2018苏锡常镇高三三模数学试题

2018苏锡常镇高三三模数学试题2018届苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)
数学
满分160分，考试时间120分钟)
11
方差公式：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其
中x＝(x1＋x2＋…＋xn)．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.若复数z满足(1＋i)z＝2(i是虚数单位)，则z的虚部为1.
2.设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}(其中a<0)，若A＝B，
则实数a＝-2.
3.在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，4)到抛物线y2＝
－8x的准线的距离为2.
4.一次考试后，从高三(1)班抽取5人进行成绩统计，其茎
叶图如下图所示，则这五人成绩的方差为68.8.
5.上图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出
值S的取值范围是[0.4]。

6.欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，
以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见
卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是1/16.
7.已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)(0<φ<2π)在x＝2时取得最大值，则φ＝3π/2.
10.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5
＝4，则d＝-1/2.
18.在棱长为2的正四面体PABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥DMBC的体积为8/3.
9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosB－bcosA＝c，则cosA＋cosB＝1/2.
11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2，0)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是[-3.3]。

12.如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP·OQ的取值范围为[0.1/2]。

13.已知函数f(x)＝
1/2，x＞2；
2（|x＋3|＋1），x≤2。

则f(x)的导数在x＝2处不存在。

1.对于第一段，没有明显的格式错误或需要删除的段落。

可以改写为：“给定lnx，其中x>0，求af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是多少？”
2.对于第二段，没有明显的格式错误或需要删除的段落。

可以改写为：“已知a和b是正实数，并且(a-b)²=4(ab)³，求a/b 的最小值是多少？”
3.对于第三段，没有明显的格式错误或需要删除的段落。

可以改写为：“本大题共6小题，共计90分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

”
4.对于第四段，第一句话中“四棱锥PABCD中”应该改为“四棱锥PABCD的顶点分别为P、A、B、C、D”，并且需要添加图示。

可以改写为：“如图所示，四棱锥PABCD的顶点分别为P、A、B、C、D，其中∠ADB=90°，CB=CD，E为棱PB的中点。

(1) 若PB=PD，证明PC⊥BD；(2) 证明CE∥平面PAD。

”
5.对于第五段，第一句话中“△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c”应该改为“△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c”。

第二句话中“4S＝3(a2＋c2－
b2)”应该改为“4S=3(a²+c²-b²)”。

可以改写为：“在△ABC中，
三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积
为S，且4S=3(a²+c²-b²)。

(1) 求角B的大小；(2) 设向量
m=(sin 2A，3cosA)，n=(3，-2cosA)，求m·n的取值范围。

”
6.对于第六段，第一句话中“下图1是一座斜拉桥的航拍图”应该改为“下图1是一张斜拉桥的航拍照片”。

可以改写为：“下图1是一张斜拉桥的航拍照片，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型。

索塔AB、CD与
桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面
AC上一点P到索塔AB、CD距离之比为21∶4，且点P对两
塔顶的视角为135°。

(1) 求两索塔之间桥面AC的长度；(2) 研
究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成
正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反
比(比例系数为正数b)。

问两索塔对桥面何处的“承重强度”之
和最小？并求出最小值。

”
7.对于第七段，第一句话中“如图，椭圆2+2=1(a>b>0)的
离心率为”应该改为“如图所示，椭圆2x²/a²+2y²/b²=1(a>b>0)的
离心率为e，焦点到相应准线的距离为1，点A、B、C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x₁，0)，直线AC与直线BD交于点N(x₂，y₂)。

”可以改写为：“如图所示，椭圆2x²/a²+2y²/b²=1(a>b>0)
的离心率为e，焦点到相应准线的距离为1，点A、B、C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于
点D，交x轴于点M(x₁，0)，直线AC与直线BD交于点
N(x₂，y₂)。

(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若CM=2MD，求直
线l的方程；(3) 证明：x₁·x₂为定值。

”
8.对于第八段，第一句话中“已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1，a，b∈R。

”应该改为“已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1，其中a、
b∈R。

”可以改写为：“已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1，其中a、
b∈R。

(1) 若a²+b=0.(ⅰ) 当a>0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；(ⅱ) 若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三
个零点成等差数列？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由；(2) 函数f(x)的图象在点A处的切线l₁的截距为2，求点A的坐标。

”
1.与$f(x)$的图像相交于点$B$，且在点$B$处的切线为$l_2$，$l_1$、$l_2$的斜率分别为$k_1$、$k_2$，且
$k_2=4k_1$。

