子弹弹道测量方法的研究对策

摘要
通过交会摄影测量的手段可取得一段子弹弹道，而由此段弹道则可推算出该子弹的落速和落角值。

本文在计算和分析的基础上，提出了初步的测量方案，并给出了系统的数据处理方法。

，
、／处理子弹弹道的测量数据需解决好以下三部分的问题：（一）同名像点判定与交会，也即找出同一时刻，不同测量仪器中，由同一子弹所成的点像，然后用同名像点的有关数据交会算得子弹在该时刻的三维坐标值；（二）弹道轨迹搜索，就是从总的点集中分辨出属于同一条弹道之点：（三）用离散弹道段数据推算子弹的落速和落角。

围绕这三个部分，本文所完成的工作包括：１．用实算的方法分析弹道段基本形状和子弹的速率变化规律，并据此确定搜索轨迹的基本思想。

２．分别按照“先搜索弹道”和“先匹配同名点”的不同次序，编制了两种数据处理思路下的全部程序。

３．开发了计算机辅助识别子弹轨迹的软件，为解决可能出现的复杂问题作好准备。

４．利用离散弹道数据按摄小二乘原则辨识出运动变量初值，进而由初值推知子弹的落地诸元ｂ一
关键词：交会摄影测量，多弹道测量，直线搜索，曲线搜索，子母弹
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ａｓｅｇｍｅｎｔｏｆｓｕｂｍｕｎｉｔｉｏｎ’ｓｄｉｓｃｒｅｔｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｃａｎｂｅａｃｑｕｉｒｅｄｂｙｔｈｅｍｅａｎｓｏｆｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｐｈｏｔｏｇｒａｍｍｅｔｒｙ．Ｄｅｐｅｎｄｉｎｇｏｎｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｓｅｇｍｅｎｔ
ｄａｔａ，ｔｈｅｓｕｈｍｕｎｉｔｉｏｎ’ｓｍｏｔｉｏｎｓｔａｔｅｎｅａｒｔｈｅｇｒｏｕｎｄｃａｎｂｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．ＯｎｔｈｅｂａｓｉＳｏｆａｎａｌｙｓｉＳａｎｄｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅｔｅｎｔａｔｉｖｅｓｕｒｖｅｙｉｎｇｓｃｈｅｍｅａｎｄｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｔｉＣｄａｔａｈａｎｄｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｒｅｇｉｖｅｎ．
Ｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｄａｔａｈａｎｄｌｉｎｇｃａｎｂｅｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｈｅｍａｊｏｒｓｔｅｐｓ
ｅｓｔａｈｌｉｓｈｍｅｎｔｏｆｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓｂｔｗｅｅｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔＶｉｅｗｓ，ｅｏｏｒｄｉｎａｔｅ（Ｊｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｃｋｉｎｇ，ｃａｌｃｕＩａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｕｂｍｕｎｉｔｉｏｎ’Ｓｍｏｔｉｏｎｓｔａｔｅ
ｔｈｅｎｅａｒｔｈｅｇｒｏｕｎｄ．Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｃｅｎｔｒｅｄａｒｏｕｎｄ
ｍａ。

ｉｏｒｓｔｅｐｓｃａｎｂｅｓｕｍｍａｒｉｚｅｄａｓｆｏｌｌｏｗｓ．
一ＦｉｎｄｉｎｇｏｕｔｔｈｅｂａｓｉＣｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｂａｓｉＣ
ｖ∈１ｒｉａｔｉ。

ｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉＣｏｆｔｈｅｓｕｂｍｕｎｉｔｉｏｎ’Ｓｓｐｅｅｄｂｙｗａｙｏｆｍａｓｓｉｖｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，
一Ａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｏｆｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｅｑｕｅｎｃｅｓｏｆｄａｔａｈａｎｄｌｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ．
ｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆ一Ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｒｅｃｏｇｎｉｚｉｎｇｔｈｅｔｒａｃｋｓ
ｃｏｍｐｕｔｅｒ．
ｖａｒｉａｂｌｅｂｙ一Ｃａ］ｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｏｐｔｉｍｕｍｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｏｆｅｖｅｒｙｍｏｔｉｏｎ
ｕｓｅｏｆｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ－Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｐｈｏｔｏｇｒａｍｍｅｔｒｙ，ｍｕｌｔｉｐｌｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｌｉｎｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ，ｃｕｒｖｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ，ｃａｒｇｏｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅ
绪论
炮兵作为地面战场上的火力突击骨干一直发挥着十分重要的作用。

