2011年西城区初三一模试题答案(Word版)

北京市西城区2011年初三一模试卷
数学答案及评分标准 2011. 5
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 二、填空题（本题共16分，每小题4分）
11题阅卷说明：全对得4分，仅填①或③得2分，其余情况均不得分. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式 =
1412+- ………………………………………………………4分 =12
-． …………………………………………………………………………5分
14.解：302(1)3x x +>⎧⎨-+⎩，
≥由①得3x >-． 1分 由②得x ≤1．…………………………………………………………………………3分
∴ 原不等式组的解集是3-＜x ≤1． ………………………………………………4分 ∵1，
∴ x = 5分 15.解：（1）如图1.
设直线l 的解析式为y kx b =+(k ，b 为常数且k ≠0). ∵ 直线l 经过点(0,2)B ，点(1,1)P ，
∴ 2, 1.b k b =⎧⎨+=⎩ 解得 1,
2.k b =-⎧⎨=⎩
∴ 直线l 的解析式为2y x =-+． ……………………………………………2分
（2）∵ 直线l 的解析式为2y x =-+，
∴ 点A 的坐标为(2,0)．………………………………………………………3分 ∵ 点P 的坐标为(1,1)， ∴ 12AOP P S OA y ∆=⨯⨯＝1
2112
⨯⨯=．………………………………………5分 16. 证明：如图2.
（1）∵ BF 平分ABC ∠，
∴ ABF CBF ∠=∠．………………1分 在△ABF 与△CBF 中，
,,,AB CB ABF CBF BF BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △ABF ≌△CBF ． ………………………………………………………2分
∴ AF CF =．………………………………………………………………3分
（2）∵ AF CF =，
∴ FCA FAC ∠=∠．……………………………………………………… 4分
∵ AF ∥DC ， ∴ FAC DCA ∠=∠．
∴ FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠． ………………………………5分 17. 解：由题意，221
4202
b a b a ∆=-⨯
=-=．…………………………………………1分 ∴ 22b a =． ………………………………………………………………………2分
∴ 原式2
22211
ab a a b =-++- ……………………………………………………3分
2
222ab a b a =+- 2
222222a a a a a a a
⋅==+-．…………………………………………………4分 ∵ 0a ≠，
∴ 原式2
222a a
==．………………………………………………………………5分
18. 解：（1）
………………………………………………………………………………4分 阅卷说明：每空1分．
（2）72．………………………………………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：设抢修车每小时行驶x 千米，则吉普车每小时行驶x 5.1千米．
15115
4 1.5x x
-=
．………………………………………………………………………2分 解得20x =． ………………………………………………………………………3分 经检验，20x =是原方程的解，并且符合题意． ………………………………4分 ∴ 1.530x =.
答：抢修车每小时行驶20千米，吉普车每小时行驶30千米．………………………5分 20．解：如图3．
（1）由题意，点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，
∴AM A M '=，BN B N '=． ………………………………………………1分 设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=．
∴ 222CN B C B N ''+=．
∵ C B '=3，
∴ 222(9)3x x -+=．
解得5x =．
∴ 5BN =
2分
（2）∵ 正方形ABCD ，
∴ AD ∥BC ，o 90A ∠=．
∵ 点M ，N 分别在AD ，BC 边上， ∴ 四边形ABNM 是直角梯形． ∵ '5BN B N ==，9BC =，
∴ 4NC =．
∴ 4sin 15∠=
，4tan 13
∠=． ∵ 1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒， ∴ 31∠=∠． ∴ 4
sin 3sin 15
∠=∠=
． 在Rt △ DB P '中，∵90 D ∠=︒，6DB DC B C ''=-=，4
sin 35
DB PB '∠=
='， ∴ 152
PB '=
． ∵ 9A B AB ''==，
∴ 32
A P A
B PB ''''=-=． ∵ 43∠=∠， ∴ 4tan 4tan 33
∠=∠=
． 在Rt △ A MP '中，∵ 90 A A '∠=∠=︒，3
2
A P '=
，4tan 43A M A P '∠=
='， ∴ 2A M '=．…………………………………………………………………4分 ∴ 1163
()(25)922
2
ABNM S AM BN AB =+⨯=⨯+⨯=
梯形．…………………5分 21．（1）证明：连接BO ．（如图4）
∵ AB ＝AD ，
∴ ∠D ＝∠ABD ．
∵ AB ＝AO ，
∴ ∠ABO ＝∠AOB ．
又∵ 在△OBD 中，∠D +∠DOB +∠ABO +∠ABD ＝
∴ ∠OBD ＝90°．
∴ BD ⊥BO ．…………………………………………………………………1分
∵ 点B 在⊙O 上，
∴ BD 是⊙O 的切线 ． ……………………………………………………2分
（2）解：∵ ∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ，
∴ △ACF ∽△BEF ． ………………………………………………………3分
∵ AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，
∴ ∠ABC ＝90°．
∵ 在Rt △BFA 中，∠ABF ＝90°，cos ∠BFA ＝
3
2
=AF BF ， ∴
24
()9
BEF ACF S BF S AF ∆∆==．………………………………………………………4分
又∵ BEF S ∆＝8 ，
∴ ACF S ∆＝18 ． ……………………………………………………………5分
22．解：（1）1∶2，121 ．……………………………………………………………………2分
（24分
（3 …………5分
阅卷说明：第（2）问全对得2分，仅填正三角形或正六边形得1分，其余情况均不得分；第（3）问其它符合题意的图形同样给分．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：∵ 2360a b c ++=，
∴
12362366b a b c c
a a a a
++==-=-． ………………………………………1分 ∵ a ＞0，c ＜0，
∴
0c a <，0c
a ->． ∴ 1023
b a +>． ……………………………………………………………2分
（2）解：∵ 抛物线经过点P 1
(,)2
m ，点Q (1,)n ，
∴ 1
1 ,
42
.
