高中数学《双曲线及其标准方程》课件

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探究 1 双曲线标准方程的认识 例 1 若 θ 是第三象限角，则方程 x2＋y2sinθ＝cosθ 表示的曲线是( ) A．焦点在 y 轴上的双曲线 B．焦点在 x 轴上的双曲线 C．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 x 轴上的椭圆
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为xm2＋yn2＝1， 则当 mn<0 时，方程表示双曲线．若nm<>00，， 则方程表示焦点在 x 轴上的双曲 线；若mn><00，， 则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线．
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【跟踪训练 1】 若 k>1，则关于 x，y 的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1 所表示 的曲线是( )
[解] b>0)．
(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，
∵M，N
在双曲线上，∴4－a22722－3
52
2 b2
＝1，
3 a2
－4b22＝1，
解得a12＝－116， b12＝－19
(不符合题意，舍去)．
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(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6，两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
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[解析] 曲线方程可化为coxs2θ＋coys2θ＝1，θ 是第三象限角，则 cosθ<0，csoinsθθ sinθ
>0，所以该曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．故选 A.
[答案] A
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拓展提升 双曲线方程的认识方法
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(2)由已知可设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
代入点
P3
2
5，2可得44a52－b42＝1，①
又 a2＋b2＝25，②
由①②联立可得 a2＝9，b2＝16， ∴双曲线方程为x92－1y62 ＝1.
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拓展提升 双曲线定义的两种应用
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则 根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1| －|PF2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求 距离应该不小于 c－a)．
轨迹是双曲线．( )
(2)在双曲线标准方程ax22－by22＝1 中，a>0，b>0 且 a≠b.(
)
(3)双曲线的标准方程可以统一为 Ax2＋By2＝1(其中 AB<0)．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若双曲线x42－1y62 ＝1 上一点 M 到左焦点的距离为 8，则点 M 到右焦点 的距离为________． (2)双曲线 x2－4y2＝1 的焦距为________． (3)(教材改编 P55T1)已知双曲线 a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 ________．
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拓展提升 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有 可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a>0，b>0)， 焦点不定时，亦可设为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)．
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[解] 如图，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建 立如图所示的平面直角坐标系，
则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)． 由正弦定理得 sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR.
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∵2sinA＋sinC＝2sinB， ∴2a＋c＝2b，即 b－a＝2c. 从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝2 2<AB. ∴由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a＝ 2，c＝2 2，∴b2＝c2－a2＝6. ∴顶点 C 的轨迹方程为x22－y62＝1(x> 2)． 故 C 点的轨迹为双曲线右支且除去点( 2，0)．
(4)②③④
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解析 (3)∵a＝5，c＝7，∴b＝ c2－a2＝ 24＝2 6. 当焦点在 x 轴上时，双曲线方程为2x52 －2y42 ＝1； 当焦点在 y 轴上时，双曲线方程为2y52 －2x42 ＝1.
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探究 2 双曲线的标准方程
例 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在坐标轴上，且过
M－2，3
2
5，N4
3
7，4两点；
(2)两焦点
F1(－5,0)，F2(5,0)，且过
P3
2
5，2.
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当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵M，N
3
在双曲线上，∴
52
2 a2
－b42＝1，
4 72
a422－
3 b2
＝1，
即 a2＝9，b2＝16. ∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解得a12＝19， b12＝116，
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解 (1)椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 的焦点坐标为 F1(0，－3)， F2(0,3)，故可设双曲线的方程为ay22－bx22＝1.
a2＋b2＝9， 由题意，知4a22－ b1252＝1，
解得ab22＝ ＝45，. 故双曲线的方程为y42－x52＝1.
2．3.1 双曲线及其标准方程
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1．双曲线 (1)定义
□01 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大
于零) 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距 离叫做双曲线的焦距．
(2)双曲线的集合描述 设点 M 是双曲线上任意一点，点 F1，F2 是双曲线的焦点，则由双曲线的
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[解法探究] 例 2(1)有没有其他解法呢？
解 ∵双曲线的焦点位置不确定， ∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵M，N 在双曲线上，则有
4m＋445n＝1，
196×7m＋16n＝1，
解得m＝－116， n＝91，
∴所求双曲线方程为－1x62 ＋y92＝1，即y92－1x62 ＝1.
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[解] 双曲线的标准方程为x92－1y62 ＝1，故 a＝3，b＝4，c＝ a2＋b2＝5. (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点 M 到它的 一个焦点的距离等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x，则|16－x|＝6， 解得 x＝10 或 x＝22. 由于 c－a＝5－3＝2,10>2,22>2，故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22.
A．焦点在 x 轴上的椭圆 B．焦点在 y 轴上的椭圆 C．焦点在 y 轴上的双曲线 D．焦点在 x 轴上的双曲线
答案 C
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解析 原方程化为k2y－2 1－k＋x21＝1， ∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线．
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探究 3 双曲线定义的应用 例 3 如图，若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点．
(1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个 焦点的距离；
(2)若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2 的面积．
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(2)∵焦点在 x 轴上，c＝ 6， ∴设所求双曲线方程为xλ2－6－y2 λ＝1(其中 0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴2λ5－6－4 λ＝1，∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x52－y2＝1.
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【跟踪训练 3】 (1)已知 P 是双曲线6x42 －3y62 ＝1 上一点，F1，F2 是双曲 线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值．
解 由双曲线方程6x42 －3y62 ＝1 可得 a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象 可得点 P 到右焦点 F2 的距离 d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17， 所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.
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(4)下列方程表示焦点在 y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线
上)．
①
x2
－
y2 2
＝
1
；
②
x2 a
＋
y2 2
＝
1(a<0)
；
③
y2
－
3x2
＝
1
；
④
x2cosα
＋
y2sinα
＝
1π2<α<π.
答案 (1)4 或 12 (2) 5 (3)2x52 －2y42 ＝1 或2y52 －2x42 ＝1
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(2)双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2 连接而成的三角形 PF1F2 称为焦点 三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 ①定义：|r1－r2|＝2a. ②余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cosθ. ③面积公式：S△PF1F2＝12r1r2sinθ. 一般地，在△PF1F2 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．
定义可知，双曲线就是集合 □02 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|} ．
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2．双曲线的标准方程
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的
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探究 4 与双曲线有关的轨迹问题 例 4 如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sinA ＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．并指出表示什么 曲线．
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(2)已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别是 F1，F2，若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积．
解 由x92－1y62 ＝1，得 a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°， 所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 则 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×64× 23＝16 3.
(3)寻关系：根据已知条件列出关于 a，b，c(m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将 a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求．
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【跟踪训练 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同的焦点，且过点( 15，4)； (2)c＝ 6，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．