本世纪六十年代以来，炮兵武器在不断发展的科学技术影响下，为了适应现代战争的要求，已经和正在经历着一场深刻的变革，其发展趋势主要表现在增大射程、提高威力、提高精度、提高反应能力和反应速度、提高机动性和战场生存能力等方面，同时注意应用新材料、采用新Ｔ艺，并使武器向自动化和人工智能化发展。

就提高弹丸威力而言，其中两项重要的措施是采用子母弹和预制破片技术【”。

一发普通榴弹可以在其炸点附近形成很大的毁伤作用，但距炸点越远，毁伤作用越小。

而若在炮弹内装上许多有一定毁伤作用的小子弹，使这些子弹均匀地撒布在目标区域内，则一发炮弹的毁伤范围可以大大增加。

基于这一思想，美国从五十年代开始发展了用于打击有生力量的反步兵子母弹（美军称之为改进型常规弹），随着子母弹技术的发展，继反步兵子母弹之后，又先后出现了反装甲子母弹和反装甲兼杀伤双用途子母弹。

近年来，发达国家进一步将子母弹技术与制导技术相结合，发展了末端敏感子母弹和末端制导子母弹，使得杀伤和破甲的准确性有了很大提高。

西方一些国家炮兵弹药库的一半已为子母弹。

可以断言，子母弹在末来战争中将会扮演越来越重要的角色。

国内从一九七九年着手研制发展子母弹。

迄今为止，对国外投入使用的各类子母弹，国内都在进行跟踪研究。

如今已进入定型生产阶段的主要是利用普通榴弹炮、加农炮、迫击炮和多管火箭炮发射的无控杀伤破甲子母弹，其中所装用的子弹均为飘带尾翼子弹。

利用飘带尾翼子弹完成破甲任务时，其落地速度与落地角度对性能具有重大影响，因而落速和落角便成了考核子母弹总体性能的重要指标。

实弹射击测量过程中，要直接得到此二数据非常困难，可行的方
ｌ
法是先测出靠近地面的一段子弹弹道，进而推算出落速与落角。

采用这一手段的一个附带好处是利用测得的子弹道数据标准化射程以及分析子弹飞行特性。

由于子弹的散布区变化较大，而且子弹自身尺寸较小、数目较多，所以无论是测量方案的设计，还是数据处理软件的编制都有相当大的难度。

目前，尚未见到国内外有关无控子弹弹道测量的报导，只有～些相近领域的文献可供参考。

本课题的目的就是研究进行这一测量的具体方法。

不同的测量方案需要有不同的数据处理方法。

数据处理方法必须考虑所用测量设备的性能及被测目标的运动规律。

而测量方案的确定也要了解被测目标的轨迹特点。

故而，本文在第一章中详细分析了子母弹的运动规律：第二章给出了选定的测量方案：第三章分析了相关领域的研究成果，并在借鉴其中部分成果的基础上提出了子弹弹道测量数据处理工作的基本思路；从第四章开始，具体论述数据处理方法的全过程。

第一章子母弹的运动特点
１．１引言
子母弹从炮口飞出后，依靠时间引信的作用，在弹道降弧段上的某一预定位置（抛射点Ｃ），点燃发射药将子弹全部从子母弹内抛射出去，子弹群内的各枚子弹又以合成速度沿抛撒角继续飞行到地面。

因此，子母弹的全弹道可看作是抛射前母弹弹道与抛射后子弹弹道的叠加（如图１．ｉ所示）。

显然，子母弹在末抛射出子弹前的弹道和普通榴弹的外弹道相同，而抛射后的子弹弹道是一个弹道柬，弹道束的疏密取决于子弹的个数和扩散面积等因素。

图１．１子僻弹弹道
由于子弹的形状特殊，加之为了降低予弹的飞行速度及旋转速度，子弹又采用了飘带稳定，使它在飞行中受到很大的阻力，故子弹的弹道轨迹的曲率变化和羽毛球在空气中的轨迹很相似。

不同的载体所抛撒的子弹，初速与初始的抛撒角存在差别，但过了很短一段时间后，由于大阻力的作用，所有子弹的运动都呈现共同的特点：速率减至每秒儿十米的量级；速率变化越来越小；落速方向倾角很大。

实际测量的弹道均在此段内，所以以某一类子母弹为例推出的被测段子弹运动特点应具有通用性。

为了确定测量方案和研究子弹的运动规律，必须首先知道母弹在抛
撒点处附近的运动特点。

不同类型的载体在抛撒点附近肯定具有不完个相同的运动特点，但研究的思路和所ｔ¨ｊ的软件应该没有多大区别，只要更换。

Ｆ气动力参数和弹丸质量即可。

本文选定旋转稳定子母弹作为实算的“标准弹”（这也是日前国内使用最为广泛的子母弹弹种），重点计算１５５ｍｍ榴弹子母弹，附带计算１３０加和１２２榴弹子母弹，实算的具体目的是：（１）得出抛撒点附近的母弹运动特点，为进一步计算子弹弹道以及引导测量仪器提供必要数据；（２）得山一段子弹弹道的基本形状以及在此段弹道内，子弹速率的变化舰律，为搜索属于同一条子弹道上的测量点作好必要准备。

