可压缩两气体流动的简化神经网络模型

第９卷㊀第２期
２０２４年３月
气体物理
ＰＨＹＳＩＣＳＯＦＧＡＳＥＳ
Ｖｏｌ.９㊀Ｎｏ.２Ｍａｒ.２０２４
㊀㊀ＤＯＩ:１０.１９５２７/ｊ.ｃｎｋｉ.２０９６￣１６４２.１０８９
可压缩两气体流动的简化神经网络模型
刘子岩ꎬ㊀许㊀亮ꎬ㊀刘耀峰
(中国航天空气动力技术研究院ꎬ北京１０００７４)
ＡＳｉｍｐｌｉｆｉｅｄＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋＭｏｄｅｌｆｏｒＣｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅＴｗｏ￣ＧａｓＦｌｏｗｓ
ＬＩＵＺｉｙａｎꎬ㊀ＸＵＬｉａｎｇꎬ㊀ＬＩＵＹａｏｆｅｎｇ
(ＣｈｉｎａＡｃａｄｅｍｙｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅＡｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓꎬＢｅｉｊｉｎｇ１０００７４ꎬＣｈｉｎａ)
摘㊀要:实用的虚拟流体方法(ｐｒａｃｔｉｃａｌｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄꎬＰＧＦＭ)利用Ｒｉｅｍａｎｎ问题速度解对可压缩多介质流场界面条件进行建模ꎮ基于构造的嵌入物理约束的神经网络模型预测Ｒｉｅｍａｎｎ问题速度解的方式ꎬ给出一种两气体流动的神经网络模型简化方法ꎮ首先提出完全气体状态方程下神经网络模型输入特征采样范围从无界域到有界域的转换方法ꎬ改善模型预测不同初始条件下Ｒｉｅｍａｎｎ解的泛化性能ꎮ根据该转化方法ꎬ进一步提出一种结构更加简单的神经网络优化方法ꎬ将输入维度从５个减少到３个ꎬ有效提高神经网络的训练效果ꎮ将该神经网络代理模型应用于ＰＧＦＭ程序框架ꎬ通过典型的一维与二维两气体流动问题进行数值验证与对比分析ꎮ结果表明ꎬ简化的网络模型与已有研究的神经网络模型相比ꎬ能取得精度相近的计算结果ꎮ而在神经网络训练效率上ꎬ简化神经网络具有明显优势ꎮ同时因为简化神经网络采样维度少ꎬ方便尝试加密采样提高拟合精度ꎬ更具备发展潜力ꎮ关键词:可压缩多介质问题ꎻ虚拟流体方法ꎻ两气体Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎻ神经网络㊀㊀㊀收稿日期:２０２３￣０９￣２６ꎻ修回日期:２０２３￣１２￣１９基金项目:国家自然科学基金(１１８７２３５１)
第一作者简介:刘子岩(１９９８ )㊀男ꎬ博士ꎬ主要研究方向为机器学习在可压缩多介质流问题中的应用ꎮＥ￣ｍａｉｌ:ｌｚｙ２１０＠ｂｕａａ.ｅｄｕ.ｃｎ
通信作者简介:许亮(１９８２ )㊀男ꎬ研究员ꎬ主要研究方向为可压缩多介质流模拟方法㊁ＣＦＤ中机器学习建模方法等ꎮ
中图分类号:Ｏ３５９㊀㊀
文献标志码:Ａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｐｒａｃｔｉｃａｌｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄ(ＰＧＦＭ)ｕｔｉｌｉｚｅｓｖｅｌｏｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍｓｔｏｍｏｄｅｌｔｈｅｉｎｔｅｒｆａｃｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍａｔｅｒｉａｌｆｌｏｗｓ.Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｆｏｒｔｗｏ￣ｇａｓｆｌｏｗｓｂｙｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｅｍｂｅｄｄｅｄｗｉｔｈｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ.Ｆｉｒｓｔｌｙꎬａｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇｔｈｅｓａｍｐｌｉｎｇｒａｎｇｅｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｆｒｏｍｕｎｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎｔｏｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄꎬｗｈｉｃｈｈｏｌｄｓｔｒｕｅｆｏｒｔｈｅｐｅｒｆｅｃｔｇａｓｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｔａｔｅ.Ｉｔｃａｎｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｎｉｔｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ.Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄꎬａｓｉｍｐｌｅｒｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗａｓｆｕｒｔｈｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄ.Ｔｈｅｔｒａｉｎｉｎｇｒｅｓｕｌｔｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｃａｎｂｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｍｐｒｏｖｅｄｂｙｒｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅｉｎｐｕｔｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｆｒｏｍ５ｔｏ３.ＴｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｗａｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅＰＧＦＭ.Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｖａｌｉｄａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｗａｓｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｔｈｒｏｕｇｈｔｙｐｉｃａｌｏｎｅ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌａｎｄｔｗｏ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇａｓｆｌｏｗｐｒｏｂｌｅｍｓ.Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｃａｎａｃｈｉｅｖｅｓｉｍｉｌａｒｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌａｃｃｕｒａｃｙｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｅｘｉｓｔｉｎｇｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｓ.Ｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｒａｉｎｉｎｇｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓꎬｔｈｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｈａｓｏｂｖｉｏｕｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ.Ｍｏｒｅｏｖｅｒꎬｂｅｃａｕｓｅｔｈｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｈａｓｆｅｗｅｒｓａｍｐｌｉｎｇｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓꎬｉｔｉｓｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏｔｒｙｄｅｎｓｅｒｓａｍｐｌｉｎｇｔｏｉｍｐｒｏｖｅｆｉｔｔｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｓｕｃｈｍｅｔｈｏｄｈａｓｍｏｒｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｐｏｔｅｎｔｉａｌ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍａｔｅｒｉａｌｆｌｏｗｓꎻｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄꎻｔｗｏ￣ｇａｓＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍꎻｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ
气体物理２０２４年㊀第９卷
引㊀言
数值模拟可压缩多介质流体动力学问题在航空航天㊁武器物理㊁生物医疗等前沿领域具有大量应用需求[１]ꎮ清晰准确地模拟界面运动及变形是这类问题关注的重点ꎮ处理物质界面的一类方案为锐利界面方法ꎬ即把界面视作零厚度界面ꎬ这种方案须时刻捕捉界面位置并定义非线性波与界面发生作用而产生的边界条件ꎮ捕捉界面位置常用的方法有界面追踪法[２]和水平集(ｌｅｖｅｌｓｅｔ)方法[３]等ꎬ定义边界条件的方法有切割网格法[４]和虚拟流体方法等ꎮ
虚拟流体方法有着诸多版本ꎬ其中Ｌｉｕ等[５]提出的修正虚拟流体方法(ｍｏｄｉｆｉｅｄｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄꎬＭＧＦＭ)通过求解界面附近多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题来预测界面状态ꎬ并以此定义虚拟流体状态ꎮ许亮等[６]提出了实用虚拟流体方法ꎬ借助多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题的速度解ꎬ并结合界面另一侧的流场状态可以准确定义虚拟流体状态ꎮ由于充分考虑波与物质界面的相互作用和介质性质对界面运动的影响ꎬ这两种方法已被证明适用于各种强间断气－气㊁气－液㊁流－固等挑战性多介质流动难题[７]ꎮ使用基于Ｒｉｅｍａｎｎ解的虚拟流体方法在定义虚拟流体状态时ꎬ须迭代求解非线性方程ꎮ多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题近似求解可以分成隐式和显式两类方法[８]ꎮ虚拟流体方法中常用的基于双激波结构的隐式近似Ｒｉｅｍａｎｎ解[５]也包含迭代过程ꎮＸｕ等[８]发展了２种不含迭代的显式近似Ｒｉｅｍａｎｎ解ꎬ计算效率高ꎬ但是只适用于刚性气体状态方程ꎮ传统方法求解多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题应对不同的状态方程须进行特定的数学推导ꎮ当问题比较复杂时ꎬ通常会涉及繁琐的计算过程ꎮ比如ꎬ对于含热完全气体的多介质流动问题ꎬ在压力的每一步迭代求解过程中也包含了温度的迭代解[８]ꎮ如果考虑黏性㊁表面张力㊁相变㊁化学反应等影响因素ꎬ那么物质界面求解迭代过程可能更加复杂ꎬ这就对稳定性提出很高要求ꎮ因此ꎬ有必要尝试借助新兴的机器学习方法替代传统的Ｒｉｅｍａｎｎ解算器ꎬ对降低建模难度以及提高计算稳定性等方面进行探索ꎮ
