高考数学第一轮复习测试及答案-集合和简易逻辑

高考数学第一轮复习测试及答案-集合和简易逻辑
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟．
第I 卷(共40分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的)
1．设集合A = {1，2}，B = {1，2，3}，C = {2，3，4}，则(A ∩B )∪C = ( ) A ．{1，2，3} B ．{1，2，4} C ．{2，3，4} D ．{1，2，3，4}
2．若命题p ：x ∈A ∪B ，则⌝p 是
( )
A ．x ∉A 且x ∉
B B ．x ∉A 或x ∉B
C ．x ∉A ∩B
D ．x ∈A ∩B 3．定义A - B = {x | x ∈A 且x ∉B }，若M ={1，2，3，4，5}，N ={2，3，6}，则N - M 等于( )
A ．M
B ．N
C ．{1，4，5}
D ．{6}
4．“△ABC 中，若∠C=90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 ( )
A ．△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠
B 都不是锐角 B ．△AB
C 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角 C ．△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 都不一定是锐角
D ．以上都不对
5．设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的
是
( )
A ．123I S S S ⋂⋃=Φ（）
B ．123I I S S S ⊆⋂（）
C ．
123(I
I I S S S ⋂⋂=Φ）
D ．123I I
S S S ⊆
⋃（）
6．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数．”和这个命题真值相同的命题为 ( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方是正数．” B ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数．” C ．“若一个数的平方是正数，则它是负数．” D ．“若一个数不是负数，则它的平方是非负数．”
7．若非空集S ⊆{1，2，3，4，5}，且若a ∈S ，必有(6－a)∈S ，则所有满足上述条件的集合S 共有 ( ) A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9 个 8．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等．”的逆否命题是( ) A ．“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等” B ．“若△ABC 任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形” C ．“若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形”
D ．“若△ABC 任何两个角相等，则它是等腰三角形”
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上) 9．命题“若122,->>b
a
b a 则”的否命题为 ；
10．用“充分、必要、充要”填空：
①p 或q 为真命题是p 且q 为真命题的______条件． ②非p 为假命题是p 或q 为真命题的______条件．
③A ：|x －2 |<3， B ：x 2－4x －15<0， 则A 是B 的_____条件；
11．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M ＝ ； 12．设集合A= {x |x 2
+x －6=0}，B={x |m x +1= 0}，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件
是___ ____． 13．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2
m }．若B ⊆A ，则实数m = ．
14．定义集合运算：A ⊙B =｛z | z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，
则集合A ⊙B 的所有元素之和为 ．
三、解答题(共6小题，共80分)
15．(本小题满分12分) 设集合}0|{},06|{2
≥-=<--=a x x Q x x x P ，
(1) 若P Q =∅，求实数a 的取值范围；
(2) 若}30|{<≤=x x Q P ，求实数a 的值．
16．(本小题满分13分)已知1
:123
x p --≤；2:210(0)q x x m -+≤> 若⌝p 是⌝q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．
17．(本小题满分13分)
已知全集为R ，12
5|log (3)2,|
1,2R A x x B x A B x ⎧⎫⎧⎫
=-≥-=≥⎨⎬⎨⎬+⎩⎭
⎩
⎭
求．
18．(本小题满分14分) 设()()
{}
2
,,,36a b Z E x y x a b y ∈=
-+≤，点()2,1E ∈，但
()()1,0,3,2E E ∉∉，求,a b 的值．
19．(本小题满分14分) 已知A={x | -2 ≤ x ≤ a }，B={y | y = 2x + 3，x ∈A}，M={z | z = x 2，x ∈A}，