针对上述目的，只需有选择地进行必要的分析和运算即可。

１．２母弹在抛撒点附近的运动特点
１．２．１计算抛撒点处母弹弹丸的速度和倾角
此处要求的有关母弹的数据不同于编制射表时的要求，这里要得到的是在符种射击条件下，母弹在抛撒点附近的速度和倾角的变化范围，凼而只要得出相近的数据，然后通过适当地增大取值范围，即能覆盖实际可能出现的各种情形。

有鉴于此，在弹道方程中，我们不考虑升力、ｔ５氏力和各种力矩的影响，只考虑空气阻力、重力、重力加速度随高度变化、地球曲率、弹道风等因素的影响结果。

因弹丸旋转而产牛的子弹的切向速度通过另外的途径取得。

利用上述设定简化六自由度弹道方程【２】，得：
ｄｖ，／ｄｔ＝一ｐｓｖ（ｖ，一ｗ，）ｃ，ｏ／２ｍ＋（Ｖ，Ｖ，／Ｒ）（１＋ｙ，尺）叫
ｄｖ，／ｄｔ＝一ｐｓｖｖ，ｃ，ｏ／２ｍ—ｇｏ（１＋ｙ／Ｒ）２＋（ｖ；／Ｒ）（１＋ｙ／Ｒ）。

ｄｖ，／击２一庐”（”；一ｗｚ）。

，ｎ／２ｍ（１．１）
ｄｘＩｄｔ＝＂Ｏｘ（１＋ｙｌＲ）“
砂／ｄｔ＝Ｖ。

出／ｄｔ＝ｖ．
式中ｐ２万Ｐ，为弹丸所在点的空气密度
Ｓ，为弹丸最大横截住面
一√ｖ：＋Ｖ：＋Ｖ；，为弹丸速率
积分的初始条件为：ｔ＝ｏ时，ｖ。

，＝ｖ。

ｃｏｓ０。

，ｖ。

＝ｖ。

ｓｉｎｏｏ，Ｖ０ｚ＝ｏ，ｘ＝０，Ｙ＝０．Ｚ＝０
海拔为Ｏ的水平面气象条件分三种情况：
（１）炮兵标准气象条件，『０＝２８８．９ｋ，Ｐ。

＝１×】ｏ５ｐａ；
（２）靶场实测时记录的最高温气象条件，ｒ。

＝３０４ｋ，Ｐ。

＝０．９８７×１０５ｐａ；
（３）实测时的最低温气象条件，％＝２４８ｋ，Ｐ。

＝１．０１５＂×１０５ｐａ。

空间的气象条件假定服从标准分布。

即气温（ｒ）、气压（ｐ）的变化分别满足如下规律。

ｙ≤９３００ｍ时（对流层）：
ｆ＝ｒ。

一回（１．２．１）Ｇ：６．３２８×１０一ｋ／ｍ，称为温度递减率。

９３００ｍ＜ｙ≤１２０００ｍ时（亚同温层）：
ｆ＝彳＋（ｒｏ—ｆ０¨）一Ｂ（ｙ一９３００）＋（ｙ一９３００）２（１．２．２）（爿＝２３０．Ｏｋ，Ｂ＝Ｇ，Ｃ＝１．１７２ｘ１０－６，Ｔ¨＝２８８．９ｋ）
１２０００ｍ＜ｙ≤３００００ｍ时（同温层）：
ｆ：２１１．５ｋ（１．２．３）ｐ咄（半嚎（１．２·４）（Ｒ。

，＝２８．７Ｊ／（ｋｇ·ｋ））
水平风速取的是加权值。

根据大量外弹道学的实验结果知，弹道风的加权值可达１５ｍ／ｓ。

由于横风对弹丸在炸点处的速度和倾角（与水准面夹角）的影响不大，所以实算时纵风依次取值０、１５ｍ／ｓ、一１５ｍ／ｓ，横风取定值５ｍ／ｓ。

１５５ｒａｍ子母弹是近期研制的新弹种，有关此弹的各种数据详实、具体，而１２２榴和１３０加子母弹相隔时间较长，有些系数一时难以查找，作为变通的手段，这里利用文献［３］中给出的这两种弹在标准气象条件下的初速、最大射程和弹丸质量等数据符合出它们相对于１５５榴子母弹的“修正系数”。