机器学习方法近年来被广泛应用于各种研究领域中[９]ꎬ尤其常见于求解偏微分方程的过程中替代复杂的计算ꎬ并取得了较好的效果[１０ꎬ１１]ꎮＦｅｎｇ等[１２ꎬ１３]使用神经网络构造了智能激波指示器ꎬ应用于格式设计ꎬ并给出了机器学习模型的合理性解释ꎮ同时ꎬ研究者们也尝试加入一些约束条件以使得结果更加符合流动物理ꎮ丘润荻等[１４]在相场法中引入含物理约束的神经网络ꎬ用于求解ＲＴ不稳定性问题ꎬ明显提高了计算效率ꎮＭａｇｉｅｒａ等[１５]针对Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ首次提出嵌入物理约束的神经网络模型ꎬ使预测结果尽可能满足Ｒａｎｋｉｎｅ￣Ｈｕｇｏｎｉｏｔ间断条件ꎮ基于该方法ꎬＷａｎｇ等[１６]针对跨临界流的Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ分析了具有不同输入与输出形式的神经网络架构ꎬ提出了兼顾计算效率及计算精度的网络构造方法ꎮＲｕｇｇｅｒｉ等[１７]将Ｒｉｅｍａｎｎ解的神经网络模型推广到真实气体ꎬ比精确Ｒｉｅｍａｎｎ解具有更高的计算效率ꎮ但是ꎬ由于关注的网络输出维度较多ꎬ这些文献所使用的神经网络结构仍较复杂ꎮ本人在文献[９]中提出了多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题速度解的神经网络模型ꎬ通过构建物理约束层的方式考虑流场间断关系ꎬ简化网络规模ꎬ成功应用于
ＰＧＦＭ框架求解多介质流动问题ꎮ
本文将进一步提出应用于两气体Ｒｉｅｍａｎｎ问题的神经网络标准化映射方法ꎬ构造针对输入特征的神经网络结构优化方式ꎬ能够提高网络的训练效果及应用价值ꎮ
１㊀问题描述与求解方法
１.１㊀流体控制方程与状态方程
研究模型设定为可压缩无黏流动模型ꎬ其二维形式Ｅｕｌｅｒ守恒方程组为
∂Ｕ
∂ｔ＋
∂Ｆ
∂ｘ＋
∂Ｇ
∂ｙ＝０(１)
式中ꎬＵ＝[ρꎬρｕꎬρｖꎬＥ]Ｔ代表守恒变量ꎬＦ＝[ρｕꎬρｕ２＋ｐꎬρｕｖꎬ(Ｅ＋ｐ)ｕ]ＴꎬＧ＝[ρｖꎬρｕｖꎬρｖ２＋ｐꎬ(Ｅ＋ｐ)ｖ]Ｔ均为守恒通量ꎮρꎬｐꎬｕ分别是流体的密度ꎬ压力以及速度ꎬＥ是流体总能量ꎬＥ＝ρｅ＋ρｕ２/２ꎮｅ是单位质量流体的内能ꎮ上述方程组的封闭还须补充一个状态方程ꎮ本文目前的工作只涉及由完全气体状态方程
ｐ＝(γ－１)ρｅ(２)描述的可压缩两气体流动问题ꎮ式中ꎬγ表示气体比热比ꎮ
１.２㊀虚拟流体方法
在虚拟流体方法中ꎬ把物质界面看成内边界ꎮ一般每种介质取界面附近３~５个网格点的区域作
４３
第２期刘子岩ꎬ等:可压缩两气体流动的简化神经网络模型
为虚拟流体区域ꎬ虚拟流体层数由计算采用的数值
格式决定ꎮ该区域内的虚拟流体状态作为内边界
条件来定义ꎮ这样可以将多介质界面问题转化成
多个单介质问题来模拟ꎮ原则上ꎬ只要这些虚拟流
体状态定义准确ꎬ任何高分辨率计算格式可以直接
使用ꎬ不需要在界面附近特殊处理ꎮ
本文使用水平集方法捕捉界面运动ꎬ使用ＰＧ￣
ＦＭ[７]定义不同流体的界面条件ꎬＰＧＦＭ的原理如
图１所示ꎮ对比ＭＧＦＭ[５]须使用３个界面自由度定
义虚拟流体状态ꎬＰＧＦＭ仅借助１个界面速度就可
以计算出虚拟流体速度ꎬ虚拟流体的压力和密度通
过镜像对称得到ꎮ这种区别意味着当采用神经网
络对流场界面条件建模时ꎬ在ＰＧＦＭ的框架下仅关
注界面速度这一个物理量ꎬ神经网络的输入和输出
更加简洁ꎬ并能因此取得更好的训练效果
ꎮ
图１㊀ＰＧＦＭ定义虚拟流体状态的示意图[７]
Ｆｉｇ.１㊀ＩｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＰＧＦＭｆｏｒｄｅｆｉｎｉｎｇ
ｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｓｔａｔｅｓ[７]
为抑制界面附近的非物理解ꎬ界面附近和虚拟
流体的密度也可以通过某些校正技术[７]获得ꎮ
１.３㊀多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题的速度解
在多维问题中ꎬ虚拟流体方法首先须沿界面法
向构造并求解多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎮ一维形式的
初始值间断Ｒｉｅｍａｎｎ问题为
∂Ｕ∂ｔ＋∂Ｆ
∂ｘ＝０ꎬＵ｜ｔ＝０＝
ＵＬꎬｘ<ｘＩ
ＵＲꎬｘ>ｘＩ
{(３)
其中ꎬＵ＝[ρꎬρｕꎬＥ]ＴꎬＦ＝[ρｕꎬρｕ２＋ｐꎬ(Ｅ＋ｐ)ｕ]ＴꎬＵＬ和ＵＲ是界面法向上由位于ｘＩ处的物质界面分开的两个常值状态ꎮ下标Ｉ㊁Ｌ和Ｒ分别表示界面㊁左侧和右侧ꎮ
对多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题(３)ꎬ须求解下面的非线性系统
ｕＬ－ｕＩ＝ｆＬ(ｐＩ)
ｕＩ－ｕＲ＝ｆＲ(ｐＩ)
{(４)
其中函数ｆ的具体形式为[６]
ｆＨ(ｐ)＝ｆ(ｐＩꎬｐＨꎬρＨ)＝
(ｐ－ｐＨ)/(ｐ－ｐＨ)ρＨρ
ρ－ρＨ
ꎬｐ>ｐＨʏｐｐＨ１ρｄρｄｐｄｐꎬｐɤｐＨ
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
(５)
式中ꎬＨ＝Ｌ或Ｒꎬρ和ｐ的关系由状态方程确定ꎮ由
ｕＩ＝１２(ｆＲ－ｆＬ)＋１２(ｕＬ＋ｕＲ)(６)求出界面速度解ｕＩꎬ然后按照图１中ＰＧＦＭ方式确定虚拟流体状态Ｕ∗Ｒ和Ｕ∗Ｌꎮ这样ꎬ每个时间步在界面处只需求解如下两个带虚拟流体状态的单介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题
∂Ｕ
∂ｔ＋
∂Ｆ
∂ｘ＝０ꎬＵ｜ｔ＝０＝
ＵＬꎬｘ<ｘ０
Ｕ∗Ｒꎬｘ>ｘ０
{(７)
∂Ｕ
∂ｔ＋
∂Ｆ
∂ｘ＝０ꎬＵｔ＝０＝
Ｕ∗Ｌꎬｘ<ｘ０
ＵＲꎬｘ>ｘ０
{(８)
这里上标∗表示虚拟流体状态ꎮ问题(７)的求解区域是从最左边的网格点一直跨过物质界面进入右边介质区的虚拟网格点ꎮ问题(８)的求解区域则是从左边的虚拟网格点跨过物质界面一直到最右边的网格点ꎮ
２㊀神经网络模型建立及优化
２.１㊀嵌入物理约束的神经网络模型
神经网络的输入和输出须根据具体问题确定ꎮＰＧＦＭ定义虚拟流体状态只需利用多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题界面速度解ｕＩꎬ而根据界面速度ｕＩ的求解流程(４)~(６)ꎬ神经网络的输入特征可选择为{ｐＬꎬρＬꎬｐＲꎬρＲꎬΔｕ}共５个量ꎬ神经网络输出特征为函数(５)ｆＬ和ｆＲ的逼近值φＬ和φＲꎮ最终根据神经网络预测结果和式(６)计算得到ｕＩꎮ
