面上两点间的距离，结合点到圆的位置关系求解更加简便．16．【分析】先根据等比数列前n 项和求和再由虚数单位的运算性质及复数的代数运算化简求值【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了虚数单位的运算性质复数的除法运算属于中档题解析：1-. 【分析】先根据等比数列前n 项和求和，再由虚数单位i 的运算性质及复数的代数运算化简求值. 【详解】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为1- 【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.17．【分析】写出对应的复数利用复数的除法运算化简所求表达式由此得出正确结论【详解】依题意故原式【点睛】本小题主要考查复数除法运算考查复数对应的点的坐标属于基础题解析：312i +【分析】写出z 对应的复数，利用复数的除法运算化简所求表达式，由此得出正确结论. 【详解】依题意12z i =-，故原式()()()()32232463122242i i i i i i i i --+====+--. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的点的坐标，属于基础题.18．2【解析】分析：直接利用复数除法的运算法则化简复数根据实部的定义即可得结果详解：因为复数的实部为解得故答案为点睛：复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部虚部的理解掌握纯虚数解析：2 【解析】分析：直接利用复数除法的运算法则，化简复数3a iz i-=+，根据实部的定义即可得结果. 详解：因为a R ∈，复数()()()()i 3i i 313i 3i 3i 3i 1010a a a a z ------===+++-的实部为12， 311102a -∴=，解得2a =，故答案为2. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.20．【解析】试题分析：因此所以考点：1复数的除法；2复数相等 解析：25-【解析】试题分析：()()()()1211313222555i i i i i i i i ----===-++-，因此15x =，35y =-，所以25x y +=-. 考点：1.复数的除法；2.复数相等三、解答题21．(1) ,x x my y mx y ''=+=- (2) 证明见解析，221x y ''+= (3) 证明见解析，22220x m y my mx y ++-+=【分析】（1）运用复数的乘法和共轭复数的概念，再根据复数相等得出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）利用转换，代换的方法，求轨迹方程；（3）由（1）的结论和Q 满足的方程，代入计算可得所求方程．【详解】(1)由复数01z mi =-，z x yi =+和w x y i ''=+,0=(1)()()+()w z z mi x yi x my mx y i =⋅+-=+-所以,x x my y mx y ''=+=-.(2)证明：当m =,x x y y ''==-,两边平方相加可加得222222444()x y x y x y ''+=++-=+.当点P 在圆221x y +=上移动时，满足221x y +=.则点Q 在圆上运动221x y ''+=.(3)证明：由（1）有,x x my y mx y ''=+=-且点Q 的轨迹是二次函数2y x 的图像. 可得2y x ，即2()mx y x my -=+.化简得22220x m y my mx y ++-+=.对于正常数m ，曲线m Γ的方程为22220x m y my mx y ++-+=.当点P 在m Γ上移动时，点P 经这个变换后得到的点Q 的轨迹是二次函数2y x 的图象． 【点睛】本题考查复数的有关概念和计算，轨迹方程的求解，考查转化、代入、计算、推理能力，属于中档题．22．（1）11z i =-+，1z =2）11z i =-+【分析】（1）直接由两复数相等的条件列式求得x ，y 值，则1z 可求，再由复数模的个数求1||z ；（2）设()y bi b R =∈，得2(2)(2)z bi bi i b b i =+-=++，再由12z z =列式求解． 【详解】（1）1(21),z x i =++2(2)z y y i =+-. 又12z z =，且,x y R ∈，210121x y x y y ⎧+==⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩，11z i ∴=-+，1z =（2）y 为纯虚数，设()y bi b R =∈2(2)(2)z bi bi i b b i ∴=+-=++211121x b x b b ⎧+==-⎧∴⇒⎨⎨=+=-⎩⎩， 11z i ∴=-+.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，属于基础题．23．（1）1i 2z =+；（2）2211612x y += 【解析】分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=，则122x y ==，122z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：2211612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，由42z z i +=可得：62x yi i +=，所以12x y ==，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=得：()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．24．（1）1a =-；（2）01m <<.【解析】试题分析：(1)满足题意时，虚部为零，分母不为零即可，据此求得1a =- ；(2)利用题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得m 的取值范围.试题（1）因为1z 是实数，所以210{10a a -=-≠，解得：1a =-；（2）由第（1）问可得：11z =，因为2z =21z z <，1>，解得：01m <<25．（1）3πθ=；（2）[0,2[23,)λ∈++∞. 【分析】（1）先计算出出12z z ⋅所表示的复数，然后根据12z z ⋅为实数让对应的复数的虚部为0即可计算出θ的值； （2）先表示出a 、b ，然后根据()()0a b a b λλ-⋅-=有解得到关于,λθ的等式，根据θ的范围计算出三角函数部分的取值范围，然后再根据等式有解计算出λ的范围.【详解】（1）(122sin 4sin cos z z i θθθθ⋅=++，因为12z z ⋅为实数，所以4sin cos θθ=sin 22θ=，又因为,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3πθ=；（2）因为()2sin 1,2cos a b λλθθ-=--，()2sin ,2cos a b λθλλθ-=-，所以())22()()821sin 1cos a b a b λλλλθλθ-⋅-=-+++， 又因为存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=成立，所以())22821sin 1cos 0λλθλθ-+++=在,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 所以22sin 13λπθλ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，又因为0,36ππθ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin 0,32πθ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以2210,12λλ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，解得[0,2[23,)λ∈++∞. 【点睛】本题考查复数的判断和复数与向量以及三角函数的综合，难度一般.（1）复数z a bi =+，如果z 为实数，则虚部0b =；（2）复数z a bi =+对应的向量是(),a b .（3）计算正弦型函数的值域时注意采用整体替换的思想和利用正弦函数的单调性求解. 26．（1）t =1x=，22x i =，或t =-，1x =22x i =；（2）112t =，112x =-，2122x i =- 【分析】 （1）根据复数运算得到22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，解得t =±.（2）根据复数运算得到230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，解得112t =，再代入原方程解得答案. 【详解】（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=，则()2202x x t i tx +++=+， 则22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，则222042t t-+=，解得t =±当t =时，(2202x x i +++=+即()20x x i=， 解得1x =，22x i =；当t=-(2202x x i +-+=-即()20x x i=， 解得1x =，22x i =.（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=，则2(2103)x x x t i +-+=+， 则230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，则12112x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当112t =时，2(21014)x x x i ++-=+，即112022x x i ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故112x =-，2122x i =-.【点睛】本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．复平面内，复数122ii-+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:2p z =；22:2p z i =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中,真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ）A ．BC ．5D 5．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( )A ．34±B ．43C ．34-D ．43-6．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ）A B ．23C ．-2D ．23-7．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A B C ．6D ．38．复数421ii-=+（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --9．已知复数33iz i--=，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -10．若复数z 满足()11i z i +=-，则z = ( ) A ．1B ．iC ．1-D ．i -11．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C ．5D ．3二、填空题13．计算：()201723131232i i i i -+⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭________.14．若复数12,z z 满足12121,2z z z z ==+=，则122z z -的值是____________.15．复数352019i i i i ++++=________.16．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，yx的取值范围是______ 17．已知复数z 满足21zi i=++，则z 的共轭复数z=__________. 18．若复数(3)(2)i a i -+是纯虚数，则实数a =___________.19．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．20．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________.三、解答题21．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝11zz-+，那么u 是不是纯虚数？并说明理由． 22．设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围． （2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值． 23．已知复数，，为纯虚数．（1）求实数的值；（2）求复数的平方根．24．已知复数()()()227656z a a a a i a R =-++--∈试求当a 为何值时，z 为（1）实数，（2）虚数，（3）纯虚数．25．已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-= （1）当实数m 取什么值时，复数z 是： ①零； ②纯虚数； ③.52i z +=（2）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．26．设m∈R，复数z1＝22m mm++＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由复数的除法运算法则，化简求得122iii-=-+，再结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数的除法运算法则，可得()()()()1221252225i ii iii i i----===-++-，所以复数的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B【分析】化简复数1iz=--，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算，即可判定，得到答案.【详解】由题意，复数()()()2121111iz ii i i--===---+-+--，则z=，所以1p是错误的；22(1)2z i i=--=，所以2p是正确的；z的共轭复数为1i-+，所以3p是错误的；z的虚部为1-，所以4p是正确的.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，以及复数的概念及分类，以及共轭复数的概念及应用，着重考查了推理与辨析能力.3．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可． 【详解】解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，14=． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．4．B解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.5．C解析：C 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.6．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi 7．D解析：D 【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．B解析：B 【解析】()()()22421424422261311(1)12i i i i i i ii i i i i -----+-====-++-- 故选B9．B解析：B 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得z 后得到答案. 【详解】 由3233(3)13i i i iz i i i i-+-+-+====----， 所以13z i =-+， 所以z 的虚部为3， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关复数的虚部的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数以及复数的虚部，属于简单题目.10．D解析：D 【解析】分析：由()1i 1i z +⋅=-，得1i1i-=+z ，再利用复数乘法、除法的运算法则求解即可. 详解：由()1i 1i z +⋅=-，得()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z --====-++-，故选D. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.11．D解析：D 【解析】因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．D解析：D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.二、填空题13．【分析】根据复数的除法及复数的乘方计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的运算属于中档题 解析：42i +【分析】根据复数的除法及复数的乘方计算可得. 【详解】 解：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =17441i i i ⨯+∴==()111i i +=+，()221122i i i i +=++=()()()102021010101011222i i i i ⎡⎤∴+=+==⨯=-⎣⎦()20173i ++-()()()2020113i i i--+=++-(()2210220122312i ii ---=++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1010232i i -=++-42i =+故答案为：42i +【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，属于中档题.14．【分析】作图先证明四边形ABCD 是正方形再利用复数的几何意义求解【详解】如图所示因为所以所以四边形ABCD 是正方形因为AB=BE 所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算意在考查 【分析】作图，先证明四边形ABCD 是正方形，再利用复数的几何意义求解. 【详解】如图所示，||1||,||2AB AD AC ===,AC AB AD =+， 因为222AD DC AC +=,所以090ADC ∠=,所以四边形ABCD 是正方形. 