山东省师大附中高二数学上学期期中试题(含解析)

C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
把数列递推式变形，利用累加法求数列 通项公式，再由裂项相消法求和，那么答案可求．
【详解】解：由
，得
〔 〕，
的 又
，
∴
．
那么
．
∴
．
应选：A． 【点睛】此题考查数列递推式、利用累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题．
二、填空题〔本大题共 4 小题，共分〕
4.不等式
的解集为〔〕
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把不等式化为
，求出解集即可．
【详解】解：不等式
可化为
，
解得
，
所以不等式的解集为〔 4，3〕．
应选：C．
【点睛】此题考查了不等式 解法与应用问题，是根底题．
5.数列{ }是等差数列，
，那么其前 13 项的和是〔〕
A. 45
B. 56
C. 65
〔2〕把原递推式变形，可得
，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公
式求结果．
【详解】解：〔1〕由
，
，
得
，
，
；
证明：〔2〕当
时，由
，得
，
∴{ }是公差为 1 的等差数列，
又∵ ，
∴
，
那么 ．
【点睛】此题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是根底题．
19.函数
．
〔1〕求不等式
的解集；
〔2〕当 x∈〔1，+∞〕时，求 的最小值及相应 x 的值．
【答案】〔1〕〔1，2]∪[3，+∞〕〔2〕 的最小值为
，此时
.
【解析】
【分析】
〔1〕由分式不等式的解法得结果，〔2〕根据根本不等式求最值.
【详解】解：〔1〕因为
，所以
，
所以
，
解得：1＜x≤2 或 x≥3，
故不等式
的解集为：〔1，2]∪[3，+∞〕
应选：D． 【点睛】此题考查等差数列的前 n 项和，利用等差数列的性质和 的公式是解题的关键， 属于根底题．
6.最新 x 的不等式
的解集是〔2，+∞〕，那么最新 x 的不等式
的
解集是〔〕
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式 ax﹣b＜0 的解集知 a＜0 且 =2，代入最新 x 的不等式〔ax+b〕〔x﹣3〕<0 中求解
，
所以
且 ＞0， ＞0，
那么
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查等差数列的性质及根本不等式，属中档题．
三、解答题〔本大题共 6 小题，共分〕
17. 为等差数列，且
，
．
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕假设等比数列 满足
，
，求数列 的前 项和公式．
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】
本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前 n 项和的综合运用。、
那么
，得
．
所以当命题 p 与命题 q 一真一假时，1≤m＜2 或
．
【点睛】此题主要考查复合命题真假关系 判断，求出命题 p，q 为真命题的等价条件是解
决此题的关键．
22.函数
〔a 为常数〕．
〔1〕求不等式
的解集；
〔2〕当 a＞0 时，假设对于任意的 [3，4]，
【答案】〔1〕见解析〔2〕a＞
恒成立，求实数 a 的取值范围．
〔2〕当 〔1，+∞〕时，令 1=t，那么 t＞0，
那么
，
又当 t＞0 时，
，当且仅当 即
即
时取等
号，
故 的最小值为
，此时
.
【点睛】此题考查了分式不等式的解法及利用根本不等式求函数的最值，属中档题.
20.{ }是等比数列，
，且 ，
， 成等差数列．
〔1〕求数列{ }的通项公式；
〔2〕假设 =〔2n-1〕• ，求数列{ }的前 n 项和 ．
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 a＜1，不一定能得到
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
〔如 a=-1 时〕；但当 ，一定能推出 a＜1，从而得到答案．
【详解】解：由 a＜1，不一定能得到 〔如 a=-1 时〕； 但当 时，有 0＜a＜1，从而一定能推出 a＜1， 那么“a＜1”是“ 〞的必要不充分条件， 应选：B． 【点睛】此题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命 题不正确，是一种简单有效的方法．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的等差中项得 a7=6，再由求和公式和性质可得 S13=13a7 即可.
