2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件文

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝12lr＝ 12|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中 的任意两个量． [注意] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度 量单位为弧度制．
【答案】 －23
角度二 三角函数值的符号判定
若 sin αtan α＜0，且tcaons αα＜0，则角 α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】 由 sin αtan α＜0 可知 sin α，tan α 异号，则角 α 为 第二或第三象限角． 由tcaons αα＜0 可知 cos α，tan α 异号， 则角 α 为第三或第四象限角． 综上可知，角 α 为第三象限角． 【答案】 C
同分类轴线角：角的终边落在坐标轴上
③所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合：
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2．弧度制
(1)定义：把长度等于_半__径___长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角，正角的弧度数是_正__数___，负角的弧度数是_负__数___，零角的
法二：由于 M 中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)， 2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°， k＋1 是整数，因此必有 M⊆N. (3)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为(π4，56π)， 所以所求角的集合为(2kπ＋π4，2kπ＋56π)(k∈Z)． 【答案】 (1)A (2)B (3)(2kπ＋π4，2kπ＋56π)(k∈Z)
当 k 为奇数时，α2是第三象限角．故选 C．
扇形的弧长、面积公式
[典例引领] 已知扇形的圆心角是 α ，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大？
【解】 (1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝103π(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20， 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当 R＝5 时，S 取得最大值 25， 此时 l＝10 cm，α＝2 rad.
【解析】 因为角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－153， 所以 cos α＝ x－2＋x36＝－153， 即 x＝52或 x＝－52(舍去)，所以 P(－52，－6)， 所以 sin α＝－1123，所以 tan α＝csoins αα＝152， 则sin1 α＋tan1 α＝－1132＋152＝－23.
[通关练习]
1．将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧
度数是( )
A．π3
B．π6
C．－π3
D．－π6
解析：选 C．将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，
故 A、B 不正确；又因为拨快 10 分钟，故应转过的角为圆周的
16.即为－16×2π＝－π3.
2．若某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的
1．角的有关概念
(1)角的形成：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 __旋__转__到另一个位置所成的_图__形___．
(2)角的分类 ①按方旋向转不负正角角：：按按__逆顺____时时____针针______方方向向旋旋转转而而成成的的角角
同分类零角：射线没有旋转
按终边象限角：角的终边在第几象限，这个角就是 ②位置不 第几象限角
点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.
第四章 三角函数、解三角形
知识点
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函数 y＝
了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画
Asin(ωx＋φ) 出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，
的图象及三 φ 对函数图象变化的影响．
角函数模型
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函
弧度数是_零___．
π
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π__rad，1°＝_1_8_0_ rad，1 rad
180 ＝ (3)_扇__形_ _的π__弧_°_长_．公式：l＝|_α_|·_r，扇形的面积公式：S＝_12_lr_＝_12_|α_|_·_r2_．
3．任意角的三角函数
三角函数
(1)终边相同角的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先 写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中 的参数 k 赋值来求得所需的角．
(2)象限角的两种判断方法 ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的 定义直接判断已知角是第几象限角． ②转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形 式，即找出与已知角终边相同的角 α，再由角 α 终边所在的象 限判断已知角是第几象限角．
三角函数的定义(高频考点)
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内 容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度 有： (1)利用三角函数定义求值； (2)三角函数值的符号判定； (3)利用三角函数线比较大小、解不等式．
[典例引领] 角度一 利用三角函数定义求值
已知角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－153， 则sin1 α＋tan1 α＝________．
弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余
弦、正切公式，了解它们的内在联系.
知识点
第四章 三角函数、解三角形
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能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 简单的三角
和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不 恒等变换
要求记忆).
能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，
了解三角函数的周期性． 三角函数的 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的 图象与性质 性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交
cos2x＝1，csoins xx＝tan x. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，
π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
第四章 三角函数、解三角形
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会用向量的数量积推导出两角差的余弦公
式．
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正 和与差的三角函
弦、正切公式． 数公式
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正
{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．
2．若 α 是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )
A．sin α2＞0
B．cos α2＞0
C．tan α2＞0
D．sin
α 2cos
α2＜0
解析：选 C．因为π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.