为了使神经网络学习结果更符合流动物理要求ꎬ根据流场间断关系构建了物理约束条件
φＬ＋φＲ＋Δｕ＝０(９)通过构建物理约束层的方式将式(９)嵌入神经网络ꎬ具体操作方法为:将神经网络两个输出φＬ和φＲ改写成φＬ和－Δｕ－φＬꎬ神经网络模型的输出层只需要一个输出量φＬꎮ但神经网络训练样本的标签仍为两个量ꎬ由φＬ和－Δｕ－φＬ物理约束层参与训练ꎮ这种方式能严格满足式(９)的流场间断关
５３
气体物理２０２４年㊀第９卷系ꎮ考虑物理约束的神经网络原理如图２所示
ꎮ
图２㊀考虑物理约束的人工神经网络示意图
Ｆｉｇ.２㊀Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｒｔｉｆｉｃｉａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ
ｗｉｔｈｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ
本部分工作已在文献[９]中完成ꎬ具体实现方
法和神经网络的基本原理参考文献[９]ꎮ
２.２㊀神经网络标准化映射及网络结构简化
神经网络代理模型的使用范围应尽量在训练
样本采样范围内以保证模型的预测效果ꎮ注意到
ＰＧＦＭ的神经网络模型的５个输入量都是无界的ꎮ
本质上ꎬ流体的压力和密度取值范围为(０ꎬ＋ɕ)ꎬ
界面两侧流体的速度差Dｕ取值范围为(－ɕꎬ＋ɕ)ꎮ
为了提高神经网络模型的训练效果ꎬ通过预处理的
方法将采样范围从无界域映射到有界域ꎮ基于Ｒｉ￣
ｅｍａｎｎ速度解的求解方法可以获得标准化映射方法
依赖紧密的一个性质[１８]ꎮ对于完全气体状态方程
(２)ꎬ如果界面两侧流体的压力㊁密度经过以下
变换
ｐ－＝ｐｐ
０ꎬρ－＝ρρ
０
那么界面速度ｕＩ的表达式将被改写成
ｕＩ＝１２[ｆ(ｐ－Ｉꎬｐ－Ｒꎬρ－Ｒ)－ｆ(ｐ－Ｉꎬｐ－Ｌꎬρ－Ｌ)]ｐ０ρ
０＋
１
２(ｕＬ＋ｕＲ)(１０)其中ꎬｐ０ꎬρ０为任意大于零的参考压力和参考密度ꎮ为简化网络结构的输入输出关系ꎬ提高神经网络训练效果ꎬ降低采样难度ꎬ考虑将参考压力和参考密度设置为左右两侧压力㊁密度的较大值ꎬ即ｐ０＝ｍａｘ(ｐＬꎬｐＲ)ꎬρ０＝ｍａｘ(ρＬꎬρＲ)显然有
０<ｐｍｉｎｐ
０
ɤ１ꎬｐｍａｘｐ
０
＝１ꎻ
０<ρｍｉｎρ
０
ɤ１ꎬρｍａｘρ
０
＝１
(１１)
经过这样处理ꎬ５个输入特征中的２个特征确定为１ꎬ采样及训练时只须考虑其他３个不为１的输入特征ꎬ达到了简化网络结构的目的ꎮ
值得注意的是ꎬ本方法研究对象为两气体问题ꎬ界面两侧流体的不同导致不能通过训练一个神经网络解决该问题ꎮ根据流体左右压力㊁密度的大小关系ꎬ共计有４种情况ꎬ须对应训练４个神经网络代理模型并综合使用ꎬ见表１ꎮ简化的神经网络标准化原理如图３ꎬ该图以ｐＬ<ｐＲꎬρＬȡρＲ的情况为例ꎬ神经网络选用２号神经网络ꎮ
表１㊀各神经网络代理模型
Ｔａｂｌｅ１㊀Ｖａｒｉｏｕｓｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｓ
Ｎｏ.ｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｐｒｅｌａｔｉｏｎｏｆρｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｉｎｐｕｔｓ１ｐＬ<ｐＲρＬ<ρＲ{ｐ－Ｌꎬρ－ＬꎬΔｕ－}２ｐＬ<ｐＲρＬȡρＲ{ｐ－Ｌꎬρ－ＲꎬΔｕ－}３ｐＬȡｐＲρＬȡρＲ{ｐ－Ｒꎬρ－ＲꎬΔｕ－}４ｐＬȡｐＲρＬ<ρＲ{ｐ－Ｒꎬρ－ＬꎬΔｕ－
}
图３㊀简化神经网络标准化原理示意图
Ｆｉｇ.３㊀Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋａｆｔｅｒｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ因为每次计算都只会用到其中一个神经网络代理模型ꎬ相比于之前工作的神经网络模型[９]ꎬ简化后的神经网络模型降低了建模复杂度ꎬ同时也减小了计算量ꎬ可以提高计算效率ꎮ
另外ꎬ根据前文介绍的性质ꎬ神经网络的输入经过了标准化映射ꎬ输出值也会变成标准化后的结果φ－Ｌ和φ－Ｒꎬ其中φ－Ｒ＝－Δｕ－－φ－ＬꎬΔｕ－＝Δｕ/ｐ０ρ０ꎬ为标准化后的速度差ꎮ须经过一个逆向映射得到φＬ
６３
第２期刘子岩ꎬ等:可压缩两气体流动的简化神经网络模型和φＲꎬ表达式为
φＬ＝ｕ０φ－ＬꎬφＲ＝ｕ０φ－Ｒ(１２)
ｕＩ即可根据式(１３)求出
ｕＩ＝１２(φＲ－φＬ)＋１２(ｕＬ＋ｕＲ)(１３)
２.３㊀训练样本生成
神经网络模型的训练集通过一维多介质
Ｒｉｅｍａｎｎ精确解算器生成ꎬ即求解非线性系统(４)ꎮ
一般根据状态方程的具体表达形式ꎬ通过迭代方法
获得界面压力解ｐＩꎬ再根据函数ｆＨ(ｐ)表达形式
(５)获得神经网络的样本标签ｆＬ和ｆＲꎮ对于本文关
注的完全气体状态方程(２)ꎬ其压力迭代方式和求
解流程可以参考文献[１９]ꎮ
采样范围根据２.２节的标准化映射方式而定ꎬ
由式(１１)ꎬ界面两侧流体压力的较大值映射为１ꎬ
较小值映射为一个大于０㊁小于等于１的值ꎻ界面
两侧流体密度的较大值映射为１ꎬ较小值映射为一
个大于０㊁小于等于１的值ꎮ所以只需对压力㊁密
度的较小值进行采样ꎮ本文采用均匀采样的方式ꎬ
界面两侧流体的压力㊁密度的较小值在(０ꎬ１]的范
围内各取１１个点ꎮ标准化后的速度差Δｕ－与ｐ０和
ρ０的选取相关ꎬ无法映射到一个具体的有界范围
内ꎬ因此需要选定一个较为合理的范围ꎮ在实际工
况下ꎬ压力ｐ０通常在１０５Ｐａ的量级上ꎬ密度ρ０在
１ｋｇ/ｍ３的量级上ꎮ如果速度差的采样范围取在
[－１０ꎬ１０]ꎬ即可覆盖[－３０００ｍ/ｓꎬ３０００ｍ/ｓ]的
范围ꎬ这能满足绝大部分实际工况的需求ꎮ所以速
度差在[－１０ꎬ１０]的范围内取２１个点ꎮ对样本数
据的初始条件精确求解Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ并根据压力
正项条件
(Δｕ)ｃｒｉｔʉ２ｃＬγ
Ｌ－１＋２ｃＲγ
Ｒ－１
>Δｕ(１４)
