北师大八年级上数学第15讲：平行线的证明

平行线的证明
1、了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论级判断命题的真假；
2、掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；
3、理解三角形内角和定理及证明方法；
4、掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；
5、能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题。

定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义。

命题：判断一件事情的句子叫做命题.
命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论。

真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
1、指出下列句子哪些是定义；
（1）两直线平行,内错角相等；
（2）两腰相等的梯形叫等腰梯形；
（3）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
（3）等腰三角形的两底角相等；
（4）平行四边形的对角线互相平分；
（5）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题?
（1）三角形的三条高交于一点；（2）解方程0322
=--x x ； （3）1＋2≠3；
3、说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：
（1）在同一个三角形中，等角对等边；
（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.
4、下列真命题的是。

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.
（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．
公理与定理
公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. .
定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
平行线的公理、定理
公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等（简记为：两直线平行，同位角相等）；
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）；
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补)；平行线的判定定理
判定方法1：同位角相等，两直线平行
判定方法2：内错角相等，两直线平行
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行
1、如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．
2、如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
3、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
4、如图，BD丄AC 于D，EF丄AC 于F．∠AMD=∠AGF．∠1=∠2=35°
（1）求∠GFC的度数：
（2）求证：DM∥BC．
5、如图，已知：∠FED=∠AHD，∠GFA=40°，∠HAQ=15°，∠ACB=70°，且AQ平分∠FAC，求证：BD∥GE∥AH．
三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
1、适合条件∠A=∠B=∠C的三角形是三角形。

2、三角形中至少有一个角不小于度。

3、证明：三角形的内角和为180°。

4、（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．
（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．
5、在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少。

6、如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数。

7、如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE。

8、（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．求证：AB∥CD；
（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E、F，满足：BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，若∠CFB＝20°，∠DCE＝70°，求∠ABE的度数；
（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，若P是射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，求∠MGN的度数．
9、已知在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°．
（1）∠ABC+∠ADC= ；
（2）如图1，若DE 平分∠ABC 的外角，BF 平分∠ABC 的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并证明；
（3）如图2，若BE 、DE 分别四等分∠ABC 、∠ADC 的外角（即∠CDE=
41∠CDN ，∠CBE=4
1∠CBM ），试求∠E 的度数。

10、如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE （含30°），将三角板ABC （含45°）绕点A 顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°），试问：
（1）当∠α＝ 度时，能使图2中的AB ∥DE ；
（2）当旋转到AB 与AE 重叠时（如图3），则∠α＝ 度；
（3）当△ADE 的一边与△ABC 的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（4）当0°＜α≤45°时，连接BD （如图4），探求∠DBC +∠CAE +∠BDE 的值的大小变化情况，并说明理由．
1、下列命题中，真命题是（）
A．任何数的绝对值都是正数 B．任何数的零次幂都等于1
C．互为倒数的两个数的和为零 D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大
2、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
3、如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（）
（1）FG∥DC；（2）∠AED=∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B=90°；（5）∠BFG=∠BDC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（）A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D. 同位角或内错角
5、如图，
1
75
3
DE//AB,CAE CAB,CDE,
∠=∠∠=65
B
∠=，则∠AEB＝（）．
A．70 B．65 C．60 D．55
6、把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（）．
A.
32='∠EF C B. ∠AEC ＝148° C. ∠BGE ＝64° D. ∠BFD ＝116° 7、如图所示，AB ∥CD ，点E 在CB 的延长线上．若∠ECD ＝110°，则∠ABE 的度数为 。

8、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= 。

9、五角形的五个内角的和是 。

10、如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a ∥b ，b ∥c ，d ∥e ，a ∥c 。

11、如图所示，已知AB ∥CD ，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x 的大小。

1、下列句子中,是命题的是（）
A.今天的天气好吗
B.作线段AB∥CD
C.连接A、B两点
D.正数大于负数
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE度数为（）
A．71° B．64° C．80° D．45°
3、如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC=130°，那么当∠CDE等于（）时，BC∥DE．
A．40° B．50° C．70° D．130°
4、如下图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．则∠3＝（）
A．60°B．65°C．70°D．130°
5、如下图，已知AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝35°，则 C等于（）
A．20°B．35° C．45° D．55°
6、如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝。

7、命题“如果a≠b，那么a2≠b2”的条件是，结论是。

8、如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= °。

9、如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= 。

11、如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是。

12、如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．
13、如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能推断哪两条线段平行?说明理由。

14、△ABC中，∠B＞∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，设∠B=x，∠C=y。

（1）如图1，若AE⊥BC于点E，试用x、y表示∠EAD，并说明理由．
（2）如图2，若点F是AD延长线上的一点，∠BAF、∠BDF的平分线交于点G，则∠G= 。

（用x、y 表示）。