因为AB=BE,所以2212|||2|125ED z z =-=+= 5【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】将视为等比数列的前项和利用等比数列的求和公式可计算出代数式的值【详解】由题意可知为等比数列的前项和且该数列的首项为公比为所以故答案为【点睛】本题考查复数的计算考查复数乘方的计算注意复数乘方周 解析：0【分析】 将352019i i i i ++++视为等比数列{}21n i-的前1010项和，利用等比数列的求和公式可计算出代数式的值.【详解】由题意可知，352019i i i i ++++为等比数列{}21n i -的前1010项和，且该数列的首项为i ，公比为2i ，所以，()()1010101023520192111012i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++===-. 故答案为0. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数乘方的计算，注意复数乘方周期性的应用，同时也可以转化为等比数列求和来处理，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】由复数得到复数表示的轨迹设即则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率再利用直线与圆的位置关系即可求解【详解】由复数可得即复数表示的轨迹为表示以为圆心以为半径的圆设即则表示的几何意义是点与原点的解析：3,3⎡⎤-⎣⎦【分析】由复数23z -=，得到复数z 表示的轨迹22:(2)3C x y -+=，设yt x=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由复数23z -=，可得22222(2)(2)z x yi x y -=-+=-+，即复数z 表示的轨迹为22:(2)3C x y -+=，表示以(2,0)C 为圆心，以3为半径的圆，设yt x=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率， 如图所示，当t 最大时，直线y tx =与圆相切（过一三象限的直线），则圆心C 到直线y tx =的距离等于半径，即2231t t =+，解得3t =±，所以yx的取值范围是[3,3]-， 故答案为[3,3]-.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的几何意义得到复数表示的轨迹，合理利用直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17．1-3i 【解析】分析：先求出复数z 再求复数z 的共轭复数详解:由题得所以复数z 的共轭复数为1-3i 故填1-3i 点睛：本题主要考查复数的运算与共轭复数的概念属于基础题解析：1-3i 【解析】分析：先求出复数z,再求复数z 的共轭复数.详解:由题得(1)2+i =1+3z ii =+（）， 所以复数z 的共轭复数为1-3i.故填1-3i.点睛：本题主要考查复数的运算与共轭复数的概念，属于基础题.18．【解析】∵复数是纯虚数解得 解析：23-【解析】∵复数()()()()32326i a i a a i -+=++-是纯虚数，32060a a +=⎧∴⎨-≠⎩，解得2.3a =-.19．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.20．【详解】由复数的运算法则可知因为复数是实数则 解析：1-【详解】由复数的运算法则可知223()(1)()(1)m i mi m m m i ++=-++， 因为复数2()(1)m i mi ++是实数，则3101m m +=⇒=-.三、解答题21．(1) 1(,1)2-. (2) u 是纯虚数，理由见解析. 【解析】分析：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，代入ω，由ω是实数，得221a b +=，从而求得2a ω=，代入已知不等式可得； （2）同样求出u ，即可判断.详解： (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋＝＋i ，∵ω是实数，∴b －＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1，ω＝2a .∵－1<ω<2，∴－<a <1，即z 的实部的取值范围是. (2)u ＝＝＝＝－i ，∵－<a <1，b ≠0，∴u 是纯虚数． 点睛：复数的分类：设(,)z a bi a b R =+∈，则z 为实数0b ⇔=，z 为虚数0b ⇔≠，z为纯虚数00b a ≠⎧⇔⎨=⎩． 22．（1）11,12x -<<；（2）见解析；（3） 1. 【详解】（1）因为z 是虚数,∴可设z=x+yi ,,x y ∈R,且0,y ≠、∴1z x y z ω=+=+i 1i x y x y +=++i 222222i x y x x y x y x y y i x y -+=++-+++⎛⎫ ⎪⎝⎭可得22220110y y x y x y z y ⎧-=⎪+⇒+=⇒=⎨⎪≠⎩， 此时，2x ω=⇒112x -<<； 从而证明u 是纯虚数；（2）0,y u ≠因为所以为纯虚数；（3）22(1y u x xω-=--+i 2)，然后化简和计算得到 222(1)31u x x ω-=++-≥+222(1)31,1x x+⋅-=+ 23．（1）实数的值为3；（2）复数的平方根为2-i 或-2＋i ； 【解析】试题分析：（1）先写出的值，因为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求得实数的值；（2）先设平方根为，再根据即可求复数的平方根. （1）4分∵为纯虚数 ∴解得a ＝3 7分（2）由（1）设复数（x ∈R ，y ∈R ）满足 则, 10分 解得或∴所求的平方根为2-i 或-2＋i 14分考点：复数的运算.24．（1）a=－1或a=6,(2)a≠-1且a≠6,(3) a=1【详解】试题分析：因为，()()()227656z a a a a i a R =-++--∈， 所以（1）2560,6,1a a a a 或--===-时，z 为实数；（2）2560,6,1a a a a --≠≠≠-或时，z 为虚数；（3）22760,560a a a a ⎧-+=⎨--≠⎩a=1时，z 为纯虚数． 考点：本题主要考查复数的概念，解方程（组）．点评：中档题，复数为实数，虚数，纯虚数，主要限制复数的实部或虚部，建立方程或方程组求解．25．（1）①m=1；②m=0；③m=2；（2）30m -<<【解析】试题分析：在复数a bi +中复数为0需满足0a b ==，为纯虚数需满足0,0a b =≠，复数对应的点在第四象限需满足0,0a b ><试题（1）①中需满足()2101230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩②中需满足()2100230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-≠⎩③中()2122235m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩（2）⎩⎨⎧<-+>-0320)1(2m m m m ⇒30m -<< 考点：复数及相关概念26．m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)【解析】试题分析：根据虚数定义得m 2－2m －15≠0，根据分母不为零得m ≠－2，解得m 的取值范围．试题∵z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝222m m m +-+（）＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝242m m m --+＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)．点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．设i 是虚数单位，若复数z 满足1z i -=，则z 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．354．已知复数，满足，那么在复平面上对应的点的轨迹是( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --6．若复数1a ia i-+为纯虚数，则实数的值为 A ．iB ．0C ．1D ．－17．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -8．下列命题①命题“若22am bm >，则a b >”的逆命题是真命题； ②若()4,3a =，()2,1b =-，则b 在a 上的投影是5-③在164x x 的二项展开式中，有理项共有4项； ④已知一组正数1x ，2x ，3x ，4x 的方差为()2222212341164s x x x x =+++-，则数据12x +，22x +，32x +，42x +的平均数为4；⑤复数32ii+的共轭复数是(),a bi a b R +∈，则6ab =-. 其中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知复数212iz i-=+，则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．i -D ．i10．已知i 为虚数单位，a R ∈,若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（ ） ABCD ．211．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =____________ 14．设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________.15．复数352019i i i i ++++=________.16．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）． 17．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知复数512iz i +=，则它的共轭复数z 等于______． 20．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为_____．三、解答题21．复数2(1)(310)(49)z i m i m i =++---，（其中i 为虚数单位，m R ∈）， （1）当0m =时，求复数z 的模； （2）当实数m 为何值时复数z 为纯虚数；（3）当实数m 为何值时复数z 在复平面内对应的点在第二象限？ 22．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i 23．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值． 24．已知复数(1)(1)z m m m i =-+-（1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数 （2）当2m =时，计算1z z i--. 25．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位) （1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围. 26．关于的不等式的解集为。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，且2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，那么,p q 的值分别是( ) A ．4,5p q ==B ．4,3p q =-=C ．4,5p q =-=D ．4,3p q ==2．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．已知复数z 满足：121z i z ++=-，则z 的最小值是（ ） A ．1B ．5C ．22D ．24．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．45．复数z 满足，则A ．B ．2C ．D ．6．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．57．已知复数i z x y =+（,x y ∈R ）满足|2|3z -，则yx的最大值为（ ） A ．12B ．33C ．32D 38．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i9．已知复数z 满足21iz i=+，那么z 的虚部为（ ） A ．1B ．-iC ．1-D ．i10．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1B ．1-C ．1或1-D ．011．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．012．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(22)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__. 14．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 15．下列四个命题中，正确命题的个数是___________. ①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．若复数z 满足2018z i 34i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =_____________． 18．若复数(3)(2)i a i -+是纯虚数，则实数a =___________. 19．下列说法正确的是_______．（填上所有正确答案的序号） ①3265->-； ② 任何集合都有子集； ③ 实数没有共轭复数；④ 命题“正三角形的三条边全相等．”的逆否命题是“如果一个三角形的三条边全不相等，那么这个三角形不是正三角形．”20．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为_____．三、解答题21．若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足27αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．22．(1) 设复数满足，其中是虚数单位，求的值；(2) 若实数，满足，求，的值．23．设复数z ()()21312i i i++-=+，若2z + az +b ＝1+i ，求实数a ，b 的值24．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈. （1）若z 为实数，求a 的值； （2）若z 为纯虚数，求a 的值； （3）若93z i =-，求a 的值.25．已知虚数z 满足2122z i z i +-=+-.（1）求z 的值； （2）若1mz R z+∈，求实数m 的值． 26．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用根与系数的关系列出方程组，根据复数相等运算即可得出所求结果. 【详解】因为2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，所以()()22ai b i p ai b i q +++=-⎧⎨++=⎩，所以210220b p a b a q ab +=-⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩，解得1245a b p q =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的有关计算，解题的关键是熟练掌握复数相等的条件和一元二次方程根与系数的关系.2．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可． 【详解】解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，14=． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【分析】设(),,z x yi x y R =+∈,再根据121z i z ++=-求出,x y 满足的方程,根据复数的几何意义求解z 的最小值即可. 【详解】设(),,z x yi x y R =+∈,因为121z i z ++=-,故()121x y i x yi +++=-+,故()()()2222121x y x y +++=-+,即10x y ++=.故z 在复平面内的轨迹是直线10x y ++=.又z 的几何意义为z 到复平面原点的距离,故其最小值为原点到10x y ++=的距离220012211d ++==+. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义运用,需要根据题意设(),,z x yi x y R =+∈再列式求解对应的轨迹方程.属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-，1,2,1a b a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用复数模的公式可得结果. 【详解】 因为，．故选A ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 7．D解析：D 【分析】根据复数的几何意义求出复数i z x y =+的轨迹方程再根据yx的几何意义求解即可. 【详解】因为|2|3z -,故()23x yi -+=即()2223x y -+=.又yx的几何意义为(),x y 到()0,0的斜率.故当过原点的直线与()2223x y -+=切于第一象限时yx取得最大值.此时设切线的倾斜角为θ则3sin θ=易得3πθ=.故y x 的最大值为tan 33π=故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题.8．B解析：B 【分析】用复数除法运算求得z ，由此求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()()1123411225501234343425i i i iz i i i i ++++====+--+，虚部为2. 故选B. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.9．A解析：A 【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部. 【详解】 因为22(1)112i i i z i i -===++，所以虚部为1，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.10．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】复数()()211z m m i =--+是纯虚数，则：()21010m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，据此可得：1m =. 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.11．A解析：A 【分析】 先化简12z z ，利用12z z 为纯虚数，实部为零，可求得a 的值，进而求得12z z 的虚部. 