求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以12

2

2a 11==为首项，

以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31

()222n n a n =-。

评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113

222

n n n n

a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出

3

1(1)22

n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解： 22(1)4

2

31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--

23435T S n n n n n ∴=+=-- (2)

分 当1,35811n T b ===--=-时

当2,62

6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

练习：1。 已知正项数列｛a n ｝，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n

解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3

又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2）,②

由①－②得 10a n =（a n 2－a n －12

）+6(a n －a n －1），即（a n +a n －1）（a n －a n －1－5）=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2）

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1, a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时， a 3=12, a 15=72， 有 a 32

=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3

三、累加法

例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式. 解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+,进而求出

11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式.

四、累乘法

例6 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠,则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅

⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出1

32

112

21

n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅

⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 例7已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式. 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥

①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++

+-+

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以1

3

22212

2

!

[(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

⋅⋅⋅

⋅=-⋅⋅⨯=

③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =,又知11a =,则21a =，代入③