高中数学必修5第三章《不等式》内容分析

数学必修5第三章《不等式》内容分析
同文中学高二数学备课组：陈劲
一．教学内容分析：
“不等式”是高中数学的传统内容，与高中数学中很多内容有密切关系。

同大纲教材相比，新课标（北师大版）教材在内容安排、编写思路、教材目标与要求上都有较大变化。

新课标教材中不等式主要包括：1.必修5第三章《不等式》中：不等关系、一元二次不等式、基本不等式及二元一次不等式组与简单的线性规划问题。

其结构是：第一节不等关系，讲不等关系、不等式的性质和用不等式来比较大小；第二节讲一元二次不等式；第三节讲基本不等式和用基本不等式求最大值、最小值；最后一节讲简单的线性规划。

线性规划也分几个层次，第一个层次是用二元一次不等式组来刻画平面区域，然后讲简单线性规划的问题，最后讨论简单线性规划的应用。

2.选修4—5《不等式选讲》中：不等式的性质、含绝对值的不等式、基本不等式、不等式的证明、不等式的应用及柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容。

大纲教材中“不等式”只有一章内容共五部分：不等式的基本性质及其证明、两个正数的算术平均数与几何平均数定理的证明与应用、不等式的证明、简单不等式的解法、含绝对值的不等式。

新课程教材的主要变化体现在：在必修5中删除了大纲教材中的“不等式的基本性质及其证明”，“不等式的证明”，“含绝对值的不等式”放在选修4—5中学习。

增加了“不等关系”，将“一元二次不等式”与“线性规划问题”从原来分散在其他章节整合到了本章中，增强了知识体系的整体性、逻辑性和严谨性。

同时还强调信息技术与课程内容的整合，还在“一元二次不等式”中融入了算法思想等。

二．教学目标与要求的分析：
1.不等关系：通过具体情境，感受现实世界与生活中存在着大量的不等关系，包括：常量与常量之间的不等关系，常量与变量之间的不等关系，函数与函数之间的不等关系，一组变量之间的不等关系等。

通过了解不等式（组）的实际背景，经历由实际问题建立数学模型的过程，体会基本方法。

注重创设情境，让学生经历、感受、了解和体会提高数学建模能力。

2.一元二次不等式
大纲教材：掌握一元二次不等式（组），含绝对值不等式，简单高次不等式和分式不等式的解法。

新课标教材：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式尝试设计求解的程序框图。

注重建模能力的培养，强化图象解法，渗透算法思想，降低解法要求，从算法的观点。

解一元二次不等式可以按照固定的程序来完成。

3.基本不等式
大纲要求：掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（包括定理的证明），并会简单的应用（如：解决最值问题，不等式证明问题等）。

新课标教材探索并了解基本不等式的证明过程（特别是几何图形法）。

体会不等式的基本思想方法，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

强调知识形成过程，体会证明方法，降低了对应的要求（只限求最值问题）。

4.二元一次不等式组与简单的线性规划问题
大纲教材：会用二元一次不等式表示平面区域，了解简单的线性规划问题及其意义，并会简单应用。

新课标教材：学会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的二元线性规划问题，并
掌握其解法。

注重建模能力培养，加强了对数学思想方法的教学要求，从函数的观点了解简单的线性规划的数学意义，确定目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题；从算法思想上解决线性规划问题可以按固定的程序来完成；从应用的角度看，线性规划问题是应用性非常强的内容，有着丰富的应用背景。

三．新课程理念分析
大纲教材对“不等式”比较关注理论阐述、推导和不等式的解法。

新课程教材则淡化了不等式的纯理
论阐述和解法。

比较关注不等式的实际背景和实际应用，强调不等式是解决有关现实世界中事物在量上不等问题的一种数学工具，是描述、刻画、优化问题的一种数学模型。

四．教材特色分析
1.调数形结合，充分利用图形来帮助理解数学内容
在“一元二次不等式”中，我们特别强调利用一元二次函数的图象，即考虑一元二次函数图象在平面直角坐标系中的位置。

只要记住这六种不同的位置关系，会完全解决了一元二次不等式的求解问题。

在“基本不等式”中，教材关注不等式的几何解释，希望学生从多个角度来理解不等式。

在“线性规划”中，教材分层次地、由浅入深地描述了如何用不等式来刻画区域。

2.强调数学内容内部之间的联系
在“一元二次不等式”中，强调函数、方程和不等式的关系。

教材要求学生会把解一元二次不等式的步骤用算法框图表示出来。

把算法的内容在一元二次不等式的求解过程中得到渗透和应用。

一方面，这是对算法这个新内容的一个熟悉和应用，也是我们把算法内容贯穿在整个高中三年的一个体现；另一方面，也使学生对解一元二次不等式的方法有一个更好的理解。

在“线性规划”中，强调解析几何中的直线方程和这里平面区域的关系。

同样地，教材也强调用算法框图来表示解线性规划问题的步骤。

3.关注数学的应用，关注学生学习数学的兴趣和信心
教材选取了大量的实际应用例子，让学生体会数学的应用价值。

从章头语的“人体的黄金分割比例”开始，应用问题贯穿了这一章的始终。

例如，铁路旅行常识的问题、水质状况的问题、住宅窗户面积和地板面积比例的问题、汽车刹车问题、车速以及违章行驶的问题、汽车消费问题、营养配餐问题、国家收购政策问题、税收政策问题、航天育种问题、工厂治理污水问题等，通过这些问题来介绍不等式和线性规划，提高学生的应用意识。

教材中的“阅读材料”，通过一个数学家（‘线性规划’的奠基者’）的故事，说明人有很大的潜能，以此来提高学生学习数学的信心。