且M ⊆ B ，求实数a 的取值范围．
20．(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题
满分5分．
已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x+T ) =T f (x )成立．
(1) 函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；
(2) 设函数f (x )=a x (a >0，且a ≠1)的图象与y=x 的图象有公共点，证明： f (x )=a x ∈M ；
(3) 若函数f (x )=sin kx ∈M ，求实数k 的取值范围．
参考答案
一、选择题
二、填空题
9．若a b ≤，则221a b ≤-； 10．必要、充分、充要； 11．{}Z x x x ∈≤≤,30|； 12． m =12-
(也可为3
1-=m )； 13．1 14．18
三、解答题
15．解：}|{},32|{a x x Q x x P ≥=<<-=，
(1)∵Φ=Q P ，∴a ≥3；
(2) ∵}30|{<≤=x x Q P ，∴a ＝0．
16．分析：先明确p ⌝和q ⌝，再由q ⌝⇒p ⌝且p ⌝
q ⌝，寻求m 应满足的等价条件组．
解：由2210(0)x x m -+≤>，得11m x m -≤≤+．
∴q ⌝：A ={}|11x x m x m <->+或．
由1123
x --≤，得210x -≤≤．
∴p ⌝：{}102|>-<=x x x B 或．
p ⌝是 q ⌝的必要非充分条件，且0m >， ∴ A ⊆B ． ∴0(1)
12(2)110(3)m m m ⎧>⎪⎪
-≤-⎨⎪
+≥⎪⎩
即9m ≥， 注意到当9m ≥时，(3)中等号成立，而(2)中等号不成立．∴m 的取值范围是9m ≥ 点评：分析题意，实现条件关系与集合关系的相互转化是求解本题的关键． 17．解：由已知.4log )3(log 2
12
1≥-x 所以⎩⎨
⎧>-≤-,
034
3x x
解得31<≤-x ， 所以}31|{<≤-=x x A ．
由
02,0)3)(2(,12
5
≠+≤-+≥+x x x x 且得 解得32≤<-x ． 所以}32|{≤<-=x x B 于是{|13}R A x x x =<-≥或 故{|213}R A B x x x =-<<-=或
18．解：∵点(2，1)E ∈，∴2
(2)36
a b -+≤①
∵(1，0)∉E ，(3，2)∉E ， ∴ 03)1(2
>+-b a ②
123)3(2>+-b a ③
由①②得2236(2)(1),:2
a a a -->-->-
解得；
类似地由①、③得1
2
a <-
， ∴3122a -<<-．
又a ，b Z ∈，∴a = -1代入①、②得b = -1．
19．解：∵B={y | y = 2x + 3，x ∈A}，A={x | -2 ≤ x ≤ a }， ∴- 1 ≤ 2x + 3 ≤ 2a + 3，即B={y |- 1 ≤ y ≤ 2a + 3}， 又M={z | z = x 2，x ∈A}．
∴(1) 当- 2 ≤ a <0时，M={z |a 2
≤ z ≤ 4}， ∵M ⊆ B ，∴4 ≤ 2a + 3，即a ≥
1
2
，不合条件，舍； (2) 当0≤ a ≤ 2时，M={z |0 ≤ z ≤ 4}， ∵M ⊆ B ，∴4 ≤ 2a + 3，即a ≥12
， ∴
1
2
≤ a ≤ 2； (3) 当a > 2时，M={z |0 ≤ z ≤ a 2
}，
∵M ⊆ B ，∴a 2
≤ 2a + 3，即- 1 ≤ a ≤ 3， ∴2 < a ≤ 3．
综上，有a 的取值范围为
1
2
≤ a ≤ 3． 评析：本题主要考查分类讨论与数形结合的思想方法，这是高中数学中常用的两种方法．
20．解：(1)对于非零常数T ，f (x +T)=x +T ， T f (x )=T x ． 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成
立，所以f (x )=.M x ∉
(2)因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象与函数y=x 的图象有公共点，
所以方程组：⎩⎨⎧==x
y a y x
有解，消去y 得a x =x ，
显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T ．
于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a
T x f x
x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M ． (3)当k = 0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M ．
当k ≠ 0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有 f (x +T) = T f (x )成立，即sin(kx +k T) = Tsin kx ． 因为k ≠ 0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ， 于是sin kx ∈[- 1，1]，sin(kx +k T) ∈[- 1，1]， 故要使sin(kx +k T)=Tsin kx 成立，
只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k ) = sin kx 成立，则k =2m π，m ∈Z ． 当T= - 1时，sin(kx - k ) = - sin kx 成立， 即sin(kx - k +π)= sin kx 成立，
则- k +π =2m π，m ∈Z ，即k = - 2(m - 1)π，m ∈Z ． 综合得，实数k 的取值范围是{k |k = m π，m ∈Z}．。