D. 78
【详解】∵在等差数列{an}中，a5+a7+a9=18，∴a5+a7+a9=3a7=18， 解得 a7=6， ∴该数列的前 13 项之和： S13= ×〔a1+a13〕=13a7=13×6=78．
a＜0 时，不等式
的解集〔 ，1〕；
【解析】
【分析】
〔1〕不等式化为
，讨论①a=0、②a＞0 和③a＜0 时，求出对应不等式的
解集；
〔2〕根据〔1〕得
的解集，再根据[3，4]与解集包含关系列不等式解得结果．
【详解】解：〔1〕不等式
化为
，即
，
①a=0 时，不等式变为
，解得 ＜1；
②a＞0 时，不等式变为
，
假设 a＞2，那么 ＜1，解得 ＞1 或 ＜ ，
【答案】〔1〕
〔2〕
【解析】
分析】
〔1〕设等比数列的公比为 q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得 q，
即可得到所求通项；
〔2〕先化简 ，再运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求
和．
【详解】解：〔1〕设{ }的公比为 q，那么
，
，
，
， 成等差数列，
所以 2〔
〔2〕分别讨论 p 真 q 假和 p 假 q 真时，对应的范围即可．
【详解】解：〔1〕命题 p 为真时，方程
在〔-1，1〕有解，
当 x∈〔-1，1〕时，
，那么
，
当命题 q 为真时，
满足
，
即 2m-2＜0，所以 m＜1． 〔2〕假设命题 p 为真，同时命题 q 为假，
那么
得 1≤m＜2．
假设命题 p 为假，同时命题 q 为真，
13.不等式
的解集为____________．
【答案】〔-∞，0〕∪〔4，+∞〕
【解析】
【分析】
由分式不等式的解法得：
可变形为 x〔x-4〕＞0，解得：x＞4 或 x＜0，得解
【详解】解：
可变形为 〔 -4〕＞0，
解得： ＞4 或 ＜0， 故答案为：〔-∞，0〕∪〔4，+∞〕 【点睛】此题考查了分式不等式的解法，属简单题
即 xy
应选：C． 【点睛】此题考查的是由根本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属根底 题．
11.数列{ }的前 n 项和为 ，
，
〔
〕，那么
A. 32
B. 64
C. 128
【答案】B
【解析】
【分析】
由数列递推式构造等比数列{ 1}，求其通项公式得到 ，再由
【详解】解：由
，得
，
〔〕 D. 256
那么
，解得 m≤ 4，
故填：
．
【点睛】此题考查了方程的根和函数的零点，根与系数的关系等知识，属于根底题．
16.在等差数列{ }中，满足 ＞0，且
，那么
的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列的性质得：
，再根据根本不等式求最值.
【详解】解：因为等差数列{ }中，满足 ＞0，且
14.数列 的前 项和
〔
〕，那么此数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由数列的前 n 项和得 ，再由 an=Sn﹣Sn﹣1〔n≥2〕求得 an，验证 即可． 【详解】由 Sn=n2，得 a1=S1=1，
当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣〔n﹣1〕2=2n-1． 当 n=1 时 =1 代入上式成立，∴an=2n-1． 故答案为：2n-1．
假设 a=2，那么 =1，解得 ≠1，
假设 0＜a＜2，那么 ＞1，解得 ＞ 或 ＜1；
③a＜0 时，不等式变为〔 - 〕〔 -1〕＜0，解得 ＜ ＜1；
综上所述， =0 时，不等式
的解集为〔-∞，1〕；
0＜a＜2 时，不等式
的解集〔-∞，1〕∪〔 ，+∞〕；
a=2 时，不等式 a＞2 时，不等式
的解集〔-∞，1〕∪〔1，+∞〕； 的解集〔-∞， 〕∪〔1，+∞〕；
求解．
又
，
∴
，
∴
，
即数列{ 1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，
那么
，那么
.
