【全国百强校首发】宁夏银川市唐徕回民中学2024届中考联考数学试卷含解析

宁夏银川市唐徕回民中学2024年中考联考数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( ) A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
2．如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，点C ，D 在反比例函数
的图象上，AC//BD//y 轴，已
知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
3．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，那么这个多边形的边数是（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
4．下列式子中，与232-互为有理化因式的是（ ） A ．232-
B ．232+
C ．322+
D ．322-
5．下列运算正确的是 （ ） A ．22a +a=33a B ．()3
2
m =5
m
C ．()2
22x y x y +=+
D ．63a a ÷=3a
6．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m 2，广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2，设矩形面积是xm 2，三角形面积是ym 2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（ ）
A．
430
(4)(4)2
x y
x y
+-=
⎧
⎨
---=
⎩
B．
26
(4)(4)2
x y
x y
+=
⎧
⎨
---=
⎩
C．
430
(4)(4)2
x y
y x
+-=
⎧
⎨
---=
⎩
D．
430
2
x y
x y
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
7．下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②在n次随机实验中，事件A出现m次，则事件A发生的频率m
n
，就是事
件A的概率；③各角相等的圆外切多边形一定是正多边形；④各角相等的圆内接多边形一定是正多边形；⑤若一个事
件可能发生的结果共有n种，则每一种结果发生的可能性是1
n
．其中正确的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在x轴正半轴上，BC∥x轴，∠OAB＝90°，点C（3，2），
连接OC．以OC为对称轴将OA翻折到OA′，反比例函数y＝k
x
的图象恰好经过点A′、B，则k的值是（）
A．9 B．13
3
C．
169
15
D．33
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A．30°B．45°C．50°D．75°
10．如图：A、B、C、D四点在一条直线上，若AB＝CD，下列各式表示线段AC错误的是( )
A．AC＝AD﹣CD B．AC＝AB+BC
C．AC＝BD﹣AB D．AC＝AD﹣AB
11．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是()
A．2 B．2C．3D．23
12．“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）
月用水量（吨） 4 5 6 9
户数（户） 3 4 2 1
A．中位数是5吨B．众数是5吨C．极差是3吨D．平均数是5.3吨
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：a3-12a2+36a=______．
14．观察下列一组数1
3
，
2
5
，
3
7
，
4
9
，
5
11
，…探究规律，第n个数是_____．
15．如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=3
5
，则BC的
长为_____．
16．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为_____度．
1711_____1．
18．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．
20．（6分）某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)这次调查中，一共调查了多少名学生？
(2)求出扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图；
(3)若该校有2000名学生，请估计选择“A：跑步”的学生约有多少人？
21．（6分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．
求抛物线的解析式；判断△ABC的形状，并说明理由；经
过点A 的直线交抛物线于点P ，交x 轴于点Q ，若S △OPA =2S △OQA ，试求出点P 的坐标．
22．（8分）已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.分别写出图中点A 和点C 的坐标；画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；求点A 旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.
23．（8分）如图①，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，AB=AC=BD ，点M 为BC 中点，N 为线段AM 上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN 平分∠ABE ；
（2）若BD=1，连结DN ，当四边形DNBC 为平行四边形时，求线段BC 的长； （3）如图②，若点F 为AB 的中点，连结FN 、FM ，求证：△MFN ∽△BDC ． 24．（10分）如图，抛物线2
y a(x 1)4=-+与x 轴交于点A ，B ，与轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线的
对称轴于点D ，连结BD ，已知点A 坐标为（-1，0）．
求该抛物线的解析式；求梯形COBD 的面积．
25．（10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=1．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．当销售单价为
多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
26．（12分）菱形ABCD的边长为5，两条对角线AC、BD相交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程22
+-++=的两根，求m的值．
(21)30
x m x m
27．（12分）灞桥区教育局为了了解七年级学生参加社会实践活动情况，随机抽取了铁一中滨河学部分七年级学生2016﹣2017学年第一学期参加实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a=%，并补全条形图．
（2）在本次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该区共有七年级学生约9000人，请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、D
【解题分析】
解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D．原来数据的方差=
222 (12)2(22)(32)
4
-+⨯-+-
=
1
2
，
添加数字2后的方差=
222 (12)3(22)(32)
5
-+⨯-+-
=
2
5
，
故方差发生了变化．
故选D．
2、B
【解题分析】
首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD 的面积之和为，列出方程，求解得出答案.
【题目详解】
把x=1代入得：y=1,
∴A(1,1),把x=2代入得：y=,
∴B(2, ),
∵AC//BD// y轴,
∴C(1,K),D(2,)
∴AC=k-1,BD=-，
∴S△OAC=（k-1）×1,
S△ABD=(-)×1,
又∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴（k-1）×1＋(-)×1=，解得：k=3;
故答案为B.