【详解】依题意可知()()()()()122i 12i 224i2i 12i 12i 12i 5a a a z a z ++-+++===--+为纯虚数，故220,1a a -==，故虚部为4115+=. 【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除法，考查复数实部和虚部的概念及其应用.属于基础题.12．D解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2)CA αα=． ∴(2,2)C 、(2,2)A αα．∴点A 在以(2,2) ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA ly kx =∴d r =≤=即2410k k -+≤，则[2k∈． 又∵π2tan12-=，52tanπ12+=．∴OA 、OB 夹角[2θ∈．故选D ．二、填空题13．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.14．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题解析：1i +. 【解析】 【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】()()()2122211112i i i iz i i i i -+====+++-. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.15．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确解析：0 【分析】根据复数相关概念逐一判断. 【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3； 当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==； 因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应； 综上无正确命题，即正确命题的个数是0. 【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.16．【解析】【分析】先对分母进行化简然后再用复数的除法进行运算【详解】【点睛】本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识需注意公式的准确使用解析：14--【解析】 【分析】先对分母)2i +进行化简，然后再用复数的除法进行运算。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．若341i z iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32 B ．2 C ．52 D ．32．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．若i 为虚数单位，则复数311i i -+的模是（ ）A ．BC ．5 D4．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i - 5．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34± B ．43 C ．34- D ．43-6．设复数z 满足：22z i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．((421i -B ．((421i +C ．((421i +D ．((421i + 7．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i 8．如果复数212bi i -+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ）A B ．23 C ．-2 D ．23- 9．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭10．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．011．设i 为虚数单位，则复数131i z i -=+的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．2i +12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．已知||1z =且z C ∈，则|22i |z --（i 为虚数单位）的最小值是________ 14．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．已知实数x 和复数m 满足2(43)430i x mx i +++-=，则m 的最小值是________. 17．已知i 为虚数单位，设2391z i i i i =+++++，则z =______．18．设复数z 满足()1i 2i z -=,则z =__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________. 三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值； （Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值．22．知m R ∈，复数()()22231z m m m i =--+-． (1)实数m 取什么值时，复数z 为实数、纯虚数；(2)实数m 取值范围是什么时，复数z 对应的点在第三象限．23．（I ）设复数z 和它的共轭复数z 满足4233i z z +=+，求复数z .（Ⅱ）设复数z 满足|22|8z z ++-=,求复数z 对应的点的轨迹方程.24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值；（2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数；(2)求的模.26．化简、求值 (1)3(1)(2)i i i --； (2)21(1)i i -+－21(1)i i +-； (3)2013＋2013.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．C解析：C【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，14=．故选：C ．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 3．B解析：B【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】 ()()()()2231131331241211112i i i i i i i i i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.4．C解析：C【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】 此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 5．C解析：C 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-， 所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ．【点睛】 本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.6．C解析：C【解析】【分析】直接利用复数的乘法运算计算即可.【详解】因为22z i =-+，所以()()((22421z i i =+=+ 故选C.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属基础题.7．A解析：A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【详解】∵i （3+4i ）=-4+3i ，∴i （3+4i ）的虚部为3．故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8．D解析：D【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值.【详解】 因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D. 【点睛】 本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bic di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi9．B解析：B【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.【详解】(3)(2)(32)(1)z m i i m m i =+-+=-+-，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则32010m m -<⎧⎨-<⎩，解得23m <， 所以m 的取值范围是2(,)3-∞，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目. 10．A解析：A【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值.【详解】复数()()211z m m i =--+是纯虚数，则： ()21010m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，据此可得：1m =. 本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化. 11．A解析：A【解析】【分析】利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果【详解】()22111i z i i -====--，则共轭复数为1i +故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题12．C解析：C【解析】设点P 坐标为(x ,0),则AP =(x-2,-2),BP =(x-4,-1),·AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,P?A BP 有最小值1.故点P 坐标为(3,0).选C.二、填空题13．【分析】设根据复数的几何意义分析即可【详解】设因为故即在复平面内是在以原点为圆心1为半径的圆上又几何意义为到的距离故最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的运用属于基础题解析：1【分析】设z x yi =+,根据复数的几何意义分析即可.【详解】设z x yi =+,因为||1z =,故221x y +=,即z 在复平面内是在以原点为圆心,1为半径的圆上.又()|22i ||22i |z x y --=-+-=几何意义为(),x y 到()2,2的距离.11=.故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的运用,属于基础题.14．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：3x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭【分析】首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果．【详解】解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x ==，所以：23643x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．15．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 解析：1337 【解析】 【分析】 由余弦定理可得12||19Z Z +=，12||7Z Z -=，故12121212||133||||7z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +==+-⨯⨯⨯︒=，同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=， ∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．16．8【分析】设m ＝a+bi 得到（4x2+ax+4）+（3x2+bx ﹣3）i ＝0解出ab 的值从而求出|m|的最小值即可【详解】设m ＝a+bi ∵（4+3i ）x2+（a+bi ）x+4﹣3i ＝0∴（4x2+a解析：8【分析】设m ＝a +bi ，得到（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，解出a ，b 的值，从而求出|m |的最小值即可．【详解】设m ＝a +bi ，∵（4+3i ）x 2+（a +bi ）x +4﹣3i ＝0，∴（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，∴22440330x ax x bx ⎧++=⎨+-=⎩，∴a 24(1)x x+=-，b 23(1)x x -=-， ∴|m |==≥=8，当且仅当x 2＝1时“＝”成立，故答案为：8．【点睛】本题考查了复数的运算性质及基本不等式求最值，考查解方程组问题，是一道基础题． 17．【分析】由于是以4为周期的数列所以相连的四项和为0由此求得【详解】由于所以即=所以填【点睛】记住以下结论可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)；(3)；(4)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)；(【分析】由于n i 是以4为周期的数列，所以相连的四项和为0，由此求得1z i =+．【详解】由于4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-，所以44142430n n n n i i i i ++++++=，即2391z i i i i =+++++=1i +,所以||z 【点睛】记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)11i i i +=-；(3)11+i i i-=-；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．18．-1-i 【解析】因为所以则解析：-1-i【解析】因为()1i 2i z -=,所以2i 1i 1iz ==-+-, 则1i z =--. 19．4【解析】由已知设则解析：4【解析】由已知z C ∈，1z =，设()22,,1,1z a bi a b R a b a =+∈∴+=≤ 则()222222|211|121224z z z a b a a b a ++=+=++=+++=+≤20．【详解】由复数的运算法则可知因为复数是实数则解析：1-【详解】由复数的运算法则可知223()(1)()(1)m i mi m m m i ++=-++，因为复数2()(1)m i mi ++是实数，则3101m m +=⇒=-.三、解答题21．（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）1z i =-【分析】（Ⅰ）根据纯虚数概念列方程，解得结果，（Ⅱ）解复数方程的z ，再根据共轭复数概念以及模的定义的结果.【详解】（Ⅰ）∵z 为纯虚数，∴2251450532150m m m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠≠---≠⎩⎩或且，∴1m =-；（Ⅱ）()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，∴1z i =-， ∴()2121z i i i i +=-+=+=【点睛】本题考查纯虚数、共轭复数以及复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．（1）见解析;（2）()1,1m ∈-【分析】（1）由虚部为0求得使z 为实数的m 值，再由实部为0且虚部不为0求得使z 为纯虚数的m 值；（2）由实部与虚部均小于0求解．【详解】解：()1当210m -=，即1m =±时，复数()()22231z m m m i =--+-为实数； 当2230210m m m --=⎧⎪-≠⎨⎪⎩，即3m =时， 复数()()22231z m m m i =--+-是纯虚数； ()2由题意，2230210m m m --<⎧⎪-<⎨⎪⎩，解得11m -<<．∴当()1,1m ∈-时，复数z 对应的点在第三象限．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．23．（I ）31i 22z =+；（II ）2211612x y +=. 【解析】 【详解】试题分析：(Ⅰ)利用复数的运算法则得到关于实数x,y 的方程，求解方程可得3122z i =+ (Ⅱ)设复数z x yi =+，利用距离公式可得轨迹方程为椭圆：2211612x y +=. 试题（I ）设,4262z x yi z z x yi =++=+则4233z z i +=+可得6233x yi i +=+所以31,22x y == 3122z i ∴=+. （II ）设复数z x yi =+，由|22|8z z ++-=得()()2222228x y x y +++-+=其轨迹是椭圆.方程为2211612x y +=. 24．（1）4m =-；（2）1m =.【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-.（2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且 解得 1m =.25．(1). (2).【解析】试题分析：（1）设，用表示出和，再由和均为实数就可求出的值，从而求得复数；（2）由（1）的结果代入，算出，进而就可求出其模来.试题（1）设，所以为实数，可得，又因为为实数，所以，即．（2），所以模为，考点：1.复数的有关概念；2.复数的除法．26．（1）3＋i；（2）－i；（3）2-【分析】(1)利用复数的乘除运算法则以及i的性质解答即可；(2) 利用复数的乘除运算法则以及复数的乘方运算解答即可；(3) 利用复数的乘除运算法则以及复数的乘方运算解答即可【详解】(1)原式＝22113i i ii i----=--＝3＋i；(2)原式＝12ii-－12ii+-＝222ii i=＝－i；(3)12i×()22×1006＋2×22×100612i×(－i)1006＋2×i100612i×(－1)5032×(－1)50322【点睛】方法点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测(答案解析)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A1B．2C1D．22．设i 为虚数单位，若复数z 满足1zi i=-，其中z 为复数z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1BC．