考虑到符合误差的存在，对每种弹均给出一个修正系数区间。

１３０加子母弹的初速为９５５ｍ／ｓ时，实验射程（不抛撒）为２５．５ｋｍ，若取射程为２５ｋｍ，符合系数为１．３１３；而当假定射程为２５．９５ｋｍ时，
符合系数为１．２５４。

１２２榴子母弹，初速为６１５ｍ／ｓ、抛撒点高度为９００ｍ时，射程为
１３．５ｋｍ。

分别取射程为１３．３ｋｍ和１３．７ｋｍ进行符合，得到两系数１．０９５、１．０３７。

１５５弹的初速分别取８９０ｍ／ｓ、９１０ｍ／ｓ、９２０ｍ／ｓ三个值；１３０加子母弹初速只取９５５ｍ／ｓ（资料上只能查得此最大速度）；１２２榴子母弹采用全装药和三号装药时，初速分别为６１５ｍ／ｓ和３６８ｍ／ｓ。

１５５ｍｍ子母弹的射表所列射角为２０。

～７０。

，实算时取同样的范围。

１２２ｍｍ榴子母弹取２０。

射角时，三号装药所能达到的最大高度太低，
因而射角范围取为３０。

～４５。

１３０加子母弹只算了一种初速，射角也取为３００～４５。

以上三种子母弹中，每一种弹的设计抛撒高度都在５００ｍ到１０００ｍ之间，实算的解爆点高度也从５００ｍ取至１０００ｍ。

将上面取定的数据输入程序ｍｄｄ．ｍ进行计算。

对每一条待算弹道，先给出一个时间终值ｆ．，计算ｆ．时刻的弹道诸元，如若垂直坐标值与预定抛撒高度有差距，则用差距除以弹丸垂直速率作为时间终值调节量血，用，．＋Ａｔ作为新的终点时间值，继续新一轮运算，直到算得高度与预定高度很接近（差距值＜１ｍ）为止，存贮好能够标记此条弹道的有关数据及算得的速度和倾角，接着计算下一条弹道。

算出的数据量非常大，无法将其列出，依据大量运算的结果知，抛
＾
撒点处母弹速度范围为２００ｍ／ｓ’４３０ｍ／ｓ：倾角范围不超过一２０。

’一８０。

这是综合三种母弹运算结果所得之值，对每种母弹而言，相应的取值范围都被放大了，但即便如此，也不影响我们应用这些数据取得所需的弹丸基本运动特点。

１．２．２抛撒点附近母弹的弹道形状和速率变化特点
了解抛撒点附近的母弹运动特点，并不需要将这段弹道放在炮位坐标系内进行分析和研究。

为了表达清晰和计算方便，以过炸点的铅直线为ｐｙ轴，以弹丸水平运动方向为ＯＸ轴，按右手系规则重新建立直角坐标系ｏｘｙｚ，并假定每一条弹道均从ｏｙ轴上的某点起始。

由于所考察的只是很短一段弹道（持续时间１Ｓ），因此不用考虑地球曲率、重力加速度随高度变化等因素的作用，方程中只需保留有关空气阻力、重力及水平风等项，由方程组１．１化简可得：
ｄｖ，／ｄｔ＝一ｐｓｖ（ｖ，～嵋）ｃ，ｏ／２ｍ
西。

／ｄｔ＝一ｐｓｖｖ。

ｃ，ｏ／２ｍ—ｇｏ
＝．７７。

一卢”（”：～比）‰他朋（１．３）
ｄ］ｃ｝ｄｔ＝ｖ。

ｄｙ？ｄｌ－ｖ。

ｄｚ｜ｄ１＝Ｖ：
其中各变量含义同方程组１．１。

气温、气压的取值及变化规律同前一小节。

风速的取值有所不同。

根据国军标的试验条件要求，靠近地面的风速需要控制，阵风不大于
２
图１．２选定的风向
８ｍ／ｓ，平均风速不大于５ｍ／ｓ（前
一小节的１５ｍ／ｓ，是与高空风加权“
的结果）。