求$a$、$b$满足的关系式。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为1，公差为$d$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且对任意的
$n\in\mathbb{N}^*$，$6S_n=9b_n-a_n-2$恒成立。

1) 如果数列$\{S_n\}$是等差数列，求证：数列
$\{b_n\}$也是等差数列；
2) 如果数列$b_n+2$为等比数列，求$d$的值；
3) 如果$d=3$，数列$\{c_n\}$的首项为1，$c_n=b_n-
b_{n-1}(n\geq 2)$，求证：数列$\{a_n\}$中存在无穷多项可表示为数列$\{c_n\}$中的两项之和。

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答。

若多做，则按作答的前两小题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A。

[选修41：几何证明选讲] 如图，$AB$为圆$O$的直径，$AE$平分$\angle BAC$交圆$O$于点$E$，过点$E$作圆$O$的
切线交$AC$于点$D$，求证：$AC\perp DE$。

B。

[选修42：矩阵与变换] 已知矩阵$M=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 4 & x \end{pmatrix}$的一个特征值为3，求$M^{-1}$。

C。

[选修44：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系$xOy$中，圆$C$的参数方程为$x=3+2\cos t$，$y=-2+2\sin
t$（$t$为参数）。

以原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴
建立极坐标系，直线$l$的极坐标方程为$2\rho\cos(\theta-
\frac{\pi}{4})=4$，知圆心$C$到直线$l$的距离等于2，求实数$a$的值。

D。

[选修45：不等式选讲] 已知实数$a$、$b$、$c$满足$a+2b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=1$，求证：$-\frac{2}{3}\leq c\leq 1$。

22.（本小题满分10分）
甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为$p$，乙、丙做对该题的概率分别为$m$、
$n$（$m>n$），且三位学生能否做对相互独立，设$X$为这
三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
X=
begin{cases}
0.& P(X=0)=q^3 \\
1.& P(X=1)=3p(1-p)^2 \\
2.& P(X=2)=3(1-p)p^2+q^2 \\
3.& P(X=3)=p^3
end{cases}
其中$q=1-p$。

证明：$E(X)=p+2q$。

23.（本小题满分10分）
已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-ax$，其中$a>0$。

1) 求函数$f(x)$的单调区间和最值；
2) 求函数$f(x)$的图像在点$(0,f(0))$处的切线方程。

23.(本小题满分10分)
已知函数$f(x)=(x+5)^{2n+1}(n\in N^*,x\in R)$。

1) 当$n=2$时，若$f(2)+f(-2)=5A$，求实数$A$的值；
2) 若$f(2)=m+\alpha(m\in N^*,0<\alpha<1)$，求证：
$\alpha(m+\alpha)=1$。

参考答案：
1) 当$n=2$时，$f(x)=(x+5)^5$，代入$f(2)+f(-2)=5A$得$A=\frac{1}{32}$。

2) 由$f(2)=(2+5)^5=7^5$，代入得$m=7^5-\alpha$。

又
$f(2)=(2+5)^5=(m+\alpha)+\alpha^2$，整理得
$\alpha(m+\alpha)=1$。

1.由题意可知，需要求出两个索塔之间的距离AC。

根据三角函数公式tan(α+β)=tan45°=1，化简得7t^2-125t-300=0，解得t=20或t=-(舍去)。

因此AC=AP+PC=25×20=500(米)。

故两索塔之间的距离AC为500米。

2.设桥面某处为点M，AM=x米，点M处的承重强度之和为L(x)，则L(x)=60[(x^2)+(500-x)^2]，且x∈(0，500)。

记l(x)=(2/x)+(2/(500-x))，x∈(0，500)，则l′(x)=3/(x(500-x))，令l′(x)=0，解得x=250.当x∈(0，250)，l′(x)0，l(x)单调递增，所
以当x=250时，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值。

因此，
两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为
3/125.
3.(1) 由椭圆的离心率为c/a，焦点到对应准线的距离为1，得c^2=a^2-1，解得a=2，c=√3.所以椭圆的标准方程为
x^2/4+y^2/(3/4)=1.
2) 由(1)知C(0,1)，设D(x,y)，因为CM=2MD，得2y=-1，所以y=-1/2，代入椭圆方程得x=±(√61/2)。

所以D的坐标为(±√61/2.-1/2)。

3) 设点D的坐标为(x3,y3)，由C(0,1)，M(x1,0)可得直线CM的方程为y=-x+1，联立椭圆方程得x1^2-2x1+2x3+y3^2=1，由B(2,0)，得直线BD的方程为y=(x-2)。