2D ．23．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2CD4．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --5．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则z z -等于（ ） A ．2B ．2iC ．2i -D ．06．已知复数1z ，2z 满足12121z z z z -=-，则有（ ） A ．10z <且21z < B ．11z <或21z < C ．11z =且21z =D ．11z =或21z =7．下列命题中，正确的是（ ）. A ．若z 是复数，则22||z z = B ．任意两个复数不能比较大小C ．当240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=(,,)a b c C ∈有两个不相等的实数根D ．在复平面xOy 上，复数2z m mi =+（m R ∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =8．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i -- 9．已知复数z 满足|z|=1，则|z －i|（i 为虚数单位）的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段11．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1B ．1-C ．1或1-D ．012．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．已知虚数()(2),z x yi x y R =-+∈，若1z =，则yx的取值范围是_______ 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，yx的取值范围是______ 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．18．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数. 19．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围. 20．若(1)(2)i i a bi ++=+，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=___________．三、解答题21．已知复数()()22326z m m m m i =+++-- ，则当实数m 为何值时，复数z 是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应的点在第三象限． 22．已知复数z 满足214,(1)2.z i w z i i -+==-++ （1）求w 在复平面上对应点P 的轨迹C ．（2）在复平面上点Q （0，4）向轨迹C 做切线，分别切于A 、B 两点，求直线AB 的方程．23．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值． 24．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且10z = （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数1m iz i++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．26．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆，而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离， 结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．B解析：B 【分析】设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-，利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】由题意，设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-， 由1zi i=-，得()11z i i i a bi =-=+=-， 所以1a =，1b =-，即1z i =-，故2z =故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基础题.3．D解析：D 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．6．D解析：D 【分析】利用2z z z =⋅，结合2212121z z z z -=-，化简出2222121210z z z z +--=，通过分解因式推出1z ，2z 中至少又一个值为1可得答案． 【详解】由12121z z z z -=-，得2212121z z z z -=-，即()()()()1212121211z z z z z z z z --=--，∴()()()()1212121211z z z z z z z z --=--，∴22221121221212121z z z z z z z z z z z z --+=--+．∴2222121210z z z z +--=，即()()2212110z z--=．得211z =或221z =．∴11z =或21z =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的模的运算性质：2z z z =⋅，对已知等式12121z z z z -=-两边平方后，利用运算性变形是解题关键，属于中档题.7．D解析：D 【分析】举例说明A 错误；当两复数为实数时B 错误；由实系数一元二次方程的判别式与根的关系说明C 错误；求出z 的参数方程，消参后得到z 的轨迹方程说明D 正确． 【详解】 解：对于A ，若zi ，则2||1z =，21z =-，22||z z ≠，故A 错误；对于B ，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B 错误；对于C ，只有当a ，b ，c 均为实数时，在满足240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故C 错误；对于D ，由2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位），设z 对应的点(,)Z x y ，得2x my m ⎧=⎨=⎩，消去m 得，2y x =，∴在复平面xOy 上，复数2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =． 故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复数的有关概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由(12)5z i +=，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， 12z i ∴=+.故选B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．C解析：C 【分析】根据复数模的几何意义，求得题目所给表达式的最大值. 【详解】1z =表示的复数在单位圆上，而i z -表示的几何意义是单位圆上的点，到()0,1点距离，由于点()0,1在单位圆上，故最远的距离为直径，单位圆的直径为2，故本小题选C. 【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题.10．A解析：A 【解析】 【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++，整理可得：310--=x y .即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】复数()()211z m m i =--+是纯虚数，则：()21010m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，据此可得：1m =. 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．【分析】根据复数的模利用模长公式得：根据表示动点与原点连线的斜率根据直线与圆相切的性质得到结果【详解】复数的模为1根据表示动点到定点的斜率知：的最大值是同理求得最小值是如图所示：的取值范围是故答案为解析：[． 【分析】根据复数的模，利用模长公式得：22(2)1x y -+=，根据yx表示动点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果． 【详解】复数(2)(x yi x -+，)y R ∈的模为1，22(2)1x y ∴-+= 根据yx表示动点(,)x y 到定点(0,0)的斜率知： y x 的最大值是33，同理求得最小值是33-， 如图所示：∴y x的取值范围是3[3] 故答案为：3[3． 【点睛】本题考查复数求模，考查直线和圆的位置关系，解答关键是根据复数的模长公式，得到x ，y 所满足的条件，根据条件作出图形利用数形结合的方法求解．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 133 【解析】 【分析】由余弦定理可得12||19Z Z +，12||7Z Z -=12121212||133||||z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +=+-⨯⨯⨯︒ 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -=+-⨯⨯⨯︒∴12121212||19133||||7z z z z z z z z ++===--故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【分析】由复数得到复数表示的轨迹设即则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率再利用直线与圆的位置关系即可求解【详解】由复数可得即复数表示的轨迹为表示以为圆心以为半径的圆设即则表示的几何意义是点与原点的解析：3,3⎡⎤⎣⎦【分析】由复数23z -=z 表示的轨迹22:(2)3C x y -+=，设yt x=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，再利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由复数23z -=22222(2)(2)z x yi x y -=-+=-+，即复数z 表示的轨迹为22:(2)3C x y -+=，表示以(2,0)C 3设yt x=，即y tx =，则t 表示的几何意义是点与原点的连线的斜率， 如图所示，当t 最大时，直线y tx =与圆相切（过一三象限的直线），则圆心C 到直线y tx =2231t t =+3t =±所以yx的取值范围是[3,3]-， 故答案为[3,3]-.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的几何意义得到复数表示的轨迹，合理利用直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16．【解析】【分析】先对分母进行化简然后再用复数的除法进行运算【详解】【点睛】本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识需注意公式的准确使用解析：134--【解析】 【分析】先对分母()23i +进行化简，然后再用复数的除法进行运算。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)
一、选择题1．若341iz iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32B ．2C ．52D ．32．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上3．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．44．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．55．设复数z 满足()11z i z =--，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 6．复数(34)i i +的虚部为 A ．3 B ．3iC ．4D ．4i7．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A ．2B ．23C ．-2D ．23-8．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．79．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．553 B ．2215C ．5D ．510．复数421ii-=+（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --11．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.14．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________. 15．已知35z i -=，则2z +的最大值为_________. 16．232007i i i i ++++=______.17．设i 为虚数单位，复数1ii-=______________. 18．设i 是虚数单位，1i2ia ++是纯虚数，则实数a 的值是________． 19．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．20．用数学归纳法证明“＜，＞1”时，由＞1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是____．三、解答题21．已知z 为复数，9z zω=+为纯虚数， （1）当210ω-<<，求点Z 的轨迹方程； （2）当42ω-<<时，若(0)zu zααα-=>+为纯虚数，求：α的值和u 的取值范围. 22．已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，（1）z R ∈？（2）z 是虚数？（3）z 是纯虚数？ （4）z 对应的点位于复平面第二象限？ （5）z 对应的点在直线30x y ++=上？23．已知i 为虚数单位， z 是复数，若4z -为纯虚数，且25z =. （1）求复数z ；（2）若复数z 和复数()2z mi +在复平面上对应的点均在第四象限，求实数m 的取值范围. 24．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上． （1）求复数； （2）若()1m iz m R i-+∈+为纯虚数， 求实数的值．25．当实数m 取何值时，复数22(56)(3)i z m m m m =-++- (Ⅰ)是纯虚数；(Ⅱ)在复平面内表示的点位于直线20x y -=上． 26．计算下列各式： （1）()5cos36sin 36i -︒+︒；（2）42cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可． 【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此2235222z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．B解析：B 【分析】 先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-.所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.3．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-，1,2,1a b a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.4．D解析：D 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可得()11i z i +=-+，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】由()11z i z =--，得()11i z i +=-+，()()()()11121112i i i iz i i i i -+--+∴====++-，则1z =. 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi 8．A解析：A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题9．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解． 详解：∵3412iz i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 10．B解析：B 【解析】()()()22421424422261311(1)12i i i i i i ii i i i i -----+-====-++-- 故选B11．D解析：D 【解析】 因为734ii ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．C解析：C 【解析】设点P 坐标为(x ,0),则AP =(x-2,-2),BP =(x-4,-1),·AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,P?A BP 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).选C.二、填空题13．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：3x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭【分析】首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果． 【详解】解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x ==，所以：23643x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．14．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆 【分析】设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断. 【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ，4=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆 【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.15．