6-2频域：极坐标图

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二、开环系统的幅相频率特性 绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系
统所包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。 例：求如下传递函数的极坐标图。
Gjω ejω T
1 jω T
解： G(jω)可写为：
GjωejωT 1
1jωT
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其幅值与相角分别为：
GjωejωT 1 1
一、典型环节的极坐标图 1.放大环节
G(jω)=K=U+jV
Gjω = U2 V2 K
G(j)tg1V 0
U
Im
0
K Re
放大环节是复平面实轴上的一个点，它到原 点的距离为K。
2
2. 微分环节
G(jω)=jω Gjω =ω
G( j) tg1 90
0
微分环节是一条与 虚轴正段相重合的直线。
1 T 2 2
2 T
1 T 2 22 2 T 2j1 T 2 22 2 T 2
Gj
1
1T2 2 2 2T2
G(j)t g1 2T
1T22
显然，当ω=0，和ω=∞时，
G(j01)0
G
Im
G(jω)的虚部是正

的单调增加，而实

部则由1开始单调
递减。
0
0
1
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10
8. 延迟环节
G(j)=ejT
Gjω1
G(j) tg1
延迟环节的幅频特性 是与ω无关的常量， 其值为1。而相频特 性则与ω成线性变化。 故其极坐标图是一个 单位图 。
Im j
1
0 j
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注意终止点：
nm 2
Im nm 3

0
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nm 1
G ( jw )
bm ( jw )m a n ( jw )n
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增加n个有限负实 极点后，ω=0→∞ 时，GH的奈氏的 曲线顺时针转nπ/2
Im
1 jT 1
1
0
Re

1 ( j T1 1)( j T 2 1)
Im

T1T 2 T1 T2
Im 1
0
Re

17
增加n个有限负实零点后，ω=0→∞ 时，GH的奈氏的曲线逆时针转nπ/2
1 j( jT1 1)( jT2 1)
Im
Re
jT3 1 j( jT1 1)( jT2 1)
Im
Re

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结论：
１．0 型系统（N=0）：极坐标图起始于正实轴 上的有限点，终止于原点。
6－2 典型环节的极坐标图
频率特性的三种图示法
1、极坐标 图 —— Nyquist图（又叫奈奎斯特图、简 称奈氏图或幅相频率特性）。
2、对数坐标图——Bode图（又叫伯德图，简称伯氏图） 3、复合坐标图——Nichocls图（又叫尼柯尔斯图，简称
尼氏图）；一般常用于闭环系统的 频率特性分析。
1
6－2 典型环节的极坐标图
Im
0
0
1
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9
7. 二阶微分环节
G j ω T 2 j ω 2 2 ζ T j ω 1 1 T 2 ω 2 j ζ T ω 2
Gjω 1T2ω224ζ2T2ω2
G(j) tg112TT2ω ω2
随着ω的增加，
系统的型号:一种依据系统开环传递函 数中积分环节的多少来对系统进行分类 的方法
１．0 型系统（N=0） ２．I 型系统（N=1） 3 . II 型系统（N=2） ……
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极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系统
0

I型系统
0
Im
0
0 Re
0 型系统
0 Re
将它们之比 V Tω 代入 U
实频特性表达式

U

1
1 V
2

U
经化简、配方得到:
U12 V2 12
2
2
上式为圆方程，圆心为 1 ,0 ，半径为 1 。
2
2
6
5. 振荡环节
Gj
1
T2j22Tj1
Im
0
0
Re
3
3. 积分环节
G(jω)=
1 jω
Gjω = 1 ω 1
G( j) tg1 90 0
Im
0 Re 0
由于 G( j) = - 90°是常数。而随ω增大而减小。因此， 积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
4
4. 惯性环节
1jωT 1ω2T2
G)( j e jω T 1 T tg 1T
1 jω T
由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调减 小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线
Im
0
1 0 Re
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设系统的开环传递函数为
G jω H (jω ) jω K 1 N 1 jω jω T a T 1 1 1 jω jω T b T 2
Im
0 n
1 n 2
1 0 Re
n 3

1 2 3
8
6. 一阶微分环节 G(jω)=1+jωT
Gjω 1ω2T2
G (j)t g 1
当ω从零变化到无 穷时，相频从0°变化 到+90°，其幅相频率 特性是通过（1， 0） 点，且平行于正虚轴 的一条直线 。
jT121
90
G(j)0-180
7
极坐标相位从0°到 –180°变化，频率特性 与虚轴交点处的频率是 无阻尼自然振荡频率 ωn ，ζ越小，对应ω 的幅值越大。说明频率 特性与ω、 ζ均有关。 当ζ小到一定程度时， 将会出现峰值，这个值 称为谐振峰值Mr，对应 频率称为谐振频率ωr。
２．I 型系统（N=1）：由于存在一个积分环 节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平 行的直线。当ω=∞时，幅值为零，曲线收敛于原 点并且与某坐标轴相切。
3 ．II 型系统（N=2）：低频处，极坐标图是 一条渐近于负实轴的直线 。在ω=∞处幅值为零， 且曲线相切于某坐标轴。
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Gjω 1 1 j ωT
1 jωT 1 ω2T2 1 ω2T2
Gjω 1
1ω2T2 G( j) tg1
1
我们取三个特殊点，显然
G(j01)0
G j 1 1 - 45 T 2
G(j) 0 - 90
不难看出，随着频率ω=0→∞变化，惯性环节的幅值逐步衰 减，最终趋于0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于 90°，其极坐标图为一个半圆。
5
设: G(jω)=U+jV, 极坐标图为一个半圆可证明如下：
实频特性 虚频特性
1 U
12T 2 V ωT
1ω2T2
Im
1
2
0
1