抛撒点～般都在
５００ｍ’１０００ｍ之间，风速也不会太
大。

运算过程中，只考虑四个方向
的水平风（如图１．２），大小均为
９．８ｍ／ｓ，从而使ＯＸ和ＯＺ方向始终＾
存在速率为７ｍ／ｓ的水平风。

无论哪一种母弹，弹道段起始点的初速和倾角均取上一小节所得的速度和倾角范围。

起始点处的高度取抛撒高度：５００ｍ／ｓ、１０００ｍ／ｓ。

计算所用的阻力系数以及“符合系数”同上一小节。

将以上确定的各变量的取值代入方程组（１．３），即可解得众多的持续时间１ｓ的母弹弹道段。

对其中的每一条均作如下相同的处理：（１）利用弹道段上各点的五ｚ坐标值进行直线拟合，求出各点处的拟合差，以检验在横风的影响下，持续时间１ｓ的弹道是否严格处于同一铅垂面内；
（２）将坐标系绕缈轴旋转，使得ＯＸ轴与上一步的拟合直线平行；
（３）在新坐标系内，利用水平坐标值和垂直坐标值分别作直线和抛物线拟合，并求出相应的拟合误差，用其中的最大值检验持续时间１ｓ的弹道段作直线和抛物线近似的可能性。

（４）求出相邻两点间的弹道段长度（因间隔极小，弧长和弦长无区别）以及它们的平均值，计算各段长度与均值之差，检验弹丸在１ｓ内的运动能否看作是匀速率运动；
（５）求出后续各点与起始点间的弹道弧长（可用累加弦长替代），并计算出弧长对时间的二次拟合结果，用最大的一个拟合差检验弹丸沿弹道运动是否呈匀变速率特点；
（６）利用新坐标系内的横坐标值对时间作一次拟合，求出最大拟合差，检验弹丸在１Ｓ内的水平运动是否具有匀速特点；
（７）利用新坐标系内的横坐标值对时间作二次拟合，求出最大拟合差，检验弹丸在ｌｓ内的水平运动是否呈匀变速率特点。

直线（一次）和抛物线（二次）拟合是最常见的数学问题，无难度可言，在Ｍａｔｌａｂ中，多项式拟合只需一个命令ｐｏｌｙｆｉｔ（），假定被拟合的自变量为瓦，因变量为舀，（这里的变量值以向量形式给出），则
ｐｏｌｙｆｉｔ（ａ，，ａ：，１）和ｐｏｌｙｆｉｔ（厅，，厅：，２）分别得出一、二次拟合的结果。

有了拟合系数（多项式系数），代入自变量值，即得出各点处的
Ｒ
拟合函数值，再减去相应的实际值，结果就是各点处的拟合差。

前面的各项拟合差都是通过这种步骤获得的。

实算的数据量很大。

这里不将其～一列出，只给出各种条件下算得的最大值，见表１．１。

表１．１抛撤点附近母弹的运动特点
误差弹道段
弹道段作弹道段作
母弹运动母弹运动水平运动水平运动
米源共铅乖
为直线的为抛物线
作匀速率作匀变速作匀速率作匀变速最人拟台的最火拟
近似的最率近似的近似的最率所似的
ｊ面误差火原理误最大原理大原理误最火原理
合差
误差误萍误著
６．５１８０．Ｏ４．２２００．０５．８３６５０７．１
数据（Ｃ］１１）
可见，在抛撒点附近的母弹弹道段可以看作为一段处于铅垂面内的抛物线，弹丸沿弹道作匀变速率运动。

同时，弹丸的水平运动也呈匀
变速率特征。

进行这一步运算的程序为ｔｏｄｄ２．Ｉｎ。

１．３子弹运动特点
子弹的运动方程完全可以套用母弹在抛撒点附近的运动方程（１．３），只是弹丸的质量、截面积和空气阻力系数不同而已。

不过，确定子弹的速度初值比较麻烦，需要作详细分析和介绍。

１．３．１对不同规格子弹的处理方法
飘带尾翼子弹共有三种规格，其基本参数见表１．２。

表１．２三种规格子弹的基本参数
序号直径ｄ（ｍｍ）截面积Ｓ（ｎ１２）质量ｍ（ｋｇ）Ｓ／ｍｌ０．０３４７９４５７×１０—４０．１８００００５３８９２００３９２１２．０６９×１０００．２２２０．００５４３６３０．０４２５１４．１８６ｘ１０—４０．２６７０００５３１３三者之中，只有第二种子弹的空气阻力系数已知，其它两种弹的空阻系数只能通过在已知数据上乘上适当的倍数来覆盖。