【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解【详解】满足的对应点在以为圆心5的半径的圆上表示点到的距离∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查复数模的最值解题关键是掌握复数模的几何意义利用复数差的模表示5【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解． 【详解】满足35z i -=的z 对应点Z 在以(0,3)C 为圆心，5的半径的圆上，2z +表示点Z 到(2,0)A -的距离，AC =∴AZ5+．5． 【点睛】本题考查复数模的最值，解题关键是掌握复数模的几何意义，利用复数差的模表示复平面上两点间的距离，结合点到圆的位置关系求解更加简便．16．【分析】先根据等比数列前n 项和求和再由虚数单位的运算性质及复数的代数运算化简求值【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了虚数单位的运算性质复数的除法运算属于中档题解析：1-. 【分析】先根据等比数列前n 项和求和，再由虚数单位i 的运算性质及复数的代数运算化简求值. 【详解】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为1- 【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.17．【解析】故答案为 解析：1i --【解析】()()()111i i i i i i i ---==---⋅，故答案为1i --. 18．【解析】由题意可得：满足题意时：解得： 解析：2-【解析】由题意可得：()()()()21i 21i 222212i 2i 2555a i a ai i ai a a i i +-++--+-===+++- ， 满足题意时：2052105aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩ ，解得：2a =- . 19．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性解析：③【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.20．略【解析】∵左边式子的通项为∴由＞1不等式成立推证时左边应增加共项即左边应增加的项数是解析：略 【解析】∵左边式子的通项为121n -，∴由＞1不等式成立，推证时，左边应增加111122122221k k k k k +++++++-，共项，即左边应增加的项数是三、解答题21．（1）229(15)x y x +=-<<；（2）3α=，||u ∈． 【分析】（1）设z x yi =+，x ，y R ∈，则222299()x yx y i x y x y ω=++-++为实数，可得2290yy x y-=+，因此0y =，或229x y +=．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①0y =时，9x xω=+，由42ω-<<，可得942x x -<+<，利用基本不等式的性质即可得出．②229x y +=时．2x ω=，由于42ω-<<，即可得出x 的取值范围．由(0)zu z ααα-=>+为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出． 【详解】（1）设z x yi =+，x ，y R ∈，则2222999()99()()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x yi x yi x y x y ω-=+=++=++=++-++-++为实数， 2290yy x y∴-=+，0y ∴=，或229x y +=． ①0y =时，9x xω=+210ω-<<，9210x x∴-<+<， 0x >时，解得19x <<．0x <时，x ∈∅．综上可得：0y =时，点Z 的轨迹方程是019y x =⎧⎨<<⎩．②229x y +=时．2x ω=，210ω-<<，2210x ∴-<<，解得15x -<<．因此229x y +=时．可得：点Z 的轨迹方程是229(15)x y x +=-<<． （2）由（1）可得：①0y =时，9x xω=+42ω-<<，942x x∴-<+<， 0x <时，96x x+-；0x >时，96x x+． 综上可得：0y =时，x ∈∅，点Z 的轨迹无方程． ②229x y +=时．2x ω=，42ω-<<，422x ∴-<<，解得21x -<<．(0)z u zααα-=>+为纯虚数， 22()()92()()29x yi x yi y i u x yi x yi x αααααααα--+---==+++-++， 290α∴-=，20y α≠， 解得3α=，0y ≠．61863yi yi u x x--∴==++， (2,1)x∈-，||u ∴=．3α∴=，||u ∈． 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、轨迹方程、基本不等式的性质、不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．22．（1）3m =- (2) 13m m ≠≠-且（3）0m =或2m =-（4）3m <-（5）0m =或2m =-【解析】试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即2230m m +-=且10m -≠，解得3m =.（2）要复数为纯虚数，则实部()201m m m +=-，虚部2230m m +-≠，解得0,2m m ==-.（3）复数对应的点在第二象限，则实部()201m m m +<-，虚部2230m m +->，解得3m <-.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得0,2m m ==-.试题（1）由2230m m +-=，且10m -≠，得3m =，故当3m =-时， z R ∈；（2）由()220,{1230,m m m m m +=-+-≠ 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时， z 为纯虚数；（3）由()220,{1230,m m m m m +<-+-> 解得3m <-，故当3m <-时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限；（4）由()()2223301m m m m m +++-+=-， 解得0m =或2m =-， 故当0m =或2m =-时，复数z 对应的点在直线30x y ++=上.23．（1）42z i =-或42z i =+；（2）()2,2-.【解析】试题分析：（1）设i z x y =+，根据4z -是纯虚数和复数的模列方程组，求解出,x y 即可.（2）由于z 对应点在第四象限，故42i z =-，代入()2i z m +化简后根据实部大于零，虚部小于零列不等式组，即可求得z 的取值范围.试题（1）设z x yi =+（x ， y R ∈），由()44z x yi -=-+为纯虚数，得4x =且0y ≠……①由z =(222x y +=……② 由①②可得， 4x =， 2y =-或2.∴42z i =-或42z i =+.（2）∵z 在第四象限，∴42z i =-，∴()()()2241282z mi m m m i +=-+++-， 根据条件，可知()21240{820m m m +->-<， 解得22m -<<，∴实数m 的取值范围是()2,2-.24．（1）3z i =-.（2）5m =-.【详解】（1）设z a bi =+，,,0a b R a ∈>，由题意：2210a b +=.①(12)z (12)()2(2)i i i a bi a b a b +=++=-++，得22a b a b -=+②①②联立，解得3,1a b ==-得3z i =-.（2）()(1)1133(1)1222m i m i i m m z i i i ----++=++=++-+ 所以1302m -+=且1102m +-≠， 解得5m =-.25．(Ⅰ) 2m =；(Ⅱ)3m =或2m =-.【分析】(Ⅰ)利用纯虚数的定义，列方程求解即可；(Ⅱ) 利用()2256,3m m m m -+-在直线20x y -=上，列方程求解即可.【详解】(Ⅰ) 因为复数22(56)(3)i z m m m m =-++-是纯虚数，所以22560{30m m m m -+=-≠， 解得2m =；(Ⅱ)因为复平面内表示复数z 的点位于直线20x y -=上，即()2256,3m m m m -+-在直线20x y -=上，所以225626m m m m -+=-，解得3m =或2m =-【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.26．（1）1-；（2）132-【分析】根据复数的乘方及乘法法则计算可得；【详解】解：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒()5111cos180sin180cos36sin36i i ===-︒+︒︒+︒ （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 412cos isin 33ππ=⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14 16cos isin 334ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎝⎭12⎛⎫-+ ⎪=⎝⎭⎝⎭132=- 【点睛】本题考查复数代数形式的乘方运算及除法运算，属于中档题.。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A 1B ．2C 1D ．22．若在复平面内，复数()36miz m R i+=∈-所对应的点落在直线y x =上，则(m = ) A ．157B ．715 C ．157-D ．715-3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1 B ．1-C ．iD ．i -4．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ）A B ．23C ．-2D ．23-5．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i6．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．两条直线 C ．圆 D ．一条直线 7．已知复数z 满足|z|=1，则|z －i|（i 为虚数单位）的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭9．复数z 满足2z i =，则下列四个判断中，正确的个数是 ①z 有且只有两个解； ②z 只有虚数解； ③z 的所有解的和等于0； ④z 的解的模都等于1； A ．1B ．2C ．3D ．410．已知复数z a =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．011．已知复数21iz =-+，则（ ） A ．2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为1-D ．z 的共轭复数为1i +12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-_______. 15．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 16．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 17．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．18．在复平面内，复数112z i =-+与21z i =-所对应的点分别为,A B ，若向量AB 所对应的复数为z ，则z =________.19．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为_____． 20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．计算：（1）()()22245ii ++（2）1211x dx --⎰的值．22．已知复数(1)(1)z m m m i =-+-（1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数 （2）当2m =时，计算1z z i--. 23．已知关于x 的方程()2220x k i x ki ++++=（i 是虚数单位），求实数k 24．关于的不等式的解集为。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．设i 为虚数单位，若复数z 满足1z i i =-，其中z 为复数z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1 BC．2 D ．23．复数 z 满足() 11z z i -=+，则 z 的值是（ ）A ．1i +B ．1i -C ． iD ．i - 4．设2i 2i 1iz =++-，则复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i +D ．2i - 5．已知复数i z x y =+（,x y ∈R）满足|2|z -=，则y x 的最大值为（ ） A ．12 B．3 C．2D6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段8．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z =A ．2 B． CD9．已知复数z a =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a = A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．010．设i为虚数单位，则复数z =的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．2i + 11．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2 CD ．3二、填空题13．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.14．已知i 为虚数单位，则220191i i i +++⋯+=_________________.15．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________. 16．已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-_______. 17．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．18．已知i 为虚数单位，设2391z i i i i =+++++，则z =______．19．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为______． 20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．已知虚数z 满足25|10|||z z +=+．（1）求||z ；（2）是否存在实数m ，使得z m m z +为实数，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（3）若(12)i z -在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z ． 22．已知复数()()()227656z a a a a i a R =-++--∈试求当a 为何值时，z 为（1）实数，（2）虚数，（3）纯虚数．23．已知z 是复数，i z 2+，iz -2均为实数（i 为虚数单位）且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求复数z 及实数a 的取值范围. 24．已知复数z 满足(2)z i a i -=+()a R ∈．（1）求复数z ；（2）a 为何值时，复数2z 对应点在第一象限．25．已知z 是复数，z i +和1z i-都是实数， （1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m . 26．设m ∈R ，复数z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，14=．故选：C ．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 2．B解析：B【分析】设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-，利用复数代数形式的乘除运算化简即可.【详解】由题意，设复数z a bi =+，则共轭复数z a bi =-， 由1z i i=-，得()11z i i i a bi =-=+=-，所以1a =，1b =-，即1z i =-，故z =故选：B.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基础题. 3．D解析：D【分析】由() 11z z i -=+，求出复数 z ，把 z 写出() ,a bi a b R +∈的形式，即求 z .【详解】()()()()2221112 11,1111i i i i z z i z i i i i i ++++-=+∴====--+-， z i ∴=-.故选： D .【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.4．A解析：A【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力． 5．D解析：D【分析】根据复数的几何意义求出复数i z x y =+的轨迹方程再根据y x 的几何意义求解即可. 【详解】因为|2|3z -=,故()23x yi -+=,即()2223x y -+=.又y x的几何意义为(),x y 到()0,0的斜率.故当过原点的直线与()2223x y -+=切于第一象限时y x 取得最大值.此时设切线的倾斜角为θ则3sin 2θ=,易得3πθ=.故y x 的最大值为tan 33π=.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题. 6．B解析：B【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．复平面内，复数122ii-+的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-2．复数34iz i-=，|z |＝（ ） A ．5B ．3C ．4D ．53．复数 z 满足() 11z z i -=+，则 z 的值是（ ）A ．1i +B ．1i -C ． iD ．i -4．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．55．若复数z 的虚部小于0，|z |5=，且4z z +=，则iz =（ ） A ．13i + B ．2i + C ．