构造法巧证不等式

构造法巧证不等式

解题过程实质上包含着多次思维的转化过程，如果从分析问题所提供的信息知道其本质与相关知识的内在联系，那么该题就可以考虑转化为运用“构造”的方法来解（证），可以达到优化解题模式的奇妙效果.

“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式.要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力.构造思想解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系.应用构造思想解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.

1．构造函数证明不等式

例1求证：

b

a b a +++1≤

b

b a

a ++

+11

分析：由不等号两边可归纳为)0(1)(>+=

x x

x

x f 的形式，因此可考虑函数x

x

x f +=

1)(在0>x 时的单调性. 证明：设210x x <<，∵0)

1)(1(11212

12211<++-=+-+x x x x x x x x ∴x

x

x f +=

1)(在0>x 时是增函数， 且b a +≤b a +.令b a x +=1，b a x +=2，则有

b

a b a +++1≤

b

a b b

a a b

a b a +++

++=

+++111≤

b

b a

a ++

+11

评注：此例在于引导学生关于发现不等式的特点，根据其特点确定证题的方向. 2．构造向量证明不等式

通过构造向量，利用向量的数量积的概念和余弦函数的取值范围，变等为不等，从而解决有关不等式的证明问题.

例2证明 2

2211)(b a b a +≤))((2

22

22

12

1b a b a ++，其中i a 、∈i b R ，2,1=i .

证明：设a ),(11b a =，b ),(22b a =，a 与b 的夹角为],0[,πθθ∈，因为，

2

2

222

1

2

12211cos b a b a b a b a +++=

θ，θcos ≤1，所以

2

2

222

1

2

12211b a b a b a b a +++≤1.即

22211)(b a b a +≤))((2

2222

12

1b a b a ++.

例3求证：2222d c b a +++≥2

2

)()(d b c a -+-（a 与c 、b 与d 不同时相

等）

解设p ),(b a =、q ),(d c =，则

q p +≥q p -（当且仅当p 与q 反向时取等号）

即2222d c b a +++≥22)()(d b c a -+- 3．构造几何模型，数形结合证明不等式

例4已知实数x 、y 满足1=+y x ，求证：2

2

)2()2(+++y x ≥

2

25 分析：这道题目代数证明方法很多，就不一一列举了.这里介绍如何利用图象去解决问

题.我们注意到2

2)2()2(+++y x 可以用来表示点

),(y x 到点（-2，-2）的距离d 的平方.所以这道题目

我们可以有如下的解法.

解：如图在直角坐标系中，1=+y x 为一条直线，

22)2()2(+++y x 表示直线1=+y x 的任一点

),(y x 到点（-2，-2）的距离d 的平方，而距离d 的最小值为点（-2，-2）到直线1

=+y x 的距离.所以2

5111222

2min =

+---=

d 所以2

d ≥

225，即2

2)2()2(+++y x ≥2

25. 评注：我们可以看出运用数形结合思想解(证)不等式，确实能简化我们的解题过程，但

在运用数形结合思想的过程中还需要注意以下两点：一、不等式问题并不是都能用数形结合思想来解决的，我们不能只抓住数形结合思想不放，还应考虑其他方法；二、作函数图象的时候一定要把图象画正确，要注意函数的定义域、图象的交点等等.

4．构造三角形证明不等式

例5 正数a 、b 、c ，A 、B 、C 满足条件： k C c B b A a =+=+=+，

求证：2

k cA bC aB <++.

证明 如图1所示，作边长为k 的正三角形PQR ，分别在各边上取L 、M 、N ，使

,,,,,,c NQ C PN b MP B RM a LR A QL ======，有

PQR NQL MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++，

即

︒<︒+︒+︒60sin 2

1

60sin 2160sin 2160sin 212k cA bC aB ， 所以 2

k cA bC aB <++. 5．构造数列证明不等式

P

L M

N

A B C a b

c

x

y

O

p

q q p -