解得x3=±(√2/2)，
y3=√2/2.因此，点D的坐标为(±√2/2.√2/2)。

2-2x+4x-22=2x-22，直线AC的方程为y=2x+1，联立两式
得x=3，从而x1=3，x2=2为定值。

19.解：(1) (ⅰ)由f′(x)=3x2+2ax+b及a2+b=0，得
f′(x)=3x2+2ax-a2.
令f′(x)=0，解得x=-a/3或x=a/3.
由a>0知，当x∈(-∞，-a/3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(-a/3，a/3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(a/3，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增。

所以f(x)的极大值为f(-a/3)=1+a/3，f(x)的极小值为
f(a/3)=1-a/27.
ⅱ)当a=0时，b=0，此时f(x)=x3+1不存在三个相异零点；
当a<0时，与(ⅰ)同理可得f(x)的极小值为f(-a/3)=1+a/3，f(x)的极大值为f(a/3)=1-a/27.
要使f(x)有三个不同零点，则必须有(1+a/3)(1-a/27)5.
不妨设f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1<x2<x3。

则f(x1)=x31+ax1-a×x1+1=22，f(x2)=x32+ax2-a×x2+1=22，f(x3)=x33+ax3-a×x3+1=22.
由f(x2)-f(x1)和f(x3)-f(x2)的差值得(x2-x1)(x2+x1)+(x3-
x2)(x3+x2)+a(x3-x1)=0.
因为x3-x1>0，所以x2+x3+x1+a=0.
又x1+x3=2x2，所以x2=-a/27.
1）存在实数 $a=-\frac{3}{11}$ 满足条件。

2）设 $A(m,f(m)),B(n,f(n))$，则
$k_1=3m^2+2am+b,k_2=3n^2+2an+b$。

由 $f(m)-f(n)=(m^3-
n^3)+a(m^2-n^2)+b(m-n)$，又
$k_1=m^2+mn+n^2+a(m+\frac{m-n}{2})+b$，所以
$3m^2+2am+b=m^2+mn+n^2+a(m+\frac{m-n}{2})+b$，化简得$n=-a-2m$，所以 $k_2=3(-a-2m)^2+2a(-a-
2m)+b=12m^2+8am+a^2+b$，所以
$12m^2+8am+b+a^2=4(3m^2+2am+b)$，所以 $a^2=3b$。

3）设数列 $\{S_n\}$ 的公差为 $d'$。

由 $6S_n=9b_n-a_n-
2$，$6S_{n-1}=9b_{n-1}-a_{n-1}-2(n\geq 2)$，得 $6(S_n-
S_{n-1})=9(b_n-b_{n-1})-(a_n-a_{n-1})$，即 $6d'=9(b_n-b_{n-1})-d$，所以 $b_n-b_{n-1}=\frac{6d'+d}{9}$ 为常数，故数列$\{b_n\}$ 为等差数列。

4）由上式得 $6b_n=9b_{n-1}-b_{n-1}-d$，即
$3b_n=9b_{n-1}+d$。

当 $|d|<1$ 时，$\frac{d}{1-d^2}b_{n-
1}+\frac{1}{1-d^2}b_n-\frac{d}{1-d^2}b_{n+1}=\frac{3}{1-
d^2}$，所以 $\frac{1}{1-d^2}=\frac{3}{2}$，解得 $d=-
\frac{1}{2}$，此时 $b_n=\frac{1}{3}(3n-1)$。

当 $d=3$ 时，
$a_1=1$，解得$b_1=1$，所以$b_n=3n-2$。

综上，$d=3$ 时，$a_n=3n-2$；$d=-\frac{1}{2}$ 时，$b_n=\frac{1}{3}(3n-1)$。

注：原文中有一些公式符号错误，已进行修改）
当$n\geq 2$时，$c_n=b_n-b_{n-1}=(3n-1)-(3n-1)=3n-1$。

当$n=1$时，也满足上式，所以$c_n=3n-1(n\in N^*)$。

设$a_n=c_i+c_j(1\leq i\leq j)$，则$3n-2=3i-1+3j-1$，即
$3n-3i-3j+2=0$。

如果$i\geq 2$，因为$3n$为$3$的倍数，
$3i(3j-1)$为$3$的倍数，所以$2$也为$3$的倍数，矛盾。

所以$i=1$，所以$3n=3+3j$，即$n=1+3j(2,3,4,\dots)$，所以数列
$\{a_n\}$中存在无穷多项可表示为数列$\{c_n\}$中的两项之和。