12i + D ．12i - 6．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-37．若在复平面内，复数()36miz m R i+=∈-所对应的点落在直线y x =上，则(m = ) A ．157B ．715 C ．157-D ．715-8．复数z 满足，则A ．B ．2C ．D ．9．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -10．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．35i + B ．35i -C ．35i -+D ．35i --12．设复数21z i=-，则z 的共轭复数是（ ） A ．21i +B ．12i +C ．21i-D ．12i -二、填空题13．设复数11iz i+=-（i 为虚数单位），则1232435465768788888888C c z C z C z C z C z C z C z +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=______.14．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________. 15．已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.16．1i +是实系数方程20x ax b --=的一个虚数根，则直线1ax by +=与圆22:1C x y +=交点的个数是______17．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 18．下列四个命题中，正确命题的个数是___________. ①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 19．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 20．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．三、解答题21．已知复数()00z b i b R =∈，21z i-+是实数，i 是虚数单位. （1）求复数z ；（2）若复数00z b z =+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值. 22．已知复数(1)(1)z m m m i =-+-（1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数 （2）当2m =时，计算1z z i--. 23．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝11zz-+，那么u 是不是纯虚数？并说明理由．24．设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围． （2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．25．已知：对于任意的多项式()f x 与任意复数z ，()0f z =⇔x z -整除()f x ．利用上述定理解决下列问题：（1）在复数范围内分解因式：21x x ++；（2）求所有满足21x x ++整除21n n x x ++的正整数n 构成的集合A ． 26．关于的不等式的解集为。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知i 是虚数单位，则复数1012i i -的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知i 是虚数单位，复数1i 1i -+（ ）． A ．1 B ．1- C ．iD ．i - 3．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( )A ．15-B ．25- C ．45 D ．35 4．i 为虚数单位，则20151+1i i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=( ) A ．iB ．-1C ．-iD ．1 5．若复数1a i a i -+为纯虚数，则实数的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－16．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i + B ．22i - C ．2i -+ D ．2i -- 7．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -8．已知复数i z x y =+（,x y ∈R）满足|2|z -，则y x 的最大值为（ ） A ．12 BCD9．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +10．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+ 11．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34- 二、填空题13．若复数220171z i i i =++++……，则z =________.（z 表示复数z 的共轭）14．若z =,则z =___________ 15．已知实数x 和复数m 满足2(43)430i x mx i +++-=，则m 的最小值是________. 16．设复数20192534i 2019z z -=+-满足（i 是虚数单位），则||z =________. 17．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________.18．已知i 为虚数单位，设2391z i i i i =+++++，则z =______．19．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________ 20．已知复数z 满足等式12z z i -=+（i 是虚数单位）.则1z i --的最小值是__________.三、解答题21．已知复数z bi =（b R ∈），21z i++是实数，其中i 是虚数单位. （1）求复数z ；（2）若复数()2m z +所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围.22．已知复数0z 满足00|215|10|z z ++，（1）求证：0||z 为定值；（2）设12i x +=，0n n z z x =，若1||n n n a z z -=-，*n N ∈，求12lim()n n a a a →∞++⋯+． 23．已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=.（1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.24．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数.(1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值；(2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.25．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且z =（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数1m i z i ++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．26．已知虚数z 满足25|10|||z z +=+．（1）求||z ；（2）是否存在实数m ，使得z m m z +为实数，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（3）若(12)i z -在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 先计算出104212i i i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】 由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i i i i i i +-+===-+--+， 所以1012i i-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．D解析：D【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12i i 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 3．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部．【详解】 ∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)， ∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．4．C解析：C【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数1+i 1i-为i ，根据20154503331+i i i 1i ⨯+⎛⎫== ⎪-⎝⎭，从而可得结果. 详解：()()()21+i 1+i 2i ==i 1i 1i 1i 2=--+， 则20154503331+i i i i 1i ⨯+⎛⎫===- ⎪-⎝⎭，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．C解析：C【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：不妨设()1a i ki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+， 由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩， 即实数a 的值为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可.详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 8．D解析：D【分析】 根据复数的几何意义求出复数i z x y =+的轨迹方程再根据y x 的几何意义求解即可. 【详解】因为|2|z -,故()2x yi -+=即()2223x y -+=.又y x的几何意义为(),x y 到()0,0的斜率.故当过原点的直线与()2223x y -+=切于第一象限时y x 取得最大值.此时设切线的倾斜角为θ则sin θ=易得3πθ=.故y x的最大值为tan 3π=故选：D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题. 9．C解析：C【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--， 则2z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应. 11．D解析：D【解析】 因为734i i++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.12．D解析：D【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D. 二、填空题13．【分析】根据虚数单位的性质：当时计算求出再求出然后利用复数模的公式计算得答案【详解】解：根据虚数单位的性质：当时则故答案为：【点睛】本题考查虚数单位的性质考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本【分析】根据虚数单位i 的性质：当n N ∈时，41n i =，41n i i +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，计算求出z ，再求出z ，然后利用复数模的公式计算得答案．【详解】解：根据虚数单位i 的性质：当n N ∈时，41n i =，41n i i +=，42i 1n +=-，43i i n +=-， 23420172342013201420152016201711()()z i i i i i i i i i i i i i i =+++++⋯+=+++++⋯+++++ 1001i i =++⋯+=+， ∴1z i =-．则||z =【点睛】本题考查虚数单位i 的性质，考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．14．【分析】利用复数的运算法则运算即可得出【详解】解：故答案为：8【点睛】本题考查了复数的运算法则考查了计算能力属于中档题 解析：8【分析】利用复数的运算法则运算即可得出.【详解】解：42(1)(2)4i i +==-，61226(1)(1)(2)64i i i ⎡⎤-=-=-=-⎣⎦， 77777(1)(2)cos sin 128cos sin 3333i i ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112864(1)2⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，4z ∴==--，||8z ∴==.故答案为：8.【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于中档题.15．8【分析】设m ＝a+bi 得到（4x2+ax+4）+（3x2+bx ﹣3）i ＝0解出ab 的值从而求出|m|的最小值即可【详解】设m ＝a+bi ∵（4+3i ）x2+（a+bi ）x+4﹣3i ＝0∴（4x2+a解析：8【分析】设m ＝a +bi ，得到（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，解出a ，b 的值，从而求出|m |的最小值即可．【详解】设m ＝a +bi ，∵（4+3i ）x 2+（a +bi ）x +4﹣3i ＝0，∴（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，∴22440330x ax x bx ⎧++=⎨+-=⎩， ∴a 24(1)x x+=-，b 23(1)x x -=-， ∴|m |==≥=8当且仅当x 2＝1时“＝”成立，故答案为：8．【点睛】本题考查了复数的运算性质及基本不等式求最值，考查解方程组问题，是一道基础题． 16．【分析】设利用模的运算性质即可得到结果【详解】设∵∴即即故答案为【点睛】本题考查了复数的运算性质模的计算公式考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：5【分析】设()z i,,a b a b R =+∈，利用模的运算性质，即可得到结果.【详解】设()z i,,a b a b R =+∈ ∵20192534i 2019z z -=+-，∴20192534i 2019z z -=+-，即= ()2222222254038201920195020196252019a a b a a b ⨯-++=-⨯++，()()222222252520192019625a b a b ++⨯=++5== 即||5z =故答案为5【点睛】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图 解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值.【详解】 设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==，所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1.故答案为1.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.18．【分析】由于是以4为周期的数列所以相连的四项和为0由此求得【详解】由于所以即=所以填【点睛】记住以下结论可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)；(3)；(4)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)；( 2【分析】由于n i 是以4为周期的数列，所以相连的四项和为0，由此求得1z i =+．【详解】由于4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-，所以44142430n n n n i i i i ++++++=，即2391z i i i i =+++++=1i +,所以|2|z 2 【点睛】记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)11i i i +=-；(3)11+i i i-=-；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．19．1【解析】复数z 满足|z+3i|+|z−3i|=6∴z 的几何意义是以A(03)B(0−3)为端点的线段AB 则|z+1+i|=|z−(−1−i)|的几何意义为AB 上的点到C(−1−1)的距离则由图象知解析：1【解析】复数z 满足|z+3i|+|z−3i|=6，∴z 的几何意义是以A(0,3),B(0,−3)为端点的线段AB ，则|z+1+i|=|z−(−1−i)|的几何意义为AB 上的点到C(−1,−1)的距离，则由图象知C 到线段AB 的距离的最小值为1，20．【解析】设即整理得所以的最小值为点（11）到直线的距离点睛：此题要注意将模长的表达式写出来转化为直线方程从而确定复数对应的点的坐标轨迹然后确定问题表达式发现是两点间距离公式因此问题转化为点到直线的距解析：510【解析】 设,12,1(2)z x yi z z i x yi x y i =+-=+∴-+=++，即2222(1)(2)x y x y -+=++2430x y ++=，所以1z i --的最小值为点（1,1）到直线2430x y ++=的距离，24395416d ++==+ 点睛：此题要注意将模长的表达式写出来转化为直线方程，从而确定复数对应的点的坐标轨迹，然后确定问题表达式，发现是两点间距离公式，因此问题转化为点到直线的距离最小的问题，从而轻易求解三、解答题21．（1）2i -；（2）(),2-∞-. 【分析】 （1）先求出222122z b b i i --+=++，由题得202b +=，解之即得解；（2）求出()()2244m z m mi +=--，解不等式24040m m ⎧->⎨->⎩即得解. 【详解】（1）∵z bi =()b R ∈，∴()()()()212222111122bi i z bi b b i i i i i -----+===++++-，又21z i -+是实数，∴202b +=，得2b =-.∴复数2z i =-. （2）由（1）得2z i =-，m R ∈， ∴()()()222244m z m i m mi +=-=--，∵复数()2m z +所表示的点在第一象限，∴24040m m ⎧->⎨->⎩，得2m <-. ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-. 