去除其中的非物理解ꎬ将结果依次输出ꎬ即可得到训练神经网络需要的样本集ꎮ其中ꎬ(Δｕ)ｃｒｉｔ表示临界的速度差ꎬｃＬ和ｃＲ表示左右声速ꎮ
减少神经网络输入维度带来的最直接的好处是大幅压缩了样本量ꎮ简化前的网络结构共有５个输入量ꎬ在忽略非物理解数量的情况下共计１１ˑ
１１ˑ１１ˑ１１ˑ２１＝３０７４６１个样本ꎮ而３个输入量的神经网络要达到同样的采样密度ꎬ只需要使用１１ˑ１１ˑ２１＝２５４１个样本ꎮ同时ꎬ简化的神经网络拟合难度更低ꎬ这将大大减少神经网络的训练耗时ꎬ提升该方法的应用价值ꎮ神经网络的训练优势及计算效果将在２.４节算例应用部分进行展示ꎮ
２.４㊀神经网络模型的应用方式
４个神经网络完成训练后将其相关参数输出ꎬ以数学表达式的形式编制成程序模块嵌入到ＰＧＦＭ计算框架中[９]ꎬ即可直接应用ꎮ
对于某个具体的两气体Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ首先判断界面左侧的压力㊁密度大小关系ꎬ标准化后应用对应神经网络代理模型ꎬ计算得到φＬ和φＲꎮ而后求解出界面速度ｕＩꎬ即可通过ＰＧＦＭ定义虚拟流体状态ꎮ
类似于反射边界条件ꎬ对于一维问题ꎬ定义界面左侧流场的虚拟流体状态为
ｐ∗＝ｐＲ㊀ρ∗＝ρＲ㊀ｕ∗＝２ｕＩ－ｕＲ(１５)定义界面右侧流场的虚拟流体状态为
ｐ∗＝ｐＬ㊀ρ∗＝ρＬ㊀ｕ∗＝２ｕＩ－ｕＬ(１６)上标∗表示虚拟节点处的状态量ꎮ对于多维问题ꎬ需要根据ＰＧＦＭ的原理ꎬ将预测的界面法向速度与已知的切向速度合成ꎬ构造虚拟流体速度分量ꎬ保持密度和压力的定义不变ꎮ定义界面左侧流场的虚拟流体状态为
ｐ∗Ｌ＝ｐＲꎬρ∗Ｌ＝ρＲꎬＶ∗Ｌ＝ＶＲ＋２(ｕｎꎬＩ－ｕｎꎬＲ)ｎ(１７)定义界面右侧流场的虚拟流体状态为
ｐ∗Ｒ＝ｐＬꎬρ∗Ｒ＝ρＬꎬＶ∗Ｒ＝ＶＬ＋２(ｕｎꎬＩ－ｕｎꎬＬ)ｎ(１８)这里的下标ｎ表示界面法线方向ꎮ
３㊀算例验证
３.１㊀训练误差收敛效果
本算例通过对比神经网络训练过程中误差的收敛速度和精度体现简化的神经网络结构的优势ꎮ假设左侧气体为空气(γＬ＝１.４)ꎬ右侧气体为氦气(γＲ＝１.６６７)ꎮ通过对比实验发现ꎬ神经网络隐含层层数为２ꎬ即可取得不错的拟合效果ꎮ为表述方便ꎬ本文使用Ｍ１￣Ｍ２￣Ｍ３￣Ｍ４的形式表示神经网络模型的规模ꎬ例如５￣１０￣１０￣２表示的是该神经网络模型输入量为５ꎬ输出量为２ꎬ含２个隐含层ꎬ每个隐含层各包含１０个节点ꎮ本文中所有训练均采用ＰｙＴｏｒｃｈ神经网络框架ꎬ优化过程使用ａｄａｍ优化器ꎮ
７３
气体物理２０２４年㊀第９卷
图４分别给出了隐含层包含５个节点的神经网络模型和包含４０个节点的神经网络模型的两种网络结构训练效果对比ꎮ因为两种网络结构的训练集规模不同且相差较大ꎬ所以收敛对比图的横轴选为训练批量(ｂａｔｃｈ)数而不是训练周期(ｅｐｏｃｈ)数ꎻ纵轴ｌｏｓｓ为神经网络预测值与标签值的均方误差ꎮ具体计算式为
ＬＭＳＥ＝１Ｎð ｙ－Ｆθ(ｘ) ２(１９)
其中ꎬθ＝{ｗｌꎬｂｌ}Ｋｌ＝１为神经网络各层权重和偏置参数ꎬＦθ(ｘ)为神经网络预测结果ꎬｙ为标签值ꎬＮ表示每个训练批量的样本个数ꎮ训练过程中学习率设定为０.０００２ꎮ从图中结果可以反映出ꎬ３个输入量的神经网络模型在收敛速度上存在明显优势ꎮ５个输入量的神经网络模型也能达到同样的收敛精度ꎬ但是还需要花费相当多的训练步数ꎬ并且误差曲线依然存在明显的振荡ꎮ图中仅分别展示２００００和５０００个批量下的训练过程对比
ꎮ
(ａ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ５ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎ
ｌａｙｅｒ
(ｂ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ４０ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎｌａｙｅｒ
图４㊀神经网络训练误差收敛图
Ｆｉｇ.４㊀Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｔｒａｉｎｉｎｇｅｒｒｏｒｓ
采取同样的方式生成测试集来体现两种类型的神经网络代理模型计算效果ꎮ左侧流体的压力㊁密度在{０.２５ꎬ０.４５ꎬ０.６５}中取值ꎬ速度在{－２.０ꎬ－０.５ꎬ１.０ꎬ２.５}中取值ꎻ右侧流体的压力㊁密度在{０.３５ꎬ０.５５ꎬ０.７５}中取值ꎬ速度在{－２.５ꎬ－１.０ꎬ０.５ꎬ２.０}中取值ꎬ共计１２９６个测试样本ꎮ这些测试样本完全不同于训练样本ꎮ分别给出了两种类型的隐含层包含５个节点的神经网络模型和包含４０个节点的神经网络模型在该测试集上的误差值ꎬ如图５所示ꎮ横坐标表示样本点编号ꎬ纵坐标表示网络预测值与精确解的绝对误差
ꎮ
(ａ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ５ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎｌａｙｅｒ
(ｂ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ４０ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎｌａｙｅｒ
图５㊀网络预测值与精确解绝对误差对比图
Ｆｉｇ.５㊀Ａｂｓｏｌｕｔｅｅｒｒｏｒｓｂｅｔｗｅｅｎｅｘａｃｔａｎｄｐｒｅｄｉｃｔｅｄｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ该结果初步表明ꎬ简化的神经网络模型的计算精度并没有因输入特征维度及样本量的减少而下降ꎬ并且每个隐含层包含４０个节点的神经网络模型的测试误差基本都在１％以下ꎮ
３.２㊀一维气－气问题
本节共选取两个一维空气－氦气问题测试各版本神经网络模型的计算效果ꎬ两个算例因初始状态的不同而产生不同的波系结构ꎮ
８３
第２期刘子岩ꎬ等:可压缩两气体流动的简化神经网络模型
算例１的初始无量纲参数为
ｘ<０.５:(γＬꎬｕＬꎬｐＬꎬρＬ)＝(１.４ꎬ－１.０ꎬ１.０ꎬ１.０)
ｘ>０.５:(γＲꎬｕＲꎬｐＲꎬρＲ)＝(１.６６７ꎬ１.０ꎬ１.０ꎬ１.３８)
{
在本算例中ꎬ物质界面两侧各产生一个稀疏