解：
A.连结$OE$，因为$ED$是圆$O$的切线，所以$OE\perp ED$。

因为$OA=OE$，所以$\angle OAE=\angle OEA$。

又因
为$\angle OAE=\angle EAD$，所以$\angle EAD=\angle OEA$，所以$OE\parallel AC$，所以$AC\perp ED$。

B.由$\begin{vmatrix}\lambda-2&-1\\-4\lambda-
x&1\end{vmatrix}=0$，得$(\lambda-2)(\lambda-x)-4=0$的一个
解为$3$，代入得$x=-1$。

因为
$M=\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}$，所以$M^{-
1}=\begin{pmatrix}4&-1\\-3&2\end{pmatrix}$。

C.消去参数$t$，得到圆的普通方程为$(x-3)^2+(y+2)^2=4$。

$\theta-\arctan\frac{2}{3}=\arccos\frac{a}{\sqrt{13}}$得
$\rho\cos\theta+\rho\sin\theta-a=\sqrt{13}\cos(\theta-
\arctan\frac{2}{3})$，由$2\rho\cos(\theta-
\arctan\frac{2}{3})=\rho\cos\theta+\rho\sin\theta-a$，得直线
$l$的直角坐标方程为$x+y-a=0$。

依题意，圆心$C$到直线$l$的距离等于$2$，即$|\frac{3-
2-a}{\sqrt{2^2+1^2}}|=2$，解得$a=-1$或$a=3$。

D.因为$a+2b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=1$，所以$a+2b=1-c$，$a^2+b^2=1-c^2$。

由柯西不等式得$(1^2+2^2)(a^2+b^2)\geq
(a+2b)^2$，即$5(1-c^2)\geq (1-c)^2$，整理得$3c^2-c-2\leq 0$，解得$-\frac{2}{3}\leq c\leq 1$，所以$-\frac{2}{3}\leq c\leq 1$。

because (1-m)(1-n)=\frac{1}{3}$，$\therefore
mn=\frac{36}{11}$。

又$m>n$，解得$m=4$，$n=3$。

由题意得$a=\frac{1232}{3349}$，$b=1-P(X=0)-P(X=1)-
P(X=3)=1-\frac{1}{2^3}-\frac{3}{2^3}-
\frac{35}{2^7}=\frac{119}{128}$。

题目：求解函数 f(x) = (x+5)^n 在 x=2 时的函数值以及
f(2)+f(-2) 的值。

解析：
1.当 n=2 时，有 f(x) = (x+5)^5 = C5 + C2*x*(5) +
C2*(5)2*x^2 + C2*(5)3*x^3 + C2*(5)4*x^4 + C2*(5)5*x^5.因此，f(2) + f(-2) = (2+5)^5 + (-2+5)^5 = 2[C1*(5)2 + C2*(5)4 +
C3*(5)6 + C4*(5)8 + C5*(5)10] = 610.
2.当 n 为任意正整数时，有 f(x) = (x+5)^2n+1 =
C0*(5)^0*x^(2n+1) + C1*(5)^1*x^(2n) +。

+ C2n*(5)^(2n)*x^1 + C2n+1*(5)^(2n+1)*x^0.因此，f(2) = C0*(5)^0*2^(2n+1) +
C1*(5)^1*2^(2n) +。

+ C2n*(5)^(2n)*2^1 +
C2n+1*(5)^(2n+1)*2^0 = m + α，其中 m 和α 是唯一的满足条
件的正整数和小于 1 的实数。

3.由于 f(2) - f(-2) = (2+5)^(2n+1) - (-2+5)^(2n+1) =
(2+5)^(2n+1) + (2-5)^(2n+1) = 2[C2n*(5)^(2n+1)*2^(2n-1) +
C2n-1*(5)^(2n-1)*2^(2n-3) +。

+ C1*(5)^1*2 + C0*(5)^0]，因此
f(2) - f(-2) 是一个正整数。

4.由于 5-2=3 在 (0,1) 区间内，因此 (5-2)^(2n+1) 在 (0,1)
区间内，即α = (5-2)^(2n+1) < 1.
5.根据上述分析，我们可以通过计算f(2) 和f(-2) 的差值，以及 5 的奇数次方的和来求得 m 和α 的值，从而得到 f(2) 的
函数值。

6.综上所述，对于任意正整数 n，函数 f(x) = (x+5)^n 在
x=2 时的函数值为m + α，其中 m 和α 是唯一的满足条件的正
整数和小于 1 的实数，可以通过计算 f(2) 和 f(-2) 的差值，以
及 5 的奇数次方的和来求得 m 和α 的值。