【题目点拨】
:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义
是解本题的关键.
3、A
【解题分析】
设这个正多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数,即可求出答案.
【题目详解】
设这个多边形的边数为n,依题意得:
180(n-2)=360×3-180，
解之得
n=7.
故选A.
【题目点拨】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点,此题要结合多边形的内角和与外角和，根据题目中的等量关系,构建方程求解即可.
4、B
【解题分析】
直接利用有理化因式的定义分析得出答案．
【题目详解】
∵（）（）
=12﹣2，
=10，
∴与互为有理化因式的是：，
故选B．
【题目点拨】
本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式. 单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.
5、D
【解题分析】
根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断．
【题目详解】
A 、22a 与a 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B 、()3
2
m =6
m
，不符合题意；
C 、原式=22x 2y xy ++，不符合题意；
D 、63a a ÷=3a ，符合题意， 故选D ． 【题目点拨】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6、A 【解题分析】
根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积＝30；②（矩形面积﹣阴影面积）﹣（三角形面积﹣阴影面积）＝4，据此列出方程组． 【题目详解】 依题意得：
()()430
442x y x y +-=⎧⎨
---=⎩
． 故选A ． 【题目点拨】
考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 7、A 【解题分析】
根据垂径定理、频率估计概率、圆的内接多边形、外切多边形的性质与正多边形的定义、概率的意义逐一判断可得． 【题目详解】
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故此结论错误； ②在n 次随机实验中，事件A 出现m 次，则事件A 发生的频率m
n
，试验次数足够大时可近似地看做事件A 的概率，故此结论错误；
③各角相等的圆外切多边形是正多边形，此结论正确；
④各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故此结论错误； ⑤若一个事件可能发生的结果共有n 种，再每种结果发生的可能性相同是，每一种结果发生的可能性是
1
n
．故此结论
错误； 故选：A ． 【题目点拨】
本题主要考查命题的真假，解题的关键是掌握垂径定理、频率估计概率、圆的内接多边形、外切多边形的性质与正多边形的定义、概率的意义． 8、C 【解题分析】
设B （2
k
，2），由翻折知OC 垂直平分AA′，A′G ＝2EF ，AG ＝2AF ，由勾股定理得OC ＝13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（526，6
13
），根据反比例函数性质k ＝xy 建立方程求k ．
【题目详解】
如图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点A′作A′G ⊥x 轴于G ，连接AA′交射线OC 于E ，过E 作EF ⊥x 轴于F ，
设B （
2
k
，2）， 在Rt △OCD 中，OD ＝3，CD ＝2，∠ODC ＝90°， ∴OC 222232OD CD +=+13 由翻折得，AA′⊥OC ，A′E ＝AE ，
∴sin ∠COD ＝
AE CD
OA OC
=， ∴AE ＝213213
k CD OA OC ⨯
⋅==，
∵∠OAE+∠AOE ＝90°，∠OCD+∠AOE ＝90°， ∴∠OAE ＝∠OCD ， ∴sin ∠OAE ＝
EF OD
AE OC
=＝sin ∠OCD ， ∴EF ＝
133
1313OD AE k OC ⋅==， ∵cos ∠OAE ＝
AF CD
AE OC
=＝cos ∠OCD ，
∴
2
1313
CD
AF AE k OC
=⋅=，
∵EF⊥x轴，A′G⊥x轴，∴EF∥A′G，
∴
1
2 EF AF AE
A G AG AA
===
''
，
∴
6
2
13
A G EF k
'==，
4
2
13
AG AF k
==，
∴
145
21326 OG OA AG k k k =-=-=，
∴A′（5
26
k，
6
13
k），
∴56
2613
k k k
⋅=，
∵k≠0，
∴
169
=
15 k，
故选C．
【题目点拨】
本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B的坐标，表示出点A′的坐标．
9、B
【解题分析】
试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．
10、C
【解题分析】
根据线段上的等量关系逐一判断即可.
【题目详解】
A、∵AD-CD=AC，
∴此选项表示正确；
B、∵AB+BC=AC，
∴此选项表示正确；
C、∵AB=CD，
∴BD-AB=BD-CD，
∴此选项表示不正确；
D 、∵AB=CD ，
∴AD-AB=AD-CD=AC ，
∴此选项表示正确.
故答案选：C.
【题目点拨】
本题考查了线段上两点间的距离及线段的和、差的知识，解题的关键是找出各线段间的关系.