波ꎬ运算到０.１５终止ꎮ
算例２的初始无量纲参数为
ｘ<０.４５:(γＬꎬｕＬꎬｐＬꎬρＬ)＝(１.４ꎬ－１.０ꎬ１.０ꎬ１.０)
ｘ>０.４５:(γＲꎬｕＲꎬｐＲꎬρＲ)＝(１.６６７ꎬ１.０ꎬ１０.０ꎬ１.０)
{
在本算例中ꎬ物质界面左侧会产生一个激波ꎬ界面右侧会产生一个稀疏波ꎬ运算到０.０８终止ꎮ分别采用基于隐式迭代的标准ＰＧＦＭ以及两
种结构的神经网络代理模型的ＰＧＦＭ进行求解ꎬ在０<ｘ<１的计算域内共划分１０００个计算网格ꎮ空
间离散使用５阶ＷＥＮＯ格式ꎬ时间离散使用３阶Ｒｕｎｇｅ￣Ｋｕｔｔａ格式ꎮ两个算例的速度㊁压力㊁密度计算结果对比分
别见图６和图７ꎮ
图中ＩｍｐｌｉｃｉｔＲＳ表示隐式迭代求解Ｒｉｅｍａｎｎ问题的方法ꎬ从图中可以看出ꎬ除５￣５￣５￣２㊁５￣１０￣１０￣２与３￣５￣５￣２等含较少神经元的神经网络出现了相对大的误差外ꎬ其他各网络均能较好地拟合标准ＰＧＦＭ结果ꎬ３￣４０￣４０￣２神经网络的计算结果几乎与标准ＰＧＦＭ计算结果完全重合
ꎮ
(ａ)
Ｖｅｌｏｃｉｔｙ
(ｂ)
Ｐｒｅｓｓｕｒｅ
(ｃ)Ｄｅｎｓｉｔｙ
图６㊀算例１计算结果对比
Ｆｉｇ.６㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｃａｓｅ
１
(ａ)
Ｖｅｌｏｃｉｔｙ
(ｂ)
Ｐｒｅｓｓｕｒｅ
(ｃ)Ｄｅｎｓｉｔｙ
图７㊀算例２计算结果对比
Ｆｉｇ.７㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｃａｓｅ２
９
３
气体物理２０２４年㊀第９卷
将算例２的界面处流体压力㊁速度和密度的部分神经网络预测结果与Ｒｉｅｍａｎｎ问题精确解进行
对比ꎬ对相对误差定量统计ꎬ如表２所示ꎮ根据定量分析结果ꎬ简化的网络模型的误差甚至更小ꎮ
表２㊀算例２相对误差定量统计表
Ｔａｂｌｅ２㊀Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒｓｉｎｃａｓｅ２
ｐｈｙｓｉｃａｌｑｕａｎｔｉｔｙ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ
５￣１０￣１０￣２３￣１０￣１０￣２５￣４０￣４０￣２３￣４０￣４０￣２ｐＩ
ｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ
２.６１２６５
ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ２.６９６１９２.６３０７９２.６０２５６２.６１３６１ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ
３.１９８％
０.６９４％
０.３８６％
０.０３７％
ｕＩ
ｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ－１.８８３０４
ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ－１.８２２５４－１.８７０１５－１.８９０３５－１.８８２４２ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ３.２１３％
０.６８５％
０.３８８％
０.０３３％
ρＩＬ
ｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ１.９３６２１
ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ１.８５４０２１.９１２８４１.９４０８６１.９２９６８ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ
４.２４５％
１.２０７％
０.２４０％
０.３３７％
ρＩＲ
ｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ０.４４７０１
ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ０.４５３５１０.４４６２６０.４４３８７０.４４５０１ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ
１.４５４％
０.１６８％
０.７０２％
０.４４７％
可见在计算一维问题时ꎬ简化的神经网络模型也能够在训练效率和计算效率领先的情况下和５个输入特征的神经网络模型保持相近的计算精度ꎮ３.３㊀二维气－气问题
本算例模拟左行激波(Ｍａｓ＝１.２２)扫过氦气气
泡的过程ꎬ计算域如图８所示ꎬ该算例常被用于测试计算格式的性能ꎬ相关研究可参考文献[２０]ꎮ计算域上下边界采用反射边界条件ꎬ左右边界采用无反射边界条件ꎬ网格密度为６５１ˑ１７９ꎬＣＦＬ数设定为０.５ꎮ初始无量纲条件和状态方程相关参数为ａｉｒ(Ｉ):(γＩꎬｕＩꎬｖＩꎬｐＩꎬρＩ)
＝(１.４ꎬ０.０ꎬ０.０ꎬ１.０ꎬ１.０)ａｉｒ(ＩＩ):(γＩＩꎬｕＩＩꎬｖＩＩꎬｐＩＩꎬρＩＩ)＝(１.４ꎬ－０.３９４ꎬ０.０ꎬ１.５６９８ꎬ１.３７６４)ｈｅｌｉｕｍｂｕｂｂｌｅ(ＩＩＩ):(γＩＩＩꎬｕＩＩＩꎬｖＩＩＩꎬｐＩＩＩꎬρＩＩＩ
)＝
(１.６６７ꎬ０.０ꎬ０.０ꎬ１.０ꎬ０.１３８)ìî
í
ïïï
ïï
ïï
ï图８㊀空气中激波扫过氦气泡算例的计算域(单位:ｍｍ)Ｆｉｇ.８㊀Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｄｏｍａｉｎｏｆａｎａｉｒｓｈｏｃｋｉｍｐｉｎｇｉｎｇ
ｏｎａｈｅｌｉｕｍｂｕｂｂｌｅ(ｕｎｉｔ:ｍｍ)
使用嵌入物理约束的４０￣４０规模的神经网络模型对本算例进行计算ꎬ空间离散使用５阶ＷＥＮＯ
格式ꎬ时间离散使用３阶Ｒｕｎｇｅ￣Ｋｕｔｔａ格式ꎮ同时ꎬ也给出基于隐式迭代的标准方法计算结果作为对比ꎮ图９给出３种方法在第７３１ꎬ１２０７ꎬ１６０４ꎬ
３９９８时间步的流场结果ꎬ图９(ａ)为５￣４０￣４０￣２神经网络代理模型与基于隐式迭代的标准ＰＧＦＭ的对比纹影图ꎬ图９(ｂ)为３￣４０￣４０￣２神经网络代理模型与基于隐式迭代的标准ＰＧＦＭ的对比纹影图ꎮ从图中可以看出ꎬ激波从右向左扫过氦气泡ꎬ氦气泡在激波的作用下被压缩变形ꎬ并形成向四周扩散的膨胀波ꎮ膨胀波在上下壁面发生反射后进一步与气泡作用ꎬ最终形成复杂的波系结构
