北京市西城区2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题文

北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设集合}0)4)(1(|{},5,4,3,2,1{<--==x x x B A ，则B A I ＝（ ） A. }4,3,2,1{
B. }3,2{
C. }3,2,1{
D. }4,3,2{
2. 在实数范围内，下列不等关系不恒成立．．．．的是（ ） A. 02
≥x B. ab b a 22
2≥+ C. x x >+1
D. |||1|x x >+
3. 下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上是单调递增函数的是（ ） A. x y lg = B. 32
+-=x y C. 1||-=x y
D. x y 3=
4. 命题“存在实数x ，使得1>x ”的否定是（ ） A. 不存在实数x ，使1>x
B. 存在实数x ，使1≤x
C. 对任意实数x ，都有1<x
D. 对任意实数x ，都有1≤x
5. 已知}{n a 是等差数列，28,48721=+=+a a a a ，则公差等于（ ） A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6. 已知b a ,为不相等的两个正数，且0lg =ab ，则函数x
a y =和x
b y =的图象之间的关系是（ ）
A. 关于原点对称
B. 关于y 轴对称
C. 关于x 轴对称
D. 关于直线x y =对称
7. 已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 过曲线C ：)0(1
>=x x
y 上一点),(00y x P 作曲线C 的切线，若切线的斜率为－4，则0x 等于（ ）
A. 2
B. 2
1 C. 4 D.
4
1
9. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=1
,2,
1,11
)(x a x x x x f 在R 上满足：对任意21x x ≠，都有)()(21x f x f ≠，则实数
a 的取值范围是（ ）
A. ]2,(-∞
B. ]2,(--∞
C. ),2[+∞
D. ),2[+∞-
10. 已知函数x
e x
x f =
)(，给出下列结论： ①),1(+∞是)(x f 的单调递减区间；
②当)1,(e
k -∞∈时，直线k y =与)(x f y =的图象有两个不同交点； ③函数)(x f y =的图象与12
+=x y 的图象没有公共点。

其中正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

11. 若+
∈R x ，则x
x 4
+的最小值为___________。

12. e ln 2log 2+＝___________。

13. 不等式
11
2>-x
x 的解集为___________。

14. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且当]2,1[∈x 时，)(x f ＝
232+-x x ，则)6(f ＝___________；)2
1
(f ＝___________。

15. 函数2
2
1ln )(x x x f -
=的极值是___________。

16. 个人取得的劳务报酬，应当交纳个人所得税。

每月劳务报酬收入（税前）不超过800元不用交税；超过800元时，应纳税所得额及税率按下表分段计算：
劳务报酬收入（税前） 应纳税所得额 税率 劳务报酬收入（税前）不超过4000元
劳务报酬收入（税前）减
800元
20%
劳报报酬收入（税前）超过4000元
劳务报酬收入（税前）的
80% 20% …
…
…
（注：应纳税所得额单次超过两万，另有税率计算方法。

）
某人某月劳务报酬应交税款为800元，那么他这个月劳务报酬收入（税前）为________元。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分13分）
设函数)82(log )(2
2--=x x x f 的定义域为A ，集合}0))(1(|{≤--=a x x x B 。

（Ⅰ）若4-=a ，求B A I ；
（Ⅱ）若集合B A I 中恰有一个整数，求实数a 的取值范围。

18.（本小题满分13分）
已知数列}{n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，431,6S S a =-=。

（Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设4
2
+=n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和。

19.（本小题满分13分）
已知函数32)(2
+-=mx x x f 。

（Ⅰ）当1=m 时，求函数)(x f 在区间]2,2[-上的最大值和最小值； （Ⅱ）若函数)(x f 在区间),1[+∞上的值恒为正数，求m 的取值范围。

20.（本小题满分13分）
已知函数1)()(+-=x
e x a x
f ，其中0>a 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）证明函数)(x f 只有一个零点。

21.（本小题满分14分）
某人销售某种商品，发现每日的销售量y （单位：kg ）与销售价格x （单位：元/kg ）满足关系
式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<<-+-=159,6
177,96,)9(6
1502
x x x x x a x y ，其中a 为常数。

已知销售价格为8元/kg 时，该日的销售量
是80kg 。

（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg ，求商品销售价格x 为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大。

22.（本小题满分14分） 已知函数2
2
1ln )(mx x x x f -
+=。

（Ⅰ）当2=m 时，求函数)(x f 的极值点；
（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-≤mx x f 恒成立，求整数．．m 的最小值。

【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. B 2. D
3. C
4. D
5. A
6. B
7. C
8.
B
9. C 10. B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 4
12.
2
3
13. }10|{><x x x 或
14. 0；
4
1 15. 2
1-
16. 5000
注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由)82(log )(2
2--=x x x f 得：0822
>--x x ，
1分
解得2-<x ，或4>x ，从而定义域为}42|{>-<=x x x A 或。

3分 因为4-=a ，所以}0)4)(1(|{≤+-=x x x B ，解得14≤≤-x ， 4分 所以}24|{-<≤-=x x B A I 。

6分
（Ⅱ）当4>a 时，}1|{a x x B ≤≤=，
7分
}4|{a x x B A ≤<=I ，若只有一个整数，则整数只能是5，
所以65<≤a 。

9分 当2-<a 时，}1|{≤≤=x a x B ，
10分
}2|{-<≤=x a x B A I ，若只有一个整数，则整数只能是－3，
所以34-≤<-a 。

