华容区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

华容区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当
]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则
实数的取值范围是（ ）111] A ．)2
2,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(
2． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y=x 轴对称
D ．关于直线y=﹣x 轴对称
3． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则2
1
z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．
54 C ．i - D ．i 5
4 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
4． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
5． 设函数f （x ）=，f （﹣2）+f （log 210）=（ ）
A ．11
B ．8
C ．5
D ．2
6． 设0＜a ＜b 且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ）
A ．a 2+b 2
B ．2ab
C ．a
D ．
7． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点
为B ，则|AB|=（ ）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
8． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）
A ．3
B ．
C ．2
D ．6
9． 在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78，则此数列前12项和等于（ ） A ．96
B ．108
C ．204
D ．216
10．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线
﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
11．阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）
A ．14
B ．20
C ．30
D ．55
12．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．114种
二、填空题
13．设函数()(
)()31
321x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
14．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与
CD 所成的角是 ．
15．若与共线，则y=．
16．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为．
17．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=．
18．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:）．
三、解答题
19．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海
难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向
一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；
∆中，求角B的正弦值.
（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC
21．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
22．（本题满分15分）
已知抛物线C的方程为22(0)
y px p
=>，点(1,2)
R在抛物线C上．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于
M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.
23．（本小题满分12分）已知函数()2
ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
24．（本小题满分12分）
已知圆M 与圆N ：2
22)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)3
5,31(-D 在圆M 上.
（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；
（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)3
5,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交
AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.
华容区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，
()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，
()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，
()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨
⎧-><<23log 10a
a ，解得：33
0<<a 故选A ．
考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的
图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.
2． 【答案】A
【解析】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2
，圆心为（﹣a ，0），
∴方程x 2+2ax+y 2
=0（a ≠0）表示的圆关于x 轴对称，
故选：A ．
【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．
3． 【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=，所以2
1z z 的虚部为54.
4． 【答案】 C
【解析】解：对于A ，直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，则m 与n 可能平行，可能异面，故不正确；
对于B ，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C ，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D ，如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么可能m ⊥β，也可能m 和β斜交，；
故选：C ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
5． 【答案】B 【解析】解：∵f （x ）=，
∴f （﹣2）=1+log 24=1+2=3，
=5，
∴f （﹣2）+f （log 210）=3+5=8． 故选：B ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
6． 【答案】A
【解析】解：∵0＜a ＜b 且a+b=1
∴
∴2b ＞1
∴2ab ﹣a=a （2b ﹣1）＞0，即2ab ＞a
又a 2+b 2﹣2ab=（a ﹣b ）2
＞0 ∴a 2+b 2
＞2ab
∴最大的一个数为a 2+b 2
故选A
7． 【答案】B
【解析】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2
=4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
9．【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，
∴3a2=﹣24，3a11=78，解得a2=﹣8，a11=26，
∴此数列前12项和=
=6×18=108，
故选B．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），
∴=2，
∴p=4．
故选D．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】解：∵S1=0，i1=1；
S2=1，i2=2；
S3=5，i3=3；
S4=14，i4=4；
S5=30，i=5＞4
退出循环，
故答案为C．
【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．
根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．
②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．
由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，
故选A．
【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．
二、填空题
13．【答案】
11
[3) 32
⎡⎤
+∞⎢⎥
⎣⎦
，，
【解析】
考
点：1、分段函数；2、函数的零点.
【方法点晴】本题考查分段函数，函数的零点，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、数形结合思想和转化化归思想，综合性强，属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想，对()3x g x a =-于轴的交点个数进行分情况讨论，特别注意：1.在1x <时也轴有一个交点式，还需31a ≥且21a <；2. 当()130g a =-≤时，()g x 与轴无交点，但()h x 中3x a =和2x a =，两交点横坐标均满足1x ≥.
14．【答案】 30° ．
【解析】解：取AD 的中点G ，连接EG ，GF 则EG DC=2，GF
AB=1，
故∠GEF 即为EF 与CD 所成的角． 又∵FE ⊥AB ∴FE ⊥GF ∴在Rt △EFG 中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
15．【答案】 ﹣6 ．
【解析】解：若与
共线，则2y ﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．
16．【答案】．
【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．
则+x+y+=3+，
化为：x+y=3．
则x2+y2=，当且仅当x=y=时取等号．
∴这两个正方形的面积之和的最小值为．
故答案为：．
17．【答案】±（7﹣i）．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．
又ω===，|ω|=，∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
18．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：p ：，q ：a ≤x ≤a+1；
∴（1）若a=，则q ：；
∵p ∧q 为真，∴p ，q 都为真；
∴，∴；
∴实数x 的取值范围为；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，即由p 能得到q ，而由q 得不到p ；
∴
，∴
；
∴实数a 的取值范围为
．
【点评】考查解一元二次不等式，p ∧q 真假和p ，q 真假的关系，以及充分不必要条件的概念．
20．【答案】（1）23小时；（2 【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇. 在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =. 由余弦定理得：222
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠， 所以2
2
2
1
(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，
化简得2
369100t t --=，解得23t =
或512t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
（2）由2963AC =⨯=，2
21143
BC =⨯=.
在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
14AC BAC B BC
⨯
∠===
=. 所以角B 的正弦值为
14
. 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 21．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l 的方程； （2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l 的方程；
【解答】解：（1）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2
=9的圆心为C （1，0），因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为y=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣2=0． （2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为，即x+2y ﹣6=0．
22．【答案】（1）2
4y x =；（2）20x y +-=．
【解析】（1）∵点(1,2)R 在抛物线C 上，2
2212p p =⨯⇒=，…………2分
即抛物线C 的方程为2
4y x =；…………5分
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．
假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
11()bx f x b x x
-'=-
=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e
==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <
<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2
min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分
③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分
综上，存在实数2
e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()
f x 最小值是3．……………………………12分
24．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，
DM r =,然后根据圆心距MN 与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和
BP 的距离相等，所以两个三角形的面积比值PA
PB
S S APG PBG =
∆∆,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求PB 和PA ,最后得到其比值.
试题解析：（1） ∵圆N 的圆心)35,35
(-N 关于直线x y =的对称点为)3
5,35(-M ， ∴9
16)3
4(||2
2
2
=
-==MD r ， ∴圆M 的方程为9
16
)35()35(22=
-++y x .
∵3
8
23210)310()310(||22=>=+=r MN ，∴圆M 与圆N 相离.
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1。