ꎮ
(ａ)５￣４０￣４０￣２ＮＮ＆ｉｍｐｌｉｃｉｔＲＳ
０
４
第２期刘子岩ꎬ等:
可压缩两气体流动的简化神经网络模型
(ｂ)３￣４０￣４０￣２ＮＮ＆ｉｍｐｌｉｃｉｔＲＳ
图９㊀激波扫过氦气泡算例纹影对比图
Ｆｉｇ.９㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｔｈｅｓｃｈｌｉｅｒｅｎｆｏｒａｎａｉｒｓｈｏｃｋ
ｉｍｐｉｎｇｉｎｇｏｎａｈｅｌｉｕｍｂｕｂｂｌｅ
分析两个对比图ꎬ两种结构的神经网络与标准
ＰＧＦＭ方法相比ꎬ均能清晰地反映波系结构ꎬ并不会产生明显的误差ꎮ可见在应用于二维问题时ꎬ简化的神经网络也能取得与５个输入量的神经网络相同的计算效果ꎮ
４㊀结论
本文基于之前提出的嵌入物理约束的可压缩多介质流神经网络模型ꎬ给出一种两气体流动的神经网络模型简化方法ꎮ首先详细介绍了在完全气体状态方程下输入特征从无界集到有界集的标准化映射方法ꎬ可提高神经网络模型的泛化能力ꎮ基于该标准化方法ꎬ通过选取较大压力㊁密度值作为参考压力㊁密度ꎬ可将神经网络的输入量从５个减少到３个ꎮ经过算例验证证实该方法的计算效果与５个输入量的神经网络模型相当ꎬ但神经网络的训练效果得到很大提高ꎮ另外ꎬ因为网络结构的简单化ꎬ计算效率也会进一步提高ꎬ该方法更加具备进一步开发的潜力ꎮ
值得注意的是ꎬ目前该工作基于提到的完全气体状态方程具备的性质ꎬ因此目前只适用于两气体界面问题ꎮ对于含有其他状态介质的问题ꎬ还须继续展开相关研究ꎮ
参考文献(Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ)
[１]㊀刘铁钢ꎬ许亮.模拟多介质界面问题的虚拟流体方法
综述[Ｊ].气体物理ꎬ２０１９ꎬ４(２):１￣１６.
ＬｉｕＴＧꎬＸｕＬ.Ａｒｅｖｉｅｗｏｆｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｉｎｔｅｒｆａｃｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃｓｏｆＧａｓｅｓꎬ２０１９ꎬ４(２):１￣１６(ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ).
[２]
ＫａｗａｋａｍｉＫꎬＫｉｔａＹꎬＹａｍａｍｏｔｏＹ.Ｆｒｏｎｔ￣ｔｒａｃｋｉｎｇｓｉｍｕ￣
ｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｗｅｔｔｉｎｇｂｅｈａｖｉｏｒｏｆａｎｉｍｐｉｎｇｉｎｇｄｒｏｐｌｅｔ
ｕｓｉｎｇａｒｅｌａｘｅｄｉｍｐｅｒｍｅａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＮａｖｉｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ[Ｊ].Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｆｌｕｉｄｓꎬ２０２３ꎬ２５１:１０５７３９.
[３]
ＯｓｈｅｒＳꎬＳｅｔｈｉａｎＪＡ.Ｆｒｏｎｔｓｐｒｏｐａｇａｔｉｎｇｗｉｔｈｃｕｒｖａｔｕｒｅ￣ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｓｐｅｅｄ:ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｂａｓｅｄｏｎＨａｍｉｌｔｏｎ￣Ｊａｃｏｂｉｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ１９８８ꎬ７９(１):１２￣４９.
[４]
ＬｉｕＴＧꎬＫｈｏｏＢＣꎬＹｅｏＫＳ.Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｃｏｍ￣ｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｆｌｏｗ.Ｉ.Ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｗｉｔｈｔｅｓｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏ１Ｄｇａｓ￣ｇａｓａｎｄｇａｓ￣ｗａｔｅｒｃａｓｅｓ[Ｊ].Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｆｌｕｉｄｓꎬ２００１ꎬ３０(３):２９１￣３１４.
[５]ＬｉｕＴＧꎬＫｈｏｏＢＣꎬＹｅｏＫＳ.Ｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｔｒｏｎｇｓｈｏｃｋｉｍｐａｃｔｉｎｇｏｎｍａｔｅｒｉａｌｉｎｔｅｒｆａｃｅ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２００３ꎬ１９０(２):６５１￣６８１.[６]
许亮ꎬ冯成亮ꎬ刘铁钢.虚拟流体方法的设计原则[Ｊ].计算物理ꎬ２０１６ꎬ３３(６):６７１￣６８０.
ＸｕＬꎬＦｅｎｇＣＬꎬＬｉｕＴＧ.Ｄｅｓｉｇｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄ[Ｊ].ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙ￣
ｓｉｃｓꎬ２０１６ꎬ３３(６):６７１￣６８０(ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ).
[７]
ＸｕＬꎬＦｅｎｇＣＬꎬＬｉｕＴＧ.Ｐｒａｃｔｉｃａｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｆｌｏｗｓ[Ｊ].ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１６ꎬ２０(３):６１９￣６５９.