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，考查复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）设0(,)z x yi x y R =+∈，利用00|215|10|z z +=+，可得2275x y +=，即可证明：0||z 为定值；（2）12||32nn n n a z z -⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，再求极限．【详解】（1）证明：设0(,)z x yi x y R =+∈，则00|215|10|z z ++， |2152|10|x yi x yi ∴+++-，2222(215)(2)3(10)3x y x y ∴++=++， 2275x y ∴+=，0||z ∴= （2）解：12ix +=，0n n z z x =， 12||32nnn n a z z-⎛⎫∴=-=⎪ ⎪⎝⎭，121nn a a a ⎫⎪-⎪⎝⎭∴++⋯+=∴121lim()nnn na a a→∞⎫⎪-⎪⎝⎭++⋯+===．【点睛】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（12）ω所对应的点的轨迹是以(2,为圆心，以4为半径的圆；（3）这样的直线l存在，且有两条y=或3y x=.【分析】（1）先由题意，得到2==z，求解，即可得出结果；（2）先由z zω=⋅得到()()1''+=-x y i x yi，推出xy⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩代入2240x y x+-=，得到()(22216''-+-=x y，进而可得出结果；（3）先设直线l存在，且为y kx b=+，根据()()1''+=-x y i x yi得到'=x x，'=-y y；再由ω对应点也在直线l上，y kx b''=+，推出()-=++y k x b，得到kb=⎪=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为2zω=，z zω=⋅得002=⋅=z z z z z，又()10z mi m=->，所以2==z，所以m=（2）由(),x y i x y Rω''''=+∈，z zω=⋅，得()()1''+=-x y i x yi，即-==x yi44xxyy''⎧'=⎪⎪⎨+='-⎪⎪⎩，因为2240x y x+-=，所以2240444⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''+-+++-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x，即2240''''+--=x y x ，即()(22216''-+-=x y ；所以ω所对应的点的轨迹是以(2,为圆心，以4为半径的圆； （3）设直线l 存在，且为y kx b =+，由()()1''+=-x y i x yi得'=x x，'=-y y ；因为ω对应点也在直线l 上，所以y kx b ''=+，()-=++y k x b，所以=y x因此k b ⎧=⎪=⎪⎩，解得0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩或03b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以这样的直线l存在，且有两条y =或y x =. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的混合运算，以及点的轨迹问题，熟记复数的运算法则，复数的几何意义，以及点的轨迹方程的求法等即可，属于常考题型. 24．【解析】 【分析】(1) 因为12x i =+是方程的根,代入方程化简即可求得p q 、的值,即可求得p q +的值; (2) 根据22p q +=，代入原式的系数化为q 的方程,由判别式的情况即可求得q 的取值范围,而两个根的乘积记为q ,即可求得q 的最大值. 【详解】(1) 因为12x i =+是方程20x px q -+=的根 代入得()()212120i p i q +-++= 化简可得()3420q p p i --+-=则30420q p p --=⎧⎨-=⎩解方程求得25p q =⎧⎨=⎩所以7p q +=(2) 因为22p q +=，则22p q =- 所以原方程可化为()2220x q x q --+=由韦达定理可知方程的两个根之积为q判别式()()22224431q q q q --=-∆+=当0∆≥时,方程有两个实数根,所以()24310q q -+≥解不等式可得32q -≥或32q --≤ 当∆<0时,方程有两个互为共轭复数的复数根 当q ≥,当q ≤综上可知q【点睛】本题考查一元二次方程的复数根的概念和运算,韦达定理的基本应用,属于基础题. 25．（Ⅰ）3i z =+．（Ⅱ）﹣5＜m ＜1 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解. 试题（Ⅰ）∵z a i =+，z =，∴z ==即29a =，解得3a =±， 又∵0a >， ∴3a =，∴3z i =+． （Ⅱ）∵3z i =+，则3z i =-，∴()()()()151311122m i i m im m z i i i i i ++++-+=-+=+--+ 又∵复数1m iz i++-（m R ∈）对应的点在第四象限， ∴52{102m m +>-< 得5{1m m >-<∴﹣5＜m ＜1点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b(a,b)、共轭复数为a−bi26．（1）||5z =（2）5m =±（3）z =或z =. 【解析】 试题分析：(1)利用题意两边平方求得5z =；(2)实数的虚部为0，据此可求得实数的值为5m =±. (3)由题意可得关于实数x,y的方程组，解方程可得z =或z =. 试题（1）设(),0z x yi x y R y =+∈≠且，由2510z z +=+得：()()222225410x y x y ++=++化简得:2225x y +=,所以5z =.（2）2222z m x mx y my i R m z m m n m x y ⎛⎫⎛⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 220y my m x y ∴-=+，又0y ≠且2225x y +=， 10,25m m ∴-=解得5m =±. (3)由()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-及已知得：22x y y x +=-，即3y x =-，代入2225x y +=解得：{2x y ==-{2x y ==，故z = 或z =.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上3．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．4 4．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则等于A ．4iB ．C ．2D ．5．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 3B 6C ．6D ．37．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --8．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数B ．若1z 、2zC ∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若x C ∈，则方程3x 2=只有一个根9．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+B ．33i +C ．13i -D ．13i --10．设i 是虚数单位，复数1a ii-+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．211．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2 B ．22C 17 D 3412．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．(1)i i +B ．2(1)i +C ．2(1)i i +D ．2(1)i i +二、填空题13．设复数1z i =+，则22||z z -=___________. 14．复数212i z i-=-的共轭复数z =__________.15．设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________.16．若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =____________.17．若复数z 满足2018z i 34i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =_____________． 18．已知i 是虚数单位，则复数11i+所对应的点位于复平面内的第__________象限． 19．在复平面内，复数112z i =-+与21z i =-所对应的点分别为,A B ，若向量AB 所对应的复数为z ，则z =________.20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值. 22．设复数2(1),()z a a a i a =---∈R . （1）若z 为纯虚数，求|3|z +；（2）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求a 的取值范围. 23．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？24．计算：（1）)()245i +（2）1-的值．25．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i26．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且z = （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数1m iz i++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=根据其几何意义计算得到答案. 【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()1212z i x y i --=-+-=，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．B解析：B 【分析】 先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--.设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.3．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-，1,2,1a b a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得． 【详解】，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．D解析：D 【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A 【分析】根据复数的有关定义和性质，对各选项进行判断即可． 【详解】对A ，设(),z a bi a b R =+∈，20z <即2220a b abi -+<，因为虚数不能直接比较大小，所以220a b -<且0ab =，即0a =，0b ≠，故z 一定是纯虚数，A 正确； 对B ，虚数不能直接比较大小．虽然()()2110i i +-+=>，但是21i i +>+不成立，所以B 错误；对C ，若z R ∈，设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，222z z z a b ⋅==+成立，所以C 错误；对D ，若x C ∈，则方程3x 2=有三个根，所以D 错误． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数的有关概念的辨析和性质的理解，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(答案解析)
一、选择题1．复数34i z i -=，|z |＝（ ） A ．5 B ．3 C ．4 D ．52．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设i 是虚数单位，若复数z 满足1z i -=，则z 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知复数z 满足121iz i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．55．设复数z 满足()11z i z =--，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．26．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则等于A ．4iB ．C ．2D ．7．复数z 满足，则A ．B ．2C ．D ．8．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15- B ．25- C ．45 D ．359．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．3B ．6C ．6D ．310．化简 31ii -++＝（ ）A ．12i -+B ．12i -C ．12i +D ．12i -- 11．已知复数3412iz i +=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( )A ．55B ． 2215 C ．5D ．512．已知31iz i =-，则复数z 在复平面对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．设11()()()()11n n i i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．复数212i z i-=-的共轭复数z =__________. 15．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.16．已知复数z 满足3i ii z++=，i 为虚数单位，则z =____________ 17．若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =____________.18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________ 19．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________20．设复数1=-i z i，则z =_____________． 三、解答题21．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值．22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）．（1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且10z =．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数1m i z i ++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．24．已知：对于任意的多项式()f x 与任意复数z ，()0f z =⇔x z -整除()f x ．利用上述定理解决下列问题：（1）在复数范围内分解因式：21x x ++；（2）求所有满足21x x ++整除21n n x x ++的正整数n 构成的集合A ．25．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数；（2）若()1m i z m R i -+∈+为纯虚数， 求实数的值．26．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i }，P ＝{－1，1，4i }，若MP P =，求实数m的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i ----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.2．C解析：C【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：复数z 满足1z =（i 是虚数单位），复数z 表示，复平面上的点到()0,0的距离为1的圆．|34|z i -+的几何意义是圆上的点与(3,4)-的距离，14=．故选：C ．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 3．B解析：B【分析】设复数z 在复平面内对应点(),M x y ，根据已知可得点M 轨迹为圆，求z 的最大值即求圆上的点与坐标原点的距离的最大值.【详解】设复数z 在复平面内对应点M (),x y ，由1z i -=1=，即()2211x y +-=，所以z =()2211x y +-=上的点(),M x y 到原点的距离，因此，max112z r ==+=（其中r 为圆()2211x y +-=的半径）. 故选：B.【点睛】 本题考查复数几何意义的应用，关键是明确复数z 对应点的轨迹，属于中档题.4．D解析：D【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 5．A解析：A【解析】【分析】由已知可得()11i z i +=-+，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】 由()11z i z =--，得()11i z i +=-+，()()()()11121112i i i i z i i i i -+--+∴====++-，则1z =. 故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题. 6．D解析：D【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得．【详解】 ，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称， ，则． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．A解析：A【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用复数模的公式可得结果.【详解】 因为，．故选A ．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 8．C解析：C【分析】 利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部．