实际所乘的最大和最小倍数分别为０．８０、１．５。

由于三种子弹的截面积与质量之比较
９
为接近，如若空气阻力系数相同，则弹丸运动过程～样。

这样，只需以第二种子弹为例，选择三档空气阻力系数（即０．８倍、１．０倍和１．５倍）进行必要计算，即可知晓各种子弹的运动特点。

Ｉ．３．２变量初值的确定
在本章的引言中曾简要地提及过子弹被抛撒的过程，为了可靠地取得子弹运动初值，必须对子弹的抛撒过程有更为透彻的了解。

图１．３、１．４给出了抛出瞬间子弹群运动的简单示意。

母弹到达预定的抛撒位置后，时间引信控制抛撒药将叠放于母弹内腔的子弹在瞬间推出，显然，此刻所有子弹沿母弹速度（开仓时刻）方向都具有相同的瞬时速度，其数值为、，。

一ｖ。

，其中‰。

为母弹在开仓时刻速度值，而ｖ。

为抛散药作用结束后，子弹群所获得的相对母弹体的速度。

～ｔ，，，一’喈１
Ｖ电ｑ３曲＼１＂／爱。

图１．３子弹的轴向初速图１．４子弹的切向初速由于母弹是高速旋转弹，因而子弹被推出的瞬间会获得相应的切向速度。

事实上，正是这种旋转所导致的不同方向的切向速度使得原来叠放成一堆的子弹被均匀地抛撒开来。

子弹被抛瞬时所处的位置的不同决定了各自不同的初速度数值和方向。

但沿不同方向、按不同速度值运动的弹丸具有～些共同的运动特点。

为了找出这些共同特点，需要对典型位置抛出子弹的运动作详细研究和分析。

图１．４中所示的四个位置确定了子弹因母弹旋转而获得切向速度的极限情况。

１、３位置的子弹具有最大侧向速度值；２、４位置的子弹的水平和垂直速度分别为最大和最小。

无论从弹道段曲率变化情况，还是从子弹沿弹道的速率变化情况来看，这四个位置抛出子
Ｉｎ
弹都最具典型意义。

ｌ、３两枚子弹的落地位置确定了子弹散布区的横向范围，而２、４两枚子弹则划定了纵向区域。

由大量的试验结果知，无论哪一种子母弹，子弹的散布区纵横向最大尺寸都在一百几十米范围内，据此可用弹道方程推算出子弹的切向速度取值。

将各种可能情况代入试算，得知切向速率为２０ｍ／ｓ～４０ｍ／ｓ。

至此，计算子弹弹道的必要数据已经齐备；母弹在抛撤点处的速度Ｋ。

和倾角０。

在１．２．１节中得出：子弹相对母弹的后抛速度、，。

为７０ｍ／ｓ：子弹获得的切向速度ｖ。

的范围为２０ｍ／ｓ、４０Ｉｎ／Ｓ；抛撒点高度Ｈ可从５００ｍ取至１０００ｍ。

据此可方便算出变量ｖ，，ｖ。

，ｖ：，ｘ，Ｙ，ｚ的初值，求取图１．４中四个典型位置处子弹运动变量初值的矩阵公式为：
（Ｖ。

一Ｖ。

）ｃｏｓＧ．。

（Ｖ肌一ＶＦ）ｃｏｓ钆。

＋Ｖ，ｓｉｎ吼。

（ｖ。

一Ｖ，）ｃｏｓＧ，。

（Ｖ。

一Ｖｐ）ｃｏＷ．。

一ｋｓｉｎｇ；。

（Ｖ。

～Ｖ，）ｓｉｎＧ。

Ｖｑ（‰。

一ＶＰ）ｓｉｎＧ．。

一Ｖｑ
ｃｏｓＯｏ，。

０（Ｖ。

一Ｖ，）ｓｉｎ六。

一～（匕一Ｖｐ）ｓｉｎｇ。

＋Ｋｃｏｓ＃，。

０（１．４）其中每一行的六个元素，对应相应位置子弹的变量初值。

１．３．３子弹弹道的基本外形特性
（１）弹道平面性检验
在无风的情况下，任意一条子弹弹道都严格处于铅垂面内（如果能从实测的弹道数据中消除风速的影响量，则相对弹道也肯定处于某一铅垂面内）。

然而，真正能看作为无风的天气极少。

由于风的作用，子弹弹道总是表现为一条三维曲线，为了方便起见，必须将弹道分段考察，以保证被观测的一段弹道呈现良好的平面性。

在弹道上取三点确定一个平面，求出其它点与此平面的最大距离，这一距离可以反映子弹弹道的共面性优劣。

假定被考察弹道段上共有ｎ个已知点，实算时所取的三点分别为首尾及中间一点（中间是指与ｎ／２０Ｏ０Ｏ
Ａ＾＾＾０Ｏ０Ｏ
最接近的整数）。

设三点的坐标值为（＿，ｙＩＩＺＩ）、（ｘ。

ｙ。

：。

）、
则由解析几何知识可知‘引，经过此三点的平面方程为：
ｙｚ１
Ｙ】ｚＩ１
＝Ｏ（１．５．１）
Ｙ。

Ｚ。

１
Ｙ。

，Ｚ。

１
将七式按第一行展开，得到一般式的平面方程。

４ｘ＋缈＋ｃｊ＋Ｄ＝０（１．５．２）而任意一点（一，Ｙ．，乙）与此面间的距离可表示嘲为：
ｄ：垫ｉ兰坠圭丝；兰纠（１．５．３）
√爿２＋Ｂ２＋Ｃ２
根据以上思路，编制出的文件名为ｐｍｎｈｃ．ｍ，若将全弹道的数据（Ｈ＝１０００ｍ）代入程序进行计算，最大距离可达二、三米。