12分
综上所述，实数a 的取值范围是)6,5[]3,4(Y --。

13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为43S S =，所以04=a 。

2分
因为数列}{n a 是等差数列，61-=a ， 所以2,036==+-d d 。

4分 所以82)1(26-=-+-=n n a n 。

6分
（Ⅱ）由82-=n a n 可得n n a n 28)4(24=-+=+， 8分 所以n a n n b 42
4
==+。

10分
从而可知}{n b 是首项41=b ，公比为4的等比数列，
11分 所以其前n 项和为3
)
14(441)41(4-=--n n 。

13分
19.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当1=m 时，32)(2
+-=x x x f 。

函数)(x f 的对称轴是1=x 。

2分
所以在]2,2[-∈x 上，当=x 时，有最小值2)1(=f ； 4分
当2-=x 时，有最大值11)2(=-f 。

6分 （Ⅱ）由已知，函数)(x f 的对称轴是m x =。

7分
①当1≥m 时，函数)(x f 的最小值为2
3)(m m f -=，
若函数)(x f 在区间),1[+∞上的值恒为正数，则032
>-m ， 9分 解得33<
<-m ，所以31<≤m ；
10分
②当1<m 时，函数)(x f 的最小值为m f 24)1(-=，
若函数)(x f 在区间),1[+∞上的值恒为正数，则024>-m ， 12分 解得2<m ，所以1<m 。

综上所述，实数m 的取值范围是)3,(-∞。

13分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）)1()()(-+-=-+-='a x e e x a e x f x
x
x。

2分 令0)1()(=-+-='a x e x f x
，解得1-=a x 。

4分
因为)1,(--∞∈a x 时，),1(,0)(+∞-∈>'a x x f 时，0)(<'x f ， 所以函数)(x f 的单调增区间是)1,(--∞a ，减区间是),1(+∞-a 。

6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1(-a f 是极大值，也是最大值。

且01)1(1
>+=--a e
a f 。

8分
①当1-<a x 时，因为0,0>>-x
e x a ，
所以)(x f 在)1,(--∞a 上恒为正数，函数)(x f 没有零点； 10分
②当1->a x 时，取1+=a x ，则1)1(1
+-=++a e a f ，
因为0>a ，所以e e e e a a -<->++11
,， 从而01)1(1
<+-=++a e
a f 。

11分
由零点存在定理可知，在区间)1,1(+-a a 上函数)(x f 有一个零点； 12分 因为),1(+∞-a 是)(x f 的减区间，所以)(x f 零点只有一个。

13分
综上，函数)(x f 零点只有一个。

21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为销售价格为8元/kg 时，该日的销售量是80kg ， 所以，2)98(6
8150
80-+-=
a ，
3分 解得5=a 。

5分
（Ⅱ）当商品成本为6元/kg 时，商品销售利润为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤≤---<<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=-159),6177)(6(,96,)9(56150)6()6(2x x x x x x x x y x 7分
①当96<<x 时，利润2
1)9)(6(5150--+=x x y ，
8分
])9)(6[(521'--='x x y
])8118)(6[(52'+--=x x x
)9)(7(15--=x x
10分
所以，1y 在区间)7,6(上单调递增，在区间)9,7(上单调递减， 所以7=x 时利润最大，最大值为170元。

11分
②当159≤≤x 时，利润1776)6(1772
2++-=--=x x x x y ， 是开口向下的二次函数，对称轴是3=x ，在区间)15,9(上单调递减， 所以9=x 时利润最大，为150元。

13分
综上可知，当销售价格为7元/kg ，该日销售该商品的利润最大，最大值为170元。

14分
22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当2=m 时，)0(ln )(2
>-+=x x x x x f 。

x
x x x x x x x x f )
12)(1(12211)(2++-=++-=-+='，
2分
在区间)1,0(上，0)(>'x f ；在区间),1(+∞上，0)(<'x f 。

所以，)(x f 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减。

4分 所以)(x f 的极大值点为1，没有极小值点。

5分
（Ⅱ）令0,1)1(2
1ln )1()()(2
>+-+-
=--=x x m mx x mx x f x G 。

则不等式1)(-≤mx x f 恒成立，即0)(≤x G 恒成立。

x
x m mx m mx x x G 1
)1()1(1)(2+-+-=-+-='。

7分
①当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G 所以)(x G 在),0(+∞上是单调递增函数， 又因为022
3
1)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-
=m m m G ， 所以关于x 的不等式0)(≤x G 不能恒成立。

9分
②当0>m 时，x
x m x m x
x m mx x G )1)(1
(1
)1()(2
+-
-
=+-+-=
'。

令0)(='x G ，因为0>x ，得m
x 1=， 所以当)1,
0(m x ∈时，0)(>'x G ；当),1
(+∞∈m
x 时，0)(<'x G 。

因此函数)(x G 在)1,
0(m x ∈是增函数，在),1
(+∞∈m
x 是减函数。

11分
故函数)(x G 的最大值为
m m
m m m m m m G ln 21
11)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=。

12分
令m m
m h ln 21
)(-=
，因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数， 又因为02ln 4
1
)2(,021)1(<-=>=
h h ，所以当2≥m 时，0)(<m h 。

所以整数m 的最小值为2。

14分。