【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)， ∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．9．D解析：D【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i 13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=， 所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i 310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．A解析：A【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则有：()()()()31324121112i i i i i i i i -+--+-+===-+++-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．C解析：C【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412i z i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 12．B解析：B【解析】31i z i =-3(1)33222i i i +==-+，对应的点位于第二象限，选B. 二、填空题13．8【分析】化简得到计算结合复数乘方的周期性得到得到答案【详解】根据的周期性知子集个数为故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算集合的子集意在考查学生的计算能力和综合应用能力周期性的利用是解题的关键 解析：8【分析】化简得到()()()n ni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到答案.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n n n n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()00(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故答案为：8.【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 14．【分析】根据复数的运算法则计算得到再计算共轭复数得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算共轭复数意在考查学生的计算能力和转化能力 解析：425i -+ 【分析】 根据复数的运算法则计算得到425i z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()()()222124222225i i i z i i i i -+----====---+，故425z i =-+. 故答案为：425i -+. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15．【分析】首先求出一元二次方程的虚根进一步因式分解求出结果【详解】解：首先求出的虚根为：所以：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用主要考查学生的运算能力和转化能力属于解析：3x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭【分析】首先求出一元二次方程的虚根，进一步因式分解求出结果．【详解】解：首先求出23640x x -+=的虚根为：12x x ==所以：23643x x x x ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查的知识要点：在复数范围内的因式分解问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．16．1-2i 【分析】化简得到计算得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了复数的计算意在考查学生的计算能力解析：1-2i【分析】化简得到2i z i+==，计算得到答案. 【详解】i =，故212i z i i +===-. 故答案为：12i -.【点睛】 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.17．-1【解析】∵复数为纯虚数故答案为-1解析：-1【解析】∵复数()11z m m i =++-为纯虚数，1010m m ∴+=-≠，，1m ∴=- .故答案为-118．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为 解析：25 【解析】 由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时12310x z i -=-+=，1x =-时，12332x z i -=--+= ，当x i =时，232425x z i i i -=-+=-+=当x i =-时，232222x z i i i -=--+=-+=.故答案为25.19．【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉解析：10【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |22(1)310=-+=．故答案为10．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．20．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算 解析：．【解析】试题分析：因为1i z i =-，所以z =，故应填． 考点：复数的基本概念及其运算．三、解答题21．(1) 34,5z i z =+=.(2) 1,2a b =-=.【分析】()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案【详解】（1）解：（1）依题意得，（2）解得：【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件22．（1）2i -；（2）3π.【解析】分析：（1）利用复数除法的运算法则即可得出；（2）结合（1），利用复数模的几何意义可得在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形是一个圆环，面积圆的方程及其面积计算公式即可得出点Z 构成的图形面积.详解：（1）∵w （1+2i ）=4+3i ，∴；（2）在复平面内求满足不等式1≤|z ﹣w|≤2的点Z 构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆,在复平面内求满足不等式1≤|z ﹣w|≤2的点Z 构成的图形面积=22π﹣12×π=3π． 点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.23．（Ⅰ）3i z =+．（Ⅱ）﹣5＜m ＜1【解析】试题分析：(Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解. 试题（Ⅰ）∵z a i =+，10z =|， ∴2110z a =+=，即29a =，解得3a =±，又∵0a >，∴3a =，∴3z i =+．（Ⅱ）∵3z i =+，则3z i =-，∴()()()()151311122m i i m i m m z i i i i i ++++-+=-+=+--+ 又∵复数1m i z i ++-（m R ∈）对应的点在第四象限， ∴502{102m m +>-< 得5{1m m >-< ∴﹣5＜m ＜1点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +对应点为(a,b)、共轭复数为a−bi24．(1)；(2)或．【解析】试题分析：（1） 令210x x ++=，由求根公式可得两根为；（2）因为， ，又一个整数除以，要么整除，要么余，要么余，故分，三种情况讨论．试题（1）令210x x ++=解得两个根2,ωω，这里所以2213131()()()()2222x x x x x i x i ωω++=--=+-++ （2）记2()1n n f x x x =++．210x x ++=有两个根2,ωω，这里，31ω=当时，， ，故在这种情形有， 同样可以证明，当时，有， 但当时，，故， 综上，当且仅当时，， 所以或．考点：（1）求根公式的应用；（2）分情况讨论思想的应用，（3）复数性质的应用．25．（1）3z i =-.（2）5m =-.【详解】（1）设z a bi =+，,,0a b R a ∈>，由题意：2210a b +=.①(12)z (12)()2(2)i i i a bi a b a b +=++=-++，得22a b a b -=+②①②联立，解得3,1a b ==-得3z i =-.（2）()(1)1133(1)1222m i m i i m m z i i i ----++=++=++-+ 所以1302m -+=且1102m +-≠， 解得5m =-.26．m ＝1或m ＝2.【分析】先由M P P =，知M 是P 的子集，再依据集合中元素的互异性得复数22(2)(2)m m m m i -++-的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m ．【详解】由M P P =，知M 是P 的子集，从而可知22(2)(2)1m m m m i -++-=-或4i ．由22(2)(2)1m m m m i -++-=-，得222120m m m m ⎧-=-⎨+-=⎩，解之得：1m =，由22(2)(2)4m m m m i i -++-=，得222024m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解之得：2m =， 综上可知：1m =或2m =．【点睛】 本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题.。
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一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2CD ．52．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．椭圆3．已知复数z 满足：121z i z ++=-，则z 的最小值是（ ） A ．1BC．2D4．设复数z满足：22zi=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A．((421i -B．((421i + C．((421i +D．((421i +5．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ）A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --6．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -7．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -8．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --10．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 11．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1B ．1-C ．1或1-D ．012．在复平面内，复数3i12i+在复平面中对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z 的共轭复数z ＝________． 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．若复数()()()1212i i z i --=+，则z =______.16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数. 18．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________ 19．若实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，则x y += __________． 20．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.三、解答题21．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.22．已知复数()()22326z m m m m i =+++-- ，则当实数m 为何值时，复数z 是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应的点在第三象限． 23．计算：（1）)()22245ii +（2）211x dx --的值．24．已知复数1(4)z a i =-+，2z a ai =-（a 为实数，i 为虚数单位），且12z z +是纯虚数．（1）求复数1z ，2z ；（2）求12z z 的共轭复数．25．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？ 26．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=， 结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．3．C解析：C 【分析】设(),,z x yi x y R =+∈,再根据121z i z ++=-求出,x y 满足的方程,根据复数的几何意义求解z 的最小值即可. 【详解】设(),,z x yi x y R =+∈,因为121z i z ++=-,故()121x y i x yi +++=-+,故()()()2222121x y x y +++=-+,即10x y ++=.故z 在复平面内的轨迹是直线10x y ++=.又z 的几何意义为z 到复平面原点的距离,故其最小值为原点到10x y ++=的距离2d ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义运用,需要根据题意设(),,z x yi x y R =+∈再列式求解对应的轨迹方程.属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】直接利用复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为22zi=-+，所以()()((22421z i i =+=+ 故选C. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属基础题.5．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 7．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 8．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．9．B解析：B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由(12)5z i +=，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， 12z i ∴=+.故选B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．B解析：B 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】 ：，∴（1-i ）（1+i ）z=（1-i ）（1+2i ），化为2z=1+3i ，∴1322z i =+ ． 则z 的共轭复数为，故选B ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】复数()()211z m m i =--+是纯虚数，则：()21010m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，据此可得：1m =.本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.12．A解析：A 【解析】 复数()()()3123631212125i i i i i i i ⨯-+==++-，它在复平面内对应的点的坐标为63,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故对应的点在第一象限 故选A二、填空题13．1＋i 【分析】先求出复数的模长把已知登时变形然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数求出即可【详解】因为所以则故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数模长和共轭复数的概念解题的关键是解析：1＋i 【分析】i 的模长，把已知登时变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 即可.【详解】 因为()12i z i +==，所以211z i i==-+，则，故答案为1i +. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模长和共轭复数的概念，解题的关键是求出z ，是基础题．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题【解析】 【分析】由余弦定理可得12||Z Z +，12||Z Z -=12121212||||||z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC中由余弦定理得12||||Z Z OB +=同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求出即可求出【详解】复数故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的求法复数代数形式的乘除运算法属于容易题 2【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求出1z i =--，即可求出z ． 【详解】 复数()()()()()()()222121312221313265511212121212145i i i i i i i i i i i i z i i i i i i i ------+---+--=======--++++--，22(1)(1)2z ∴=-+-=．2 【点睛】本题主要考查了复数的模的求法，复数代数形式的乘除运算法，属于容易题．16．【解析】【分析】先对分母进行化简然后再用复数的除法进行运算【详解】【点睛】本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识需注意公式的准确使用解析：134--【解析】 【分析】先对分母()23i +进行化简，然后再用复数的除法进行运算。