【精准解析】湖北省宜昌市长阳县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

x x
2 2
2x3 0
4x1a
0
的解集不是空集，
故存在 x 1,3 ，使得不等式 x2 4x 1 a 0 成立，只需 1 a x2 4x ，即求实数 min
a 的取值范围.
【详解】解不等式 x22x3 0 ，得 1 x 3.
不等式组
x x
2 2
2 4
x3 0
x1a
0
的解集不是空集，
3
【详解】因为
f
x
1 x
,
1 3
x
x
,
0 x
0
，所以
f
x
1 等价于 3
x0 1 x
1 3
或
x
1 3
0 x
1 3
x 0
解 1 x
1 可得 3 ≤ x 3
0；
x 0
解
1
x
3
1 可得 0 x 1 3
，
综上可得 3 x 1 ，
所以不等式的解集为 3,1
【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题．
2
10
sin2 5 ,cos 1 sin2 5 .
5
5
cos cos cos cos sin sin
5 3 10 2 5 5 10 5
10 10
2 2
.
故选： A .
【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.
3. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 (a b)2 c2 ab ， B 30 ，
存在 x 1,3 ，使得不等式 x2 4x 1 a 0 成立.
即存在 x 1,3 ，使得 1 a x2 4x 成立，只需 1 a
x2 4x . min
又当 x 1,3 时，函数 y x2 4x x 22 4 在 1,3 上单调递增，
x 1 时， x2 4x 3 ， min
AOB 30 ，则旗杆的高 h 等于_____m．
【答案】20
【解析】
【分析】
由题意，利用直角三角形的边角关系表示出 OB, OA 与 OP 的关系，再利用余弦定理求得 OP 即 h 的值．
【详解】由题意得 PO OA, PO OB ，因为在 B 处测得 P 点的仰角为 45°，得 OB OP h ，
A. x 2
B. x 2
C. 2 x 2 2
D.
2x2 3
【答案】C
【解析】
试
题
分
析
：
由
题
意
得
，
a sin B x sin45022x
，要使得三角形有两解，则满足
22x 2 x ， 解 得 2 x 22 ，故选 C.
考点：三角形解的个数的判定.
-3-
6. 已知△ABC 中，bcosB＝ccosC，则△ABC 的形状为（ ）
-2-
A. 0 C. 快 【答案】A 【解析】 【分析】 将展开图还原成正方体，即得答案. 【详解】将展开图还原成正方体，如图所示
B. 9
D. 乐
所以“ 2 ”在正方体中所在的面的对面上的是“0”. 故选： A .
【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.
5. 在 ABC 中， a x , b 2 , B 45 ，若三角形有两解，则 x 的取值范围是（ ）
又因为在 A 处测得 P 点的仰角为 30°，即 PAO 30
，在 PAO 中，OA
OP tan 30
3h ；
在 AOB 中，由余弦定理可得 AB2 OA2 OB2 2OA OB cos AOB ，
即 400 3h2 h2 2 3 h h cos 30 ，解得 h 20 ，∴旗杆 OP 的高度为 20m．
2
3
6
,
22
2 cos 75sin 75 2 6 3 .
2
22 2
故选： C .
【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题.
2. 若， 都是锐角，且 sin2 5 ， sin 10 ，则 cos = ( )
5
10
A. 2 2
B. 2 10
C. 2 或 2 2 10
D. 2 或 2 2 10
1
1
1
x
y
4
1
1 2
2x
y
1
1 2
6
y 1 x
8x
y
1
1 2
6
2
y
1 x
8x y 1
1 2
64
Hale Waihona Puke 23 22.
当且仅当
y
x
1
8x y 1
x 2 1
，即
时，等号成立.
2x y 1 2 y 3 2 2
1 x
4 y1
的最小值为
3
2
2.
故选： B .
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.
16.
关于函数
f
x sin
2
x 3
cos
2
x 6
. ①
y f
x 的最大值为 2 ；
② y f
x 最小
正周期是
；
③
y f
x 在区间
24
，13 24
上是减函数；
④将函数
y2sin2x
的图象向左平
移 个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________.
3
【答案】①②
)
1
3 3 2
3．
4
6
4
4 6 1 3
3
故答案为 2 3 ．
【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题．
14. 在地平面上有一旗杆 OP（ O 在地面），为了测得它的高度 h，在地平面上取一长度为 20m 的基线 AB ，在 A 处测得 P 点的仰角为 30°，在 B 处测得 P 点的仰角为 45°，又测得
【解析】
【分析】
由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把
f
x
sin
2x
3
cos
2x
6
展开，再由
- 10 -
辅助角公式得
f
x
2
sin
2x
3
.对选项逐一判断，即得答案.
【
详
解
】
f
x
sin
2x
3
cos
2x
6
sin
2x
cos
3
cos
2x
sin
3
cos
2x
cos
6
sin
2x
1 a 3,a 4 .
故选： B .
【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.
9.
已知
x，y
均为正实数，若
a
x，y1
，b
2，1
，且
a
b
，则
1 x
4 y1
的最小值是(
)
A. 62 2
B. 32 2
C. 64 2
【答案】B
D. 6 3
-5-
【解析】
【分析】
由
a
b
得
ab 0
，
可得
2x y 1 2
a 4 ，则 ABC 的面积为（ ）
A. 4
B. 3 3
C. 4 3
D. 6 3
【答案】C 【解析】 【分析】 根据余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】因为 (a b)2 c2 ab ，即 a2 b2 c2 ab .