当 k 为偶数时，α2是第一象限角；
第四章 三角函数、解三角形
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了解任意角的概念．
任意角的概念与 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的
弧度制、任意角 互化．
的三角函数
理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义.
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知识点
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理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋
同角三角函数 的基本关系式 与诱导公式
有向线段__A_T___ 为正切线
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ ) (5)若 α∈0，π2，则 tan α＞sin α.( √ ) (6)若 α 为第一象限角，则 sin α＋cos α＞1.( √ )
(教材习题改编)角－870°的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
(教材习题改编)若角 θ 满足 tan θ>0，sin θ<0，则角 θ 所在的
象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
(教材习题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )
(3)求nθ或 nθ(n∈N*)所在象限的方法 ①将 θ 的范围用不等式(含有 k)表示． ②两边同除以 n 或乘以 n. ③对 k 进行讨论，得到nθ或 nθ(n∈N*)所在的象限． [注意] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角 α 的终边逆(顺) 时 针 旋 转 180°可 得 角 α ＋ ( － )180°的 终 边 ， 类 推 可 知 α ＋ (－)k·180°(k∈Z)表示终边落在角 α 的终边所在直线上的角．
解析：由弧长公式 l＝|α|r，得 r＝10200π＝3π6(cm)， 180
所以 S 扇形＝12lr＝12×20×3π6＝3π60(cm2)．
答案：3π60
象限角及终边相同的角
[典例引领]
(1)若 α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则 α 在( )
A．第一或第三象限
B．第一或第二象限
C．第二或第四象限
圆心角的弧度数为( )
A．π6
B．π3
C．3
D． 3
解析：选 D.如图，等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接 三角形，则线段 AB 所对的圆心角∠AOB＝23π，作 OM⊥AB， 垂足为 M， 在 Rt△AOM 中，AO＝r，∠AOM＝π3， 所以 AM＝ 23r，AB＝ 3r， 所以 l＝ 3r，由弧长公式得 α＝rl＝ r3r＝ 3.
[通关练习]
1．终边在直线 3x－y＝0 上的角的集合为( )
A．{α|α＝π6＋kπ，k∈Z}
B．{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}
C．{α|α＝π6＋2kπ，k∈Z}
D．{α|α＝π3＋2kπ，k∈Z}
解析：选 B．由题意知，所求角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上，则
α 的集合{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π＋π3，k∈Z}＝
A．10π
B．9π
C．190π
D．190π
答案：D
(教材习题改编)已知角 θ 的终边过点 P(12，－5)，则 cos θ 的值为________．
解析：因为 x＝12，y＝－5，所以 r＝ x2＋y2＝13， 所以 cos θ＝xr＝1123. 答案：1123
(教材习题改编)扇形弧长为 20 cm，中心角为 100°，则该扇 形的面积为________cm2.
D．第三或第四象限
(2)设集合 M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z}，
N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N
B．M⊆N
C．N⊆M
D．M∩N＝∅
(3)已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的
范围内(不包括边界)，则角 α 用集合可表示
为________．
【解析】 (1)当 k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋ 45°，α 为第一象限角； 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α 为第三象限角，所以 α 为第一或第三象限角．故选 A． (2)法一：由于 M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z} ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z} ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有 M⊆N.
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么
定义 _y__叫做 α 的正 _x__叫做 α 的余 ___叫做 α 的正切，
弦，记作 sin α 弦，记作 cos α 记作 tan α
三角 函数
正弦
余弦
正切
三角
函数线
有向线段__M_P___ 为正弦线
有向线段__O_M___ 为余弦线
的简单应用 数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
正弦定理和 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的
余弦定理 三角形度量问题.
解三角形应 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
用举例
一些与测量和几何计算有关的实际问题.
第四章 三角函数、解三角形
第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数