实际获得的弹道只可能是一段，其中子弹刚抛出时的一、两秒内，由于烟雾没有散开，很难抓住目标。

再者，即便所测得的弹道段很长，处理过程也得逐段进行。

所以分段考核弹道的平面性不仅是为了方便，也是出于实际应用的需要。

其实不单是平面性，研究子弹其它的运动特点也要采取分段方法。

假设测量仪器的工作帧频为１０ｃ／ｓ（也即每过０．１ｓ拍摄一幅照片）。

按照气象条件、风速、母弹存速、倾角等诸因素的变化范围算出图１．４中四个典型位置抛出子弹的弹道，然后按１６点一组（持续１．５ｓ）逐段进行平面拟合，得到的最大拟合差不超过ｌｃｍ，完全可以忽略不计，说明持续时间１．５ｓ的子弹弹道是严格的平面曲线。

（２）坐标系的旋转
有了弹道段的拟合平面，便可求出子弹弹道段上各点在拟合平面内的二维坐标值，进而以这些坐标值研究分析子弹弹道段的基本形状、分析子弹的其它运动特点。

假设已得出拟合平面的一般式方程（１．５．２），则其法线方向数为［３］：
ｃｏｓ口：Ａ／√一２＋Ｂ２十Ｃ２（１．７．１）
１’
ｃｏｓｙ＝ｃ／打≮丽（１．７．３）
ｃｏｓ，６＝Ｂ／√爿２十Ｂ２＋Ｃ２（１．７．２）其中口．∥，ｙ分别为平面法线与ＯＸ，ｏｙ，ＯＺ三方向之间的夹角，如图１．５所示。

要求出弹道在此面内的二维坐标值，需要将原有坐标系旋转，使得ｏ：轴与法线日一致，。

ｘ轴与ＭＮ线平行。

由图１．５可清楚看出，旋转得分两次进行：首先将坐标系ｏｘｙｚ绕哕轴转过一甜角（负号表示图中的转向角度为负），然后将第一次旋转所得的坐标系（设为。

＿儿：，）绕晒轴转过妒角（妒：９０。

一声），旋转过程见图１．６、１．７。

ｘ１（ｘ２）
图１．７第二次旋转
图１．６第一次旋转
利用公式（１．５．１）计算平面方程过程中，应始终保持三点坐标在行列式中的排列顺序，这样可保证按统一格式得出的∞，妒角的正弦和余弦
值不致于出现差错。

因ｐ：９０。

一∥，且∥始终处于ｏ。

～１８０。

之间，所以始终有：
ｓｉｎ妒＝ＣＯＳ∥
●。

，。

－＿＿。

－＇＿一ｃｏｓｃｐ＝√１一ｃｏｓ２∥（１．８．１）（１．８．２）
０９角的正弦和余弦值计算起来稍微复杂一些。

在图１．５中，平面＿ｐ删的过原点法线开与平面的交点为尼连接ＰＮ并延长交ＭＮ３Ｊ：０点，显然，ＰＱＩ心，因而有
ｏｏ＝ＯＲ·ｓｉｎ口
ＯＮ＝ＯＲ－ｃｏｓｆｌ
ＯＭ＝ＯＲ／ｃｏｓｙ
从而ＩｓｉｎｃｏＩ＝吲刮ｃｏｓｌ
｜ｃｏｓ外矧＝｛茹ｆ
当ｃｏｓｙ为正（即ＯＭ沿ｏｚ轴正向）时，按照定义，ｓｉｎ∞为正值；而当ＣＯＳ为正（即ＯＮ沿０２＂轴正向）时，ＣＯＳ∞为正，故：
蜘一ｓＩｇｎ（ｃｏｓ叫嚣｝（１·９１）
ｃｏ蚴：ｓ培ｎ（ｃｏｓａ）ｘ陈ｃｏｓ卢ｙｌ（１·９．２）其中ｓｉｇｎ（）是符号函数。