所以 cos C a2 b2 c2 1 ，所以 C 120 ，又 B 30 ，
NAF 60 ，故③正确； BN 与 DE 是异面直线，故④错误. 故选： A .
【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.
12. 对一切实数 x ，不等式 x2 a x 1 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. , 2
B. 2,
C. 2, 2
D. 0,
【答案】B
【解析】
.
A B ，可得 m 2 .
故选： B .
【点睛】
本题考查集合间的关系，属于基础题.
-4-
x22x3 0
8.
若不等式组
x
2
4
x1a
0
的解集不是空集，则实数
a
的取值范围是(
)
A. ，4
B. 4，
C. 4，20
D. 4，20
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式
x2
2x3
0
，得其解集为
1,
3
.由不等式组
.由
1 x
4 y1
1 x
y
4
1
1
1 x
y
4
1
1 2
2 x
y 1
展开，利用基本不等式可求
1 x
4 y1
的最小值.
【详解】
a
b,
a
x,
y
1, b
2,1
,
ab 0, 2x y 1 0, 2x y 1, 2x y 1 2 .
x
0,
y
0
1 x
4 y1
1 x
y
4
考点：正弦定理解三角形
7.
已知集合 Ax
x3 x2
0
， B
y
y
m
，若 A B ，则实数 m 的取值范围为(
)
A. 2，
B. 2，
C. 3，
D. 3，
【答案】B 【解析】 【分析】
求出集合 A ，由 A B ，结合数轴，可得实数 m 的取值范围.
【详解】
解不等式
x3 x2
0
，得 3 x 2 ， A3, 2
【答案】 2 3
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，求出 的值代入即可得到答案．
【详解】 f (x) sin x
3 cos x 2sin(x
)；
3
当 x 时，函数 f (x) 取得最大值
2k , k z ； 32
6
2k
，
k
z
；
-8-
tan(
)
tan(
2k
)
tan(
【答案】A
【解析】
【分析】
将正方体的展开图还原为正方体 ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案.
【详解】将正方体的展开图还原为正方体 ABCD-EFMN，如图所示
可得： AF 与 CN 是异面直线，故①正确；
-7-
连接 AN ，则 BM 与 AN 平行，故②正确； BM //AN ,NAF 是异面直线 AF 与 BM 所成的角，NAF 为等边三角形，
故答案为 20．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学
生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
15.
已知函数
f
x
1 x
,
1 3
x
x
,
0 x
0
，则不等式
f
x
1 的解集为______________. 3
-9-
【答案】 3,1
【解析】
【分析】
利用分段函数的表达式，通过 f x 1 ，转化为不等式组求解即可．
【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.
11. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:① AF 与 CN 是异面直线； ② BM 与 AN 平 行； ③ AF 与 BM 成 60 角； ④ BN 与 DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是
()
A. ①②③
B. ②④
C. ③④
D. ②③④
【详解】设两平行截面圆的半径分别为 r1, r2 ，则 2 r1 6 , 2 r2 8 ,r1 3, r2 4 . 球心到两个截面的距离分别为 d1 52 32 4, d2 52 42 3 . 当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为 d1 d2 4 3 1； 当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为 d1 d2 4 3 7 . 故选： C .
2ab
2
所以 A B 30. 即 a b 4 ，故 ABC 的面积 S 1 absinC 1 4 4 3 4 3 .
2
2
2
故选 C.
【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.
4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“ 2 ”在正方体中所在的面的对面上的是( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：由正弦定理将已知条件转化为
sin B cos B sin C cosC sin 2B sin 2C 2B 2C 或 2B 2C B C 2 或 B C ，所
以三角形为等腰三角形或直角三角形
数学试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题 60 分）
1. 2 cos75sin75 的值为( ) 2 1
A.
2
B. 1 2
C. 3 2
D. 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据辅助角公式即可求值.
【
详
解
】
cos 75sin 75
2
2 cos 75 2
2 2
sin
75
2 sin 45 75
10. 已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长分别为 6 和 8 ，则两平行截面间的距离是
()
A. 1 C. 1或 7
B. 2 D. 2 或 6
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心
的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.
-6-
【详解】当 x 0 时，得任意实数 a 均满足题意，当 x 0 时， a
x2 1 x
x
1 x
，又
x
1 x
2 当且仅当 x
1 取得等号，故 a 2
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）
13. 设当 x 时，函数 f (x) sin x 3 cos x 取得最大值，则 tan( ) __． 4
sin
6
sin 2x
3
cos
2x
2 sin
2x
3
.
f x 的最大值为 2，最小正周期为π，故①，②正确；
当
x
24
, 13 24
时，
2x
3
5 12
, 17 12
，
f
x
不是减函数，故③错误；
【答案】A
【解析】
【分析】
由 cos cos ， 根 据 两 角 差 的 余 弦 公 式 展 开 . 结 合 已 知 条 件 ， 求 出
cos , cos ，代入即得.
-1-
【详解】0 , 0 ,sin 10 ，
2
2
10
0 ,cos 1 sin2 3 10 .