11、C
【解题分析】
由OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，易得△OCP 是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE 的值，继而求得OP 的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM 的长．
【题目详解】
解：∵OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP ∥OA ，
∴∠AOP=∠CPO ，
∴∠COP=∠CPO ，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE ⊥OB ，
∴∠CPE=30°，
∴CE=12
CP=1，
∴=，
∴
∵PD ⊥OA ，点M 是OP 的中点，
∴DM=12 故选C ．
考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
12、C
【解题分析】
根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．
【题目详解】
解：A 、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；
B 、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；
C 、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；
D 、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．
故选：C ．
【题目点拨】
此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、a(a-6)2
【解题分析】
原式提取a ，再利用完全平方公式分解即可．
【题目详解】
原式=a(a 2-12a+36)=a(a-6)2，
故答案为a(a-6)2
【题目点拨】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14、21
n n + 【解题分析】
根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的正整数，分母是连续的奇数，进而得出第n 个数分子的规律是n ，分母的规律是2n+1，进而得出这一组数的第n 个数的值．
【题目详解】
解：因为分子的规律是连续的正整数，分母的规律是2n+1，
所以第n 个数就应该是：
21n n +， 故答案为21
n n +. 【题目点拨】
此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用组数n 表示出来．
15、4
【解题分析】 试题解析：∵3cos 5BDC ∠=，
可 ∴设DC =3x ，BD =5x ，
又∵MN 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD =DB =5x ，
又∵AC =8cm ，
∴3x +5x =8，
解得，x =1，
在Rt △BDC 中，CD =3cm ，DB =5cm ， 222253 4.BC DB CD =-=-=
故答案为:4cm.
16、1︒
【解题分析】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′．又∵∠ABE +∠A ′BE +∠DBC +∠DBC ′=180°，∴∠ABE +∠DBC =90°．又∵∠ABE =20°，∴∠DBC =1°．故答案为1．
点睛：本题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE =∠A ′BE ，∠DBC =∠DBC ′是解题的关键．
17、>
【解题分析】
先将1化为根号的形式，根据被开方数越大值越大即可求解．
【题目详解】
解：93= ，119＞ ，
，
故答案为＞．
【题目点拨】
本题考查实数大小的比较，比较大小时，常用的方法有：①作差法，②作商法，③如果有一个是二次根式，要把另一个也化为二次根式的形式，根据被开方数的大小进行比较．
18、
【解题分析】
要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE 和OC的长求得．
【题目详解】
解：连接OD，如图所示，
由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，
∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=6×=2，
∵∠COE=90°，OC=3，
∴OE=OCtan60°=3×=3，
∴AE=OE﹣OA=3-2=，
【点晴】
切线的性质
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）一天可获利润2000元；（2）①每件商品应降价2元或8元；②当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．【解题分析】
：（1）原来一天可获利：20×100=2000元；
（2）①y=（20-x）（100+10x）=-10（x2-10x-200），
由-10（x2-10x-200）=2160，
解得：x1=2，x2=8，
∴每件商品应降价2或8元；
②观察图像可得
20、(1)一共调查了300名学生；(2) 36°，补图见解析；(3)估计选择“A：跑步”的学生约有800人.
【解题分析】
（1）由跑步的学生数除以占的百分比求出调查学生总数即可；
（2）求出跳绳学生占的百分比，乘以360°求出占的圆心角度数，补全条形统计图即可；（3）利用跑步占的百分比，乘以2000即可得到结果．
【题目详解】
(1)根据题意得：120÷40%=300（名），
则一共调查了300名学生；
(2)根据题意得：跳绳学生数为300﹣（120+60+90）=30（名），
则扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数为360°×30
300
=36°，
；
(3)根据题意得：2000×40%=800（人），
则估计选择“A：跑步”的学生约有800人．
【题目点拨】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
21、（1）y=-x2+2x+2；（2）详见解析；（3）点P的坐标为（2，1）、（2，1）、（6，-3）或（6，-3）．【解题分析】
（1）根据题意得出方程组，求出b、c的值，即可求出答案；
（2）求出B、C的坐标，根据点的坐标求出AB、BC、AC的值，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（3）分为两种情况，画出图形，根据相似三角形的判定和性质求出PE的长，即可得出答案．
【题目详解】
解：（1）由题意得：
()1
21
931
b
b c
⎧
-=
⎪⨯-
⎨
⎪-++=-
⎩
，
解得：
2
2
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；
（2）∵由y=-x2+2x+2得：当x=0时，y=2，∴B（0，2），
由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），
∵A（3，-1），
∴AB=32，BC=2，AC=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）①如图，当点Q在线段AP上时，
过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，
∴PA=2AQ，
∴PQ=AQ
∵PE∥AD，
∴△PQE∽△AQD，
∴PE
AD
=
PQ
AQ
=1，
∴PE=AD=1
∵由-x2+2x+2=1得：x=12
，
∴P（1+2，1）或（1-2，1），
②如图，当点Q在PA延长线上时，