当ｏｘｙｚ绕ｏｙ轴转过国角后，新旧坐标系内的坐标值关系为：
阡Ｅ裟羽
而进一步将ＯＸ．Ｙ，ｚ．绕ＯＸ。

轴转过妒角后，坐标值变化关系为：
Ｘ２
２Ｘ·
盼瞄黧捌（１．１０．１）（１．１０．２）
（１．１０．３）（１．１０．４）
运用以上四组公式（１．７）、（１．８）、（１－９）、（１＇ｌＯ）即可得到输入弹道段在某拟合面内的坐标值，坐标轴旋转由程序ｚｂｘｚ．ｍ完成。

（３）弹道段基本形状的检验
类似于１．２．２节中研究母弹弹道段基本形状的方法，此处利用子弹在弹道段拟合面内的坐标值进行基本形状拟合，同样用最大拟合差来判定被检子弹弹道段是否呈假定的基本形状。

不同的是这里多考虑了一个基本形状——圆弧。

直线和抛物线拟合方法及拟合差求法同１．２．２节。

圆弧的拟合采用一种自定义的最优准则（因为严格按照多项式最小二乘拟合的意义去拟合圆弧不可行）。

假定被拟合点眠，Ｙ；），ｉ＝１，２，…川所处的圆方程为：
（ｘ一口）２＋（ｙ一６）２＝ｒ２（１．１１）建立指标函数：
ｌ，＝丑（＿一。

）２＋（卫一６）２一ｒ２Ｊ２（１·１２）
ｌ＝ｌ
在．，取最小值的情况下，求得ａ、ｂ的值作为最优拟合圆的圆心坐标值，用各被拟合点与此圆心间的距离均值作为半径最优解。

由式（１．１２）求出，对ａ、ｂ、ｒ的偏导数，并令
型：ｏ：型：ｏ：型：ｏ：
０ｄａｂ０ｒ
整理化简后得如下二元一次方程组：
２（（∑ｚ，）２／ｎ－Ｅｘ？）ａ＋２（∑ｘ，Ｅｙ，／ｎ一∑ｘ，Ｙ，）６
”‘“１５１４‘”１【１．１３．１）＝∑（ｘ？＋ｙ？）∑ｘ．一∑（ｘ？＋一？）ｘ，
２‘善。

ｒ善，，一：薯一ｙ，’口＋２‘‘∑ｙ，’２７Ｈ一∑一？’６
（１．１３．２）＝∑（ｘ≯ｙ；）∑Ｙ．／ｎ一∑（ｘ；＋ｙｍ，
求解方程组，得到ａ、ｂ的最优解，进而求出ｒ的最优解。

计算，
值的过程中，需要先算出各被拟合点与圆心问的距离，这些距离与，的最优解间的最大差距就是这段弹道作圆弧拟合的最大拟合差。

进行基本形状检验的次序依次是直线、圆弧、抛物线。

也就是先将被检弹道段作直线拟合，如果拟合差小于等于０．１５ｍ，则认为其可以看作是直线，否则的话，将其作为圆弧拟合，再根据圆弧拟合差是否大于０．１５ｍ决定是否需作抛物线拟合。

完成子弹弹道段基本形状检验的程序名为ｚｄｄ．ｍ，在该程序中调用了进行弹道平面性检验的ｐｍｎｈｃ．ｍ以及进行坐标轴旋转的ｚｂｘｚ．ｒｎ。

对进行弹道段平面性检验时所遇到的各种情况下、各种位置的子弹弹道段（持续１．５ｓ）都进行平面拟合、坐标轴旋转，然后进行基本形状检验。

计算结果表明不同的弹道段呈现不同的形状特点。

其实所有的持续时间１．５ｓ的子弹道都可看作是严格的抛物线段，之所以要将它们尽量作为直线或圆弧近似，是因为搜索直线和圆弧轨迹要比搜索抛物线轨迹段方便。

１．３．４子弹在较短时间内的速率变化
这一步的计算与ｚｄｄ．ｍ和ｍｄｄ２．ｍ中的部分工作很相似，首先计算出不同气象条件、不同母弹存速、不同切向速度、不同母弹速度倾角、不同抛出位置的子弹弹道；然后计算一段弹道中，后面各点与第一点间的弧长（以累计弦长代替），用这些弧长与横定向量［１。

２．．”一１］分别作一、二次拟合，从求出的最大拟合差数值可以看出子弹在该段弹道内的运动是否可看作是匀速率或匀变速率运动。

一、二次拟合方法见１．２．２小节。

实算时，以十一点（持续ｌＳ）弹道段为一次计算的基本长度（太长了影响精度），从大量的计算结果可看出：部分弹道段内的子弹运动可看作是匀速率的（拟合差ｓＯ，５ｍ），而所有的１ｓ时间内的子弹运动都可看作是严格的匀变速率运动。

这一步的计算程序名为ｚｄｄ２．ｍ。