[８]
ＸｕＬꎬＹａｎｇＷＢꎬＬｉｕＴＧ.Ａｎｉｎｔｅｒｆａｃｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｆｏｒｔｗｏ￣ｍａｔｅｒｉａｌｍｕｌｔｉ￣ｓｐｅｃｉｅｓｆｌｏｗｓｉｎｖｏｌｖｉｎｇｔｈｅｒｍａｌｌｙｐｅｒｆｅｃｔｇａｓｅｓｗｉｔｈｃｈｅｍｉｃａｌｒｅａｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２２ꎬ４４８:１１０７０７.
[９]
刘子岩ꎬ许亮.嵌入物理约束的可压缩多介质流神经网络模型[Ｊ].计算物理ꎬ２０２３ꎬ４０(６):７６１￣７６９.ＬｉｕＺＹꎬＸｕＬ.Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｓｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｆｌｏｗｓｅｍｂｅｄｄｅｄｗｉｔｈｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ[Ｊ].ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２３ꎬ４０(６):７６１￣７６９(ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ).
[１０]ＸｕＬꎬＬｉｕＴＧ.Ｅｘｐｌｉｃｉｔｉｎｔｅｒｆａｃｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｓｆｏｒｃｏｍｐｒｅｓ￣
ｓｉｂｌｅｇａｓ￣ｌｉｑｕｉｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｆｌｕｉｄｓꎬ２０１７ꎬ１５３:３４￣４８.
[１１]ＲａｙＤꎬＨｅｓｔｈａｖｅｎＪＳ.Ａｎａｒｔｉｆｉｃｉａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋａｓａ
ｔｒｏｕｂｌｅｄ￣ｃｅｌｌｉｎｄｉｃａｔｏｒ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙ￣ｓｉｃｓꎬ２０１８ꎬ３６７:１６６￣１９１.
[１２]ＦｅｎｇＹＷꎬＬｉｕＴＧꎬＷａｎｇＫ.Ａｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ￣ｆｅａｔｕｒｅｄ
ｓｈｏｃｋｗａｖｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｆｏｒｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｂａｓｅｄｏｎｔｒａｉｎ￣ｉｎｇａｎａｒｔｉｆｉｃｉａｌｎｅｕｒｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＣｏｍｐｕ￣ｔｉｎｇꎬ２０２０ꎬ８３(１):２１.
１
４
气体物理２０２４年㊀第９卷
[１３]ＦｅｎｇＹＷꎬＬｉｕＴＧ.Ａｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ￣ｆｅａｔｕｒｅｄｓｈｏｃｋｗａｖｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｏｎｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｇｒｉｄｓｂａｓｅｄｏｎｔｒａｉｎｉｎｇａｎａｒｔｉｆｉ￣
ｃｉａｌｎｅｕｒｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２１ꎬ
４４３:１１０４４６.
[１４]丘润荻ꎬ王静竹ꎬ黄仁芳ꎬ等.改进的物理融合神经网络在瑞利￣泰勒不稳定性问题中的应用[Ｊ].力学学
报ꎬ２０２２ꎬ５４(８):２２２４￣２２３４.
ＱｉｕＲＤꎬＷａｎｇＪＺꎬＨｕａｎｇＲＦꎬｅｔａｌ.Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｏｆｍｏｄｉｆｉｅｄｐｈｙｓｉｃｓ￣ｉｎｆｏｒｍｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｉｎＲａｙｌｅｉｇｈ￣
Ｔａｙｌｏｒｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ[Ｊ].ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎｄ
ＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓꎬ２０２２ꎬ５４(８):２２２４￣２２３４(ｉｎＣｈｉ￣
ｎｅｓｅ).
[１５]ＭａｇｉｅｒａＪꎬＲａｙＤꎬＨｅｓｔｈａｖｅｎＪＳꎬｅｔａｌ.Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ￣ａｗａｒｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｆｏｒＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２０ꎬ４０９:１０９３４５. [１６]ＷａｎｇＪＣꎬＨｉｃｋｅｙＪＰ.ＦｌｕｘＮｅｔ:ａｐｈｙｓｉｃｓ￣ｉｎｆｏｒｍｅｄｌｅａｒｎｉｎｇ￣ｂａｓｅｄＲｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｆｏｒｔｒａｎｓｃｒｉｔｉｃａｌｆｌｏｗｓｗｉｔｈ
ｎｏｎ￣ｉｄｅａｌｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ[Ｊ].ＣｏｍｐｕｔｅｒＭｅｔｈｏｄｓｉｎＡｐ￣
ｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬ２０２３ꎬ４１１:１１６０７０. [１７]ＲｕｇｇｅｒｉＭꎬＲｏｙＩꎬＭｕｅｔｅｒｔｈｉｅｓＭＪꎬｅｔａｌ.Ｎｅｕｒａｌ￣ｎｅｔ￣ｗｏｒｋ￣ｂａｓｅｄＲｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｆｏｒｒｅａｌｆｌｕｉｄｓａｎｄｈｉｇｈｅｘｐｌｏ￣
ｓｉｖｅｓꎻａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｆｌｕｉｄｄｙｎａｍｉｃｓ[Ｊ].
ＰｈｙｓｉｃｓｏｆＦｌｕｉｄｓꎬ２０２２ꎬ３４(１１):１１６１２１.
[１８]ＸｕＬꎬＬｉｕＺＹꎬＦｅｎｇＹＷꎬｅｔａｌ.Ｐｈｙｓｉｃｓ￣ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓａｓｍｕｌｔｉ￣ｍａｔｅｒｉａｌＲｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｓｆｏｒ
ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｔｗｏ￣ｇａｓｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕ￣
ｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅꎬ２０２４ꎬ７８:１０２２６１.
[１９]ＴｏｒｏＥＦ.Ｒｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｓａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｆｌｕｉｄｄｙｎａｍｉｃｓ:ａｐｒａｃｔｉｃａｌｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ[Ｍ].３ｒｄｅｄ.Ｂｅｒ￣
ｌｉｎꎬＨｅｉｄｅｌｂｅｒｇ:Ｓｐｒｉｎｇｅｒꎬ２００９:１５１￣１６２.
[２０]ＣｏｒａｌｉｃＶꎬＣｏｌｏｎｉｕｓＴ.Ｆｉｎｉｔｅ￣ｖｏｌｕｍｅＷＥＮＯｓｃｈｅｍｅｆｏｒｖｉｓｃｏｕｓｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉｃｏｍｐｏｎｅｎｔｆｌｏｗｓ[Ｊ].Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１４ꎬ２７４:９５￣１２１.
２４。