∴
．
应选：B．
【点睛】此题考查数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，是中档题．
12.设[x]表示不超过 x 的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．数列{ }满足：
，
〔
〕，那么
〔〕
A. 1
B. 2
，
，那么命题 p 的否认 为〔〕
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否认是全称命题写出结果即可．
【详解】解：因为特称命题的否认是全称命题，
所以命题 p：∃ R，
否认是：∀ R，
．
应选：D．
的 【点睛】此题考查命题的否认、特称命题与全称命题的否认关系，根本知识的考查．
成立，命题 q：最新 x 的方程
的一个根大于 1，另一个根小于 1．
〔1〕分别求命题 p 和命题 q 为真时实数 m 的取值范围；
〔2〕假设命题 p 与命题 q 一真一假，求实数 m 的取值范围．
【答案】〔1〕m＜1．〔2〕1≤m＜2 或
【解析】
【分析】
〔1〕结合函数与方程的关系求出命题为真命题的等价条件即可．
即可． 【详解】∵最新 x 的不等式 ax﹣b＜0 的解集是〔2，+∞〕，
∴a＜0，且 =2，那么 b=2a；
∴最新 x 的不等式〔ax+b〕〔x﹣3〕<0， 可化为〔ax+2a〕〔x﹣3〕<0，因为 a<0,即〔x+2〕〔x﹣3〕>0， 解得 x>3 或 x<-2，∴所求不等式的解集 应选：A． 【点睛】此题考查了一元二次不等式的解集，利用一元一次不等式的解集得到 a 与 b 的 等式是关键，注意一元二次不等式的开口方向，属于根底题.
〔1〕设
公差为 ，由得 解得
〔2〕
， 等比数列 的公比
利用公式得到和。 【此处有视频，请去附件查看】
18.数列{ }满足
，
〔
〕．
〔1〕求 ， ， 的值； 〔2〕证明：数列{ }是等差数列，并求数列{ }的通项公式．
【答案】〔1〕 ， ， 〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕由结合数列递推式直接求得 ， ， 的值；
10.设 ， A.
，假设 是 与 的等比中项，那么 的最大值为〔
B.
C.
〕 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由等比中项化简得 2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果． 【详解】因为 x＞0．y＞0，假设 是 9x 与 3y 的等比中项，
那么：
，即：2x+y=1，
由 1=2x+y
．〔当且仅当 2x=y= 等号成立〕
7.如果 a＜b＜0，那么以下不等式成立的是〔〕
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 对于选项 A,因为
，所以
，所以
即 ，所以选项 A 错
误；对于选项 B，
，当
于选项ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD，
以
，选 D.
，所以
时，
，当
，所以
，又
，选项 B 错误；对于选项 C，
，
，应选项 C 错误；对
，所以
，所
8.假设不等式
对任意 恒成立，那么实数 的取值范围是〔 〕
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析：直接利用判别式不小于零列不等式求解即可.
详解：因为不等式
对任意 恒成立,
所以，
，
解得
，
即实数 的取值范围是
，应选 C.
点睛：此题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.一元二次不等式在实数集上
恒成立问题，一定要注意二次项系数的符号.
9.a∈R，那么“a＜1”是“ 〞的〔 〕
山东师大附中 2021-2022 高二〔上〕期中
数学试卷
一、选择题〔本大题共 12 小题，共分〕
1.x＞0，函数
的最小值是〔〕
A. 2
B. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用根本不等式的性质即可得出．
【详解】解：∵x＞0，
C. 6
D. 8
∴函数
，当且仅当 x=3 时取等号，
∴y 的最小值是 6． 应选：C． 【点睛】此题考查了根本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．
2.在数列{ }中，
，
n∈N*，那么 的值为〔〕
A. 49
B. 50
C. 89
D. 99
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】解：∵
，
〔
〕，
∴数列{ }是等差数列，
那么
．
应选：A．
【点睛】此题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．
3.命题 p：
〕= + ，即 2〔 +1〕=2+ ，
即 q=2，
所以
；
〔2〕 =〔2n-1〕• =〔2n 1〕• ，
前 n 项和
，
两式做差得
， ，
化简可得
．
【点睛】此题考查等差数列的中项性质、等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列
的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．
21.命题 p：∃ x∈〔-1，1〕，使
【点睛】此题考查了由数列的前 n 项和求数列的通项公式的问题，应用 an=Sn﹣Sn﹣〔1 n≥2〕 是关键，属于根底题．
15.最新 x 的方程
有两个正实数根，那么实数 m 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据实根分布列不等式，解得 m 范围
【详解】解：方程
有两个正实数根，设为 ， ，