a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ ① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，
∴ 223a b c +=-
，223a
b c =--． ∴ 1112111
()42424312
b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0．………3分
2(2)33
a a
n a b c a c c c =++=+--+=-＞0．………………………4分
∴ 0mn <．…………………………………………………………………5分 ② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上． ∵ 0m <，0n >，
∴ 点P 1
(,)2
m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．
∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， ∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2
x 满足21
12
x <<．（如图6所示）………………………………………6分
∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b
a
+=-，由（1）知1
23
b a -<， ∴
121
23x x +<． ∴ 12221332x x <-<-，即11
6
x <．…………………………………… 7分
24．解：（1）∠AOB= 30 °，α= 60 °．…………………………………………………2分
（2）∵
A ，
B (4,0)，△OAB 绕点O 顺时针旋转α角得到△OCD ，（如图7）
∴ OA =OB=OC=OD=4．
由（1）得 30BOC AOB ∠=︒=∠．
∴ 点C 与点A 关于x 轴对称，点C
的坐标为2)-． ∵ 点C ，D ，F 落在同一反比例函数k
y x
=
（k ≠0）的图象上，
∴
C C k x y =⋅=-
∵ 点F 是由点A 沿x 轴负方向平移m 个单位得到， ∴ 2F y =
，F x =
=-F
的坐标为(-．……………3分 ∴ 点F 与点A 关于y 轴对称，可设经过点A ，B ，F 的抛物线的解析式为
2y ax c =+．
∴
22, 160.a c a c ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得1 ,2 8.
a c ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴ 所求抛物线的解析式为21
82
y x =-+． …………………………………4分
（3）满足条件的点P 的个数为 5 ．………………………………………………5分 抛物线2182
y x =-+的顶点为(0,8)M ．
∵ △EFG 是由△OAB 沿x 轴负方向平移m 个单位得到，
∴ 43m FA ==，43E O x x m =-=-，∠FEG=∠AOB=30°． ∴ 点E 的坐标为(43,0)-．
可得直线EF
的解析式为4y =+． ∵ 点H
21
482
x x +=-+的解，
整理，得23240x +-=． 解得
12x x =
=-
∴ 点H
的坐标为16
)3
． 由抛物线的对称性知符合题意的1P
点的坐标为16
()3
．……………6分 可知△AFM 是等边三角形，∠MAF= 60°．
由A ，M 两点的坐标分别为
A ，(0,8)M ， 可得直线AM
的解析式为8y =+．
过点H 作直线AM 的平行线l
，设其解析式为y b =+（b ≠8）．
将点H 的坐标代入上式，得
163b =+． 解得283b =，直线l 的解析式为28
33
y x =-+．
∵ 直线l 与抛物线的交点的横坐标是方程 2281
3832
x x -+=-+的解．
整理，得236380x x -+=．解得124323
x x =． ∴ 点2P 2322
(
)3
满足HA M AM P S S ∆∆=2，四边形2P MFA 的面积与四边形MFAH 的面积相等．（如图8）……………………………………………7分
点2P 关于y 轴的对称点3P 也符合题意，其坐标为3
P 22
()3
．………8分
综上所述，位于直线EF 上方的点P 的坐标分别为1P 4316
()3
， 2P 2322(
)3，3P 2322
()3
． 25．解：（1）如图9，∠APE= 45 °.
（2）解法一：如图10，将AE 平移到DF ，连接BF ， 则四边形AEFD 是平行四边形． ∴ AD ∥EF ，AD=EF ．
∵ AC ，CD ， ∴
3=BD AC ，3==DF CD
AE CD ． ∴ AC CD BD DF =
．……………………………………………………4分 ∵ ∠C =90°，
∴ 18090BDF C ∠=︒-∠=︒． ∴ ∠C=∠BDF ．
∴ △ACD ∽△BDF ．………………5分
∴
AD AC
BF BD =1=∠2． ∴ EF AD BF BF
=．
∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ．
∴ BF ⊥EF ．…………………………………………………………6分
∴ 在Rt △BEF 中，3
tan BF BEF EF
∠=
=． ∴ ∠APE =∠BEF =30°．…………………………………………7分
解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．………………3分
则四边形ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C =90°，
∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，∠1+∠2=90°．
∵ 在Rt △AEF 中，tan 3AE AE
AF CD ∠=
==在Rt △BDF 中，tan 1BD BD
DF AC
∠=
=∴ 3130∠=∠=︒．
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =∴ ∠AFD =∠EFB ． …………………4 又∵
3
DF AF BF EF = ∴ △ADF ∽△EBF ． ………………………………………………
5分
∴
∠
4=
∠
5．…………………………………………………………6分
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5， ∴
∠
APE =
∠
3=30°．………………………………………………7分。