过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D ∵S△OPA=2S△OQA，
∴PA=2AQ，
∴PQ=3AQ
∵PE∥AD，
∴△PQE∽△AQD，
∴PE
AD
=
PQ
AQ
=3，
∴PE =3AD =3
∵由-x 2+2x +2=-3得：x =1±6， ∴P （1+6，-3），或（1-6，-3），
综上可知：点P 的坐标为（1+2，1）、（1-2，1）、（1+6，-3）或（1-6，-3）．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
22、（1）()04A ，、()31C ，（2）见解析（3）
322
【解题分析】 试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A 所经过的路程是以点C 为圆心，AC 长为半径的扇形的弧长．
试题解析：（1）A （0,4）C （3,1）
（2）如图所示：
（3）根据勾股定理可得：2，则903232180n r l ππ⨯=
==． 考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．
23、（1）证明见解析；（210（3）证明见解析. 【解题分析】 分析：（1）由AB=AC 知∠ABC=∠ACB ，由等腰三角形三线合一知AM ⊥BC ，从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB 知∠MAB=∠EBC ，再由△MBN 为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；
（2）设BM=CM=MN=a ，知DN=BC=2a ，证△ABN ≌△DBN 得AN=DN=2a ，
Rt △ABM 中利用勾股定理可得a 的值，从而得出答案；
（3）F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由
1
2
MF MN
AB BC
==即可得证．
详解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN为等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
AB DB
NBE ABN BN BN
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，
解得：a=±
10
（负值舍去），
∴
BC=2a=
5
；
（3）∵F是AB的中点，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，∴∠MAB=∠FMN，
又∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD ， ∵
12
MF MN AB BC ==， ∴12MF MN BD BC ==， ∴△MFN ∽△BDC ．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．
24、（1）2y (x 1)4=--+（2）()OCDA 133S 62+⨯=
=梯形 【解题分析】
（1）将A 坐标代入抛物线解析式，求出a 的值，即可确定出解析式．
（2）抛物线解析式令x=0求出y 的值，求出OC 的长，根据对称轴求出CD 的长，令y=0求出x 的值，确定出OB 的长，根据梯形面积公式即可求出梯形COBD 的面积．
【题目详解】
（1）将A （―1，0）代入2y a(x 1)4=-+中，得：0=4a+4，解得：a=－1．
∴该抛物线解析式为2y (x 1)4=--+．
（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=2，即OC=2，
∵抛物线2y (x 1)4=--+的对称轴为直线x=1，∴CD=1．
∵A （－1，0），∴B （2，0），即OB=2．
∴()OCDA 133S 62
+⨯==梯形． 25、（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x －65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
【解题分析】
（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．
（2）根据利润计算公式列式即可；
（3）进行配方求值即可．
【题目详解】
（1）设y=kx+b ，根据题意得806010050k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：k 2b 200
=-⎧⎨=⎩
∴y=－2x+200（30≤x≤60）
（2）W=（x －30）（－2x+200）－450
=－2x 2+260x －6450
=－2（x －65）2 +2000）
（3）W =－2（x －65）2 +2000
∵30≤x≤60
∴x=60时,w 有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
考点：二次函数的应用．
26、3m =-．
【解题分析】
由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：
AO +BO =−(2m −1)，AO ∙BO =m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．
【题目详解】
解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22
(21)30x m x m +-++=的两根， 设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC BD ⊥，
在Rt AOB 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，
∴222125+=x x ，则()2
1212225x x x x +-=， 由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，
∴[]()
22(21)2325m m ---+=， 整理得：22150m m --=，
解得：15m =，23m =-
又∵>0∆，
∴()22(21)430--+>m m ，解得114
m <-
， ∴3m =-．
【题目点拨】
此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
27、（1）10，补图见解析；（2）众数是5，中位数是1；（3）活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．
【解题分析】
（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用310°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；根据1天的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以8天的人数所占的百分比，即可补全统计图；
（2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；
（3）用总人数乘以活动时间不少于1天的人数所占的百分比即可求出答案．
【题目详解】
解：（1）扇形统计图中a=1﹣5%﹣40%﹣20%﹣25%=10%，
该扇形所对圆心角的度数为310°×10%=31°，
参加社会实践活动的天数为8天的人数是：
20
20%
×10%=10（人），补图如下：
故答案为10；
（2）抽样调查中总人数为100人，
结合条形统计图可得：众数是5，中位数是1．
（3）根据题意得：9000×（25%+10%+5%+20%）=5400（人），
活动时间不少于1天的学生人数大约有5400人．
【题目点拨】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．。